2.10 专题：直线中的范围最值问题
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：倾斜角与斜率——代数值域型范围最值................................ 2
题型二：倾斜角与斜率——三角函数型范围最值................................ 2
题型三：直线与线段有公共点求斜率范围.........................................3
题型四：斜率公式几何意义应用.................................................... 3
题型五：函数型斜率数形结合....................................................... 4
题型六：直线过定点问题............................................................. 5
题型七：含参双动直线................................................................ 6
题型八：截距直线应用................................................................ 6
题型九：截距直线条数判断.......................................................... 7
题型十：截距最值......................................................................7
2.10 专题：直线中的范围最值问题
模块一：题型分类
题型一：倾斜角与斜率——代数值域型范围最值
1.若直线经过
2,1
A
，
2
1,
B
m
(
R)
m
两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．0
180
B．45
90
或90
180
C．0
45
D．0
45
或90
180
2.直线
2
(
1)
1
0
x
a
y
的倾斜角的取值范围是（
）
A．3
[
, ]
4
B．
3
[
,
]
4
4
C．(0,
]
4
D．3
[
, )
4
3.直线
2
(
1)
2
1
0(
)
a
x
ay
a
R 的倾斜角的取值范围是
.
4.直线
2
(
2 )
1
0(
a
a x
y
a
为常数）的倾斜角的取值范围是（
）
A．[0 ，
)
(
4
2
，3 ]
4
B．[0 ，
3
)
(
2
4
，
]
C．[0 ，
3
)
(
2
4
，
)
D．[0 ，
3
)
[
2
4
，
)
题型二：倾斜角与斜率——三角函数型范围最值
1.设直线l 的方程
cos
2
0
x
y
R 则直线的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,
B．
,
4 2
C．
3
,
,
4 2
2
4
D．
3
,
4
4
2.直线
sin
3
0
R
x
y
的倾斜角的取值范围是
．
3.直线
5
cos
sin
0,
0, 6
x
y
的斜率的取值范围为（
）
A．
, 3
B．
2,
C．
,0
0, 3
D．
,2
4.直线
cos
sin
1
0
x
y
，
π
(0,
)
2
的倾斜角是
A．
B．2
C．2
D．
5.已知直线1l ：
2
cos
3
2
0
x
y
，若1
2
l
l
，则2l 倾斜角的取值范围是（
）
A．
,
3 2
B．0, 6
C．
,
3 2
D．
5
,
3
6
题型三：直线与线段有公共点求斜率范围
1.已知点
2,3 ,
2, 1
A
B
，若直线
(
)
:
1
2
l y
k x
=
-
- 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（
）
A．
1 ,5
3
B．
1
,
3
C．
5,
D．
1
,
5,
3
2.已知点
(1,3)
A
，
( 2,1)
B
，若直线:
1
0
l kx
y
k
与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（
）
A．
2
k
B．
2
k
C．
2
k
或
2
k
D．2
2
k
3.已知坐标平面内三点
1,1 ,
1,1 ,
2, 3
1
A
B
C
，D 为ABC
的边AC 上一动点，则直线BD 斜率k 的变
化范围是（
）
A．
3
0, 3
B．
3
,0
,
3
C．
3 , 3
3
D．
,0
3,
4.已知直线
2
0
mx
y
m
与函数
2
16, 4
0
( )
2
2,
0
x
x
f x
x
x
的图象有两个交点.则实数m 的取值范围
是
.
5.已知点P，Q 的坐标分别为
1,1
，
2,2 ，直线l：
0
x
my
m
与线段PQ 的延长线相交，则实数m 的
取值范围是
.
题型四：斜率公式几何意义应用
1.已知点
2, 1
A
，
3,0
B
，若点
,
M x y 在线段AB 上，则
2
1
y
x
的取值范围（
）
A．
1
,
3,
2
B．
1 ,3
2
C．
, 1
3,
D．
1,3
2.已知点
2, 3
A
，
3, 2
B
，若点
,
P x y 在线段AB 上，则
1
1
y
x
的取值范围为（
）
A．
3 ,
4
, 4
B．
1
3
,
,
4
4
C．
3
4, 4
D．3 ,4
4
3.已知实数x ，y 满足方程
2
6
x
y
，当1
2
x
时，
1
3
y
x
的取值范围为
.
4.若点
( , )
M x y 在函数
2
8
y
x
的图像上，当
2,5
x
时，则
1
1
y
x
的取值范围是
.
5.已知实数x，y 满足方程
2
6
x
y
，当
[1,2)
(2,3]
x
]时，
1
2
y
x
的取值范围为
.
题型五：函数型斜率数形结合
1.已知函数
2
1
f x
mx
x
，若满足
0
f x
的整数解恰有3 个，则实数m 的范围为（
）
A．5 7
,
3 4
B．
7
5
,
4
3
C．5 7
,
3 4
D．3 5
,
2 4
2.函数
( )
y
f x
的图象如图所示，在区间[ , ]
a b 上可找到(
2)
n n
个不同的数
1
2
,
,
,
n
x x
x
，使得
2
1
1
2
(
)
n
n
f x
f x
f x
x
x
x
，则n 的取值集合为（
）
A．{3,4}
B．{2,3,4}
C．{3,4,5}
D．{2,3}
3.已知在矩形ABCD 中，
4 4
A ，，
5 7
D
，，其对角线的交点E 在第一象限内且到y 轴的距离为1，动点
P x
y
，
沿矩形的一边BC 运动，则y
x 的取值范围是
．
4.已知函数
( )
2x
f x
，且
0
a
b
c
，则
1
f a
a
，
1
f b
b
，
1
f c
c
的大小关系为（
）
A．
1
1
1
f a
f b
f c
a
b
c
B．
1
1
1
f b
f a
f c
b
a
c
C．
1
1
1
f c
f a
f b
c
a
b
D．
1
1
1
f c
f b
f a
c
b
a
题型六：直线过定点问题
1.无论m 取何实数时，直线
1
3
11
0
m
x
m
y
m
恒过定点，则定点的坐标为_______
2.已知直线1 :
2
1
0
l
ax
y
，直线2 :
(
1)
2
0
l
x
a
y
，则下列命题中不正确的是（
）
A．直线2l 过定点( 2,0)
B．若1
2
l
l
，则
2
3
a
C．直线1l 过定点
1
0,
2
D．若1
2
//
l
l ，则
2
a
3.不论k 为任何实数，直线(2
1)
(
3)
(
11)
0
k
x
k
y
k
恒过定点，则这个定点的坐标为（
）
A．( 2,3)
B．(2,3)
C．(2, 3)
D．( 2, 3)
4.若直线
1 :
2
1
l
y
k
x
和直线2l 关于直线
1
y
x
对称，则直线2l 恒过定点（
）
A．
2,0
B．(
)
1, 1
-
C．
1,1
D．
2,0
5.已知直线1 :
2
1
0
l
mx
y
m
过定点P，若点P 在直线2 :
2
0
l
Ax
By
上，且
0
AB
，则1
2
A
B
的最小
值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型七：含参双动直线
1.已知mR ，若过定点A 的动直线1l ：
2
0
x
my
m
和过定点B 的动直线2l ：
2
4
0
mx
y
m
交于
点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（
）
A．A 点的坐标为
2,1
B．PA
PB
C．
2
2
25
PA
PB
D．2 PA
PB
的最大值为5
2.已知直线1 :
0
l
kx
y
过定点A ，直线2 :
2
2
0
l
x
ky
k
过定点B ，1l 与2l 的交点为C ，则AC
BC
的
最大值（
）
A．2 6
B．2 5
C．4
D．2 3
3.过定点A 的动直线
0
x
ky
和过定点B 的动直线
2
1
0
kx
y
k
交于点M，则MA
MB
的最大值是（
）
A．2 2
B．3
C．10
D．15
4.过定点M 的直线
2
0
tx
y
与过定点N 的直线
2
4
0
x
ty
t
交于点A（A 与M，N 不重合），则AMN
面积的最大值为（
）
A．2 2
B．4 2
C．8
D．16
5.过定点A 的直线
1
2
0
a
x
y
与过定点B 的直线
1
4
2
0
x
a
y
a
交于点
(
P P与A B
､不重合），
则PAB
面积的最大值为（
）
A．
2
B．2 2
C．2
D．4
题型八：截距直线应用
1.已知直线l 过
2,1
A
，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l 的方程是（
）．
A．
2
0
x
y
或
3
0
x
y
B．
1
0
x
y
或
3
0
x
y
C．
1
0
x
y
或
3
0
x
y
D．
2
0
x
y
或
3
0
x
y
2.某直线l 过点
( 3,4)
B
，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2 倍，则该直线的斜率是（
）
A．
4
3
B．
1
2
C．4
3 或
1
2
D．
4
3
或
1
2
3.若直线y
x
b
在x 轴上的截距在[ 3,3]
范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
6
D．
1
2
4.已知直线
0
Ax
By
C
在x 轴的截距大于在y 轴的截距，则A、B、C 应满足条件（
）
A．A
B
B．A
B
C．
0
C
C
A
B
D．
0
C
C
A
B
5.经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（
）
A．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
B．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
或4
3
0
x
y
C．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
D．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
或3
4
0
x
y
题型九：截距直线条数判断
1.过点
3,4
P
在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
2.满足过点
2,3
P
且在两坐标轴上截距相等的直线l 的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.过点P(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(
)
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
4.过点
(3, 1)
A
且在两坐标轴上截距相等的直线有
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
题型十：截距最值
1.已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是（
）
A．1
B．
2
C．2
D．3
2.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为
A．x+2y﹣6=0
B．2x+y﹣6=0
C．x﹣2y+7=0
D．x﹣2y﹣7=0
3.若直线
(
0,
0)
ax
by
ab a
b
过点(1,4) ，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为（
）
A．1
B．4
C．9
D．16
4.已知过定点直线
4
0
kx
y
k
在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（
）
A．
2
7
0
x
y
B．
2
7
0
x
y
C．2
6
0
x
y
D．
2
6
0
x
y
5.若直线
0,
0
ax
by
ab a
b
过点
1,1 ，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
