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重难点突破01 圆中的范围与最值问题
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1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
y−b
μ=
（1）形如
x−a
的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
t=ax+by
（2）形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
m=(x−a) 2 +(y−b) 2
（3）形如 的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值
问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
题型一：斜率型
例1．（2023·江苏·高二专题练习）已知点 在圆 上运动，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
例2．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点 在圆 上运动，则下
列选项正确的是（ ）
A． 的最大值为 ，最小值为
B． 的最大值为 ，最小值为 ；
C． 的最大值为 ，最小值为 ；
D． 的最大值为 ，最小值为 ；
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为圆 ： 上任意一点，则 的最大值为 .
变式1．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知 为圆C：
上任意一点，且点 ．
（1）求 的最大值和最小值．
（2）求 的最大值和最小值．
（3）求 的最大值和最小值．
题型二：直线型
例4．（2023·全国·高三专题练习）点 是圆 上的动点，则 的最大值是 .
例5．（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点 是圆 上的动点，则
的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是圆 ： 上的一动点，若圆 经
过点 ，则 的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
题型三：距离型
例7．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿
基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究
成果之一，指的是：已知动点 与两个定点 , 的距离之比为 （ ，且 ），那么点 的轨迹就
是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点 , 间的距离为 ，动点 满足 ，则 的最大值为
例8．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知 为圆 上任意一点，
且 ．
(1)求 的最大值和最小值；
(2)若 ，求 的最大值和最小值；
(3)若 ，求 的最大值和最小值．例9．（2023·高一课时练习）已知点 在直线 上运动，求 的最小值及取
得最小值时点 的坐标．
变式2．（2023·高二课时练习）已知点 在直线 上运动，则 取得最小值
时点 的坐标为 ．
变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知 为圆 上任意一点．则
的最大值为
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 ， ， ，满足 ，
， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
变式5．（2023·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点 ，点 在圆
上运动，则 的最大值为（ ）
A．22 B．26 C．30 D．32
题型四：周长面积型
例10．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点 ， ，点 是圆 上任意一点，则
面积的最大值为 ，最小值为 .
例11．（2023·全国·高二专题练习）已知圆 ，点M为直线 上一个动点，
过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形 周长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．例12．（2023·全国·模拟预测）已知直线 ： 与圆 ： 相交于不同两点 ，
，位于直线 异侧两点 ， 都在圆 上运动，则四边形 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·甘肃庆阳·高二校考期末）已知圆 的方程为 ，点 是直线 上的一
个动点，过点 作圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，则四边形 的面积的最小值为
变式7．（2023·高二课时练习）已知 ， ，点 为圆 上任意一点，则
面积的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．
题型五：数量积型
例13．（2023·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点 为椭圆 上任意一点， 是圆
上两点，且 ，则 的最大值是 .
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相切于点
，设直线 与 轴的交点为 ，点 为圆 上的动点，则 的最大值为 ．
例15．（2023·江苏南京·高一校考期中）已知点 ，点 为圆 上的
动点，则 的最大值为 .
变式8．（2023·全国·高一专题练习）在边长为4的正方形 中，动圆Q的半径为1、圆心在线段
（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
变式9．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆
的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则 的取值范围
是（ ）
A． . B． C． D．
变式10．（2023·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心
为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 的取值范围
是（ ）A． B． C． D．
题型六：坐标与角度型
例16．（2023·浙江丽水·高二校联考开学考试）已知点P在圆M： 上，点 ，
，则 最小和最大时分别为（ ）
A．0°和60° B．15°和75° C．30°和90° D．45°和135°
例17．（2023·高二单元测试）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x，y)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点
0 0
Q，使∠CPQ=30°，则x 的取值范围是 .
0
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若圆 ）与圆
交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式12．（2023·全国·高三专题练习）动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最
大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式13．（2023·全国·模拟预测）已知圆 ，圆 是以圆 上任意一点为圆
心，1为半径的圆．圆 与圆 交于 ， 两点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型七：长度型
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 及点 ，点P、Q分别是直线
和圆C上的动点，则 的最小值为 .
例20．（2023·湖北·高二沙市中学校联考期中）已知直线 与圆 交于 两点，且 ，则 的最大值为 .
例21．（2023·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知 为圆 上
的两点，且 ，设 为弦 的中点，则 的最大值为 .
变式14．（2023·上海静安·高二校考期末）已知实数 满足 ， ，
则 的最大值为 .
变式15．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名
的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足 （其中 是正常数，且 ），则P的轨迹
是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点 ，P是圆 上的动
点，则 的最小值为
变式16．（2023·全国·高二期中）已知圆 是以点 和点 为直径的圆，点 为圆 上
的动点，若点 ，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式17．（2023·四川成都·高二成都七中校考开学考试）已知 ， 是曲线 上两个不
同的点， ，则 的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ，点 在 内部，
，则 的最小值为 ．
变式19．（2023·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）已知点P在直线 上运动，点E是
圆 上的动点，点F是圆 上的动点，则 的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型八：方程中的参数
例22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ，点M
在以 为直径的半圆上，且满足 ，则 的最大值为（ ）A．2 B．3 C． D．
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ，则
面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例24．（2023·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知点 ，点 为圆
上一动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式20．（2023·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）已知过点 的动直线 与圆
交于 两点，过 分别作 的切线，两切线交于点 .若动点 ，
则 的最小值为 ．
