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微专题17 圆锥曲线压轴小题
【秒杀总结】
1、求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：
①求出a，c，代入公式 ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐
次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等
式)即可得e(e的取值范围)．
③几何法：寻找几何关系，将问题转化
④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解
2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
【典型例题】
例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测） ， ， ， ， ，
一束光线从点 出发射到 上的点 ，经 反射后，再经 反射，落到线段 上
（不含端点），则 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线 方程为 ，则 ，解得 ，即 ，即
，
设 关于直线 对称的点为 ，则 ，解得 ，即
， ，
同理可得：
点 关于直线 的对称点为 ，
点 关于直线 的对称点为 ，
如图所示：利用光线反射的性质可知，当这束光线反射后最终经过点 时，则其先经过点 ；当这束
光线反射后最终经过点 时，则其先经过点 ；
所以点 之间为点 的变动范围，
因为 ， ，所以直线 ，即直线 斜率不存在，而 ，
所以 ，即 .
故选：D
例2．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知抛物线 ，斜率为 的直线 与
的交点为E，F，与 轴的交点为 .若 ， ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设直线 方程 ， ，
， ，
，
，
由 得 ， ，
，
，，
，
由 解得 或 ，
或 (舍)，
故选:C
例3．（2023春·全国·高三竞赛）设圆 的圆心为 ，点 ，
， 为直线 上一点．若圆上存在两点A，B，使得点 满足 ，
则 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意如图所示：
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 为圆上两点，且圆的圆心 半径为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 为直线 上一点，所以设 ，且
所以有 ，
解得： ，又 ，所以 ，
所以 ，
所以点 到直线 的距离为：
，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以
所以 ，
面积的取值范围为： .
故选：A.
例4．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知双曲线 的左，
右焦点分别是 ， ，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线 上，且满
足 .若 ，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以PH是 的角平分线，
又因为点H在直线 上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，
设 的内切圆与 轴的切点为 ，
根据三角形内切圆的知识可知 ，则 是双曲线的右顶点，
所以 的内切圆圆心在直线 ，即点H是 的内心，
如图，作出 ，并分别延长HP、 、 至点 ，使得
，可知H为 的重心，设 ，由重心性质可得 ，
即 ，
又H为 的内心，所以 ，因为 ，
则 ，所以双曲线C的离心率 .
故选：C
例5．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，
点 在椭圆 上，若离心率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
由椭圆的定义得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，
两边同除以a得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以该离心率 的取值范围是
故选：D.
例6．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知 为抛物线： 的焦点，过直线
上任一点 向抛物线引切线，切点分别为A， ，若点 在直线 上的射
影为 ，则 的取值范围为______．【答案】 ．
【解析】设 ， ， ，不妨设 在 轴上方，
时， ， ，所以切线 的方程为 ，
代入 得 ，又 ，∴ ，
得 ，同理可得 ．
因此直线 的方程为 ，直线 过定点 ，
，∴ 在以 为直径的圆上，该圆圆心 ，半径为1，
由已知 ， ，∴ 的最大值为 ，最小值为 ，
时，直线 方程为 ，此时， 与 轴垂直， 点与 点重合，即 ，
点不可能与 点重合，最大值取不到．
所以 的范围是 ．
故答案为： ．
例7．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的左右焦点分别为 ， ，以实
轴为直径作圆 ，过圆 上一点 作圆 的切线交双曲线的渐近线于 ， 两点（ 在第
一象限），若 ， 与一条渐近线垂直，则双曲线离心率为______.
【答案】
【解析】如图， 为圆 的切点，连接 ， ， ，故 ，
，又 ，过 作渐近线的垂线，交渐近线于点 ，则 ，
又由渐近线的性质，可得 ，根据勾股定理，可得 ，又因为
，得到 ，得到 ， ，
，且 ，
，得到 ，整理得，
，
，
，整理得 ，
， ，解得
故答案为： .
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 、 ，点 在双曲线 上，点 在直线 上，且满足
.若存在实数 使得 ，则双曲
线 的离心率为_____________
【答案】
【解析】设直线 交 轴于点 ，如图，设 的外接圆半径为 ，由 ，
有 ，
故 ，所以直线 过 的内心，
设 的内切圆圆心为 ，内切圆圆 分别切 、 、 于点 、 、 ，
由切线长定理可得 ， ， ，
所以， ，
结合图形可得 ，所以， ，
故 的内心的横坐标为 ，
因为点 在直线 上，所以点 为 的内心.
由 可得 ，
所以， ，记 ，
设 ，则 ，所以， ，
所以，点 在直线 上，又因为 ，故点 与点 重合，且有 ，
由角平分线的性质可知点 到直线 、 的距离相等，
故 ，同理可得 ，
令 ，则 ，且 ，
故 .
则双曲线 的离心率 .
故答案为： .
例9．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知椭圆C：
，经过原点O的直线交C于A，B两点．P是C上一点（异于点A，B），直线BP交x轴
于点D．若直线AB，AP的斜率之积为 ，且 ，则椭圆C的离心率为
______．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
则直线AP的斜率为 ，BP的斜率为 ，
由题知 ，两式相减得 ，
即 ，即 ，即 ，
又 ，则 ，即 ，
即 ，则 ，所以 ，
即 ，则椭圆C的离心率为 .
故答案为：例10．（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）已知双曲线 的左、
右焦点分别为 ，若在右支上存在一点 ，使得点 到直线 的距离为 ，则双曲线
的离心率 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】如图，过点 且与渐近线 平行的直线为 ，
依题意，只需 到直线 即 的距离大于a即可，
即 ，
∴ ，∴
所以双曲线的离心率 的取值范围是
故答案为：
例11．（2023秋·河南安阳·高三校考期末）过抛物线 的焦点的直线与 交于
两点.设 为线段 的中点， ，点 ，若直线 轴，且 ，则
__________.
【答案】4
【解析】易知 的焦点为 ，直线斜率不存在时不符合题意；
设过 的直线 的斜率为 ，则 ，
将 代入 ，得 ，
即 .设 ， ，则 ，
所以 ，又因为点 ， 轴，
所以 点纵坐标为1，即 ，即
所以
，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知
，
所以 ，
即 或 （舍）
故答案为：4
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，且它们有
共同的焦点 、 ，P是 与 在第一象限的交点，当 时，双曲线 的离心
率等于______.
【答案】
【解析】设椭圆 标准方程为 ，椭圆离心率为 ，
设双曲线 标准方程为 ，双曲线离心率为 ，
由题可知： ．
设 ， ，
则 ，
由①②得， ， ，
代入③整理得， ，
两边同时除以 得， ，即 ，
即 ，
解得 ，即 ．
故答案为：
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别
是 ， ，斜率为 的直线 经过左焦点 且交C于A，B两点（点A在第一象限），设
的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率
___________．
【答案】
【解析】如图所示，由椭圆定义可得 ， ，
设 的面积为 ， 的面积为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
设直线 ，则联立椭圆方程与直线 ，可得
，
由韦达定理得： ，
又 ，即
化简可得 ，即 ，
即 时，有 .
故答案为：例14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过 斜率为
的直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 ，则椭圆 的离心率 ______．
【答案】
【解析】因为直线 过 且斜率为 ，所以直线 为： ，
与椭圆 ： 联立消去 ，得 ，
设 ，则
因为 ，可得 ，代入上式得
消去 并化简整理得： ，
将 代入化简得： ，解得 ，
因此，该双曲线的离心率 .
故答案为： .
【过关测试】
一、单选题
1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知 为坐标原点， 是抛物线 上的动
点，且 ，过点 作 ，垂足为 ，下列各点中到点 的距离为定值的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：设直线 方程为 ，联立直线和抛物线方程整理得 ，
所以
又 ，即 ，所以 可得 ，即 ；
则直线 过定点D（4,0）因为 ，则点H在为直径的圆上（其中圆心
坐标为OD中点（2,0）），故（2,0）到H的距离为定值
故选：B
法二：设直线 方程为 ，
联立直线和抛物线方程整理得 ，
所以
又 ，即 ，所以 可得 ，即 ；
又因为 ，所以 的方程为 ，解得
对于A， 到点 的距离为 不是定值；
对于B， 到点 的距离为 为定值；
对于C， 到点 的距离为
不是定值；
对于D， 到点 的距离为 不
是定值.
故选：B
2．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点 的直线 ， 相互垂直，且均与椭圆
相切，若 为 的上顶点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当椭圆的切线斜率存在时，设 ，且过 与椭圆相切的直线方程为：
，联立直线与椭圆方程 ，
消去 可得，
所以 ，
即 ，
设 为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
当椭圆的切线斜率不存在时，此时， ，也满足上式，
所以 ，其轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又因为A为椭圆上顶点，所以 ，
当点 位于圆的上顶点时， ，
当点 位于圆的下顶点时， ，
所以 ，
故选:D
3．（2023·江西·校联考一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为
，点 在双曲线上，且 ， 的延长线交双曲线于点 ，若双曲线的离心
率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为双曲线的离心率为 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ， ，
不妨设点 在双曲线的右支上时，如图，记 ，则由双曲线的定义得 ，
所以 ，
在 中， ，则 ，
即 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），故 ， ，
在 中， ，则 ，
即 ，整理得 ，
解得 ，则 ， ，
所以 ；
故选：B.
4．（2023·湖南永州·统考二模）如图， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线
于 两点，且 ， 为线段 的中点，若对于线段 上的任意点 ，都有
成立，则双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取 中点 ，连接 ，
，
，
，则 ， 恒成立，
，又 ， ，
设 ，由 得： ，
根据双曲线定义可知： ， ，
，即 ， ，
， ，又 ， ，
，则离心率 .
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是椭圆C： 的左，右焦点，过 且
倾斜角为 的直线交椭圆C于点P，Q（P在第一象限）， 与 的平分线分别
交直线 于点M，N，则M，N纵坐标比 （ ）
A． B． C． D．－1
【答案】A【解析】由题可知，如图所示， ，
过 且倾斜角为 的直线方程为
联立直线和椭圆方程整理得 ，解得 或
又因为P在第一象限，所以 ， ，
所以直线 的方程为 ，又因为点 在 的平分线上，
即点 到直线 与直线 （ 轴）的距离相等，
又点 直线 上，设
所以 ，即 ，
解得 或 （舍）；
同理，直线 的方程为 ，
设 ，点 到直线 与直线 （ 轴）的距离相等，
，即 ，
解得 或 （舍）；
所以
故选：A.
6．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将
两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相
切.给出下列三个结论：
①两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①③
【答案】C
【解析】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即
， ，②正确；
就是平面 与轴线 的夹角 ，在 中，椭圆的离心率
，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知点 满足 ，且点Q恒在在以 、 为左、
右焦点的椭圆 内，延长 与椭圆交于点 ，若 ，
则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
由题意可知， ，设 ，则 ， ，
由椭圆定义可得 ， ，
在 中，由勾股定理可得 ，
即 ，即 ，
因为点 在椭圆 内，则 ，
又因为 ，所以， ，令 ，则 在 上单调递增，
若方程 在 内有实根，则 ，
所以， ，所以， ，
因为点 在椭圆内，且 ，则 ，即 ，
所以， ， ，因此， .
故选：C.
二、多选题
8．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知 是抛物线 的焦点，
点 在抛物线 上，过点 的两条互相垂直的直线 ， 分别与抛物线 交于 ，
和 ， ，过点 分别作 ， 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）
A．四边形 面积的最大值为2
B．四边形 周长的最大值为
C． 为定值
D．四边形 面积的最小值为32
【答案】ABD
【解析】依题意， ，解得 ，即抛物线 ： ，焦点 ，准线方程为：
，直线 ， 与坐标轴不垂直，
因为 ， ，则四边形 为矩形，有
，
当且仅当 时取等号， ，即四边形 面积的最大
值为2，A正确；
因为 ，则 ，
当且仅当 时取等号，因此四边形 周长 的最大值为
，B正确；设直线 方程为： ， ，由 消去y得：
，则 ，
，同理 ，
因此 ，C错误；
四边形 面积 ，
当且仅当 时取等号，所以四边形 面积的最小值为32，D正确.
故选：ABD
9．（2023春·浙江·高三开学考试）已知F为双曲线 的右焦点，P在双曲线C的
右支上，点 ．设 ， ， ，下列判断正确的是
（ ）
A． 最大值为 B．
C． D．存在点P满足
【答案】BCD【解析】A：设 ，于是 ，
设 ，得 ，
于是 （其中 ），
所以 ，解得 ，即 ，A错误；
B： , ，
,
，令 ，
则 ，当 ，即 时， ，B正确；
C： ，而 ，所以 ，C正确；
D：当P纵坐标接近0时， 很小而 很大，当P纵坐标很大时， 接近 而 很小，故
必存在点P满足 ，D正确.
故选：BCD．
10．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知 ， ， 为圆
上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以 为直径的圆与圆 相交所得的公共弦所在直线方程为
B．若点 ，则 的面积为C．过点 且与圆 相切的圆的圆心轨迹为圆
D． 的最小值为
【答案】AB
【解析】A:由 ， ，则其中点为 ，所以
，
则圆 的标准方程为 ，化为一般式方程为 ①，
又圆 的一般式方程为 ②，
而 ，
①-②得 为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；
B：由直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离 ，
．故B正确；
C:由图可知，设过点 且与圆 内切的圆的圆心为 ，且切点为 ，
则 满足椭圆定义，
故圆心 的轨迹为椭圆．故C错误；
D：设 ，
，
则 可转化为圆 上动点 到定点 的距离的平方，
所以 的最小值为 ，故 ．故D错误.
故选：AB.
11．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知双曲线 的左､右焦点分别是
，点 在双曲线的右支上，则（ ）
A．若直线 的斜率为 ，则
B．使得 为等腰三角形的点 有且仅有四个
C．点 到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点 ，则 的最小值为5
【答案】ABCD
【解析】对于A，由题意可知， ，设 则直线 的斜率为
，
令 ，
，
令 在 单调递减，
对.
对于B，当 ，则满足条件的 有两个；
当 ，则满足条件的 有两个，
易得不存在 满足 ，
满足 为等腰三角形的 有4个，B对.
对于C，渐近线： 即 ，，C对，
对于D，根据双曲线的定义， ，所以 ，
所以 ，
当 三点共线时， 有最小值，
此时 ，D对，
故选：ABCD.
12．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，过双曲线 ： 右支上一点
作双曲线的切线 分别交两渐近线于 ， 两点，交 轴于点 ， 、 分别为双曲线
的左、右焦点， 为坐标原点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若存在点 ，使 ，且 ，则双曲线 的离心率为
【答案】ABD
【解析】先求双曲线 上一点 ， 的切线方程：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由 ，得 ，所以 ，
则在 ， 的切线斜率 ，
所以在点 ， 处的切线方程为： ，又有 ，化简即可得切线方程为： ．
不失一般性，设 ， 是双曲线在第一象限的一点，
， 是切线与渐近线在第一象限的交点，
， 是切线与渐近线在第四象限的交点，
双曲线的渐近线方程是 ，
联立： ，解得： ，
联立： ，解得： ，
则 ，
又因为 ，所以 ，即 ，C错误；
由 ，
可知 ， 是 ， 的中点，所以 ，B正确；
易知点 的坐标为 ，
则 ，
当点 ， 在顶点 时，仍然满足 ，A正确；
因为 ，所以 ， ，
因为 ，则 ，解得 ，即 ，
代入 ，得 ，
所以 ，
，所以 ，
所以 ， ，所以离心率 ，D正确．
故选：ABD．
13．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知过抛物线 焦点 的直线 交
于 两点，交 的准线于点 ，其中 点在线段 上， 为坐标原点，设直线 的斜
率为 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．存在 使得 D．存在 使得
【答案】ABD
【解析】对于选项A. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为:
, 设该直线与抛物线交于 , 两点,
联立方程组 , 整理可得: , 则 ,
由抛物线的定义: , 故A正确.
对于选项B. 当 时, 过抛物线 的焦点 的直线方程为:
, 设该直线与抛物线交于 , 两点,
联立方程组 , 整理可得: ，则 , 则 ,
所以 ，由抛物线的定义:
又因为直线 与抛物线的准线 交于点 ,
则 ，即 ，故B正确.
对于选项C. 设过抛物线 的焦点 的直线方程为: 与抛物线交
于 两点,联立方程组 , 整理可得:
则 ,
，所以 .若 , 则 , 故不存在 ，使得
,故C不正确.
对于选项D. 设过抛物线 的焦点 的直线 方程为: 与抛物线
交于 两点,
联立方程组 , 整理可得 : ,则
，
,
若 , 因为 , , 即
,
则 , 即: ,可得: ,
即: , 则 , 解得: , 解得:
.
故存在 使得 , 故D正确;
故选：ABD.
三、填空题
14．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知抛物线 的焦点为F，若 在
抛物线C上，且满足 ，则 的最小值为
______.
【答案】9
【解析】抛物线 的焦点为 ，依题意，不妨设直线 的倾斜角为
，且 ，
由抛物线定义得： ，即 ，
同理 ，，
因此 ，
令 ， ，令
，
，由 得 或 ，由 得 ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， ，
此时 ，
于是得 ，所以当 时， 取得最小值9.
故答案为：9
15．（2023·四川凉山·统考一模）如图，已知椭圆 ，
．若由椭圆 长轴一端点 和短轴一端点 分别向椭圆
引切线 和 ，若两切线斜率之积等于 ，则椭圆 的离心率 __________．
【答案】
【解析】由题可知 ， ，
设切线 ， ，由 ，可得 ，
所以 ，
整理可得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
整理可得 ，
又两切线斜率之积等于 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为： .
16．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）平面二次曲线方程的一般形式为
．已知曲线 表示中心在坐标原
点的椭圆，若中心为坐标原点的矩形的四个顶点均在椭圆 上，则该矩形面积的最大值为
______.
【答案】
【解析】由 表示中心在坐标原点的椭圆，
故设椭圆焦点为 ，
根据椭圆定义可得 ，
移项平方去根号，化简可得：
，
对应 可得：，
解得 ， ，
所以焦距 ， ， ，
所以该矩形面积的最大值 .
故答案为 ：
17．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知F为抛物线 的焦点，
由直线 上的动点P作抛物线的切线，切点分别是A，B，则 与 （ 为坐
标原点）的面积之和的最小值是_________.
【答案】
【解析】根据题意直线AB斜率存在，设其方程为 ，设 ， ，
由 ，得 ，求导得 ，
则抛物线在点A处的切线方程为 ，整理得： ，
同理得抛物线在点B处的切线方程为 ，
则由 ，解得 ，即两切线的交点 ，
由 消去y整理得 ，
则 ， ，则 ，
点P在直线 上，则 ，
则直线AB的方程为 ，过定点 ，
且 ，
设 ，则 ，
则 ，
，，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 与 的面积之和的最小值为 .
故答案为： .
18．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，圆
与 交于 两点，其中点 在第一象限，点 在直线 上运动，记
.
①当 时，有 ；
②当 时，有 ；
③ 可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有__________.
【答案】①②
【解析】由圆 与 ，联立方程 ，解得 或
（舍），当 时， ，
所以 ，
从而 ，
即 ，因为点 在直线 上运动，所以 ，
则 ，
①当 时，点 三点共线，由于 ，
所以 ，所以 ，
由题意知 ，所以 ，故①正确；
②当 时，即 ，所以 ，
即 ，解得 ，又 ，得 ，所以②正确；
③若 是等腰直角三角形，
则 或 或 为直角，
因为 ，
当 时，则 ，得 ，
此时 ， 不是等腰直角三角形，
由对称性可知当 时， 也不是等腰直角三角形，；
当 时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点 在 轴上，
此时 ， ， ,
,即 ，故 不是等腰直角三角形，
综上所述， 不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
19．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设椭圆 的离心率
，C的左右焦点分别为 ，点A在椭圆C上满足 ． 的角平分线
交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知 ，则 _______．
【答案】
【解析】
由点A在椭圆C上，且 ，设点 ，且 ， ，则
，
同理 ，
设角平分线交x轴于 ，根据角平分线的性质，可知
，
，
，解得， ，得 ．
可得直线 ．进而可得 ，
由 ，可得 ，
设 中点为M，则 ． ，
点差法的结论，证明如下：
设 ， ， ， 为 中点，
故 ，两式作差得， ，
又由 ， ，可整理得， ，
最后化简得， ，
进而得到， ，
得 ．
因为 ，所以 ，联立 ，解得 ，
所以 ，故 ，解得 ．
故答案为： ．
20．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）设双曲线 的右顶点为 ，
过点 且斜率为2的直线与 的两条渐近线分别交于点 ， .若线段 的中点为 ，
，则 的离心率 ______.
【答案】
【解析】由题意可知 ，双曲线的两条渐近线方程为
过点 且斜率为2的直线方程为 ，
不妨设直线 与渐近线 交于点 ，与渐近线 交于点 ，如下图所
示：
联立 可得 ，
同理得 ，所以 的中点 为
设过点 且斜率为2的直线的倾斜角为 ，即 ，可得
所以 ，由余弦定理可得
即 ，
整理可得 ，
即 ，解得 或 （舍）
所以双曲线离心率为 .
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 上一点A关于原点的对称
点为B，F为其右焦点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率e的最
大值为___________.
【答案】
【解析】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点，
设椭圆的左焦点为 ，连接 ，所以四边形 为长方形，
根据椭圆的定义 ，且 ，则 ，
所以 ，
又由离心率的公式得 ，
由 ，则 ，
所以 ，即椭圆的离心率的最大值为 .故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）若对于圆 上任意的点 ，直线
上总存在不同两点 ， ，使得 ，则 的最小值为______.
【答案】10
【解析】由题设圆 ，故圆心 ，半径为 ，
所以 到 的距离 ，故直线与圆相离，
故圆 上点到直线 的距离范围为 ，
圆 上任意的点 ，直线 上总存在不同两点 、 ，使 ，
即以 为直径的圆包含圆 ，至少要保证直线上与圆 最近的点，与圆上点距离最大值
为半径的圆包含圆 ，
所以 .
故答案为：10
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 上的点， 是双曲线
上的任意一点，过 作双曲线 的两条渐近线的平行线分别与渐近线交于 ，
过 作双曲线 的两条渐近线的平行线分别与渐近线交于 ，若 ，
（ 为坐标原点），则双曲线 的离心率最小值为___________.
【答案】
【解析】由双曲线的性质， 到两条渐近线的距离之积为定值 ，
根据平行线的角度及三角关系有 ，，对于
设 ，
联立 ，同理
故 ，
.
故答案为： .
