2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(重庆卷)
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．(2013 重庆，理1)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则
U(A∪B)＝( )．
A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}
2．(2013 重庆，理2)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )．
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．(2013 重庆，理3)
(－6≤a≤3)的最大值为( )．
A．9 B．
C．3 D．
4．(2013 重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测
试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，
则x，y 的值分别为( )．
A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8
5．(2013 重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(
)．
A．
B．
C．200
D．240
6．(2013 重庆，理6)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－
b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )．
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
7．(2013 重庆，理7)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N 分别是圆C1，C2上的
动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )．
A．
B．
C．
D．
8．(2013 重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的
条件是( )．
A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9
9．(2013 重庆，理9)4cos 50°－tan 40°＝( )．
A．
B．
C．
D．
10．(2013 重庆，理10)在平面上，
⊥
，|
|＝|
|＝1，
＝
＋
.若|
|＜
，则|
|的取值范围是( )．
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共6 小题，考生作答5 小题，每小题5 分，共25 分．把答
案填写在答题卡相应位置上．
11．(2013 重庆，理11)已知复数
(i 是虚数单位)，则|z|＝__________.
12．(2013 重庆，理12)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5 成等比
数列，则S8＝__________.
13．(2013 重庆，理13)从3 名骨科、4 名脑外科和5 名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗小组，
则骨科、脑外科和内科医生都至少有1 人的选派方法种数是__________(用数字作答)．
2013 重庆理科数学 第1页
14．(2013 重庆，理14)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C
作△ABC 的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD 与外接圆交于点E，则DE 的长为
__________．
15．(2013 重庆，理15)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4 的直线与曲线
(t 为参
数)相交于A，B 两点，则|AB|＝__________.
16．(2013 重庆，理16)若关于实数x 的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是
________．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．(2013 重庆，理17)(本小题满分13 分，(1)小问6 分，(2)小问7 分．)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中
a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定a 的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
18．(2013 重庆，理18)(本小题满分13 分，(1)小问5 分，(2)小问8 分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖
活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3 个红球与4 个白球的袋中任意摸出3 个球，再从装有1 个蓝球
与2 个白球的袋中任意摸出1 个球．根据摸出4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1 个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望
E(X)．
2013 重庆理科数学 第2页
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3 红1 蓝
200 元
二等奖
3 红0 蓝
50 元
三等奖
2 红1 蓝
10 元
19．(2013 重庆，理19)(本小题满分13 分，(1)小问5 分，(2)小问8 分．)如图，四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底面
ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝
，F 为PC 的中点，AF⊥PB．
(1)求PA 的长；
(2)求二面角B－AF－D 的正弦值．
20．(2013 重庆，理20)(本小题满分12 分，(1)小问4 分，(2)小问8 分．)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别
是a，b，c，且a2＋b2＋
ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝
，
，求tan α 的值．
2013 重庆理科数学 第3页
21．(2013 重庆，理21)(本小题满分12 分，(1)小问4 分，(2)小问8 分．)如图，椭圆的中心为原点O，长轴在
x 轴上，离心率
，过左焦点F1作x 轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均
在圆Q 外．若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．
2013 重庆理科数学 第4页
22．(2013 重庆，理22)(本小题满分12 分，(1)小问4 分，(2)小问8 分．)对正整数n，记In＝{1,2，…，n}，
.
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使Pn能分成
两个不相交的稀疏集的并．
2013 重庆理科数学 第5页
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(重庆卷)
一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．
答案：D
解析：∵A∪B＝{1,2,3}，而U＝{1,2,3,4}，
故
U(A∪B)＝{4}，故选D．
2．
答案：D
解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D．
3．
答案：B
解析：方法一：
＝
，因为－6≤a≤3，
所以当
时取得最大值
.
方法二：∵－6≤a≤3，∴3－a≥0，a＋6≥0.
而(3－a)＋(a＋6)＝9，
由基本不等式得：
(3－a)＋(a－6)≥
，
即
，
∴
，当且仅当3－a＝a＋6，
即
时取等号．
4．
答案：C
解析：由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数
，可解得
y＝8.故选C．
5．
答案：C
解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2 和8，
高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝
×(2＋8)×4×10＝200，故选C．
6．
答案：A
解析：由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.
显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A．
7．
答案：A
解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|
PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4 的最小值．又C1关于x 轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－
4 的最小值为|C3C2|－4＝
，故选A．
8．
答案：B
解析：由程序框图可知，输出的结果为s＝log23×log34×…×logk(k＋1)＝log2(k＋1)．由s＝3，即log2(k
＋1)＝3，解得k＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s，∴条件应为k≤7.
9．
2013 重庆理科数学 第6页
答案：C
解析：4cos 50°－tan 40°＝
＝
＝
＝
.
10．
答案：D
解析：因为
⊥
，所以可以A 为原点，分别以
，
所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．
设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，
则
＝
＋
＝(a，b)，即P(a，b)．
由|
|＝|
|＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.
所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.
由|
|＜
，得(x－a)2＋(y－b)2＜
，
即0≤1－x2＋1－y2＜
.
所以
＜x2＋y2≤2，即
.
所以|
|的取值范围是
，故选D．
二、填空题：本大题共6 小题，考生作答5 小题，每小题5 分，共25 分．把答案填写在答题卡相应位置上．
11．答案：
解析：
，
∴
.
12．答案：64
解析：由a1＝1 且a1，a2，a5成等比数列，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，故S8＝8a1＋
d＝64.
13．答案：590
解析：方法一：从12 名医生中任选5 名，不同选法有
种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科
医生的选法有
种，只去骨科和内科两科医生的选法有
种，只去脑外科和内科两科医
生的选法有
种，只去内科一科医生的选法有
种，故符合条件的选法有：792－21－55－
125－1＝590 种．
方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名，
则需选内科医生(5－x－y)人．
(1)当x＝y＝1 时，有
种不同选法；
(2)当x＝1，y＝2 时，有
种不同选法；
(3)当x＝1，y＝3 时，有
种不同选法；
(4)当x＝2，y＝1 时，有
种不同选法；
(5)当x＝2，y＝2 时，有
种不同选法；
2013 重庆理科数学 第7页
(6)当x＝3，y＝1 时，有
种不同选法．
所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590 种．
考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．
答案：5
解析：在Rt△ABC 中，∠A＝60°，AB＝20，可得BC＝
.
由弦切角定理，可得∠BCD＝∠A＝60°.
在Rt△BCD 中，可求得CD＝
，BD＝15.
又由切割线定理，可得CD2＝DE·DB，可求得DE＝5.
15．答案：16
解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x＝4，而由曲线参数方程消参得x3＝y2，
∴y2＝43＝64，即y＝±8，
∴|AB|＝|8－(－8)|＝16.
16．答案：(－∞，8]
解析：方法一：设f(x)＝|x－5|＋|x＋3|＝
可求得f(x)的值域为[8，＋∞)，因为原不等
式无解，只需a≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]．
方法二：由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，
∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．
三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋
.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a
＝8a－6，故
.
(2)由(1)知，f(x)＝
(x－5)2＋6ln x(x＞0)，
f′(x)＝x－5＋
＝
.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当0＜x＜2 或x＞3 时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3 时，f′(x)＜0，故
f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2 处取得极大值f(2)＝
＋6ln 2，在x＝3 处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
18．
解：设Ai表示摸到i 个红球，Bj表示摸到j 个蓝球，
则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．
(1)恰好摸到1 个红球的概率为
P(A1)＝
.
(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝
，
P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝
，
2013 重庆理科数学 第8页
P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝
，
P(X＝0)＝
.
综上知X 的分布列为
X
0
10
50
200
P
从而有E(X)＝0×
＋10×
＋50×
＋200×
＝4(元)．
19．
解：(1)如图，连接BD 交AC 于O，因为BC＝CD，即△BCD 为等腰三角形．又AC 平分∠BCD，故AC⊥BD．以O 为
坐标原点，
，
，
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，则OC＝CD
＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3，又OD＝CD
＝
，故A(0，－3,0)，B(
，0,0)，C(0,1,0)，
D(
，0,0)．
因PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F 为PC 边中点，F
.
又
＝
，
＝(
，3，－z)，
因AF⊥PB，故
·
＝0，
即6－
＝0，
(舍去
)，
所以|
|＝
.
(2)由(1)知
＝(
，3,0)，
＝(
，3,0)，
＝(0,2，
)，设平面FAD 的法向量为n1＝(x1，y1，
z1)，平面FAB 的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由n1·
＝0，n1·
＝0，得
因此可取n1＝(3，
，－2)．
由n2·
＝0，n2·
＝0，
得
故可取n2＝(3，
，2)．
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为
cos〈n1，n2〉＝
，
故二面角B－AF－D 的正弦值为
.
2013 重庆理科数学 第9页
20．
解：(1)因为a2＋b2＋
ab＝c2，
由余弦定理有cos C＝
，
故
.
(2)由题意得
＝
.
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝
，
tan2αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝
，
tan2αsin Asin B－tan αsin(A＋B)＋cos Acos B＝
.①
因为
，A＋B＝
，
所以sin(A＋B)＝
，
因为cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即
－sin Asin B＝
，
解得sin Asin B＝
.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1 或tan α＝4.
21．
解：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，
则
.
从而e2＋
＝1.
由
得
，
从而
.
故该椭圆的标准方程为
.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．
2013 重庆理科数学 第10页
又设M(x，y)是椭圆上任意一点，
则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x0
2＋
＝
(x－2x0)2－x0
2＋8(x∈[－4,4])．
设P(x1，y1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，
因此，上式当x＝x1时取最小值，
又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，
从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x0
2.
因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，
所以
＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，
即(x1－x0)2－y1
2＝0.
由椭圆方程及x1＝2x0得
，
解得
，
.
从而|QP|2＝8－x0
2＝
.
故这样的圆有两个，其标准方程分别为
，
.
22．
解：(1)当k＝4 时，
中有3 个数与I7中的3 个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15 时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B 为不相交的稀疏集，使A∪B＝
Pn
In，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3
A，即3∈B．同理6∈A,10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与
A 为稀疏集矛盾．
再证P14 符合要求，当k＝1 时，
可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝
{1,2,4,6,9,11,13}，B1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4 时，集
中除整数外剩下的数组成集
，可分解为下面两稀疏集的并：
，
.
当k＝9 时，集
中除正整数外剩下的数组成集
，可分解为下面两稀
疏集的并：
，
.
2013 重庆理科数学 第11页
最后，集
中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和
都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n 的最大值为14.
注：对P14的分拆方法不是唯一的．
2013 重庆理科数学 第12页
