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2009 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2009•重庆）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A．x2+（y
2
﹣）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．
（x
1
﹣）2+（y
3
﹣）2=1D．x2+（y
3
﹣）2=1
2．（5 分）（2009•重庆）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
3．（5 分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（ ）
A．20
B．40
C．80
D．160
4．（5 分）（2009•重庆）已知向量=（1，1），=（2，x），若+ 与4
2
﹣
平行，则实数x 的值
是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
5．（5 分）（2009•重庆）设{an}是公差不为0 的等差数列，a1=2 且a1，a3，a6成等比数列，则{an}
的前n 项和Sn=（ ）
A．
B．
C．
D．n2+n
6．（5 分）（2009•重庆）下列关系式中正确的是（ ）
A．sin11°＜cos10°＜sin168° B．sin168°＜sin11°＜cos10°
C．sin11°＜sin168°＜cos10° D．sin168°＜cos10°＜sin11°
7．（5 分）（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则
的最小值是（ ）
A．2 B．
C．4 D．5
8．（5 分）（2009•重庆）12 个篮球队中有3 个强队，将这12 个队任意分成3 个组（每组4 个队），
则3 个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A．
B．
C．D．
9．（5 分）（2009•重庆）在正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面
A1BCD1的距离分别为h 和d，则下列命题中正确的是（ ）
A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）
1
B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
10．（5 分）（2009•重庆）把函数f（x）=x3
3x
﹣
的图象C1向右平移u 个单位长度，再向下平移v
个单位长度后得到图象C2、若对任意的u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v 的最小
值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）（2009•重庆）若U={n|n 是小于9 的正整数}，A={n∈U|n 是奇数}，B={n∈U|n 是3 的
倍数}，则∁U（A B
∪）= ．
12．（5 分）（2009•重庆）记f（x）=log3（x+1）的反函数为y=f
1
﹣（x），则方程f
1
﹣（x）=8 的解x=
．
13．（5 分）（2009•重庆）5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作
答）．
14．（5 分）（2009•重庆）从一堆苹果中任取5 只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121
123 127，则该样本标准差s= （克）（用数字作答）．
15．
（5 分）
（2009•重庆）已知椭圆
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，
0），若椭圆上存在一点P 使
，则该椭圆的离心率的取值范围为
．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（13 分）（2009•重庆）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为
．
（Ⅰ）求ω 的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移
个单位长度得到，求y=g（x）的单
调增区间．
17．（13 分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2 株、设甲、乙两种大
树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4 株大树中：
2
（Ⅰ）至少有1 株成活的概率；
（Ⅱ）两种大树各成活1 株的概率．
18．
（13 分）（2009•重庆）如图，在五面体ABCDEF 中，AB DC
∥
，
，CD=AD=2，四边
形ABFE 为平行四边形，FA⊥平面ABCD，
，求：
（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；
（Ⅱ）二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角的正切值．
19．
（12 分）
（2009•重庆）已知f（x）=x2+bx+c 为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）
f（x）．
（1）求曲线y=g（x）有斜率为0 的切线，求实数a 的取值范围；
（2）若当x=
1
﹣时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．
20．（12 分）（2009•重庆）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为
，离心率
．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点A 的坐标为
，B 是圆
上的点，点M 在双曲
线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M 点的坐标．
21．（12 分）（2009•重庆）已知
，
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n 项和，求证：Sn≥17n；
（Ⅲ）求证：
．
3
2009 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）
1．（5 分）（2009•重庆）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A．x2+（y
2
﹣）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．
（x
1
﹣）2+（y
3
﹣）2=1D．x2+（y
3
﹣）2=1
【考点】圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合．
【分析】法1：由题意可以判定圆心坐标（0，2），可得圆的方程．
法2：数形结合法，画图即可判断圆心坐标，求出圆的方程．
法3：回代验证法，逐一检验排除，即将点（1，2）代入四个选择支，验证是否适合方程，圆心在
y 轴上，排除C，即可．
【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），
则由题意知
，
解得b=2，故圆的方程为x2+（y
2
﹣）2=1．
故选A．
解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1 易知圆心为（0，2），
故圆的方程为x2+（y
2
﹣）2=1
故选A．
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，
排除B，D，又由于圆心在y 轴上，排除C．
故选：A．
【点评】本题提供三种解法，三种解题思路，考查圆的标准方程，是基础题．
2．（5 分）（2009•重庆）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
【考点】四种命题．菁优网版权所有
4
【专题】常规题型．
【分析】将原命题的条件与结论进行交换，得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，
因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
故选B．
【点评】本题考查四种命题的互相转化，解题时要正确掌握转化方法．
3．（5 分）（2009•重庆）（x+2）6的展开式中x3的系数是（ ）
A．20
B．40
C．80
D．160
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x 的指数为3 求出展开式中x3的系数．
【解答】解：设含x3的为第r+1，
则Tr+1=C6
rx6
r
﹣•2r，
令6
r=3
﹣
，
得r=3，
故展开式中x3的系数为C6
3•23=160．
故选D．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
4．（5 分）（2009•重庆）已知向量=（1，1），=（2，x），若+ 与4
2
﹣
平行，则实数x 的值
是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有
【分析】写出要用的两个向量的坐标，由+ 与4
2
﹣
平行，根据向量共线的坐标形式的充
要条件可得关于X 的方程，解方程可得结果．
【解答】解：∵=（1，1），=（2，x），
∴+ =（3，x+1），4
2
﹣
=（6，4x
2
﹣），
由于+ 与4
2
﹣
平行，
得6（x+1）﹣3（4x
2
﹣）=0，
解得x=2．
故选D
【点评】本题也可以这样解：因为+ 与4
2
﹣
平行，则存在常数λ，使+ =λ（4
2
﹣
），即
（2λ+1）=（4λ
1
﹣），根据向量共线的条件知，向量与共线，故x=2．
5．（5 分）（2009•重庆）设{an}是公差不为0 的等差数列，a1=2 且a1，a3，a6成等比数列，则{an}
的前n 项和Sn=（ ）
A．
B．
C．
D．n2+n
【考点】等差数列的前n 项和；等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】设数列{an}的公差为d，由题意得（2+2d）2=2•（2+5d），解得
或d=0（舍去），由此可
求出数列{an}的前n 项和．
5
【解答】解：设数列{an}的公差为d，
则根据题意得（2+2d）2=2•（2+5d），
解得
或d=0（舍去），
所以数列{an}的前n 项和
．
故选A．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
6．（5 分）（2009•重庆）下列关系式中正确的是（ ）
A．sin11°＜cos10°＜sin168° B．sin168°＜sin11°＜cos10°
C．sin11°＜sin168°＜cos10° D．sin168°＜cos10°＜sin11°
【考点】正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得
到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案．
【解答】解：∵sin168°=sin（180°
12°
﹣
）=sin12°，
cos10°=sin（90°
10°
﹣
）=sin80°．
又∵y=sinx 在x∈[0，
]上是增函数，
sin11°
∴
＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比
较大小．
7．（5 分）（2009•重庆）已知a＞0，b＞0，则
的最小值是（ ）
A．2 B．
C．4 D．5
【考点】基本不等式．菁优网版权所有
【分析】a＞0，b＞0，即
，给出了基本不等式使用的第一个条件，而使用后得到
的式子恰好可以再次使用基本不等式．
【解答】解：因为
当且仅当
，且
，即a=b 时，取“=”号．
故选C．
【点评】基本不等式a+b
，（当且仅当a=b 时取“=”）的必须具备得使用条件：
一正（即a，b 都需要是正数）
二定（求和时，积是定值；求积时，和是定值．）
三等（当且仅当a=b 时，才能取等号）
6
8．（5 分）（2009•重庆）12 个篮球队中有3 个强队，将这12 个队任意分成3 个组（每组4 个队），
则3 个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
A．
B．
C．D．
【考点】等可能事件的概率．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件是将12 个组分成4 个组的分法
有
种，而满足条件的3 个强队恰好被分在同一组分法有
，平均分组问
题容易出错．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生的所有事件是将12 个队分成4 个组的分法有
种，
而满足条件的3 个强队恰好被分在同一组分法有
，
根据古典概型公式
3
∴个强队恰好被分在同一组的概率为
=
，
故选B．
【点评】概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，
以科学的态度评价身边的一些随机现象，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型
有关的实例．
9．（5 分）（2009•重庆）在正四棱柱ABCD
A
﹣
1B1C1D1中，顶点B1到对角线BD1和到平面
A1BCD1的距离分别为h 和d，则下列命题中正确的是（ ）
A．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0，1）
B．若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
D．若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为
【考点】点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】设底面边长为1，侧棱长为λ，过B1作B1H BD
⊥
1，B1G A
⊥
1B，Rt
BB
△
1D1中可知B1D1
和B1D，进而利用三角形面积公式求得h，设在正四棱柱中，由于BC AB
⊥
，BC BB
⊥
1，进而可
7
推断BC⊥平面AA1B1B，BC B
⊥
1G，B1G⊥平面AB1CD1，可知B1G 为点到平面A1BCD1的距离，
Rt
A
△
1B1B 中，又由三角形面积关系得d，进而可知的表达式，根据λ 来确定其范围．
【解答】解：设底面边长为1，侧棱长为λ（λ＞0），
过B1作B1H BD
⊥
1，B1G A
⊥
1B．
在Rt
BB
△
1D1中，
，
由三角形面积关系得：
设在正四棱柱中，由于BC AB
⊥
，BC BB
⊥
1，
所以BC⊥平面AA1B1B，于是BC B
⊥
1G，
所以B1G⊥平面AB1CD1，
故B1G 为点到平面A1BCD1的距离，
在Rt
A
△
1B1B 中，又由三角形面积关系得
于是
，
于是当λ＞1，所以
，
所以
；
故选C．
【点评】本题主要考查了点到面得距离计算．点到平面的距离是近两年高考的一个热点问题，
平时应注意强化训练．
10．（5 分）（2009•重庆）把函数f（x）=x3
3x
﹣
的图象C1向右平移u 个单位长度，再向下平移v
个单位长度后得到图象C2、若对任意的u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v 的最小
值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由平移规律得出平移后的曲线对应的解析式，因两曲线有交点，故相应方程有根，对
方程（x
u
﹣）3
3
﹣（x
u
﹣）﹣v=x3
3x
﹣
，进行变形，得出v 关于u 的不等式，转化成恒成立的问
题求参数v 的范围．
【解答】解：根据题意曲线C 的解析式为y=（x
u
﹣）3
3
﹣（x
u
﹣）﹣v，
由题意，方程（x
u
﹣）3
3
﹣（x
u
﹣）﹣v=x3
3x
﹣
至多有一个根，
即3ux2
3xu
﹣
2+（u3
3u+v
﹣
）=0 至多有一个根，
故有△=9u4
12u
﹣
（u3
3u+v
﹣
）≤0 对任意的u＞0 恒成立
整理得
对任意u＞0 恒成立，
8
令
，
则
由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，
在（2，+∞）上为减函数，
所以当u=2 时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4；
故选B．
【点评】考查据题意进行转化的能力，以及观察变形的能力，解本题过程中，把一个变量表示
成另一个变量的函数，依据不等式恒成立的问题转化求求函数的最值来求出参数的范围，题
型新颖．
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，满分25 分）
11．（5 分）（2009•重庆）若U={n|n 是小于9 的正整数}，A={n∈U|n 是奇数}，B={n∈U|n 是3 的
倍数}，则∁U（A B
∪）=
{2
，
4 ，
8}
．
【考点】全集及其运算；补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】先求出满足条件的全集U，进而求出满足条件的集合A 与集合B，求出A B
∪
后，易根
据全集U 求出∁U（A B
∪）．
【解答】解：∵U={n|n 是小于9 的正整数}，
U={1
∴
，2，3，4，5，6，7，8}，
则A={1，3，5，7}，B={3，6，9}，
所以A B={1
∪
，3，5，7，9}，
所以∁U（A B
∪）={2，4，8}．
【点评】本题考查的知识点是并集运算和补集运算，运算的关键是准确列举出满足条件的集
合．
12．（5 分）（2009•重庆）记f（x）=log3（x+1）的反函数为y=f
1
﹣（x），则方程f
1
﹣（x）=8 的解x=
2
．
【考点】反函数．菁优网版权所有
【分析】容易看出，本题求解首先求出反函数y=f
1
﹣（x），然后通过令f
1
﹣（x）=8 即可解得，求
反函数需要利用指数式和对数式的互化．
【解答】解：法1；由y=f（x）=log3（x+1），
得x=3y
1
﹣，
即f
1
﹣（x）=3x
1
﹣，
于是由3x
1=8
﹣
，解得：x=2
法2：∵f
1
﹣（x）=8，
x=f
∴
（8）=log3（8+1）=2
故答案为：2．
【点评】本题体现了小题综合化的特点，这里提供了2 种解法，法一是直接法，过程完整，环节
多；法二解法间简捷，环节少，值得借鉴．
13．
（5 分）（2009•重庆）5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有
72
种（用数字作
答）．
9
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；分析法．
【分析】首先考虑求甲、乙两人不相邻的排法，可以联想到用插空法求解，先把除甲乙外的其
他三人排好，将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中，求出排法相乘即可得到答案．
【解答】解：求甲、乙两人不相邻的排法，可分两个步骤完成，第一步骤先把除甲乙外的其他三
人排好，有A3
3种排法，
第二步将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中，有A4
2种，
则甲、乙两不相邻的排法有A3
3A4
2=72 种．
故答案为72．
【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数问题．题中应用到插空法，这种思想在求不相邻
的问题中应用较广，需要同学们多加注意．
14．（5 分）（2009•重庆）从一堆苹果中任取5 只，称得它们的质量为（单位：克）：125 124 121
123 127，则该样本标准差s=
2
（克）（用数字作答）．
【考点】极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据题意，利用平均数、方差、标准差的公式直接计算即可．
【解答】解：由题意得：样本平均数x= （125+124+121+123+127）=124，
样本方差s2= （12+02+32+12+32）=4，
s=2
∴
．
故答案为2．
【点评】本题考查用样本的平均数、方差、标准差来估计总体的平均数、方差、标准差，属基础
题，熟记样本的平均数、方差、标准差公式是解答好本题的关键．
15．
（5 分）
（2009•重庆）已知椭圆
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，
0），若椭圆上存在一点P 使
，则该椭圆的离心率的取值范围为
．
【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由“
”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定
理得：
两者结合起来，可得到
，再由焦点
半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a
ex
﹣
0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等
式求解．要注意椭圆离心率的范围．
【解答】解：在△PF1F2中，
10
由正弦定理得：
则由已知得：
，
即：a|PF1|=c|PF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a
ex
﹣
0
则a（a+ex0）=c（a
ex
﹣
0）
解得：
由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a 则
，
整理得e2+2e
1
﹣＞0，解得：
或
，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的
一个亮点，多数是用a，b，c 转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
三、解答题（共6 小题，满分75 分）
16．（13 分）（2009•重庆）设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为
．
（Ⅰ）求ω 的值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移
个单位长度得到，求y=g（x）的单
调增区间．
【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【分析】（1）先将函数化简为f（x）=
sin（2ωx+
），再由
，可得答案．
（2）根据g（x）=f（x﹣
）先求出解析式，再求单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=
依题意得
，故ω 的值为．
（Ⅱ）依题意得：
由
解得
故y=g（x）的单调增区间为：
．
11
【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法和单调区间的求法．做这种题首先要将原
函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式再做题．
17．（13 分）（2009•重庆）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2 株、设甲、乙两种大
树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响、求移栽的4 株大树中：
（Ⅰ）至少有1 株成活的概率；
（Ⅱ）两种大树各成活1 株的概率．
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【分析】（1）因各株大树是否成活互不影响，本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，至
少有1 株成活包括的情况较多，所以从它的对立事件1 株也不活 来考虑．
（2）应用独立重复试验中事件发生的概率公式，同时又有相互独立事件同时发生的概率，代
入公式进行运算．
【解答】解：设Ak表示第k 株甲种大树成活，k=1，2
设Bl表示第l 株乙种大树成活，l=1，2
则A1，A2，B1，B2独立，
且
（Ⅰ）至少有1 株成活的概率为：
（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知，
两种大树各成活1 株的概率为：
【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不
影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的
概率时，往往先求它的对立事件的概率．
18．
（13 分）（2009•重庆）如图，在五面体ABCDEF 中，AB DC
∥
，
，CD=AD=2，四边
形ABFE 为平行四边形，FA⊥平面ABCD，
，求：
（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离；
（Ⅱ）二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角的正切值．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，故可过A
作平面EFCD 的垂线，注意到面AFD⊥面EFDC，故只需过A 作FD 的垂线即可．
12
（Ⅱ）由已知条件做出二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角，再求解．已知FA AD
⊥
，再可求证
EA AD
⊥
，故，∠FAE 为二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角，再解△AEF 即可．
解法二：（向量法）由AB、AD、AF 两两垂直，故可通过向量法求解．
（Ⅰ）求平面EFCD 的法向量，则直线AB 到平面EFCD 的距离=
（Ⅱ）分别求出两个面的法向量，再求两个法向量的余弦，即二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角的余
弦，再求正切即可．
【解答】解：法一：
（Ⅰ）∵AB DC
∥
，DC⊂平面EFCD，
AB
∴
到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离，
过点A 作AG FD
⊥
于G，因
AB DC
∥
，
故CD AD
⊥
；又∵FA⊥平面ABCD，
由三垂线定理可知，CD FD
⊥
，
故CD⊥面FAD，知CD AG
⊥
，
所以AG 为所求直线AB 到面EFCD 的距离．
在Rt
FCD
△
中，
由FA⊥平面ABCD，得FA AD
⊥
，从而在Rt
FAD
△
中
∴
．
即直线AB 到平面EFCD 的距离为
．
（Ⅱ）由己知，FA⊥平面ABCD，得FA AD
⊥
，
又由
，知AD AB
⊥
，
故AD⊥平面ABFE DA AE
∴
⊥
，
所以，∠FAE 为二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角，记为θ．
在Rt
AED
△
中，
，
由平行四边形ABCD 得，FE BA
∥
，从而
在Rt
AEF
△
中，
，
故
所以二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角的正切值为
．
法二：
13
（Ⅰ）如图以A 点为坐标原点，
的方向为x，y，z 的正方向建立空间直角坐标系
数，则A（0，0，0）
C（2，2，0）D（0，2，0）设F（0，0，z0）（z0＞0）可得
，
由
．即
，
解得F（0，0，1）
AB DC
∥
∵
，DC⊂面EFCD，
所以直线AB 到面EFCD 的距离等于点A 到面EFCD 的距离．
设A 点在平面EFCD 上的射影点为G（x1，y1，z1），
则
因
且
，
而
，
此即
解得x1=0①，知G 点在yoz 面上，
故G 点在FD 上.
，
故有
②联立①，②解得，
∴
为直线AB 到面EFCD 的距离．
而
所以
（Ⅱ）因四边形ABFE 为平行四边形，
则可设E（x0，0，1）（x0＜0），
．
由
得
，
解得
．即
．故
由
，
因
，
，
故∠FAE 为二面角F
AD
E
﹣
﹣
的平面角，
又∵
，
，
，
所以
14
【点评】本题考查空间的角和空间距离的计算，考查空间想象能力和运算能力．注意几何法和
向量法的应用．
19．
（12 分）
（2009•重庆）已知f（x）=x2+bx+c 为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）
f（x）．
（1）求曲线y=g（x）有斜率为0 的切线，求实数a 的取值范围；
（2）若当x=
1
﹣时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．
【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．菁优网版权所有
【分析】（1）据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）求出b 值，将点（2，5）代入得c 值，据导数在切点
处的导数值为切线斜率，
有g′（x）=0 有实数解，由△≥0 得范围．
（2），函数在极值点处的导数值为0，导数大于0 对应区间是单调递增区间；导数小于0 对应
区间是单调递减区间．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2+bx+c 为偶函数，故f（﹣x）=f（x）即有
（﹣x）2+b（﹣x）+c=x2+bx+c 解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1
g
∵（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a 从而g′（x）=3x2+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0 的切线，故有g′（x）=0 有实数解．即3x2+2ax+1=0 有实数解．
此时有△=4a2
12≥0
﹣
解得
a∈（﹣∞，﹣
] [
∪
，+∞）所以实数a 的取值范围：a∈（﹣∞，﹣
] [
∪
，+∞）；
（2）因x=
1
﹣时函数y=g（x）取得极值，故有g′（﹣1）=0 即3
2a+1=0
﹣
，解得a=2
又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=
1
﹣，x2=
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上为增函数
当
时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣1，﹣）上为减函数
当x∈（﹣
）时，g′（x）＞0，故g（x）在
上为增函数．
【点评】本题考查偶函数的定义；利用导数几何意义求曲线切线方程；利用导数求函数单调区
间．
20．（12 分）（2009•重庆）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为
，离心率
．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
15
（Ⅱ）如图，点A 的坐标为
，B 是圆
上的点，点M 在双曲
线右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此时M 点的坐标．
【考点】双曲线的标准方程；圆方程的综合应用；双曲线的应用；圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）由题意可知双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程，根据准线方程和离心率求
得a 和c，进而求得b．
（Ⅱ）设点D 的坐标为
，则点A、D 为双曲线的焦点，根据双曲线的性质可得，|
MA|
|MD|=2a
﹣
，进而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，又由B 是圆
上的点，推断出
，进而通过直线方程与双曲线方程联立求得
M 的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，
故可设双曲线的方程为
，
设
，
由准线方程为
得
，由
得
解得
从而b=2，∴该双曲线的方程为
；
（Ⅱ）设点D 的坐标为
，
则点A、D 为双曲线的焦点，|MA|
|MD|=2a=2
﹣
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
B
∵
是圆
上的点，
其圆心为
，半径为1，
故
从而
当M，B 在线段CD 上时取等号，
此时|MA|+|MB|的最小值为
16
∵直线CD 的方程为
，
因点M 在双曲线右支上，故x＞0
由方程组
解得
所以M 点的坐标为
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和双曲线与直线的关系．圆锥曲线问题是高考中
必考的知识点，故应加强训练．
21．（12 分）（2009•重庆）已知
，
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n 项和，求证：Sn≥17n；
（Ⅲ）求证：
．
【考点】数列递推式；数列的求和；不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】计算题；证明题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）根据a2和a1及题设中递推式求得a3，进而求得a4，代入
求得b1，b2，b3
的值；
（Ⅱ）整理an+2=4an+1+an得
，进而求得关于bn的递推式，进而推断出bn＞4，且
cn=bnbn+1=4bn+1＞17 进而推断出Sn=c1+c2++cn≥17n．
（Ⅲ）先看当n=1 时把b1和b2代入结论成立；在看当n≥2 时，把（2）中求得的递推式代入|b2n
b
﹣n|，进而根据（2）中Sn≥17n 的结论推断出|b2n
b
﹣n|＜
，进而根据|b2n
b
﹣n|≤|bn+1﹣
bn|+|bn+2
b
﹣n+1|+…+|b2n
b
﹣2n
1
﹣|使原式得证．
【解答】解：（Ⅰ）∵a2=4，a3=17，a4=72，
所以
（Ⅱ）由an+2=4an+1+an得
即
所以当n≥2 时，bn＞4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1＞17（n≥2）
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（Ⅲ）当n=1 时，结论
成立
17
当n≥2 时，有
所以|b2n
b
﹣n|≤|bn+1
b
﹣n|+|bn+2
b
﹣n+1|+…+|b2n
b
﹣2n
1
﹣|
【点评】本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式与不等式，函数等知识综合考查是近几
年高考的热点，平时的训练应注意知识的综合运用．
18
