2.12 专题：直线与圆综合
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：常规法求圆的方程.......................................................... 2
题型二：求圆的外接圆方程.......................................................... 4
题型三：求圆的内切圆................................................................ 5
题型四：利用弦长求圆的方程....................................................... 8
题型五：利用切线求圆的方程....................................................... 9
题型六：利用最值求圆的方程......................................................11
题型七：点与圆位置关系求参......................................................14
题型八：圆上点到直线距离为定值的求参....................................... 15
题型九：直线与圆相交弦长求参...................................................17
题型十：最短弦问题................................................................. 20
题型十一：圆内三角形面积........................................................ 22
题型十二：圆内四边形面积........................................................ 24
题型十三：圆的切线问题........................................................... 27
题型十四：过圆外一点的切线问题................................................29
题型十五：切点弦问题.............................................................. 31
题型十六：切点弦长及最值范围问题.............................................34
2.12 专题：直线与圆综合
模块一：题型分类
题型一：常规法求圆的方程
1.若圆C 经过点
2,5
A
，
4,3
B
，且圆心在直线l ：3
3
0
x
y
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
2
3
4
x
y
B．
2
2
2
3
8
x
y
C．
2
2
3
6
2
x
y
D．
2
2
3
6
10
x
y
【答案】A
【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.
【详解】圆C 经过点
2,5
A
，
4,3
B
，可得线段AB 的中点为
3,4 ，又
5
3
1
2
4
AB
k
，
所以线段AB 的中垂线的方程为
4
3
y
x
，即
1
0
x
y
，
由
1
0
3
3
0
x
y
x
y
，解得
2
3
x
y
，即
2,3
C
，圆C 的半径
2
2
2
2
5
3
2
r
，
所以圆C 的方程为
2
2
2
3
4
x
y
.故选：A.
2.某圆经过
010
610
A
B
，，
，两点，圆心在直线2
1
x
y
上，则该圆的标准方程为（
）
A．
2
2
3
5
34
x
y
B．
2
2
3
5
34
x
y
C．
2
2
3
5
34
x
y
D．
2
2
3
5
34
x
y
【答案】D
【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在AB 的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得
解.
【详解】因为圆经过
010
610
A
B
，，
，两点，
所以圆心在中垂线
0
6
3
2
x
上，
联立
3
2
1
x
x
y
解得圆心(3,5) ，所以圆的半径
2
2
3
(5 10)
34
R
，
故所求圆的方程为
2
2
3
5
34
x
y
，故选：D
3.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5的奇数都是三个素数之和，如7
2
2
3
，17
3
7
7
.若从2,3,7 中
任取2 个不同的素数,a b 组成点
,
a b ，其中a
b
，且组成的所有点都在圆E 上，则圆E 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
2
4
2
x
y
B．
2
2
5
2
16
2
x
y
C．
2
2
5
5
17
2
x
y
D．
2
2
5
17
5
2
4
x
y
【答案】D
【分析】根据
,
a b 所有可能的结果，利用向量垂直的坐标表示可证得AB
BC
，由此可得圆心为AC 中
点，并求得半径
1
2
r
AC
，由圆心和半径可得圆的标准方程.
【详解】由题意知：
,
a b 所有可能的结果为：
2,3
A
，
2,7
B
，
3,7
C
，
= 0,4
AB
，
1,0
BC
，
=0
AB BC
，则AB
BC
，
圆E 的圆心为AC 中点
5 ,5
2
E
，半径
2
2
1
1
17
=
=
3
2
+ 7
3
=
2
2
2
r
AC
，
圆E 的标准方程为：
2
2
5
17
+
5
=
2
4
x
y
.故选：D.
4.圆心在直线x-y-4＝0 上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0 和x2+y2+6y-28＝0 的交点的圆的方程为（
）
A．x2+y2-x+7y-32＝0
B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0
D．x2+y2-4x+4y-8＝0
【答案】A
【分析】设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，用λ表示出圆心，代入直线x-y-4＝0，求出λ，
从而可求出所求圆的方程．
【详解】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4＝0 和圆x2+y2+6y-28＝0 的交点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)＝0，
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ＝0，其圆心坐标为
3
1
，
3
1
，
又由圆心在直线x-y-4＝0 上，所以
3
1
-
3
1
-4＝0，解得λ＝-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192＝0，即x2+y2-x+7y-32＝0，故选：A．
5.在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
4
0
x
y
与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在
y 轴上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
6
16
0
x
y
y
B．
2
2
6
16
0
x
y
y
C．
2
2
8
9
0
x
y
y
D．
2
2
8
9
0
x
y
y
【答案】A
【解析】求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为
0,b ，由AC
BC
可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，
由此可求得圆C 的方程.
【详解】易知，直线
2
4
0
x
y
交x 轴于点
4,0
A
，交y 轴于点
0,2
B
，
设圆心C 的坐标为
0,b ，由AC
BC
可得
2
2
4
2
b
b
，解得
3
b ，
所以，圆C 的半径为
3
2
5
BC
，
因此，圆C 的方程为
2
2
3
25
x
y
，即为
2
2
6
16
0
x
y
y
.故选：A.
题型二：求圆的外接圆方程
1.已知三角形的三边所在直线为
1
x
y
，2
1
x
y
，2
3
x
y
，则三角形的外接圆方程为________
【答案】
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
【解析】先由三条直线两两联立，求出三角形的三个顶点坐标，再设所求圆的一般方程，根据待定系数法，
即可求出结果.
【详解】由
1
2
1
x
y
x
y
解得
0
1
x
y
；由
1
2
3
x
y
x
y
解得
4
5
x
y
；由
2
1
2
3
x
y
x
y
解得
1
1
x
y
；
根据题意，可得所求圆的方程过点
0, 1
，
4, 5
，
1,1 ，设所求圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，
则
1
0
16
25
4
5
0
1 1
0
E
F
D
E
F
D
E
F
，解得
7
3
2
D
E
F
，即所求圆的方程为
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
.
故答案为：
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
.
2.过点
(4,2)
P
作圆
2
2
4
x
y
两条切线，切点分别为A、B，O 为坐标原点，则OAB
的外接圆方程是（
）
A．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
B．
2
2
(
4)
(
2)
20
x
y
C．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
D．
2
2
(
4)
(
2)
20
x
y
【答案】A
【分析】由切线性质得O、A、B、P 四点共圆，OP 为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．
【详解】由题意知O、A、B、P 四点共圆，从而OP 的中点坐标(2,1) 为所求圆的圆心，1 |
|
5
2 OP
为所求
圆的半径，所以所求圆的方程为
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
.
故选：A.
3.已知ABC
中，
3 0
A , ，
3,0
B
，点C 在直线
3
y
x
=
+ 上，ABC
的外接圆圆心为
0,4
E
，则直线EC
的方程为______．
【答案】
3
4
4
y
x
【分析】圆心E 到点B 的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到C 点坐
标，利用直线方程两点式即可求解.
【详解】因为ABC
的外接圆圆心为
0,4
E
，所以ABC
的外接圆半径为
2
2
3
4
5
，
即ABC
的外接圆方程为
2
2
4
25
x
y
．
联立
2
2
3
4
25
y
x
x
y
，解得
4
7
x
y
，或
3
0
x
y
，
所以
4,7
C
或
3,0
C
（与A 点重合），舍，
所以直线EC 的方程为
7
4
7
4
4
0
y
x
，即
3
4
4
y
x
．故答案为：
3
4
4
y
x
.
4.已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A（2a，2），B（－4，a），C（2a＋2，2），则△ABC 的外
接圆的方程是________．
【答案】（x＋3）2＋y2＝5
【解析】先根据已知求出a=-2,再求出外接圆的半径和圆心坐标，即得解.
【详解】由题意，得2a＝－4，∴a＝－2，
∴△ABC 外接圆的半径为
2
2
( 4
2)
( 2
2)
5
2
2
BC
,圆心为（－3，0），
∴△ABC 外接圆的方程为（x＋3）2＋y2＝5.故答案为：（x＋3）2＋y2＝5.
5.已知曲线
2
2020
y
x
x
与x 轴交于M，N 两点，与y 轴交于P 点，则
MNP
△
外接圆的方程为（
）
A．
2
2
2019
2020
0
x
y
x
y
B．
2
2
2021
2020
0
x
y
x
y
C．
2
2
2019
2020
0
x
y
x
y
D．
2
2
2021
2020
0
x
y
x
y
【答案】C
【分析】设
MNP
△
外接圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，分别令
0,
0
x
y
，结合韦达定理求得D,E,F,
代入即可求得圆的方程.
【详解】设
MNP
△
外接圆的方程为
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
，点Q 是
MNP
△
的外接圆与y 轴的另一个交点，
分别令
0,
0
x
y
，则
2
0
y
Ey
F
，
2
0
x
Dx
F
．
设
1
2
1
2
,0 ,
,0 ,
0,
,
0,
M x
N x
P
y
Q
y
，则
1
2
1
2
x x
y y
，又曲线
2
2020
y
x
x
与x 轴交于M，N 两点，
则
1
2
2020
x x
，
1
2
1
x
x
，
1
2020
y
，
1
D ，
2020
F
，所以
2
1
y ，
1
2
( 2020
1)
2019
E
y
y
，
故
MNP
△
外接圆的方程
2
2
2019
2020
0
x
y
x
y
．
故选：C.
题型三：求圆的内切圆
1.如果三角形的顶点分别是
0,0
O
，
0,15
A
，
8,0
B
，那么它的内切圆方程是______.
【答案】
2
2
3
3
9
x
y
【分析】利用截距式求得AB 的方程为15
8
120
0
x
y
.设内切圆的圆心为
,a
a
，且8
0
a
，则半径
为
2
2
15
8
120
15
8
a
a
a
后，求得a 的值，可得圆心和半径，从而求得它的内切圆方程.
【详解】利用截距式求得AB 的方程为
1
8
15
x
y
，即15
8
120
0
x
y
.
∵OAB
为直角三角形，∴设内切圆的圆心为
,a
a
，且8
0
a
，
则半径为
2
2
15
8
120
23
120
17
15
8
a
a
a
a
，解得
3
a ，
∴圆心为
3,3
，半径为3，故内切圆方程是
2
2
3
3
9
x
y
.
故答案为：
2
2
3
3
9
x
y
.
2.在平面直角坐标系中，已知三点
1,2
A
，
3,2
B
，
2
1,
3
C
，则ABC
的内切圆的方程为（
）
A．
2
2
1
6
4
x
y
B．
2
2
1
1
4
x
y
C．
2
2
1
6
1
x
y
D．
2
2
1
1
1
x
y
【答案】D
【分析】结合题意设出圆心，再利用圆心到直线AC 与到直线AB 的距离相等列出一个等式，即可求出圆
心，即可进而求出半径，得到答案.
【详解】易知ABC
是等腰三角形，且AC
BC
，∴圆心D 在直线
1
x 上，设圆心
1,
2
D
b
b
，易得
直线AC 的方程为4
3
2
0
x
y
，直线AB 的方程为
2
y
，则
2
2
4
3
2
2
4
3
b
b
，解得
1
b ，则内切圆的半
径为
2 1 1
r
，∴所求圆的方程为
2
2
1
1
1
x
y
.
故选：D.
3.已知三角形三边所在直线的方程分别为
0
y
、
2
0
x
y
和
4
0
x
y
，求这个三角形的内切圆圆心和
半径．
【答案】圆心
1,3 2
3
；半径为3 2
3
.
【分析】由三角形所在位置设出其内切圆圆心坐标，利用三角形内切圆性质列方程，求解作答.
【详解】依题意，由
0
2
0
y
x
y
得直线
0
y
与
2
0
x
y
的交点
( 2,0)
B
，
由
0
4
0
y
x
y
得直线
0
y
与
4
0
x
y
的交点
(4,0)
C
，
由
2
0
4
0
x
y
x
y
得直线
2
0
x
y
与
4
0
x
y
的交点
(1,3)
A
，
显然AC
AB
，且|
| |
| 3 2
AC
AB
，即ABC
是等腰直角三角形，则直线
1
x 平分
BAC
，
设ABC
的内切圆圆心为
(1, )
M
b ，0
3
b
，则
1
2
1
4
2
2
b
b
b
，解得
3 2
3
b
，
即
1,3 2
3
M
，半径
3 2
3
r
b
，
所以这个三角形的内切圆圆心和半径分别为圆心
1,3 2
3
，3 2
3
.
4.已知圆C：
2
2
1
4
x
y
，不经过点C 的直线l ：
1
y
kx
与圆C 相交于A ，B 二点，求ABC
的内切
圆的面积最大值为__________.
【答案】
6
4 2
【分析】如图，设三角形内切圆的圆心为点D ,
,
,
DF
AC CE
AB
设内切圆的半径为r ,再通过分析得到当
DF
r
最大时，点C 到直线AB 的距离CE=CD+DE 最大.由题得当CG
AB
时，点C 到直线AB 的距离
最大，再根据三角形的内切圆性质求出内切圆的半径即得解.
【详解】
如图所示，设三角形内切圆的圆心为点D ,
,
,
DF
AC CE
AB
因为AC=BC,所以DE
AB
.设内切圆的半径为r ,
在直角三角形DFC 中，DF
r
最大，则两圆的圆心距CD 最大，
因为DE=DF,所以当DF
r
最大时，点C 到直线AB 的距离CE=CD+DE 最大.
因为直线
1
y
kx
过定点G （0,1），圆C（1,0），当CG
AB
时，点C 到直线AB 的距离最大，
此时点C 到直线AB 的距离为
2 ，直线AB 的斜率为k 1，
2
2
|
| 2 2
2
2 2
AB
.
由△ABC 的内切圆得
1
1
2 2+2+2
2 2
2,
2
2.
2
2
r
r
所以ABC
的内切圆的面积最大值为
2
2
2
(6
4 2)
.
故答案为：
6
4 2
题型四：利用弦长求圆的方程
1.已知圆C 的圆心坐标为
1,0 ，且y 轴被
C
截得的弦长为4 2 ，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
9
x
y
B．
2
2
1
33
x
y
C．
2
2
1
3
x
y
D．
2
2
1
7
x
y
【答案】A
【分析】由已知条件可知圆心到y 轴距离为1，运用勾股定理和弦长公式求出圆的半径，进而可得圆的方
程.
【详解】已知圆C 的圆心坐标为
1,0 ，则圆心到y 轴距离为1，
又因为y 轴被
C
截得的弦长为4 2 ，则运用勾股定理可得
2
2
(2 2)
1
3
r
，
所以圆C 的方程为
2
2
1
9
x
y
.
故选：A .
2.若圆过点
0, 1 0,5
，且被直线
0
x
y
截得的弦长为2 7 ，则圆的方程为
A．
2
2
2
9
x
y
或
2
2
4
2
25
x
y
B．
2
2
2
9
x
y
或
2
2
1
2
10
x
y
C．
2
2
4
2
25
x
y
或
2
2
4
2
17
x
y
D．
2
2
4
2
25
x
y
或
2
2
4
1
16
x
y
【答案】A
【详解】由于圆过点
0, 1 , 0,5
，故圆心在直线
2
y
上，设圆心坐标为
,2
a
，由圆的弦长公式得
2
2
2
5
2
7
2
a
a
，解得
0
a
，或
4
a .故圆心为
0,2 或
4,2
，半径为
2
2
5
2
a
为3 或5，
故选A .
【点睛】本题主要考查圆的方程的求解，考查数形结合的思想方法，考查利用圆的弦长公式和弦长求参数
的值.题目知道圆上两个点，根据圆的对称性可判断出圆心的纵坐标，设出圆心的坐标，利用两点间距离
公式得到半径的表达式，利用弦长公式建立方程，由方程解出圆心的横坐标.
3.已知圆心在y 轴上的圆C 与直线3
4
6
0
x
y
相切，且截直线3
4
1
0
x
y
所得的弦长为2 3 ，则圆C 的
方程为（
）
A．
2
2
7
64
(
)
2
25
x
y
B．
2
2
7
64
(
)
2
25
x
y
或
2
2
3
(
)
4
2
x
y
C．
2
2
(
1)
4
x
y
D．
2
2
(
1)
4
x
y
或
2
2
5
16
(
)
2
25
x
y
【答案】C
【分析】由题意设圆的标准方程为
2
2
2
(
)
x
y
b
r
，由圆C 与直线3
4
6
0
x
y
相切得| 4
6 | 5
b
r
，在由
圆C 截直线3
4
1
0
x
y
的弦长为2 3 得
2
2
(4
1)
3
25
b
r
，联立解出即可解决问题.
【详解】由题设所求圆C 的圆心为
(0, )
P
b
，半径为r ，标准方程为
2
2
2
(
)
x
y
b
r
因为圆C 与直线3
4
6
0
x
y
相切，所以有圆心P 到该直线的距离为半径，即：| 4
6 |
5
b
r
，也即
| 4
6 | 5
b
r
①
又圆C 截直线3
4
1
0
x
y
的弦长l 为2 3 ，设圆C 的圆心为P 到直线3
4
1
0
x
y
的距离为d
，
所以
| 4
1|
5
b
d
，由
2
2
2
( )
2
l
d
r
有
2
2
(4
1)
3
25
b
r
②
联立①②可得：
2
1,
4
b
r
，所以所求得圆C 的标准方程为
2
2
(
1)
4
x
y
故选：C.
4.不经过坐标原点的直线:
0
l x
y
m
被曲线
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
截得的弦的长度等于2 2 ，则直
线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（
）
A．
2
2
4
4
0
x
y
x
y
B．
2
2
4
4
0
x
y
x
y
C．
2
2
3
3
0
x
y
x
y
D．
2
2
2
2
0
x
y
x
y
【答案】A
【分析】由曲线C 方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得m 的值，从而得到直线l 方程，
进而得到l 与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可
得所求圆的方程.
【详解】曲线C 的方程可整理为：
2
2
1
1
4
x
y
，则曲线C 为圆心为
1,1 ，半径为2 的圆；
圆心到直线l 的距离
2
2
m
d
，
2
2
2
2 4
2 4
2 2
2
m
d
，
解得：
0
m
或
4
m ，又l 不经过坐标原点，
4
m
，即:
4
0
l x
y
，
l
与坐标轴的交点坐标为
4,0
A
，
0,4
B
，
直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点
2,2
M
，半径
2 2
r
，
所求外接圆方程为
2
2
2
2
8
x
y
，即
2
2
4
4
0
x
y
x
y
.
故选：A.
题型五：利用切线求圆的方程
1.过
0,1
A
、
0,3
B
两点，且与直线
1
y
x
相切的圆的方程可以是（
）
A．
2
2
1
2
2
x
y
B．
2
2
2
2
5
x
y
C．
2
2
1
2
2
x
y
D．
2
2
2
2
5
x
y
【答案】C
【分析】分析可知，圆心在直线
2
y
上，设圆心为
,2
C t
，根据圆与直线
1
y
x
相切以及圆过点A 可得
出关于t 的等式，解出t 的值，即可得出所求圆的方程.
【详解】因为
0,1
A
、
0,3
B
，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为
2
y
，
设圆心为
,2
C t
，则圆C 的半径为
2 1
3
2
2
t
t
r
，
又因为
2
2
2
2 1
1
r
AC
t
t
，所以，
2
3
1
2
t
t
，
整理可得
2
6
7
0
t
t
，解得
1
t 或
7
t ，
当
1
t 时，
2
r
AC
，此时圆的方程为
2
2
1
2
2
x
y
；
当
7
t 时，
5 2
r
AC
，此时圆的方程为
2
2
7
2
50
x
y
.
综上所述，满足条件的圆的方程为
2
2
1
2
2
x
y
或
2
2
7
2
50
x
y
.
故选：C.
2.圆心在x 轴负半轴上，半径为4，且与直线
3
5
0
x
y
相切的圆的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
16
x
y
B．
2
2
(
3)
16
x
y
C．
2
2
(
13)
16
x
y
D．
2
2
(
13)
16
x
y
【答案】A
【分析】根据题意，设圆心为坐标为(m ，0)(
0)
m
，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线
3
5
0
x
y
的距离
4
d
，解得m 的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设圆心为坐标为(m ，0),(
0)
m
，圆的半径为4，且与直线
3
5
0
x
y
相切，
则圆心到直线
3
5
0
x
y
的距离
|
5 |
4
1
3
m
d
，解得：
3
m 或13（舍) ，
则圆的坐标为( 3,0)
，故所求圆的方程为
2
2
(
3)
16
x
y
，故选：A
3.已知直线x + 3 y+4＝0 与圆心为（2，0）的圆C 相切，则圆C 的方程为（
）
A．（x﹣2）2+y2＝3
B．（x﹣2）2+y2＝9
C．（x+2）2+y2＝3
D．（x+2）2+y2＝9
【答案】B
【分析】求出点(2,0)到直线x+ 3 y+4＝0 的距离，可得出圆C 的半径，进而可求得圆C 的方程.
【详解】由于直线x + 3 y+4＝0 与圆C 相切，则圆C 的半径
2
2
3
0
4
3
1
3
r
，
因此，圆C 的方程为
2
2
2
9
x
y
故选：B
4.已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线
2
y
x
上，若点A 在直线
4
0
x
y
的左上方且到该
直线的距离等于
2 ，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
2)
(
4)
4
x
y
B．
2
2
(
2)
(
4)
16
x
y
C．
2
2
(
2)
4)
(
4
x
y
D．
2
2
(
2)
(
4)
16
x
y
【答案】D
【分析】设圆心
( ,2 )
C a
a ，利用点到直线距离可构造方程求得a ，根据点A 的位置可确定圆心、半径，从
而得到圆的标准方程.
【详解】∵圆C 的圆心在直线
2
y
x
上，则可设
( ,2 )
C a
a ，
∵圆C 与x 轴正半轴相切与点A ，
0
a
且圆C 的半径
2
r
a
，
( ,0)
A a
.
A
到直线
4
0
x
y
的距离
2
d
，
|
0
4 |
2
1 1
a
d
，解得：
6
a
或
2
a
，
(2,0)
A
或
(6,0)
A
，
A
在直线
4
0
x
y
的左上方，
(2,0)
A
，
(2,4)
C
，
4
r
，
∴圆C 的标准方程为：
2
2
(
2)
(
4)
16
x
y
.
故选：D.
5.已知半径为6 的圆与x 轴相切，且与圆
2
2
(
3)
1
x
y
内切，则此圆的方程是（
）
A．
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
B．
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
或
2
2
(
4)
(
6)
6
x
y
C．
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
D．
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
或
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
【答案】D
【分析】设圆的方程为
2
2
(
)
(
6)
36
x
a
y
，解方程
2
9
5
a
即得解.
【详解】由题意可设圆的方程为
2
2
(
)
(
6)
36
x
a
y
，
则根据两圆内切，得
2
9
5
a
，所以
2
16
a
，所以
4
a ，
即圆的方程为
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
或
2
2
(
4)
(
6)
36
x
y
．故选：D
题型六：利用最值求圆的方程
1.与直线
4
0
x
y
和圆
2
2
1
1
2
x
y
都相切的半径最小的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
1
4
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
1
4
x
y
【答案】C
【分析】求出过圆心与直线垂直的直线方程，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离可得所求圆
的半径，设所求圆的圆心为
,
a b ，且圆心在直线
4
0
x
y
的左上方，利用
4
2
2
a
b
、
0
a
b
可
得答案.
【详解】圆
2
2
1
1
2
x
y
的圆心坐标为
1,1
，半径为
2 ，
过圆心
1,1
与直线
4
0
x
y
垂直的直线方程为
0
x
y
，所求圆的圆心在此直线上，又圆心
1,1
到直
线
4
0
x
y
的距离为6
3 2
2
，则所求圆的半径为
2 ，
设所求圆的圆心为
,
a b ，且圆心在直线
0
x
y
的上，
所以
4
2
2
a
b
，且
0
a
b
，解得
1,
1
a
b
（
3,
3
a
b
不符合题意，舍去），故所求圆的方程为
2
2
1
1
2
x
y
.故选：C．
2.已知圆C 的半径为
2 ，其圆心C 在直线
2
0
x
y
上，圆C 上的动点P 到直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
的距离的最大值为4 2 ，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
2
2
x
y
C．
2
2
4
2
2
x
y
D．
2
2
3
1
2
x
y
【答案】A
【分析】由直线方程可知恒过定点
2,2
A
，结合条件可得圆心C 到直线的距离的最大值为3 2 ，由几何
知识可知CA 垂直直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
时，圆心C 到直线的距离的最大，利用两点间距离公式即
求.
【详解】∵直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
，∴
2
2
0
k x
y
，令
2
0
x
，得
2,
2
x
y
，
∴直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
恒过定点
2,2
A
，
∵圆C 上的动点
P 到直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
的距离的最大值为4 2 ，∴圆心C 到直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
的距
离的最大值为4 2
2
3 2
，又圆心C 在直线
2
0
x
y
上，∴可设
,
2
C a
a
，当直线CA 垂直直
线
2
2
0
R
kx
y
k
k
时，圆心C 到直线
2
2
0
R
kx
y
k
k
的距离的最大，
∴
2
2
2
4
3 2
a
a
，解得
1
a ，
故圆心
1, 1
C
，∴圆C 的标准方程为
2
2
1
1
2
x
y
.故选：A.
3. 圆心在曲线
2 (
0)
y
x
x
上，且与直线2
1
0
x
y
相切的面积最小的圆的方程为
A．
2
2
(
1)
(
2)
25
x
y
B．
2
2
(
2)
(
1)
25
x
y
C．
2
2
(
1)
(
2)
5
x
y
D．
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
【答案】C
【详解】圆心在曲线
2 (
0)
y
x
x
上，设圆心坐标为
2
,
(
0)
a
a
a
，
半径
2
2
2
2
1
2
1
5
2
1
a
a
a
a
r
，当半径最小时，圆的面积最小，
由基本不等式得
2
2
4
a
a
，当a=1 时等号成立，此时半径的最小值为
5 ，
故圆的面积最小时，圆心为
1,2 ，半径为5 ，
所以圆的方程为
2
2
(
1)
(
2)
5
x
y
，
故选：C
4.已知过点(0，2)的圆C 的圆心在直线2
0
x
y
上，则圆C 的面积最小时圆C 的方程是（
）
A．
2
2
4
8
4
5
5
5
x
y
B．
2
2
4
8
16
5
5
25
x
y
C．
2
2
4
8
4
5
5
5
x
y
D．
2
2
4
8
16
5
5
25
x
y
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离求出半径的最小值，由两直线的交点坐标求出圆心坐标，从而得到圆的方程；
【详解】解:据题设分析知，圆C 半径r 的最小值min
2
2
| 2 0
1 2
0 |
2
5
2
1
r
，此时圆C 的圆心为直线
2
0
x
y
与直线
1
2
0
2
y
x
（直线
2
4
0
x
y
)的交点．联立方程
2
0
2
4
0
x
y
x
y
，解得
4
5
8
5
x
y
，所
以所求圆C 的方程是
2
2
4
8
4
5
5
5
x
y
故选：A
5.在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆
的标准方程为（
）
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
【答案】B
【分析】先求得直线
+2 +1
0
x
by
b
恒过点P(－1，2)，因此圆与直线x－by＋2b＋1＝0 相切于点P 时，
圆的半径最大，由此可求得圆的方程得选项.
【详解】由
+2 +1
0
x
by
b
整理得
+1+
2
0
x
b
y
，所以直线x－by＋2b＋1＝0 过定点P(－1，2)，如图．
所以圆与直线x－by＋2b＋1＝0 相切于点P 时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r 为
2 ，此
时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选：B.
题型七：点与圆位置关系求参
1.已知点
1,
1
a
a
在圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
的外部（不含边界），则实数a 的取值范围为（
）
A．
1
a
B．
1
a
C．0
1
a
D．
1
5
a
【答案】B
【解析】本题首先可根据圆的方程得出圆心与半径，然后根据题意得出点
1,
1
a
a
到圆心
0,a 的距离
大于半径，最后根据两点间距离公式即可得出结果.
【详解】圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
，即
2
2
2
4
x
y
a
a
，圆心
0,a ，半径
2
4
r
a
=
+
，
因为点
1,
1
a
a
在圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
的外部，
所以点
1,
1
a
a
到圆心
0,a 的距离大于半径，
即(
)
( )
2
2
2
1
1
4
a
a
+
+ -
>
+
，解得
1
a ，故选：B.
2.若点
2,1 在圆
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部，则a 的取值范围是（
）
A．1 ,
2
B．
1
, 2
C．
1
4, 2
D．
1
, 4
,
2
【答案】C
【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
【详解】依题意，方程
2
2
0
x
y
x
y
a
可以表示圆，则
2
2
( 1)
1
4
0
a
，得
1
2
a
；
由点
2,1 在圆
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部可知：
2
2
2
1
2
1
0
a
，得
4
a .
故
1
4
2
a
.故选：C
3.若点
1,2
R
在圆C ：
2
2
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部，则实数a 的取值范围为（
）
A．
3
a
B．
3
a
C．3
2
a
D．2
3
a
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系建立不等式求解，并注意方程表示圆所满足的条件.
【详解】因为点
1,2
R
在圆C ：
2
2
2
2
0
x
y
x
y
a
的外部，
所以1 4
2
4
0
a
，解得
3
a ，又方程
2
2
2
2
0
x
y
x
y
a
表示圆，
所以
2
2
( 2)
( 2)
4
0
a
，解得
2
a
，故实数a 的取值范围为3
2
a
．故选：C
4.若点
,
A a a 在圆
2
2
2
2
2
3
0
x
y
ax
a
a
外，则实数a 的取值范围是（
）
A．
, 3
B．
3,1
C．
3
, 3
1, 2
D．
, 3
1,
【答案】C
【分析】将已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P 的坐标和半径，并求出满足圆成立的条件时a 的范围，
利用两点间的距离公式求出AP 的值，比较AP 和半径的大小关系，列出关于a 的不等式，即可求得答案.
【详解】把圆的方程化为标准方程为：
2
2
(
)
3
2
x
a
y
a
，
可得圆心P 的坐标为( ,0)
a
，半径
3
2
r
a
，且3
2
0
a
，即
3
2
a
.
根据题意点
,
A a a 在圆
2
2
2
2
2
3
0
x
y
ax
a
a
外，
即
2
2
|
|
(
)
(
0)
3
2
AP
a
a
a
r
a
，
即有
2
3
2
a
a
，整理可得
2
2
3
0
a
a
，即(
3)(
1)
0
a
a
，
计算可得
3
a 或
1
a ，又
3
2
a
，可得
3
a 或
3
1
2
a
，
则实数a 的取值范围是
3
, 3
1, 2
.故选:C .
5.已知圆
2
2
:
2
2
3
0
C x
y
mx
m
，若过点
2,1 可作圆C 的两条切线，则m 的取值范围是
A．
,4
B．(
, 1)
(3,4)
C．
3,4
D．
1,4
【答案】B
【分析】先求出方程是表示圆m 的范围，根据条件点
2,1 在圆外，
2,1 代入圆方程左式大于零，再求出
可m 的取值范围，二者取交集，即为所求的结果.
【详解】
2
2
2
2
3
0
x
y
mx
m
，化为
2
2
2
(
)
2
3
x
m
y
m
m
，
方程表示圆故
2
2
3
0,
3
m
m
m
或
1
m
①
过点
2,1 可作圆C 的两条切线，故
2,1 在圆外，
2
21
2
2
2
3
2
8
0,
4
2
m
m
m
m
②
由①②可得，m 的取值范围是
1
m 或3
4
m
.
故选：B
题型八：圆上点到直线距离为定值的求参
1.若圆
2
2
4
x
y
上恰有一个点到直线:
0
l x
y
a
的距离为1，则a 的值为（
）
A．3 2
B．
2
C．
2
D．3 2
【答案】A
【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】圆
2
2
4
x
y
的圆心坐标为(0,0) ，半径为2 ，
因为圆
2
2
4
x
y
上恰有一个点到直线:
0
l x
y
a
的距离为1，
所以圆心到直线:
0
l x
y
a
的距离为3，
所以有
2
2
3
3 2
1
( 1)
a
a
.故选：A.
2.若圆
2
2
2
(
3)
(
5)
x
y
r
上恰有两个点到直线4
3
2
0
x
y
的距离为1，则半径r 的取值范围是（
）
A．
6,
B．
6,
C．
4,6
D．
4,6
【答案】C
【分析】作图，根据几何意义分析求解.
【详解】
如图，与直线1l
平行的距离为1 的直线有2 条：2
3
,
l l
，
圆C：
2
2
2
3
5
x
y
r
的圆心是
3, 5
，依题意及图：圆C 与3l
必有2 个交点，与2l
相离，
圆心C 到1l
的距离
2
2
4 3
3
5
2
5
4
3
d
，
4
6
r
；
故选：C.
3.若圆
2
2
:
1
3
8
C
x
y
上存在四个点到直线:
0
l x
y
m
的距离为
2 ，则实数m 的取值范围是（
）
A．
6
m
B．
2
m
C．6
2
m
D．
6
m 或
2
m
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程得到圆心
(1,3)
C
、半径
2 2
r
，由题设可知C 到:
0
l x
y
m
的距离
2
d
，
即可求m 的取值范围.
【详解】由题设，
(1,3)
C
且半径
2 2
r
，又圆上存在四个点到:
0
l x
y
m
的距离为
2 ，
∴C 到:
0
l x
y
m
的距离
|
4 |
2
2
m
d
，可得6
2
m
.故选：C
4.已知直线
2
0
l x
y
:
，圆
2
2
2
:
(
0)
C x
y
r
r
，若圆C 上恰有
．．三个点到直线l 的距离都等于
2 ，则r （
）
A．2
B．4
C．2 2
D．8
【答案】C
【分析】由于圆心到直线的距离为
2 ，根据圆上恰有三个点到直线的距离等于
2 ，可以得到圆心到直线
l 的距离
2
r
d
，可得半径r 的值.
【详解】圆心
0,0
C
，则点C 到直线l 的距离
0
0
2
2
2
d
，
又因为圆C 上恰有三个点到直线的距离为
2 ，
所以圆心到直线l 的距离
2
r
d
，即
2
2 2
r
d
.故选：C．
5.已知直线
:
1
2
0(
)
l mx
y
m
m
R 和圆
2
2
:
2
4
1
0
C x
y
x
y
，则“
0
m
”是“圆C 上恰有三个不同
的点到直线l 的距离为1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆心的距离范围即可求解.
【详解】圆
2
2
:
2
4
1
0
C x
y
x
y
的方程可化为
2
2
1
(
2)
4
x
y
，
其圆心坐标为(
)
1, 2
-
，半径为
2
r
，
当
0
m
时，直线:
1
l y ，圆心到直线的距离
1
1
d
r
，
此时圆C 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1，故充分性成立；
当圆C 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1 时，
圆心到直线的距离
2
2
2
1 1
1
m
m
d
r
m
，所以
2
21
1
m
，解得
0
m
，故必要性成立，
所以“
0
m
”是“圆C 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1”的充要条件.故选：C.
题型九：直线与圆相交弦长求参
1.已知直线: 2
2
0
l
x
y
是圆
2
2
:
3
6
C
x
y
b
的一条对称轴，设直线l 与x 轴的交点为P ，将直线l
绕点P 按顺时针方向旋转30得到直线l，则直线l被圆C 截得的弦长为（
）
A．1
B．
3
C．2
D．5
【答案】C
【分析】由条件求列方程求b ，确定圆心坐标，圆的半径，再求圆心到直线l的距离，利用弦长公式求直
线l被圆C 截得的弦长.
【详解】根据题意，得点
3,b 在直线: 2
2
0
l
x
y
上，所以2 3
2
0
b
，所以
4
b ，
故圆C 的圆心坐标为
3, 4
C
，半径为
6
r
，由直线: 2
2
0
l
x
y
得直线l 与x 轴的交点为
1,0
P
，
所以
2 5
PC
，所以圆心到直线l的距离为
sin30
5
PC
，故直线l被圆C 截得的弦长为
2
2
2
6
5
2
.
故选：C.
2.直线
3
y
kx
与圆
2
2
3
2
4
x
y
相交于M 、N 两点，若
2 3
MN
，则k 等于（
）
A．0
B．
2
3
C．
2
3
或0
D．
3
4
或0
【答案】D
【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心(3,2) 到直线
3
y
kx
的距离，即可求出k 的值.
【详解】由题意，∵
2 3
MN
，∴MN 到圆心的距离为
2
2
2
( 3)
1
-
= ，
∴圆心(3,2) 到直线
3
y
kx
的距离为：
2
| 3
3
2 |
1
1
k
k
，即
2
2
9
6
1
1
k
k
k
.解得：
0
k
或
3
4
，故
选：D.
3.已知过坐标原点的直线l 与圆
2
2
:(
6)
(
8)
125
C
x
y
相交于M，N 两点，当线段MN 的长为整数时，
所有满足条件直线的条数为（
）
A．12
B．13
C．25
D．26
【答案】C
【分析】确定圆心和半径，求得MN 的长的最小值和最大值，确定满足题意的所有整数值的个数，结合圆
的对称性，即可确定答案.
【详解】由题意知
2
2
:(
6)
(
8)
125
C
x
y
的圆心为
(6, 8)
A
，半径为5 5 ，
当直线l 经过圆心
(6, 8)
A
时，MN 最长，此时|
| 10 5
MN
；
当直线l 与圆心和原点的连线OA垂直时，MN 最短，
此时
2
2
|
|
6
( 8)
10
OA
，
2
|
| 2 125 10
10
MN
；
故|
|
MN 的范围为[10,10 5]，
由于2.2
5
2.3,
22
10 5
23
，
则[10,10 5]包含10,11,12,
,22
共13 个整数，
其中|
| 10
MN
为|
|
MN 的最小值，此时l 只有一条，
取其他整数时，对应的直线l 皆有2 条，这2 条直线关于直线OA对称，如图1
2
,l l ，
故当线段MN 的长为整数时，所有满足条件直线的条数为1 2 12
25
，故选：C
4.若直线2
2
0
x
y
与直线2
1
0
x
y
被圆
2
2
:
2
6
0(
10)
C x
y
x
y
m
m
截得的弦长之比为1:
2 ，
则圆C 的面积为（
）
A．2π
B．14 π
5
C．3π
D．16 π
5
【答案】B
【分析】求出圆心分别到两条直线的距离，根据勾股定理求出两条直线被圆截得的弦长，根据弦长之比为
1:
2 列式求出m ，可得圆的半径，从而可得圆的面积.
【详解】圆C 的标准方程为
2
2
1
3
10
(
10)
x
y
m m
，所以圆心
1,3
C
到直线2
2
0
x
y
的距
离为| 2
3
2 |
3
5
5
，到直线2
1
0
x
y
的距离分别为| 2
3 1|
2
5
5
，
所以直线2
2
0
x
y
被圆
2
2
:
2
6
0(
10)
C x
y
x
y
m
m
截得的弦长为
2
3
9
2 10
2 10
5
5
m
m
，
直线2
1
0
x
y
被圆
2
2
:
2
6
0(
10)
C x
y
x
y
m
m
截得的弦长为
2
2
4
2 10
2 10
5
5
m
m
，
由题意可得
9
2 10
1
5
4
2
2 10
5
m
m
，解得
36
5
m
，满足
10
m
，所以圆C 的半径为
36
14
10
10
5
5
m
，
面积为14 π
5
.
故选：B．
5.已知圆
2
2
1
1
:
1
4
O
x
y
，圆
2
2
2
1
:
2
4
O
x
y
，过点
1,2 两条互相垂直的直线1l ，2l ，其中1l 与圆
1
O
交于A，B，2l 与圆
2
O 交于C，D，且
1
2
AB
CD
，则AB （
）
A．
5
5
B．
5
10
C．2 5
5
D．
5
2
【答案】A
【分析】首先写出过定点
1,2 的两条直线方程，并求得圆心到对应直线的距离，结合弦长公式，
1
2
AB
CD
，
以及
1 2
1
k k ，列式求直线的斜率，最后求弦长AB 的值.
【详解】设
1
O ，
2
O 到直线AB，CD 的距离分别为
1d ，
2
d ，
若过定点
1,2 的直线1
2
,l l 分别为
1
x 和
2
y
，则
1
AB
CD
，不满足条件，
当两直线的斜率都存在时，设直线1l ，2l 斜率分别为
1k ，
2k ，则
1
2
1
k
k
×
= - ，
直线1l ，2l 方程分别为
1
1
2
0
k x
y
k
，
2
2
2
0
k x
y
k
，由点到直线距离公式可得：
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
k
k
d
k
k
,
2
2
2
2
2
1
1
1
1
k
d
k
k
，又
2
2
2
1
1
2
2
AB
d
，
2
2
2
2
1
2
2
CD
d
，
1
2
AB
CD
整理可得
2
1
19
k
，所以
2
1
16
16
5
1
1
1
20
5
AB
k
．故选：A
题型十：最短弦问题
1.已知圆
2
2
:(
2)
(
4)
35
C
x
y
，直线:(2
1)
(
1)
7
4
0
l
m
x
m
y
m
则直线l 被圆C 截得的弦长的最小
值为（
）
A．5
B．4 5
C．10
D．2 5
【答案】C
【分析】先判定直线l 过定点，再由弦长公式计算即可.
【详解】由
: (2
1)
(
1)
7
4
0
2
7
4
0
l
m
x
m
y
m
m
x
y
x
y
，
4
0
3
2
7
0
1
x
y
x
x
y
y
，即l 过定点
3,1
A
，由
2
2
:(
2)
(
4)
35
C
x
y
得
2,4
C
，半径
35
r
，
则当AC
l
时，C 到l 的距离最远，此时l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为
2
2
2
10
r
AC
.故选：C
2.圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y
被过点
0,0
P
的直线截得的最短弦长为（
）
A．2
B．4
C．2 2
D．2 3
【答案】C
【分析】根据点与圆、直线与圆的位置关系即可求得最短弦长.
【详解】圆
2
2
:
1
1
4
C
x
y
，圆心
1, 1
C
，半径
2
r
所以
2
21
1
2
2
PC
，故点
0,0
P
在圆C 内，则当直线垂直于过C，P 的直径时，
最短弦长
2
2
2
2
2 4
2
2 2
r
CP
.故选：C.
3.若直线
2
0
x
ay
a
与圆
2
2
:
2
4
C
x
y
交于A ，B 两点，当AB 最小时，劣弧
AB 的长为（
）
A．π
2
B．4π
3
C．2π
3
D．π
【答案】B
【分析】化简直线方程化为(
2)
(
1)
0
x
a y
，得到直线恒过定点
2,1
M
，结合圆的性质和圆的弦长公
式，即可求解.
【详解】由题意，直线
2
0
x
ay
a
可化为(
2)
(
1)
0
x
a y
，
当
2
0
x
且
1
0
y
，即
2
x
且
1
y 时，等式恒成立，所以直线恒过定点
2,1
M
，
由圆的方程知，圆心为
2,0
C
，半径
2
r
，当MC 直线AB 时，AB 取得最小值，且最小值为
2
2
2
|
|
2 4 1
2 3
r
MC
，如图，
此时弦长AB 对的圆心角一半的正切值为
3 ，故圆心角为2π
3 ，
所以劣弧长为2π
4π
2
3
3
.故选：B.
4.已知直线l：
1
3
1
2
0
k
x
k
y
和圆C：
2
2
2
2
4
x
y
相交于A，B 两点，则弦长AB 的最
小值是（
）
A．
2
B．2 2
C．2
D．3 2
2
【答案】B
【分析】首先确定直线所过的定点，判断定点与圆的位置关系，进而确定弦长AB 最小时定点与圆心所在
直线与已知直线的位置关系，应用几何法求弦长最小值.
【详解】由题设，
1
3
1
2
(
3 )
(
2)
0
k
x
k
y
k x
y
x
y
，
则
3
0
2
0
x
y
x
y
，得
3
1
x
y
，即直线l 过定点
(3,1)
M
，
又
2
2
3
2
1
2
2
4
，即M 在圆C 内，且圆C 中圆心
(2,2)
C
，半径为2，
故CM
l
时，直线与圆的相交弦最短，而|
|
2
CM
，
所以弦长AB 的最小值
2
2
2 2
|
|
2 2
CM
.故选：B
5.已知点
1, 2
A
，
0,
B
a ，若直线AB 关于y
a
的对称直线l 与圆C ：
2
2
3
18
x
y
交于M ，N 两
点，则MN 的最小值为（
）
A．2 2
B．3 2
C．2 10
D．4 2
【答案】C
【分析】求出直线AB 关于直线y
a
的对称直线l ，由于直线l 恒过点P ，当且仅当CP
l
时，圆心C 到直
线l 的距离最大，MN 取最小值可得答案.
【详解】∵
2
AB
k
a
，∴直线AB 关于直线y
a
的对称直线l 为
2
y
a x
a
，
可得
2
1
0
x
y
a x
，即直线l 恒过点
1, 2
P
，
由
2
2
1 3
2
18
得点P 在圆C 内，
圆C ：
2
2
3
18
x
y
的圆心
3,0
C
，圆C 的半径为
3 2
r
，
当且仅当CP
l
时，圆心C 到直线l 的距离最大，MN 取最小值，
由
2
1
1
a
，得
1
a ，
所以l ：
1
0
x
y
，圆心到直线l 的距离
3 1
2 2
2
d
，
2
2
8
2 10
MN
r
.故选：C.
题型十一：圆内三角形面积
1.设直线
2
y
x
a
与圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
ay
相交于
,
A B 两点，若
2 3
AB
，则圆C 的内接正三角形的面
积为(
)
A．4
B．8
C．3 3
D．4 3
【答案】C
【分析】根据题意求解圆心
(0, )
C
a 到直线
2
y
x
a
的距离d ，利用弦长公式求解a 的值，进而得到圆C 的
半径，即可得到内接正三角形的边长，即可求解其面积.
【详解】解：圆心
(0, )
C
a 到直线
2
y
x
a
的距离为
2
a
d
，圆的半径
2
2
r
a
，
根据直线与圆相交的弦长公式
2
2
2
2
l
r
d
，所以有：
2
2
2
3
2
a
a
，解得：
2
2
a
，
所以圆C 的半径为
2
r
．设该圆的内接正三角形的边长为m ，则
2
3
3
2
r
m
，
所以
2 3
m
，所以正三角形的面积为
2
3
2 3
3 3
4
.
故选：C
2.直线
0
Ax
By
C
与圆
2
2
:
4
O x
y
相交于两点M，N，若满足
2
2
2
C
A
B
，则
MON
S
．
【答案】
3
【分析】由点到直线的距离公式，结合已知可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得MN ,然后可
解.
【详解】因为
2
2
2
C
A
B
，所以
2
2
1
C
A
B
，所以，圆心
0,0 到直线的距离
2
2
1
C
d
A
B
因为
2
r
，所以
2
2
2
2 3
MN
r
d
，所以
1
3
2
MON
S
MN d
故答案为：
3
3.已知直线
)
: sin
co
R
(
s
2
l x
y
与圆
2
2
:
16
O x
y
相交于A ，B 两点，则AOB
的面积为（
）
A．2
B．2 3
C．4 3
D．与有关的不确定值
【答案】C
【分析】计算圆心O到直线l 的距离
2
d
，
4 3
AB
，再计算面积得到答案.
【详解】圆心O到直线l 的距离
2
2
2
2
sin
cos
d
，
2
2
2
2 16
4
4 3
AB
r
d
.
1
4 3
2
AOB
S
AB d
△
.故选：C
4.设直线
2
0
ax
y
与圆
2
2
:
2
4
C x
y
相交于A 、B 两点，且ABC
的面积为2 ，则
a
（
）
A．
2
B．
3
C．
5
D．
7
【答案】D
【分析】利用三角形的面积公式可求得
2
ACB
，可得出圆心C 到直线
2
0
ax
y
的距离d ，再利用
点到直线的距离公式可求得a 的值.
【详解】由三角形的面积公式可得
2
1
2
sin
2
2
ABC
S
ACB
△
，可得sin
1
ACB
，
0
ACB
，故
2
ACB
，则ABC
为等腰直角三角形，
所以，圆心C 到直线
2
0
ax
y
的距离为
2sin
2
4
d
，
由点到直线的距离公式可得
2
4
2
1
d
a
，解得
7
a
.故选：D.
5.已知直线3
4
10
0
x
y
与圆
2
2
:
2
4
20
0
C x
y
x
y
相交于A 、B 两点，点P 在圆C 上，且满足
4
PAB
S
，则满足条件的P 点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题首先可确定圆心
1, 2
C
与半径
= 5
r
，然后求出圆心C 到直线的距离
3
d 以及弦长
8
AB
，
再然后求出P 点到直线AB 的距离，最后根据AB 两侧圆上的点到直线AB 的最大距离分别为8和2 即可得
出结果.
【详解】
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
，
2
2
1
2
25
x
y
，圆心
1, 2
C
，半径
= 5
r
，
则圆心
1, 2
C
到3
4
10
0
x
y
的距离
2
2
3 8 10
3
3
4
d
- -
=
=
+
，弦长
2
2
2
8
AB
r
d
=
-
=
，
设P 点到AB 的距离为h ，则
1
4
2
PAB
S
AB h
△
，解得
1
h ，
因为AB 两侧圆上的点到直线AB 的最大距离分别为8和2 ，所以满足条件的P 点个数为4 ，故选：D.
题型十二：圆内四边形面积
1.过圆
2
2
:
2
15
0
E x
x
y
内一点
1,3
M
作两条相互垂直的弦AB 和CD，且AB
CD
，则四边形ACBD
的面积为（
）．
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】D
【分析】结合圆的几何性质以及勾股定理求得
,
AB CD ，由此求得四边形ACBD的面积.
【详解】圆
2
2
:
2
15
0
E x
x
y
即
2
2
2
1
4
x
y
，圆心为
1,0
E
，半径
4
r
.
1,3
M
在圆内.
2
2
2
3
13
ME
，设
,
P Q 分别是
,
AB CD 的中点，则
,
EP
AB EQ
CD
，
由于AB
CD
，所以四边形EPMQ 是正方形，所以
2
26
2
2
EP
EQ
ME
，
所以
2
2
26
2 4
38
2
AB
CD
，所以四边形ACBD的面积为1
38
38
19
2
.
故选：D
2.已知圆的方程为
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
，设该圆过点
2,3
M
的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四
边形ABCD面积为（
）
A．6
B．6 5
C．6 7
D．6 11
【答案】C
【分析】分析可知AC
BD
，计算出AC 、BD ，即可求得四边形ABCD的面积.
【详解】圆的标准方程为
2
2
1
2
9
x
y
，圆心为
1,2
E
，半径为
3
r ，
2
2
2 1
3
2
9
，故点M 在圆
2
2
1
2
9
x
y
内，如下图所示：
则
2
2
2 1
3
2
2
ME
，
过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即
2
6
AC
r
，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即
2
2
2
2 7
BD
r
ME
，此时AC
BD
，此时，四边形ABCD的面积为
1
1
6 2 7
6 7
2
2
S
AC
BD
.
故选：C.
3.在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
0
x
y
a
与圆
2
2
:
2
4
1
0
C x
y
x
y
交于A ，B 两点，已知四边
形OACB 为菱形，则|
|
AB （
）
A．11
B．7
C．2
D．
3
【答案】A
【分析】四边形OACB 为菱形，则对角线OC 与AB 垂直平分，易得线段OC 中点在直线
2
0
x
y
a
上，
从而得到直线方程，进而利用垂径定理，即可得到结果.
【详解】圆
(
)
(
)
2
2
:
1
2
4
C
x
y
-
+
-
=
，圆心
1,2
C
，半径
2
r
，
若四边形OACB 为菱形，则对角线OC 与AB 垂直平分，记OC
AB
M
，
则
1 ,1
2
M
，又M 在直线
2
0
x
y
a
上，∴1
2
2
0
a
，即
5
2
a
，
∴直线AB 为：2
4
5
0
x
y
∴C 到直线距离为：
2
8
5
5
5
2
4 16
2 5
d
，
∴
2
2
|
| 2
11
AB
r
d
，故选：A
4.若过原点O 的动直线l 将圆
2
2
: (
1)
(
2)
10
E
x
y
分成两部分的面积之差最大时，直线l 与圆的交点记
为A，B，直线l 将圆E 分成两部分的面积相等时，直线l 与圆的交点记为C，D，则四边形ACBD 的面积
为（
）
A．10 2
B．10
C．2 10
D．2 5
【答案】A
【分析】由题可得当直线l
OE
时，弦AB 将圆E 分成两部分的面积之差最大，当直线l 过圆心E（即与
OE 重合）时，直径CD 将圆E 分成两部分的面积相等，进而得出四边形ACBD 的面积.
【详解】当直线l 过圆心E（即与OE 重合）时，直径CD 将圆E 分成两部分的面积相等.
如图所示，连接
,
,
AE BE EO ，设
AEB
，过E 作AB 的垂线，垂足为M ，
则M 为AB 的中点且
5
EM
.故
2
cos
2
10
EM
AEM
，故4
2
AEM
即2
AEB
，
由四边形ABCD可得2
AEB
记劣弧弓ACB 的面积为
1S ，AEB
，则弦AB 将圆E 分成两部分的
面积之差为：
1
1
1
10
2
10
2
10
10 sin
10
10
10sin
2
2
S
，
因为
sin
y
在
,
2
p p÷
ê
÷÷
ê
ø
ë
上为减函数，故
10
10
10sin
y
在
,
2
p p÷
ê
÷÷
ê
ø
ë
为减函数，
故当
2
时，弦AB 将圆E 分成两部分的面积之差最大.此时OE 与OM 重合，即AB
OE
.
圆心
1 2
E（，）到原点O 的距离为5 ，半径为10 ，
所以
2 5
AB
，因为
1
·
2
ACBD
S
CD AB
四边形
，所以
1
2 10
2 5
10 2
2
ACBD
S
四边形
.故选: A.
5.在圆
2
2
:
4
2
4
0
M x
y
x
y
内，过点
0 0
O
，的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD的
面积为（
）
A．24
B．12
C．10
D．8
【答案】B
【分析】化圆的方程为标准方差，求出圆心M 的坐标与半径，最长的弦即为圆的直径，最短的弦BD 和MO
垂直，且经过点O，由垂径定理求得BD ，从而可求四边形ABCD的面积.
【详解】化圆
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
为
2
2
2
1
9
x
y
，可得圆心坐标为
2, 1
M
,半径为3.
由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故
=6
AC
.因为
0 0
O
，，所以
5
MO
.
弦最短时，弦BD 与MO 垂直，且经过点O,此时
2 9
5
4
BD
.
故四边形ABCD的面积为1
1
6 4
12
2
2
AC
BD
.故选:B.
题型十三：圆的切线问题
1.圆
2
2
6
0
x
y
y
在点
( 5,1)
P
处的切线方程为（
）
A．5
2
3
0
x
y
B．
5
2
3
0
x
y
C．2
5
3
0
x
y
D．2
5
3
0
x
y
【答案】A
【分析】先计算出
2 5
5
AP
k
，从而由斜率乘积为-1 得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答
案.
【详解】因为
2
2
5
1
6 1
0
，所以
( 5,1)
P
在圆
2
2
6
0
x
y
y
上，
2
2
6
0
x
y
y
的圆心为
0,3
A
，
故
3 1
2 5
5
0
5
AP
k
，
设圆
2
2
6
0
x
y
y
在点
( 5,1)
P
处的切线方程斜率为k ，
故
1
AP
k k
，解得
5
2
k
，
所以圆
2
2
6
0
x
y
y
在点
( 5,1)
P
处的切线方程为
5
1
5
2
y
x
，
变形得到2
2
5
5
y
x
，即
5
2
3
0
x
y
.
故选：A
2.已知圆
2
2
0
0
:
4,
,
O x
y
M x
y
为圆O 上位于第一象限的一点，过点M 作圆O 的切线l．当l 的横纵截
距相等时，l 的方程为（
）
A．
2 2
0
x
y
B．
2
0
2
x
y
C．
4 2
0
x
y
D．
2 2
0
x
y
【答案】A
【分析】利用过圆上点的切线的性质可得OM
l
，利用点
0
0
,
M
x
y
表示出切线方程，结合l 的横纵截距
相等，即得解
【详解】由题意，点M 在第一象限，故过点M 的的切线l 斜率存在；
点
0
0
,
M
x
y
在圆上，故OM
l
，即
1
OM
l
k
k
0
0
0
0
OM
l
y
x
k
k
x
y
故直线l 的方程为：
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
(
)
4
x
y
y
x
x
x x
y y
x
y
y
令
0
4
0,
;
x
y
x
令
0
4
0,
;
y
x
y
当l 的横纵截距相等时，
0
0
0
0
4
4
x
y
x
y
又
2
2
0
0
0
0
4,
0,
0
x
y
x
y
解得：
0
0
2,
2
x
y
即
2
2
4
x
y
，即
2 2
0
x
y
故选：A
3.已知圆
2
2
:
2
3
2
C
x
y
，直线l 过点
1,2
A
且与圆C 相切，若直线l 与两坐标轴交点分别为M､N，
则MN （
）
A．2 2
B．4
C．3 2
D．10
【答案】C
【分析】由点
1,2
A
在圆上，所以点A 为切点，利用圆的切线和圆心于切点的连线垂直，可求得斜率，利
用点斜式即可求得切线方程，再求点
,
M N 的坐标，利用两点间距离公式即可得解.
【详解】解：由圆
2
2
:
2
3
2
C
x
y
，得圆心
2 3
C
，，半径
2
r
，
又因为
1,2
A
为切点，所以
3
2
1
2 1
AC
k
，所以直线l 的斜率为1
，
所以
:
2
1
l y
x
，即直线:
+3
l y
x
，则令
(0,3),
(3,0)
M
N
，则
2
2
|
|
3
3
3 2
MN
，
故选：C.
4.已知过点
(2,2)
P
的直线与圆
2
2
(
1)
5
x
y
相切，且与直线
1
0
ax
y
垂直，则
a
（
）
A．
1
2
B．1
2
C．2
D．2
【答案】B
【分析】首先由点P 的坐标满足圆的方程来确定点P 在圆上，然后求出过点P 的圆的切线方程，最后由两
直线的垂直关系转化为斜率关系求解.
【详解】由题知，圆
2
2
(
1)
5
x
y
的圆心
(0,1)
C
，半径
5
r
.
因为
2
2
2
(2 1)
5
，所以点
(2,2)
P
在圆C 上，
所以过点P 的圆C 的切线l 与直线PC 垂直，设切线l 的斜率k ，则有
1
PC
k k
，
即
2 1
1
2
0
k
，解得
2
k .因为直线
1
0
ax
y
与切线l 垂直，
所以
1
k a
，解得
1
2
a
.故选：B.
5.过点
3, 1
的直线l 与圆
2
2
4
x
y
相切，则直线l 在y 轴上的截距为（
）
A．4 3
3
B．
4 3
3
C．4
D．4
【答案】D
【解析】由直线l 与圆
2
2
4
x
y
相切，得到切线方程，令直线方程中的
0
x
可得答案.
【详解】当直线l 与x 轴垂直时，则与圆不相切，
不垂直时，设直线方程为
3
1
y
k x
，因为与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即
2
3
1
2
1
k
k
，
解得
3
k
，所以直线方程为
3
3
1
y
x
，
当
0
x
时，
4
y .故选：D.
题型十四：过圆外一点的切线问题
1.过点
2,4
M
向圆
2
2
1
3
1
x
y
引切线，则其切线方程为
.
【答案】24
7
20
0
x
y
或
2
x
【分析】根据题意，分直线斜率存在与不存在讨论，然后结合点到直线的距离公式，即可得到结果.
【详解】当切线斜率不存在时，切线方程为
2
x
，
当切线斜率存在时，设切线方程为
4
2
y
k x
，即
4
2
0
kx
y
k
，
再根据圆心
1, 3
到切线的距离等于半径可得
2
3
4
2
1
1
k
k
k
，解得
24
7
k
，
此时切线方程为24
7
20
0
x
y
.
故答案为：24
7
20
0
x
y
或
2
x
2.已知曲线y=
2
4
3
x
x
与直线kx−y+k−1=0 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是
．
【答案】1 3
[ , )
2 4
【分析】先化简曲线方程得到曲线为以(2,0) 为圆心，半径为1 的上半圆，直线恒过点
( 1, 1)
D
，画出图像，
求解两个临界状态，过
( 1, 1)
D
和
(1,0)
A
两点的直线斜率，以及设过
( 1, 1)
D
且与半圆
2
2
(
2)
1(
0)
x
y
y
相切的直线斜率，数形结合即得解
【详解】由曲线
2
4
3
y
x
x
可得
2
2
(
2)
1(
0)
x
y
y
为以(2,0) 为圆心，半径为1 的上半圆
直线kx−y+k−1=0
(
1)
(
1)
0
k x
y
过点
( 1, 1)
D
，如图
过
( 1, 1)
D
和
(1,0)
A
两点的直线斜率
0
1
1
1 1
2
k
；
设过
( 1, 1)
D
的直线
1
(
1)
y
k x
与半圆
2
2
(
2)
1(
0)
x
y
y
相切，结合图像可知，显然斜率存在，故
圆心到直线的距离等于半径，即
2
| 2
1|
1
1
k
k
k
解得
3
4
k
或
0
k
（舍去，与下半圆相切）
结合图像，故要使曲线y=
2
4
3
x
x
与直线kx−y+k−1=0 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是1 3
[ ,
)
2 4
故答案为：1 3
[ ,
)
2 4
3.已知圆
2
2
1 :
4
C
x
y
和圆
2
2
2 :(
3)
(
2)
1
C
x
y
，则过点
4
2, 3
M
且与
1
2
,
C C 都相切的直线方程
为
.（写出一条即可）
【答案】
2
x
或5
12
26
0
x
y
（写出一条即可）
【分析】由直线与圆的位置关系通过几何法计算即可.
【详解】若过M 的切线斜率不存在，即为
2
x
，此时显然与两圆都相切；
若过M 的切线斜率存在，不妨设为
4
2
3
y
k x
，则
1
2
0,0 ,
3,2
C
C
到
4
2
3
y
k x
的距离分别为
1
2
2
2
4
2
2
5
3
3
2,
1
12
1
1
k
k
d
d
k
k
k
，
即
4
5
2
5
12
26
0
3
12
y
x
x
y
.
综上过M 与两圆都相切的直线为：
2
x
或5
12
26
0
x
y
故答案为：
2
x
或5
12
26
0
x
y
（写出一个即可）
4.已知圆C:
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
，直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，则满足上述条件
的直线l 共有
条.
【答案】4
【分析】画出圆的图像，根据图像观察可得答案.
【详解】由已知圆C：
2
2
1
2
2
x
y
，圆心(
)
1,2
-
，半径
2
作出圆的图像如下：
根据图像观察可得：存在4 条直线与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等
其中1
2
,l l 是过坐标原点的直线，3
4
,
l l 是斜率为-1 的直线
故答案为：4.
5.已知直线l 经过坐标原点，且与圆
2
2
4
3
0
x
y
x
相切，切点在第四象限，则直线l 的方程
为
.
【答案】
3
3
y
x
【分析】首先根据直线l 经过坐标原点将直线设为y
kx
，然后根据直线l 与圆
2
2
4
3
0
x
y
x
相切即可
得到算式
2
2
1
1
k
k
-
=
+
，再然后通过切点在第四象限即可得出直线l 的方程．
【详解】设直线l 的斜率为k ，
因为直线l 经过坐标原点，所以令直线l 的方程为y
kx
，即
0
kx
y
-
=
，
因为直线l 与圆
2
2
4
3
0
x
y
x
相切，所以直线l 到圆心的距离等于半径，
圆的方程为
2
2
4
3
0
x
y
x
，即(
)
2
2
2
1
x
y
-
+
=
，圆心
2,0 ，半径为1，
2
2
1
1
k
k
-
=
+
，
2
1
2
k
k
+ = -
，
3
3
k
，所以直线方程为
3
3
y
x
，
因为切点在第四象限，所以直线方程为
3
3
y
x
．
题型十五：切点弦问题
1.已知圆О的方程为
2
2
1
x
y
，过圆О外一点
,
P a b 作圆O 的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直
线AB 的方程为（
）
A．
1
0
ax
by
B．
1
0
ax
by
+
- =
C．
1
0
bx
ay
D．
1
0
bx
ay
【答案】B
【分析】根据平面几何知识可知点O，A，P，B 在以OP 为直径的圆上，求出该圆的方程，再将两圆的方
程相减，即可得到直线AB 的方程．
【详解】由题意知点O，A，P，B 在以OP 为直径的圆上，易求该圆的方程为
2
2
0
x
y
ax by
，AB 为
圆
2
2
1
0
x
y
与圆
2
2
0
x
y
ax by
的公共弦，将这两圆的方程相减，得
1
0
ax
by
+
- =
，即AB 的方程
为
1
0
ax
by
+
- =
.
故选：B．
2.已知圆
2
2
:
1
O x
y
,过直线:
2
0
l x
y
上第一象限内的一动点M 作圆O的两条切线，切点分别为
,
A B ,
过
,
A B 两点的直线与坐标轴分别交于,
P Q 两点，则OPQ
面积的最小值为（
）
A．1
B．1
2
C．1
4
D．1
8
【答案】B
【解析】由切线的性质，结合四点共圆判断可得O，A，M，B 四点共圆，求得圆方程，由两圆方程相减可
得相交弦AB 方程，由题意可得OPQ
面积，结合基本不等式求得最值.
【详解】因为AB 为切点，所以OA⊥AM，OB⊥BM，
所以O，A，M，B 四点共圆，设M（
0x ，
0y ），
则其圆心O'（
0
2
x ，
0
2
y ），方程为（x
0
2
x
）2+（y
0
2
y
）2
2
2
0
0
4
x
y
，
整理得x2+y2﹣xx0﹣yy0＝0，与圆O：x2+y2＝1 的方程作差得x
0x + y
0y ＝1，
又AB 是圆O 与圆O'的公共弦，
即直线AB 的方程为x
0x + y
0y ＝1，
又过
,
A B 两点的直线与坐标轴分别交于
,
P Q 两点，
得P（
0
1
x ，0）Q（0，
0
1
y ），又
0x +
0y ＝2
0
0
2 x
y
，∴
0
0
1
x
y
，当且仅当
0x =
0y ＝1 等号成立，
则OPQ
面积为
0
0
1
1
1
1
2
2
S
x
y
，∴OPQ
面积的最小值为1
2
故选：B.
3.过点
1,2 作圆
2
2
(
1)
1
x
y
的两条切线，切点分别为
,
A B ，则直线AB 的方程为（
）
A．2
2
1
0
x
y
B．2
2
1
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
【答案】A
【分析】由
2
2
(
1)
1
x
y
可得圆心
1,0
M
，设点P
1,2 ，根据题意可得点
,
A B 在以MP 为直径的圆上，
求出该圆的方程与已知圆的方程相减即可求解.
【详解】由
2
2
(
1)
1
x
y
可得圆心
1,0
M
，
设点P
1,2 ，则
2
2
1 1
0
2
2 2
MP
，
因为PA ，PB 是圆
2
2
(
1)
1
x
y
的两条切线，切点分别为
,
A B ，
所以MA
PA
，MB
PB
，
所以点
,
A B 在以MP 为直径的圆上，圆心为MP 设为中点
0,1 ，半径为1
2
2 MP
，
所以圆的方程为
2
2
1
2
x
y
，而直线AB 为两圆公共弦所在的直线，
由
2
2
(
1)
1
x
y
可得
2
2
2
0
x
y
x
，由
2
2
1
2
x
y
可得
2
2
2
1
x
y
y
，
两圆方程相减可得：2
2
1
0
x
y
，所以直线AB 的方程为2
2
1
0
x
y
，故选：A.
4.过点
1,1
P
作圆C：
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（
）
A．
3
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．
1
0
x
y
D．
1
0
x
y
【答案】A
【分析】考虑斜率不存在和斜率为0 的两种情况，计算切点，得到切线方程.
【详解】
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
，即
2
2
2
2
1
x
y
，圆心为
2,2 ，半径
1
r .
当斜率不存在时，直线
1
x 与圆相切，切点为
1,2 ；
当斜率为0 时，直线
1
y 与圆相切，切点为
2,1 .
故直线方程为斜率
2 1
1
1
2
k
，直线方程为
1
2
y
x
，即
3
0
x
y
.
故选：A.
5.已知点P 在直线
4
x
y
上，过点P 作圆
2
2
:
4
O x
y
的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆
2
2
:(
4)
(
5)
1
G
x
y
上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（
）
A．4
B．6
C．10
1
D．13
1
【答案】B
【分析】根据题意，设
( , )
P m n 为直线:
4
l x
y
上的一点，由切线的性质得点A 、B 在以OP 为直径的圆
上，求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线AB 的方程，将其变形分析可得直线AB 恒过的定点，
由点到直线的距离分析可得答案．
【详解】根据题意，设
( , )
P m n 为直线
4
x
y
上的一点，则
4
m
n
，
过点P 作圆
2
2
:
4
O x
y
的切线，切点分别为A 、B ，则有OA
PA
，OB
PB
，
则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，
以OP 为直径的圆的圆心为C( 2
m ，
)
2
n ，半径
2
2
1 |
|
2
2
m
n
r
OP
，
则其方程为
2
2
2
2
(
)
(
)
2
2
4
m
n
m
n
x
y
，变形可得
2
2
0
x
y
mx
ny
，
联立
2
2
2
2
4
0
x
y
x
y
mx
ny
，可得圆C 和圆O 公共弦AB 为：
4
0
mx
ny
，
又由
4
m
n
，则有
(4
)
4
0
mx
m y
，变形可得
(
)
4
4
0
m x
y
y
，
则有
0
4
4
0
x
y
y
，解可得
1
x
y
，故直线AB 恒过定点
(
)
1,1
Q
，
点M 在圆
2
2
:(
4)
(
5)
1
G
x
y
上，
则点M 到直线AB 距离的最大值为
2
2
|
| 1
(4
1)
(5 1)
1
6
GQ
．
故选：B．
题型十六：切点弦长及最值范围问题
1.若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】可以用两种方法求最小值：（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一
成一个，利用函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
【详解】方法一：由
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
，得
2
2
1
2
2
x
y
，
依题意得圆心
1,2
C
在直线2
6
0
ax
by
上，
即
2
1
2
6
0
a
b
，整理得
3
a
b
①．
易知由点
,a b 向圆所作的切线长
2
2
1
2
2
l
a
b
②，
将①代入②，得
2
2
2
4
2
2
2
1
16
l
b
b
b
．
又
R
b
，所以当
1
b = - 时，min
4
l
．
方法二：因为过圆外一点的圆的切线长l 、半径r 和该点到圆心的距离d 满足勾股定理，
即
2
2
2
l
d
r
，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值
问题．
由题意知圆心
1,2
C
，半径
2
r
，点
,a b 满足
3
a
b
，即点
,a b 在直线
3
y
x
上；
所以点
,a b 与圆心的距离的最小值即圆心到直线
3
y
x
的距离d，
易求得
1
2
3
3 2
2
d
，所以切线长的最小值为
2
3 2
2
4
．故选：C
2.已知直线:
1
0(
R)
l x
ay
a
是圆
2
2
:
6
2
1
0
C x
y
x
y
的对称轴，过点
( 4, )
P
a
作圆C的一条切线，
切点为A ，则PA （
）
A．2
B．4 3
C．2 10
D．7
【答案】D
【分析】根据题意，得到直线l 过圆心
(3,1)
C
，求得
2
a ，得到
( 4, 2)
P
，结合圆的弦长公式，即可求
解.
【详解】由圆
2
2
:
6
2
1
0
C x
y
x
y
，可得
2
2
(
3)
(
1)
9
x
y
，
所以圆心
(3,1)
C
，半径为
3
r ，
又由直线:
1
0
l x
ay
是圆C 的对称轴，即直线l 过圆心
(3,1)
C
，
即3
1
0
a
，解得
2
a ，即
( 4, 2)
P
，
则
2
2
(3
4)
(1 2)
58
PC
，
所以切线长为
2
2
58
9
7
PA
PC
r
.
故选：D.
3.已知点
3,0 ,
3,0 ,
1,0
M
N
B
，动圆C 与直线MN 切于点B，过M、N 与圆C 相切的两直线相交于点
P，则P 点满足的条件是（
）
A．
2
PM
PN
B．
2
PM
PN
C．
2
PM
PN
或2
D．
1
PM
PN
或1
【答案】C
【分析】设
,
PM PN 分别与圆C 相切于Q、R,根据圆的切线长定理,可推出
2
PM
PN
.
【详解】由已知,设
,
PM PN 分别与圆C 相切于Q、R,根据圆的切线长定理,有
PQ
PR ,
,
;
MQ
MB
NR
NB
4
2
2
PM
PN
QM
RN
MB
NB
，
所以
2
PM
PN
或2
.
故选：C
4.已知圆
2
2
:
1
O x
y
，直线3
4
10
0
x
y
上动点P ，过点P 作圆O的一条切线，切点为A ，则PA 的最
小值为（
）
A．1
B．
2
C．
3
D．2
【答案】C
【分析】首先得出切线长PA 的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可.
【详解】圆O：
2
2
1
x
y
中，圆心
(0,0)
O
，半径
1
r
设
0
0
(
,
)
P x
y
，则
0
0
3
4
10
0
x
y
，
则
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
1
1
25
60
84
4
PA
PO
x
y
x
x
,
当
0
30
6
25
5
x
时，
min
1
6
1
36
60
84
48
3
4
5
4
PA
，
故选：C
5.已知圆
2
2
: (
1)
(
1)
4
C
x
y
，直线: 2
2
0
l
x
y
+
+ =
，M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA，
MB ，切点为A ，B ，则CM
AB
最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据圆的性质结合条件可得四边形MACB 的面积为
2
1
2
4
2
S
CM AB
CM
，然后利用点到
直线的距离即得.
【详解】圆C：
2
2
1
1
4
x
y
的圆心为
(1,1)
C
，半径
2
r
，
因为四边形MACB 的面积为
2
1
2
2
2
4
2
CAM
S
CM AB
S
CA AM
AM
CM
，
所以当四边形MACB 的面积最小时，CM
AB
取得最小值，此时CM 最小，
此时CM 与直线l 垂直，
因为
(1,1)
C
到直线: 2
2
0
l
x
y
+
+ =
的距离为
2
2
2 1
2
5
2
1
d
，
所以
2
4
4
4 5
4
4
CM AB
CM
，
所以CM
AB
最小值为4.故选：B.
