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第二章 直线和圆的方程 （B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若点（1，1）在圆 的外部，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知 ，解得 或a＞3，
则实数a的取值范围是 ，
故选：C.
2．直线 经过点 和以 为端点的线段相交，直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
画出图象如下图所示，
由图可知，直线l的斜率 满足 或
所以直线 的斜率的取值范围是 .
故选：D3．若圆 上总存在两个点到点 的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到点 的距离为2的点在圆 上，
所以问题等价于圆 上总存在两个点也在圆 上，
即两圆相交，故 ，
解得 或 ，
所以实数a的取值范围为 ，
故选：A．
4．设圆 ，圆 ，则圆 ， 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】由题意，得圆 ，圆心 ，圆 ，圆心
，∴ ，∴ 与 相交，有2条公切线．故选：B．
5．已知点 与 关于直线 对称，则a，b的值分别为（ ）
A．2， B．－2， C．－2， D．2，
【答案】A
【解析】易知 ，则直线 的斜率为-2，
所以 ，即 ．又AB的中点坐标为 ，
代入 ，得 .
故选：A.
6．若直线 与曲线 有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，直线 的方程可化为 ，所以直线 恒过定点 ， ，可
化为 其表示以 为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当 与该曲线相切时，点 到直线的距离 ，解得 .
设 ，则 .由图可得，若要使直线 与曲线 有两个交点，则 .
故选：C.
7．已知圆 的方程为 ，过点 的直线与圆 交于 ， 两点，则弦 的最小
值为（ ）
A． B．10 C． D．5
【答案】A
【解析】圆 的方程可化为 ，则 ，
因为 ，
故点 在圆内，
过点 的最长弦一定是圆 的直径，当 时， 最短，
此时 ，则 ，
故选：A．
8．若圆 ）与圆 交于A、B两点，则
tan∠ANB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 可化为 ，
故圆N的圆心为 ，半径为 ，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以 且 ，故 ，
当 的坐标为 时， ，
在△NAB中， ，
又 ， 在 上单调递减，
故 为锐角，且当 时， 最大，又 在 上单调递增，
所以当 最大时， 取得最大值，且最大值为 ，
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知两圆的方程分别为 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【解析】圆 的圆心为（0，0），半径为4，圆 的圆心为（4，－3），半径
为r，两圆的圆心距 ．
对于A，若两圆内切，则 ，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得 ，令 ，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆
在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆
的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为 ,则
如图，所以 ，解得r＝3，故C正确；对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则 ，得r＝1，故D错误．
故选：ABC
10．（多选）已知直线 与直线 ，则直线 与直线 的位置关系可能是
（ ）
A．相交 B．重合 C．平行 D．垂直
【答案】ABC
【解析】直线 的斜率为 ，过定点 ，
直线 的斜率为 ，过点 ．
若直线 与 相交，则 ，而 ，
即 可以成立，A正确；
若直线 与 重合，则 ，且 ，而 ，
可以有 ，B正确；
若直线 与 平行，则 且 ，而 ，
可以有 ，C正确；
若直线 与 垂直，则 ，则 ，
与 矛盾，直线 与 不可能垂直，D错误．
故选：ABC．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，圆
，则（ ）
A．若c=0，则点O在圆C上
B．直线l与坐标轴围成的三角形的面积为
C．若点O在圆C内部，则c的取值范围为（0，+∞）
D．若 ，则圆C与 OAB中与 平行的中位线相切
【答案】ACD
【解析】对于 ，圆 ，令 ，恰符合；
对于B，由已知 ， ，三角形面积为 ；
对于C，点O在圆C内部，则 ，即 ；
对于D，圆 ，
, , 中点为 ， 中点为 ，
与 平行的中位线方程为 ，即 ，
圆心到此中位线的距离为 ，
此条中位线与圆 相切.
故选：ACD.
12．在平面直角坐标系 中， ，点 满足 ，设点 的轨迹为 ，则（ ）
A． 的周长为B． （ 不重合时）平分
C． 面积的最大值为6
D．当 时，直线 与轨迹 相切
【答案】ABD
【解析】设 ，因为 ，且点 满足 ，可得 ，整理得
，即曲线 的方程为 ．
对于A中，曲线 为半径为 的圆，所以周长为 ，所以A正确；
对于B中，因为 ，所以 ，所以 ，
延长 到 ，使 ，连结 ，如图所示，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 平分 ，所以B正确．
对于C中，由 的面积为 ，
要使得 的面积最大，只需 最大，由由点 的轨迹为 ，可得 ，
所以 面积的最大值为 ，所以C错误；
对于D中，当 时， 或 ，
不妨取 ，则直线 ，即 ，
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，即直线 与圆相切，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆 .若圆 与圆 有三条公切线，则 的值为
___________.
【答案】
【解析】由 ，得 ，
所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 ，所以圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与圆 有三条公切线，所以圆 与圆 相外切，即 ，解得 ，
所以 的值为 .
故答案为： .
14．过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，则直线 的方程为_______．
【答案】
【解析】方法1：由题知，圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以过点 作圆 的两条切线，切点分别为 、 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
方法2：设 ， ，则由 ，可得 ，
同理可得 ，
所以直线 的方程为 .
故答案为：
15．过点 且斜率为 的直线l与x，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q作直线 的垂
线，垂足分别为R，S，则四边形PRSQ面积的最小值为________．
【答案】
【解析】由已知得直线 l的方程为 ，则 ， ，
由此可得直线PR和QS的方程分别为 和 ，
点 到直线 的距离为 ，同理 ，直线 和直线 的距离为 ，
故
,
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为： .
16．已知点 分别在直线 ： 与直线 ： 上，且 ，点 ，
则 的最小值为____．
【答案】
【解析】由平行线距离公式得： ，
设 ，则 ，所以
，
设点 ，如下图：
则有：
即当 三点共线时等号成立)，
综上， ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知圆过点 ， ．
(1)求圆心所在直线的方程；
(2)求周长最小的圆的标准方程；
(3)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程；
(4)若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程．
【解析】（1）由题意可知线段AB的中点坐标是 ，
∵直线AB的斜率 ，且圆心在线段AB的垂直平分线上，
∴圆心所在直线的方程为 ，即x－3y＋3＝0．
（2）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径为 ．
则所求圆的标准方程为 ．
（3）由（1）可知，圆心所在直线的方程为 ，
又∵圆心也在直线2x－y－4＝0上，∴圆心是这两条直线的交点，
∴ ，解得 ，即圆心的坐标是（3，2），
∴半径 ，
∴所求圆的标准方程是 ．
（4）设圆心的坐标为（m，2），
由（1）知m－3×2＋3＝0，得m＝3，
∴圆的半径 ，
∴所求圆的标准方程为 ．
18．（12分）
已知圆 ： ，直线 ： ，点 ．
(1)判断直线 与圆 的位置关系；
(2)设直线 与圆 交于不同的两点 ，求弦 的中点 的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，若 ，求直线 的方程．
【解析】（1）因为直线 ： 过定点 ，
又 ，所以 在圆 内，
所以直线 与圆 相交；
（2）设 ，当 与 不重合，即 时，连接 ， ，则 ，根据勾股定理．则 ，化简得： （ ）；当
与 重合时， ， 也满足上式，故弦 的中点的轨迹方程为 ；
（3）设 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，化简得 ． ①
又 消去 并整理得 ，
所以 ②， ． ③
由①②③联立，解得 ，
所以直线 的方程为 或 ．
19．（12分）
已知直线 和点 ， ．
(1)在直线l上求一点P，使 的值最小；
(2)在直线l上求一点P，使 的值最大．
【解析】（1）设A关于直线l的对称点为 ，则 ，
解得 ，故 ，
又∵P为直线l上的一点，则 ，
当且仅当B，P， 三点共线时等号成立，此时 取得最小值 ，
点P即是直线 与直线l的交点．
由 ，解得 ，故所求的点P的坐标为 ．
（2）由题意，知A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则 ，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，
此时 取得最大值 ，点P即是直线AB与直线l的交点,
又∵直线AB的方程为 ，
∴由 ，解得 ，
故所求的点P的坐标为 ．
20．（12分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点 作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B．
(1)求 面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求当 取得最小值时直线l的方程．
【解析】（1）∵点 在第一象限，且直线l分别与x轴正半轴 、y轴正半轴相交，
∴直线l的斜率 ，
则设直线l的方程为 ， ，
令 ，得 ；令 ，得 ．
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时等号
成立．
∴ 面积的最小值为6．此时直线l的方程为 ，即 ．
（2）设 ， ， ， ．
∵A，P，B三点共线，∴ ，整理得 ，
∴ ，当且仅当
，即 时等号成立，
∴当 取得最小值时，直线l的方程为 ，即 ．
21．（12分）
已知圆C经过点 ， 及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点 ，分别记直线PM，直线PN的斜率为 ， ，证明： 为定值．
【解析】（1）设圆C的方程为 ，
∴ ，解得 ，
∴圆C的方程为 ，其标准方程为 ．
（2）设 ， ．由题意得直线l的方程为 ，
由 ，得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
.
即 为定值0．
22．（12分）
已知圆C的圆心位于x轴的正半轴上，该圆与直线 相切，且被y轴截得的弦长为 ，圆C
的面积小于13．
(1)求圆C的标准方程．
(2)设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否
存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）设圆C的方程为 ，
由题意，知 ，解得 或 ，
又圆C的面积 ，∴ ， ，
∴圆C的标准方程为 ．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，假设存在满足题意的直线l，设直线l的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
∵直线l与圆C相交于不同的两点，
∴ ，解得 或 ．
， ，
∵线段OD过线段AB的中点 ，且线段AB与OD互相平分，
∴点D的坐标为 ，即 ，
又MC的斜率为 ，∴ ，解得 ．
由于 ，故不存在这样的直线l．
