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2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5 页，150 分。考试时长120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分（选择题 共40 分）
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
(1) 已知集合
，
，若
(A)
(B)
(C)
(D)
(2) 下列函数中，在区间
上为增函数的是
(A)
(B)
(C)
(D)
(3) 曲线
，（
为参数）的对称中心
(A) 在直线
上 (B) 在直线
上
(C) 在直线
上 (D) 在直线
上
(4) 当
,
时，执行如图所示的程序框图，输出的
值为
(A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840
(5) 设
是公比为q 的等比数列，则“
”是“
”为递
增数列的
(A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件
(C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件
(6) 若
满足
且
的最小值为
，则
的值是
否
开始
输出S
,
1
k
m S
S
S k
1
k
k
结束
是
1
k
m
n
输入m,n 的值
(A)
(B)
(C)
(D)
(7) 在空间坐标系
中，已知
，
，
，
，若
，
，
分别表示三棱锥
在
，
，
则坐标平面上的正投影图形的面积，
则
(A)
=
=
(B)
=
且
(C)
=
且
(D)
=
且
(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩
不低于B 同学，且至少有一颗成绩比B 高，则称 “A 同学比B 同学成绩好，”现在若干
同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学
成绩也一样的。问满足条件的多少学生
(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5
第二部分（非选择题 共110 分）
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
(9) 复数
_____ ．
(10) 已知向量
、
满足
，
、
且
，则
_____ ．
(11) 在设曲线C 经过点
，且
具有相同渐近线，则C 的方程是 ．
(12) 若等差数列
满足
，
，则当
______时，
的前 n
项和最大．
(13) 把5 件不同的产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻 ，且产品A 与产品C 不相邻，则不
同的摆法有_____ 种．
(14) 设函数
（
是常数，
），若
( )
f x 在区间
上具有单调性，且
，则
( )
f x 的最小正周期为 ．
三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。
(15)（本小题13 分）
如图，在
中，
，
，点D 在BC 边上，且CD=2，
（Ⅰ）求
．
（Ⅱ）求
，
的长．
B
A
C
D
(16)（本小题13 分）
李明在10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互独立）
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6 的概率；
（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一
场不超过0.6 的概率；
（Ⅲ）记
是表中10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场
比赛中的命中次数，比
和
的大小。
(17)（本小题14 分）
如图，正方形
的边长为2， B，C 分别为
和
的中点，在五棱锥
中，
为
的中点，平面
与棱
，
分别相较于点
、
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
平面
，且A 为垂足，求直线BC 与平面ABF 所成的角，并求线段P 的长
E
D
C
M
F
B
A
P
H
G
(18)（本小题13 分）
已知函数
，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
在
上恒成立，求
的最大值与
的最小值．
(19)（本小题14 分）
已知椭圆
：
．
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）设O 为原点，若点A 在椭圆G 上，点B 在直线
上，且
，求直线AB 与圆
的位置关系，并证明你的结论．
(20)（本小题13 分）
对于数对序列
，
，… ，
，记
,
，
其中
表示
和
两个数中最大的数．
（Ⅰ）对于数对序列
，
，求
，
；
（Ⅱ）记m 为四个数
、
、
、
的最小值，对于两个数对
，
组成的数对序列
，
和
，
，试分别对
和
时的情况比较
和
的大小；
（Ⅲ）在由5 个数对
，
，
，
，
组成的有序数对序列中，写出一
个数对序列P 使
最小，并写出
的值（只需写出结论）。
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2014 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分）
（1）C （2）A （3）B （4）C
（5）D （6）D （7）D （8）B
二、填空题（共6 小题，每小题5 分，共30 分）
（9）
1 （10）
（11）
（12）8
（13）36 （14）
三、解答题（共6 小题，共80 分）
（15）（共13 分）
解：
（I）在
中，因为
，所以
。
所以
（Ⅱ）在
中，由正弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
所以
（16）（共13 分）
解：
（I） 根据投篮统计数据，在10 场比赛中，李明投篮命中率超过0.6 的场次有5 场，分别是主
场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6 的概率是0.5.
（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过
0.6，一场不超过0.6”。
则C=
，A,B 独立。
根据投篮统计数据，
.
所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不
超过0.6 的概率为
.
（Ⅲ）
.
（17）（共14 分）
解：
（I） 在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以
∥
。
又因为
平面PDE，
所以
∥平面PDE，
因为
平面ABF，且平面
平面
，
所以
∥
。
（Ⅱ）因为
底面ABCDE,所以
，
.
如图建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
,
.
设平面ABF 的法向量为
，则
即
令
，则
。所以
，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则
z
y
x
A
B
C
D
E
F
G
P
M
H
。
设点H 的坐标为
。
因为点H 在棱PC 上，所以可设
，
即
。所以
。
因为
是平面ABF 的法向量，所以
，即
。
解得
，所以点H 的坐标为
。
所以
（18）（共13 分）
解：
（I）由
得
。
因为在区间
上
，所以
在区间
上单调递减。
从而
。
（Ⅱ）当
时，“
” 等价于“
” “
” 等价于“
”。
令
，则
，
当
时，
对任意
恒成立。
当
时，因为对任意
，
，所以
在区间
上单调递减。从而
对任意
恒成立。
当
时，存在唯一的
使得
。
与
在区间
上的情况如下：
+
0
-
↗
↘
因为
在区间
上是增函数，所以
。进一步，“
对
任意
恒成立”当且仅当
，即
，
综上所述，当且仅当
时，
对任意
恒成立；当且仅当
时，
对任意
恒成立。
所以，若
对任意
恒成立，则a 最大值为
，b 的最小值为1.
（19）（共14 分）
解：
（I） 由题意，椭圆C 的标准方程为
。
所以
，从而
。因此
。
故椭圆C 的离心率
。
（Ⅱ）直线AB 与圆
相切。证明如下：
设点A,B 的坐标分别为
，
，其中
。
因为
，所以
，即
，解得
。
当
时，
，代入椭圆C 的方程，得
，
故直线AB 的方程为
。圆心O 到直线AB 的距离
。
此时直线AB 与圆
相切。
当
时，直线AB 的方程为
，
即
，
圆心0 到直线AB 的距离
又
，
故
此时直线AB 与圆
相切。
（20）（共13 分）
解：
（I）
=8
（Ⅱ）
.
当m=a 时，
=
=
因为
，且
，所以
≤
当m=d 时，
因为
≤
，且
所以
≤
。
所以无论m=a 还是m=d，
≤
都成立。
（Ⅲ）数对序列
（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的
值最小，
=10，
=26，
=42，
=50，
=52
