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2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）
1．
（5 分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．7
2．（5 分）已知角α 的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
3．（5 分）不等式组
的解集为（ ）
A．{x|
2
﹣＜x＜﹣1}
B．{x|
1
﹣＜x＜0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＞1}
4．（5 分）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）函数y=ln（
+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1
e
﹣
x）3（x＞﹣1）
B．y=（ex
1
﹣）3（x＞﹣1）
C．y=（1
e
﹣
x）3（x∈R）
D．y=（ex
1
﹣）3（x∈R）
6．（5 分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2 ﹣）• =（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
7．（5 分）有6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个
医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
8．（5 分）设等比数列{an}的前n 项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A．31
B．32
C．63
D．64
9．（5 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为
，
第1页（共22页）
过F2的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4
，则C 的方程为（ ）
A．
+
=1
B．
+y2=1
C．
+
=1
D．
+
=1
10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，
则该球的表面积为（ ）
A．
B．16π
C．9π
D．
11．
（5 分）双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离
为
，则C 的焦距等于（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4
12．（5 分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f
（9）=（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)
13．（5 分）（x
2
﹣）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
14．（5 分）函数y=cos2x+2sinx 的最大值是 ．
15．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=x+4y 的最大值为 ．
16．（5 分）直线l1和l2是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与
l2的夹角的正切值等于 ．
三、解答题
17．（10 分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1
a
﹣
n+2．
（Ⅰ）设bn=an+1
a
﹣
n，证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
第2页（共22页）
18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，
tanA=
，求B．
19．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，点A1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，
∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为
，求二面角A1
AB
C
﹣
﹣的大小．
20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，
0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用
设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k 的最小值．
第3页（共22页）
21．（12 分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围．
22．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交点为P，
与C 的交点为Q，且|QF|=
|PQ|．
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N
两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．
第4页（共22页）
2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）
1．
（5 分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为
（ ）
A．2
B．3
C．5
D．7
【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】5J：集合．
【分析】根据M 与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．
【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，
∴M∩N={1，2，6}，即M∩N 中元素的个数为3．
故选：B．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5 分）已知角α 的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）
A．
B．
C．﹣
D．﹣
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα 的值．
【解答】解：∵角α 的终边经过点（﹣4，3），∴x=
4
﹣，y=3，r=
=5．
∴cosα=
=
=﹣
，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于
第5页（共22页）
基础题．
3．（5 分）不等式组
的解集为（ ）
A．{x|
2
﹣＜x＜﹣1}
B．{x|
1
﹣＜x＜0} C．{x|0＜x＜1}D．
{x|x＞1}
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解
集，再取交集，即得所求．
【解答】解：由不等式组
可得
，解得0＜x＜1，
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．
4．（5 分）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5G：空间角．
【分析】由E 为AB 的中点，可取AD 中点F，连接EF，则∠CEF 为异面直线CE 与BD
所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF 的三边长，然后利用余弦定理求解异
面直线CE 与BD 所成角的余弦值．
【解答】解：如图，
取AD 中点F，连接EF，CF，
∵E 为AB 的中点，
∴EF∥DB，
第6页（共22页）
则∠CEF 为异面直线BD 与CE 所成的角，
∵ABCD 为正四面体，E，F 分别为AB，AD 的中点，
∴CE=CF．
设正四面体的棱长为2a，
则EF=a，
CE=CF=
．
在△CEF 中，由余弦定理得：
=
．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，
是中档题．
5．（5 分）函数y=ln（
+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）
A．y=（1
e
﹣
x）3（x＞﹣1）
B．y=（ex
1
﹣）3（x＞﹣1）
C．y=（1
e
﹣
x）3（x∈R）
D．y=（ex
1
﹣）3（x∈R）
【考点】4R：反函数．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y 的位置即可得到反函数．
【解答】解：∵y=ln（
+1），
∴
+1=ey，即
=ey
1
﹣，
第7页（共22页）
∴x=（ey
1
﹣）3，
∴所求反函数为y=（ex
1
﹣）3，
故选：D．
【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．
6．（5 分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2 ﹣）• =（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得
、的值，可得（2 ﹣）•
的值．
【解答】解：由题意可得，
=1×1×cos60°=
，
=1，
∴（2 ﹣）• =2
﹣
=0，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．
7．（5 分）有6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个
医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】5O：排列组合．
【分析】根据题意，分2 步分析，先从6 名男医生中选2 人，再从5 名女医生中选出
1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答
案．
【解答】解：根据题意，先从6 名男医生中选2 人，有C6
2=15 种选法，
再从5 名女医生中选出1 人，有C5
1=5 种选法，
第8页（共22页）
则不同的选法共有15×5=75 种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
8．（5 分）设等比数列{an}的前n 项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A．31
B．32
C．63
D．64
【考点】89：等比数列的前n 项和．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由等比数列的性质可得S2，S4
S
﹣2，S6
S
﹣4成等比数列，代入数据计算可得．
【解答】解：S2=a1+a2，S4
S
﹣2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6
S
﹣4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4
S
﹣2，S6
S
﹣4成等比数列，
即3，12，S6
15
﹣
成等比数列，
可得122=3（S6
15
﹣
），
解得S6=63
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4
S
﹣2，S6
S
﹣4成等比数列是解决问题
的关键，属基础题．
9．（5 分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为
，
过F2的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4
，则C 的方程为（ ）
A．
+
=1
B．
+y2=1
C．
+
=1
D．
+
=1
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用△AF1B 的周长为4
，求出a=
，根据离心率为
，可得c=1，求出
b，即可得出椭圆的方程．
第9页（共22页）
【解答】解：∵△AF1B 的周长为4
，
∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4
，
∴a=
，
∵离心率为
，
∴
，c=1，
∴b=
=
，
∴椭圆C 的方程为
+
=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，
属于基础题．
10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，
则该球的表面积为（ ）
A．
B．16π
C．9π
D．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】正四棱锥P
ABCD
﹣
的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，
OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4
R
﹣）2+（
）2，
∴R=
，
∴球的表面积为4π•（
）2=
．
第10页（共22页）
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
11．
（5 分）双曲线C：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离
为
，则C 的焦距等于（ ）
A．2
B．2
C．4
D．4
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到
结论．
【解答】解：∵：
﹣
=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，
∴e=
，双曲线的渐近线方程为y=
，不妨取y=
，即bx
ay=0
﹣
，
则c=2a，b=
，
∵焦点F（c，0）到渐近线bx
ay=0
﹣
的距离为
，
∴d=
，
即
，
解得c=2，
第11页（共22页）
则焦距为2c=4，
故选：C．
【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直
线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．
12．（5 分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f
（9）=（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．
【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，
∴设g（x）=f（x+2），
则g（﹣x）=g（x），
即f（﹣x+2）=f（x+2），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x+2）=f（x+2）=
f
﹣（x
2
﹣），
即f（x+4）=
f
﹣（x），f（x+8）=f（x+4+4）=
f
﹣（x+4）=f（x），
则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，
∴f（8）+f（9）=0+1=1，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴
是解决本题的关键．
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)
13．（5 分）（x
2
﹣）6的展开式中x3的系数是 ﹣
160
．（用数字作答）
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
第12页（共22页）
【分析】根据题意，由二项式定理可得（x
2
﹣）6的展开式的通项，令x 的系数为3，
可得r=3，将r=3 代入通项，计算可得T4=
160x
﹣
3，即可得答案．
【解答】解：根据题意，（x
2
﹣）6的展开式的通项为Tr+1=C6
rx6
r
﹣（﹣2）r=（﹣1）
r•2r•C6
rx6
r
﹣，
令6
r=3
﹣
可得r=3，
此时T4=（﹣1）3•23•C6
3x3=
160x
﹣
3，即x3的系数是﹣160；
故答案为﹣160．
【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x
2
﹣）6的展开式的通项．
14．（5 分）函数y=cos2x+2sinx 的最大值是
．
【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1
2sin
﹣
2x+2sinx=
，结合﹣1≤sinx≤1 及二次函数的性质可求函数有最大值
【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1
2sin
﹣
2x+2sinx=
又∵﹣1≤sinx≤1
当sinx=
时，函数有最大值
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭
区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1 的条件．
15．（5 分）设x，y 满足约束条件
，则z=x+4y 的最大值为
5
．
第13页（共22页）
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优
解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立
，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得
．
由图可知，当直线
过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．
此时zmax=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
16．（5 分）直线l1和l2是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与
l2的夹角的正切值等于
．
【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角
第14页（共22页）
形中的边角关系求得sinθ=
的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=
，计算求得结果．
【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A 与圆心O 之间的距离为OA=
=
，
圆的半径为r=
，
∴sinθ=
=
，
∴cosθ=
，tanθ=
=
，
∴tan2θ=
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角
函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
三、解答题
17．（10 分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1
a
﹣
n+2．
（Ⅰ）设bn=an+1
a
﹣
n，证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）将an+2=2an+1
a
﹣
n+2 变形为：an+2
a
﹣
n+1=an+1
a
﹣
n+2，再由条件得
bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1
a
﹣
n并令n 从1 开始取值，
依次得（n
1
﹣）个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{an}的通
项公式an．
【解答】解：（Ⅰ）由an+2=2an+1
a
﹣
n+2 得，
第15页（共22页）
an+2
a
﹣
n+1=an+1
a
﹣
n+2，
由bn=an+1
a
﹣
n得，bn+1=bn+2，
即bn+1
b
﹣
n=2，
又b1=a2
a
﹣
1=1，
所以{bn}是首项为1，公差为2 的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n
1
﹣）=2n
1
﹣，
由bn=an+1
a
﹣
n得，an+1
a
﹣
n=2n
1
﹣，
则a2
a
﹣
1=1，a3
a
﹣
2=3，a4
a
﹣
3=5，…，an
a
﹣
n
1
﹣=2（n
1
﹣）﹣1，
所以，an
a
﹣
1=1+3+5+…+2（n
1
﹣）﹣1
=
=（n
1
﹣）2，
又a1=1，
所以{an}的通项公式an=（n
1
﹣）2+1=n2
2n
﹣
+2．
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列
的通项公式和转化思想，属于中档题．
18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，
tanA=
，求B．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角
的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=
tan
﹣
（A+C）即可
得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=
，
第16页（共22页）
∴2tanC=3×
=1，解得tanC=
．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=
tan
﹣
（A+C）=﹣
=﹣
=
1
﹣，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、
诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档
题．
19．（12 分）如图，三棱柱ABC
A
﹣
1B1C1中，点A1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，
∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为
，求二面角A1
AB
C
﹣
﹣的大小．
【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD 为二面角A1
AB
C
﹣
﹣的平面角，解三角形由反三角函
数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC
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∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，
由侧面AA1C1C 为菱形可得AC1⊥A1C，
又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，
∴AC1⊥A1B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，
∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，
作A1E⊥CC1，E 为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，
又直线AA1∥平面BCC1B1，
∴A1E 为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=
，
∵A1C 为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=
，
作DF⊥AB，F 为垂足，连结A1F，
又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，
∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF
∴A1F⊥AB，
∴∠A1FD 为二面角A1
AB
C
﹣
﹣的平面角，
由AD=
=1 可知D 为AC 中点，
∴DF=
=
，
∴tan∠A1FD=
=
，
∴二面角A1
AB
C
﹣
﹣的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，
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属中档题．
20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，
0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；
（Ⅱ）实验室计划购买k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用
设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k 的最小值．
【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）把4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有3 个人使用设备的概率
相加，即得所求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人
数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3 人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+
（
1
0.6
﹣
）
×0.5×0.5×0.4+0.6×
（
1
0.5
﹣
）
×0.5×0.4+0.6×0.5×（1
0.5
﹣
）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1
0.4
﹣
）=0.31．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为
0.31＞0.1，不满足条件．
若k=3 ，则“ 同一工作日需使用设备的人数大于3” 的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．
故k 的最小值为3．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思
想，属于中档题．
21．（12 分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
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【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a 的范围
讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0 时，f（x）在区间（1，2）
是增函数，推出f′（1）≥0 且f′（2）≥0，即可求a 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，
∴f′（x）=3ax2+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1
a
﹣），
①若a≥1 时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R 上是增函数；
②因为a≠0，∴a≤1 且a≠0 时，△＞0，f′（x）=0 方程有两个根，x1=
，x2=
，
当0＜a＜1 时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或
（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；
当a＜0 时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或
（x2 ，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；
（Ⅱ）当a＞0，x＞0 时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0 时，f（x）在区间（1，2）是增函
数，
当a＜0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当且仅当：f′（1）≥0 且f′（2）≥0，解得﹣
，
a 的取值范围[
）∪（0，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函
数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．
22．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交点为P，
与C 的交点为Q，且|QF|=
|PQ|．
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（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N
两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得
x0=
，根据|QF|=
|PQ|求得 p 的值，可得C 的方程．
（Ⅱ）设l 的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点
公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦
达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN 垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆
等价于|AE|=|BE|=
|MN|，由此求得m 的值，可得直线l 的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px（p
＞0），
可得x0=
，∵点P（0，4），∴|PQ|=
．
又|QF|=x0+
=
+
，|QF|=
|PQ|，
∴
+
=
×
，求得 p=2，或 p=
2
﹣（舍去）．
故C 的方程为 y2=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点F（1，0），
设l 的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2
4my
4=0
﹣
﹣
，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，
y1•y2=
4
﹣．
∴AB 的中点坐标为D （2m2+1 ，2m ），弦长|AB|=
|y1
y
﹣2|=
=4（m2+1）．
第21页（共22页）
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣
y+2m2+3．
过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+
y
4
﹣（2m2+3）=0，∴y3+y4=
，y3•y4=
4
﹣
（2m2+3）．
故线段MN 的中点E 的坐标为（
+2m2+3，
），∴|MN|=
|y3
y
﹣4|=
，
∵MN 垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=
|MN|，
∴
+DE2=
MN2，
∴4（m2+1）2 +
+
=
×
，化简可得 m2﹣
1=0，
∴m=±1，∴直线l 的方程为 x
y
1=0
﹣﹣
，或 x+y
1=0
﹣
．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，
韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
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