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2013 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．
1．（5 分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A B
∪）=（
）
A
．
{1，3，4}
B
．
{3，4}
C
．
{3}
D
．
{4}
2．（5 分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A
．
存在x0∈R，使得x0
2＜0
B
．
对任意x∈R，使得x2＜0
C
．存在x0∈R，都有
D
．
不存在x∈R，使得x2＜0
3．（5 分）（2013•重庆）函数
的定义域为（ ）
A
．
（﹣∞，2）
B
．
（2，+∞）
C
．
（2，3）∪（3，+∞）D
．
（2，4）∪（4，+∞）
4．（5 分）（2013•重庆）设P 是圆（x
3
﹣）2+（y+1）2=4 上的动点，Q 是直线x=
3
﹣上的动点，则|
PQ|的最小值为（ ）
A
．
6
B
．
4
C
．
3
D
．
2
5．（5 分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）
1
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
6．（5 分）（2013•重庆）如图是某公司10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，
则数据落在区间[22，30）内的概率为（ ）
A
．
0.2
B
．
0.4
C
．
0.5
D
．
0.6
7．（5 分）（2013•重庆）关于x 的不等式x2
2ax
8a
﹣
﹣
2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣
x1=15，则a=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8．（5 分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
2
A
．
180
B
．
200
C
．
220
D
．
240
9．
（5 分）
（2013•重庆）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））
=（ ）
A
．
5
﹣
B
．
1
﹣
C
．
3
D
．
4
10．（5 分）（2013•重庆）设双曲线C 的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为
60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C
的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
二．填空题：本大题共5 小题，考生作答5 小题，每小题5 分，共25 分．把答案填写在答题卡
相应位置上．
11．（5 分）（2013•重庆）已知复数z=1+2i（i 是虚数单位），则|z|= ．
12．（5 分）（2013•重庆）若2、a、b、c、9 成等差数列，则c
a=
﹣
．
13．（5 分）（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为
．
14．（5 分）（2013•重庆）OA 为边，OB 为对角线的矩形中，
，
，则实数k= ．
3
15．（5 分）（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0 对x∈R 恒成立，则α 的取
值范围为 ．
三．解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，离心率
，过左焦点F1作x
轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q 的圆，使椭圆
上的其余点均在圆Q 外．求△PP'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．
17．（13 分）（2013•重庆）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n 项和Sn；
（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n 项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．
18．（13 分）（2013•重庆）从某居民区随机抽取10 个家庭，获得第i 个家庭的月收入xi（单位：
千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得
，
，
，
．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7 千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a 中，
，
，其中，为样本平均值，线
性回归方程也可写为
．
4
19．
（13 分）
（2013•重庆）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+
bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=
，S 为△ABC 的面积，求S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时B 的最值．
20．（12 分）（2013•重庆）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥底面ABCD，PA=2
，BC=CD=2，
∠ACB= ACD=
∠
．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC，求三棱锥P
BDF
﹣
的体积．
21．（12 分）（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的
底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造
成本为100 元/平方米，底面的建造成本为160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π
元（π 为圆周率）．
（Ⅰ）将V 表示成r 的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
5
2013 年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个备选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．
1．（5 分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A B
∪）=（
）
A
．
{1，3，4}
B
．
{3，4}
C
．
{3}
D
．
{4}
考点：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据A 与B 求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的
集合．
解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，
A B={1
∴∪
，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A B
∪）={4}．
故选D
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5 分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
A
．
存在x0∈R，使得x0
2＜0
B
．
对任意x∈R，使得x2＜0
C
．存在x0∈R，都有
D
．
不存在x∈R，使得x2＜0
考点：命题的否定；全称命题．菁优网版权所有
专题：证明题．
分析：根据全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“∃x0∈M，￢p（x）”即可得出．
解答：解：根据全称命题的否定是特称命题可得：
命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得
”．
故选A．
点评：熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的
关键．
3．（5 分）（2013•重庆）函数
的定义域为（ ）
A
．
（﹣∞，2）
B
．
（2，+∞）
C
．
（2，3）∪（3，+∞）D
．
（2，4）∪（4，+∞）
考点：函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
专题：函数的性质及应用．
分析：根据“让解析式有意义”的原则，对数的真数大于0，分母不等于0，建立不等式，解之
即可．
6
解答：
解：要使原函数有意义，则
，
解得：2＜x＜3，或x＞3
所以原函数的定义域为（2，3）∪（3，+∞）．
故选C．
点评：本题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“让解析式有
意义”的原则，属于基础题．
4．（5 分）（2013•重庆）设P 是圆（x
3
﹣）2+（y+1）2=4 上的动点，Q 是直线x=
3
﹣上的动点，则|
PQ|的最小值为（ ）
A
．
6
B
．
4
C
．
3
D
．
2
考点：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
专题：直线与圆．
分析：根据题意画出相应的图形，过圆心A 作AQ⊥直线x=
3
﹣，与圆交于点P，此时|PQ|最
小，由圆的方程找出圆心A 坐标与半径r，求出|AQ|的长，由|AQ|
r
﹣即可求出|PQ|的最
小值．
解答：解：过圆心A 作AQ⊥直线x=
3
﹣，与圆交于点P，此时|PQ|最小，
由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，
则|PQ|=|AQ|
r=6
2=4
﹣
﹣
．
故选B
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，利用了数形结合的数学思想，灵活运用数形结合思
想是解本题的关键．
5．（5 分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）
7
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
考点：程序框图．菁优网版权所有
专题：图表型．
分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退
出循环，输出结果．
解答：解：s=1+（1
1
﹣）2=1，不满足判断框中的条件，k=2，
s=1+（2
1
﹣）2=2，不满足判断框中的条件，k=3，
s=2+（3
1
﹣）2=6，不满足判断框中的条件，k=4，
s=6+（4
1
﹣）2=15，不满足判断框中的条件，k=5，
s=15+（5
1
﹣）2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为k=5
故选C．
点评：本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构
等知识，属于基础题．
8
6．（5 分）（2013•重庆）如图是某公司10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，
则数据落在区间[22，30）内的概率为（ ）
A
．
0.2
B
．
0.4
C
．
0.5
D
．
0.6
考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：由茎叶图10 个原始数据数据，数出落在区间[22，30）内的个数，由古典概型的概率公
式可得答案．
解答：解：由茎叶图10 个原始数据，数据落在区间[22，30）内的共有4 个，包括2 个22，1 个
27，1 个29，则数据落在区间[22，30）内的概率为
=0.4．
故选B．
点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及茎叶图的应用，属基础题．
7．（5 分）（2013•重庆）关于x 的不等式x2
2ax
8a
﹣
﹣
2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣
x1=15，则a=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a 的值即
可．
解答：解：因为关于x 的不等式x2
2ax
8a
﹣
﹣
2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），
所以x1+x2=2a…①，
x1•x2=
8a
﹣
2…②，
又x2
x
﹣1=15…③，
①2
4×
﹣
②可得（x2
x
﹣1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a=
=
，
因为a＞0，所以a= ．
故选：A．
点评：本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．
8．（5 分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
9
A
．
180
B
．
200
C
．
220
D
．
240
考点：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上
下边分别为2，8，高为4；据此可求出该几何体的表面积．
解答：解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
S
∴
表面积=2× ×（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．
故选D．
点评：本题考查由三视图还原直观图，由三视图求面积、体积，由三视图正确恢复原几何体是
解决问题的关键．
9．
（5 分）
（2013•重庆）已知函数f（x）=ax3+bsinx+4（a，b∈R），f（lg（log210））=5，则f（lg（lg2））
=（ ）
A
．
5
﹣
B
．
1
﹣
C
．
3
D
．
4
考点：函数奇偶性的性质；函数的值．菁优网版权所有
专题：计算题；压轴题；方程思想；函数的性质及应用．
分析：由题设条件可得出lg（log210）与lg（lg2）互为相反数，再引入g（x）=ax3+bsinx，使得f
（x）=g（x）+4，利用奇函数的性质即可得到关于f（lg（lg2））的方程，解方程即可得出它
的值
解答：解：∵lg（log210）+lg（lg2）=lg1=0，
lg
∴（log210）与lg（lg2）互为相反数
则设lg（log210）=m，那么lg（lg2）=
m
﹣
令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+bsinx，此函数是一个奇函数，故g（﹣m）=
g
﹣（m），
f
∴（m）=g（m）+4=5，g（m）=1
f
∴（﹣m）=g（﹣m）+4=
g
﹣（m）+4=3．
故选C．
10
点评：本题考查函数奇偶性的运用及求函数的值，解题的关键是观察验证出lg（log210）与lg
（lg2）互为相反数，审题时找准处理条件的方向对准确快速做题很重要
10．（5 分）（2013•重庆）设双曲线C 的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为
60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C
的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有
专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
不妨令双曲线的方程为
，由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对
称性知A1，A2，B1，B2关于x 轴对称，由满足条件的直线只有一对，得
，
由此能求出双曲线的离心率的范围．
解答：
解：不妨令双曲线的方程为
，
由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x 轴对称，如图，
又∵满足条件的直线只有一对，
当直线与x 轴夹角为30°时，双曲线的渐近线与x 轴夹角大于30°，
双曲线与直线才能有交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于30°，则无交点，
则不可能存在|A1B1|=|A2B2|，
当直线与x 轴夹角为60°时，双曲线渐近线与x 轴夹角小于60°，
双曲线与直线有一对交点A1，A2，B1，B2，
若双曲线的渐近线与x 轴夹角等于60°，也满足题中有一对直线，
但是如果大于60°，则有两对直线．不符合题意，
tan30°
∴
，即
，
∴
，
b
∵2=c2
a
﹣2，∴
，∴
，
∴
，
∴双曲线的离心率的范围是
．
故选：A．
11
点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
二．填空题：本大题共5 小题，考生作答5 小题，每小题5 分，共25 分．把答案填写在答题卡
相应位置上．
11．（5 分）（2013•重庆）已知复数z=1+2i（i 是虚数单位），则|z|=
．
考点：复数求模．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：直接利用复数的模的求法公式，求解即可．
解答：解：复数z=1+2i（i 是虚数单位），则|z|=
=
．
故答案为：
．
点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
12．（5 分）（2013•重庆）若2、a、b、c、9 成等差数列，则c
a=
﹣
．
考点：等差数列的性质．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质可得2b=2+9，解之可得b 值，再由等差中项可得a，c 的值，作差即
可得答案．
解答：解：由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=
，
又可得2a=2+b=2+
=
，解之可得a=
，
同理可得2c=9+
=
，解得c=
，
故c
a=
﹣
﹣
=
=
故答案为：
点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．
13．（5 分）（2013•重庆）若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为
．
考点：排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
专题：计算题；概率与统计．
分析：甲、乙两人相邻，可以把两个元素看做一个元素同其他元素进行排列，然后代入古典概
12
率的求解公式即可求解
解答：解：记甲、乙两人相邻而站为事件A
甲、乙、丙三人随机地站成一排的所有排法有
=6，
则甲、乙两人相邻而站，把甲和乙当做一个整体，甲和乙的排列有
种，然后把甲乙整
体和丙进行排列，有
种，因此共有
=4 种站法
∴
=
故答案为：
点评：本题考查排列组合及简单的计数问题及古典概率的求解，本题解题的关键是把相邻的
问题作为一个元素同其他的元素进行排列，本题是一个基础题．
14．（5 分）（2013•重庆）OA 为边，OB 为对角线的矩形中，
，
，则实数k=
4
．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
专题：压轴题；平面向量及应用．
分析：由题意可得OA AB
⊥
，故有
=0，即
=
=0，解
方程求得k 的值．
解答：解：由于OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA AB
⊥
，∴
=0，
即
=
=（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k
10=0
﹣
，
解得k=4，
故答案为 4．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质，两个向量的加减法及
其几何意义，属于基础题．
15．（5 分）（2013•重庆）设0≤α≤π，不等式8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0 对x∈R 恒成立，则α 的取
值范围为
[0
，
]
[
∪
，
π ]
．
考点：函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
专题：压轴题；不等式的解法及应用．
分析：由题意可得，△=64sin2α
32cos2α≤0
﹣
即2sin2α﹣（1
2sin
﹣
2α）≤0，解不等式结合0≤α≤π
可求α 的取值范围．
解答：解：由题意可得，△=64sin2α
32cos2α≤0
﹣
，
得2sin2α﹣（1
2sin
﹣
2α）≤0
sin
∴
2α≤，
﹣≤sinα≤，
0≤α≤π
∵
α
∴∈[0，
] [
∪
，π]．
故答案为：[0，
] [
∪
，π]．
点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法、二次函数的恒成立问题，属于中档题．
13
三．解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，离心率
，过左焦点F1作x 轴
的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q 的圆，使椭圆
上的其余点均在圆Q 外．求△PP'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．
考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．菁优网版权所有
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）设椭圆方程为
，将左焦点横坐标代入椭圆方程可得y=
，则
，又
②，a2=b2+c2③，联立①②③可求得a，b；
（Ⅱ）设Q（t，0）
（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），则圆Q 的方程为：
（x
t
﹣）2+y2=r2，联立圆与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，则△=0①，易求P 点坐标，
代入圆的方程得等式②，由①②消掉r 得m=2t，则
，变
为关于t 的函数，利用基本不等式可求其最大值及此时t 值，由对称性可得圆心Q 在y
轴左侧的情况；
解答：
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
，
左焦点F1（﹣c，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y=
，
所以
①，
②，a2=b2+c2③，联立①②③解得a=4，
，
所以椭圆方程为：
；
（Ⅱ）设Q（t，0）（t＞0），圆的半径为r，直线PP′方程为：x=m（m＞t），
则圆Q 的方程为：（x
t
﹣）2+y2=r2，
由
得x2
4tx+2t
﹣
2+16
2r
﹣
2=0，
由△=0，即16t2
4
﹣（2t2+16
2r
﹣
2）=0，得t2+r2=8，①
把x=m 代入
，得
，
14
所以点P 坐标为（m，
），代入（x
t
﹣）2+y2=r2，得
，②
由①②消掉r2得4t2
4mt+m
﹣
2=0，即m=2t，
=
×（m
t
﹣）=
×t=
≤
×
=2
，
当且仅当4
t
﹣2=t2即t=
时取等号，
此时t+r=
+
＜4，椭圆上除P、P′外的点在圆Q 外，
所以△PP'Q 的面积S 的最大值为
，圆Q 的标准方程为：
．
当圆心Q、直线PP′在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为
，
△PP'Q 的面积S 的最大值仍为为
．
点评：本题考查圆、椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的
计算能力，难度较大．
17．（13 分）（2013•重庆）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n 项和Sn；
（Ⅱ）已知{bn}是等差数列，Tn为前n 项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．
考点：等比数列的前n 项和；等差数列的前n 项和；等比数列的通项公式．菁优网版权所有
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）可得数列{an}是首项为1，公比为3 的等比数列，代入求和公式和通项公式可得答
案；
（Ⅱ）可得b1=3，b3=13，进而可得其公差，代入求和公式可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得数列{an}是首项为1，公比为3 的等比数列，
故可得an=1×3n
1
﹣=3n
1
﹣，
由求和公式可得Sn=
=
；
（Ⅱ）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，
设数列{bn}的公差为d，可得b3
b
﹣1=10=2d，解得d=5
故T20=20×3+
=1010
点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．
18．（13 分）（2013•重庆）从某居民区随机抽取10 个家庭，获得第i 个家庭的月收入xi（单位：
千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得
，
，
，
．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7 千元，预测该家庭的月储蓄．
15
附：线性回归方程y=bx+a 中，
，
，其中，为样本平均值，线
性回归方程也可写为
．
考点：线性回归方程．菁优网版权所有
专题：概率与统计．
分析：
（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得
，
，代入可得b 值，
进而可得a 值，可得方程；
（Ⅱ）由回归方程x 的系数b 的正负可判；
（Ⅲ）把x=7 代入回归方程求其函数值即可．
解答：
解：（Ⅰ）由题意可知n=10，=
=
=8，=
=
=2，
故lxx=
=720
10×8
﹣
2=80，lxy=
=184
10×8×2=24
﹣
，
故可得b=
═
=0.3，a=
=2
0.3×8=
0.4
﹣
﹣
，
故所求的回归方程为：y=0.3x
0.4
﹣
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y 随x 的增加而增加，故x 与y 之间是正相关；
（Ⅲ）把x=7 代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7
0.4=1.7
﹣
（千元）．
点评：本题考查线性回归方程的求解及应用，属基础题．
19．
（13 分）
（2013•重庆）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边分别是a、b、c，且a2=b2+c2+
bc．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）设a=
，S 为△ABC 的面积，求S+3cosBcosC 的最大值，并指出此时B 的最值．
考点：余弦定理；正弦定理．菁优网版权所有
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出cosA，将依照等式变形后代入求出cosA 的值，由A 为三角形
的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出sinA 的值，由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式，表示出S，
代入已知等式中提取3 变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函
数，由余弦函数的图象与性质即可求出S+3cosBcosC 的最大值，以及此时B 的值．
解答：
解：（Ⅰ）由余弦定理得：cosA=
=
=﹣
，
A
∵
为三角形的内角，∴A=
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinA= ，由正弦定理得：b=
，csinA=asinC 及a=
得：
S= bcsinA= •
•asinC=3sinBsinC，
16
则S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC）=3cos（B
C
﹣），
则当B
C=0
﹣
，即B=C=
=
时，S+3cosBcosC 取最大值3．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌
握定理及公式是解本题的关键．
20．（12 分）（2013•重庆）如图，四棱锥P
ABCD
﹣
中，PA⊥底面ABCD，PA=2
，BC=CD=2，
∠ACB= ACD=
∠
．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC，求三棱锥P
BDF
﹣
的体积．
考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：压轴题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD AC
⊥
，再由PA⊥底面ABCD，可得PA BD
⊥
．再利用
直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC，可得三棱锥F
BCD
﹣
的高是三棱锥P
BCD
﹣
的高的．求出△BCD 的面积S
BCD
△
，再根据三棱锥P
BDF
﹣
的体积 V=VP
BCD
﹣
V
﹣
F﹣
BCD=
﹣
，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD 为等腰三角形，再由
，
∴BD AC
⊥
．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA BD
⊥
．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC，
∴三棱锥F
BCD
﹣
的高是三棱锥P
BCD
﹣
的高的．
BCD
△
的面积S
BCD
△
= BC•CD•sin BCD=
∠
=
．
∴三棱锥P
BDF
﹣
的体积 V=VP
BCD
﹣
V
﹣
F
BCD
﹣
=
﹣
=
×
=
= ．
点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用间接解法求棱锥的体积，属于中
档题．
17
21．（12 分）（2013•重庆）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的
底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造
成本为100 元/平方米，底面的建造成本为160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π
元（π 为圆周率）．
（Ⅰ）将V 表示成r 的函数V（r），并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数V（r）的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
考点：函数模型的选择与应用．菁优网版权所有
专题：压轴题；函数的性质及应用．
分析：（I）由已知中侧面积和底面积的单位建造成本，结合圆柱体的侧面积及底面积公式，根
据该蓄水池的总建造成本为12000π 元，构造方程整理后，可将V 表示成r 的函数，进
而根据实际中半径与高为正数，得到函数的定义域；
（Ⅱ）根据（I）中函数的定义值及解析式，利用导数法，可确定函数的单调性，根据单调
性，可得函数的最大值点．
解答：解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为200•πrh 元，
底面积成本为160πr2元，
∴蓄水池的总建造成本为200•πrh+160πr2元
即200•πrh+160πr2=12000π
h=
∴
（300
4r
﹣
2）
V
∴（r）=πr2h=πr2•
（300
4r
﹣
2）=
（300r
4r
﹣
3）
又由r＞0，h＞0 可得0＜r＜5
故函数V（r）的定义域为（0，5
）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中V（r）=
（300r
4r
﹣
3），（0＜r＜5
）
可得V′（r）=
（300
12r
﹣
2），（0＜r＜5
）
∵令V′（r）=
（300
12r
﹣
2）=0，则r=5
∴当r∈（0，5）时，V′（r）＞0，函数V（r）为增函数
当r∈（5，5
）时，V′（r）＜0，函数V（r）为减函数
且当r=5，h=8 时该蓄水池的体积最大
点评：本题考查的知识点是函数模型的应用，其中（Ⅰ）的关键是根据已知，求出函数的解析
式及定义域，（Ⅱ）的关键是利用导数分析出函数的单调性及最值点．
18
