直线和圆的方程单元复习卷（一）
一、单选题(每题只有一个选择为正确答案，每题5 分，8 题共40 分)
1.已知
2
2
1
:
2
0
2
C x
y
x
y
，则该圆的圆心坐标和半径分别为（
）
A．
1
3
1,
,
2
2
B．
2, 1 , 3
C．
1
1,
, 3
2
D．
3
2,1 , 2
【答案】A
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径.
【详解】
2
2
1
:
2
0
2
C x
y
x
y
，即
2
2
1
3
1
2
4
x
y
，
故该圆的圆心坐标为
1
1, 2
，半径为
3
2
．
故选：A．
2.若直线:
1
0
l x
my
的倾斜角为2π
3 ，则实数m 值为（
）
A．
3
B．
3
C．
3
3
D．
3
3
【答案】C
【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得.
【详解】由题知，
1
2π
π
π
tan
tan π
tan
3
3
3
3
m
，
解得
3
3
m
.
故选：C
3.已知圆
2
2
:(
2)
(
4)
25
E
x
y
，圆
2
2
:(
2)
(
2)
1
F
x
y
，则这两圆的位置关系为（
）
A．内含
B．相切
C．相交
D．外离
【答案】A
【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断.
【详解】圆
2
2
:(
2)
(
4)
25
E
x
y
的圆心E 为(2,4) ，半径1
5
r
；
圆
2
2
:(
2)
(
2)
1
F
x
y
的圆心F 为(2,2) ，半径1
1
r ，
则
2
2
(2
2)
(4
2)
2
EF
，故
1
2
EF
r
r
，所以两圆内含；
故选：A
4.已知圆
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
，过点
(1,3)
P
作圆的切线，则该切线的一般式方程为（
）
A．
2
7
0
x
y
B．
2
5
0
x
y
C．2
5
0
x
y
D．2
1
0
x
y
【答案】B
【分析】由题意点
(1,3)
P
在圆上，故由直线CP 的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可
得解.
【详解】因为圆
2
2
(
2)
(
1)
5
x
y
的圆心坐标为
2,1
C
，且点
(1,3)
P
的坐标满足
2
2
(1 2)
(3 1)
5
，
这表明点
(1,3)
P
在圆上，所以直线CP 的斜率为
1 3
2
2 1
CP
k
，过点
(1,3)
P
的切线的斜率为
1
1
2
CP
k
，
所以该切线方程为
1
3
1
2
y
x
，化为一般式得
2
5
0
x
y
.
故选：B.
5.已知直线1 :
2
2
0
l
ax
y
与直线
2 :
1
2
0
l
x
a
y
平行，则实数a 的所有取值之和为（
）
A．-2
B．1
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据直线平行求出a 即可得解.
【详解】因为直线1 :
2
2
0
l
ax
y
与直线
2 :
1
2
0
l
x
a
y
平行，
所以
1
2
0
a a
，解得
2
a 或1，经检验均满足题意，
所以实数a 的所有取值之和为1
.
故选：B
6.已知圆
2
2
: (
2)
16
C
x
y
，直线:
3
1
0
l mx
y
m
，则下列结论中正确的是（
）
A．直线l 恒过定点
2,1
B．直线l 与圆C 相切
C．直线l 与圆C 相交
D．直线l 与圆C 相离
【答案】C
【分析】求出圆C 的圆心和半径，直线l 所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即
可.
【详解】圆
2
2
: (
2)
16
C
x
y
的圆心
(2,0)
C
，半径
4
r
，
直线:
(
3)
1
0
l m x
y
恒过定点(3,1) ，显然
2
2
(3
2)
1
2
4
r
，
因此点(3,1) 在圆C 内，直线l 与圆C 相交，ABD 错误，C 正确.
故选：C
7.直线
1
y
x
关于直线
2
y
x
对称的直线方程为（
）
A．3
1
0
x
y
B．4
2
0
x
y
C．5
3
0
x
y
D．7
5
0
x
y
【答案】D
【分析】解方程组求出两条直线的交点坐标，再求出直线
1
y
x
上的点( 4, 3)
关于直线
2
y
x
的对称点
即可求解.
【详解】由
1
2
y
x
y
x
，解得
1
2
x
y
，则直线
1
y
x
与直线
2
y
x
交于点
(1,2)
A
，
在直线
1
y
x
上取点
( 4, 3)
B
，设点B 关于直线
2
y
x
的对称点
( , )
B a b
，
依题意，
3
1
4
2
3
4
2
2
2
b
a
b
a
，整理得
2
10
2
5
a
b
a
b
，解得
0
5
a
b
，即点
(0, 5)
B
，
直线BB的方程为
2
( 5)
5
1
0
y
x
，即7
5
0
x
y
，
所以直线
1
y
x
关于直线
2
y
x
对称的直线方程为7
5
0
x
y
.
故选：D
8.已知圆
2
2
:(
4)
4
M
x
y
直线:
2
0
l x
y
，点P 在直线l 上运动，直线
,
PA PB 分别与圆M 相切于点
,
A B ．则下列说法正确的是（
）
A．四边形PAMB 的面积最小值为14
B．PA 最短时，弦AB 长为4 7
3
C．PA 最短时，弦AB 直线方程为3
3
8
0
x
y
D．直线AB 过定点
10 ,2
3
【答案】B
【分析】A 选项，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，又因切线长定理可知，当|
|
AP 最
短时，面积最小；B 选项，由圆的弦长公式结合锐角三角函数即可求解；C 选项，两垂直直线的斜率相乘
等于1
，两平行直线斜率相等；D 选项，由向量积公式求定点坐标．
【详解】对于A，四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，
即
2
2
2
1
2
2
2
2
4
2
2
MPA
MPB
MPA
PAMB
S
S
S
S
PA AM
PA
PM
AM
PM
四边形
=
=
，
|
|
MP
最短时，面积最小，故当MP
l
时，|
|
MP 最短，
即
min
| 4
0
2 |
3 2
2
MP
，
2
2
3 2
4
2 14
PAMB
S
四边形
，故A 错误；
由上述可知，MP
l
时，|
|
MP 最短，故|
|
PA 最小，
且最小值为
2
3 2
4
14
PA
，
所以
14
4 7
2
sin
2
2
2
3
3 2
AP
AB
AM
AMP
AM PM
，故B 正确；
当PA 最短时，则MP
l
，又MP
AB
，所以//
l AB ，
1
lk ，
1
AB
k
，
可设AB 的直线方程为
0
x
y
m
，
圆心
( 4,0)
M
到直线AB 的距离
2
2
| 4
|
2 2
2
3
2
AB
m
d
AM
，
解得
8
3
m
或
16
3
m
，
由于直线AB 在圆心
( 4,0)
M
的右侧，且在直线l 的左侧，
所以4
2
2
4
m
m
，
所以
8
3
m
，
即直线AB 的方程为
8
0
3
x
y
，故C 错误；
设圆上一点
,
A
A
A x
y
，
,
B
B
B
x
y
，
,
P
P
P x
y
，
4,
A
A
MA
x
y
，
4,
B
B
MB
x
y
，
,
A
P
A
P
PA
x
x
y
y
，
易知
0
(
4)(
)
(
)
0
A
A
P
A
A
P
PA MA
x
x
x
y
y
y
，
由于
2
2
(
4)
4
A
A
x
y
，
所以(
4)(
4)
4
P
A
P
A
x
x
y
y
，
同理
0
(
4)(
4)
4
P
B
P
B
PB MB
x
x
y
y
，
:(
4)(
4)
4
P
P
AB
x
x
y y
，
2
P
P
y
x
，
4
4
2
4
P
P
x
x
y
x
，即
4
4
2
12
0
P
x
y x
x
y
，
令
4
0
4
2
12
0
x
y
x
y
，解得
10
3
2
3
x
y
，
所以直线AB 过定点为
10 2
,
3
3
，故D 错误．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点
0
0
,
x
y
，常利用直线的点斜式方程
0
0
y
y
k x
x
或截距式y
kx
b
来证明.
二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.）
9.（多选）下列命题中错误
．．的是（
）
A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B．任何直线都存在斜率和倾斜角
C．直线的一般式方程为
0
Ax
By
C
D．任何一条直线至少要经过两个象限
【答案】BCD
【解析】对于A，直线的倾斜角
π
( ,π)
2
，则其斜率
tan
0
k
，A 正确；
对于B，倾斜角为π
2 的直线不存在斜率，B 错误；
对于C，直线的一般式方程为
0
Ax
By
C
，
2
2
0
A
B
，C 错误；
对于D，当直线与x 轴或y 轴重合时，该直线不经过任何象限，D 错误.故选：BCD
10.（多选）下列说法中正确的是（
）
A．直线
1
0
x
y
在y 轴上的截距是1
B．直线
2
0
mx
y
m
m
R 恒过定点
1, 2
C．点
0,0 关于直线
1
0
x
y
对称的点为(
)
1, 1
-
D．过点
1,2 且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线方程为
3
0
x
y
【答案】BC
【分析】对于A 项，将直线方程化成斜截式方程即得；对于B 项，把直线方程化成关于参数m 的方程，
依题得到
1
0
2
0
x
y
，解之即得；对于C 项，只需验证两点间的线段中点在直线上，且两点的直线斜率与
已知直线斜率互为负倒数即可；对于D 项，需注意截距相等还包括都为0 的情况.
【详解】对于A 项，由
1
0
x
y
可得：=
1
y
x
，可得直线
1
0
x
y
在y 轴上的截距是1
，故A 项
错误；
对于B 项，由
2
0
mx
y
m
可得：
(
1)
2
0
m x
y
，因
R
m
，则有：
1
0
2
0
x
y
，
故直线
2
0
mx
y
m
m
R 恒过定点
1, 2
，故B 项正确；
对于C 项，不妨设
(0,0),
(1, 1)
A
B
,直线:
1
0
l x
y
，因直线AB 的斜率为1
与直线l 的斜率为1 的乘积为
1
，则得AB
l
,
又由点A 到直线l 的距离为1
2 与点B 到直线l 的距离为1
2 相等，且在直线l 的两侧，故点
0,0 关于直线
1
0
x
y
对称的点为
1, 1
，即C 项正确；
对于D 项，因过点
1,2 且在x 轴､y 轴上的截距相等的直线还有
2
y
x
，故D 项错误.
故选：BC.
11.（多选）已知直线
2
1
2
:
3
4
0,
:
2
5
0
l
ax
y
l
x
a
y
a
，则（
）
A．若
1
a ，则1l 的一个方向向量为
3, 1
B．若1
2
l
l
∥
，则
1
a 或
3
a
C．若1
2
l
l
，则
3
2
a
D．若1l 不经过第二象限，则
0
a
【答案】ACD
【解析】对A，当
1
a 时，1
3
4
0
:
l
x
y
，斜率为
1
3
，则其一个方向向量为
3, 1
，故A 正确；
对B，若1
2
l
l
∥
，当
2
a
时，显然不合题意，则
2
a
，则直线1l 的斜率
1
3
a
k
，
直线2l 的斜率
2
1
2
k
a
，则有
1
2
k
k
，即
1
3
2
a
a
，解得
3
a 或1
，
当
1
a 时，此时直线1
2
3
4
0,
:
3
4
0
:
l
x
y
l
x
y
，显然两条直线重合，故B 错误；
对C，若1
2
l
l
，当
2
a
时，显然不合题意，则
2
a
，则
1
2
1
k k
×
= - ，
即
1
1
3
2
a
a
，解得
3
2
a
，故C 正确；
对D，若1l 不经过第二象限，1 :
3
4
0
l
ax
y
，化简得
4
3
3
a
y
x
，
则
0
3
a
，解得
0
a
，故D 正确；故选：ACD.
12.（多选）已知圆
2
2
:
21
C x
y
，直线
:
1
2
3
2
0
l ax
a y
a
a
R ，下列说法正确的是（
）
A．无论a 取何值，直线l 与圆C 相交
B．直线l 被圆C 截得的最短弦长为4
C．若
1
a ，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为
2
2
1
1
21
x
y
D．直线l 的方程能表示过点
1,2 的所有直线的方程
【答案】AC
【解析】对于A 选项，直线l 的方程可变形为
2
3
2
0
a x
y
y
，
由
2
3
0
2
0
x
y
y
可得
1
2
x
y
，所以，直线l 过定点
1,2
P
，
因为
2
2
1
2
21
，所以，点P 在圆C 内，
故无论a 取何值，直线l 与圆C 相交，A 对；
对于B 选项，圆心C 为坐标原点，半径为
21
r
，
当PC
l
时，点C 到直线l 的距离取最大值，且其最大值为
2
2
1
2
5
PC
，
此时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，且最短弦长为2 21 5
8
，B 错；
对于C 选项，当
1
a 时，直线l 的方程为
1
0
x
y
，
设圆心
0,0
C
关于直线l 的对称点为
,
M m n ，
则线段MC 的中点
,
2 2
m n
在直线l 上，则
1
0
2
2
m
n
①，
直线MC
l
，且直线l 的斜率为1，则
1
MC
n
k
m
②，联立①②可得
1
m ，
1
n ，
故若
1
a ，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为
2
2
1
1
21
x
y
，C 对；
对于D 选项，若直线l 表示直线
2
3
0
x
y
，则
1 2
3
2
1
2
3
a
a
a
，无解，
且直线
2
3
0
x
y
过点
1,2 ，故直线l 不能表示直线
2
3
0
x
y
，D 错.故选：AC.
三、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13.已知直线l 的方程为
1
4
3
x
y
，则坐标原点到直线l 的距离为
.
【答案】12
5 /2.4
【解析】将直线
1
4
3
x
y
化为一般方程可得3
4
12
0
x
y
，
由点到直线距离公式可得坐标原点
0,0 到直线l 的距离为
2
2
12
12
5
3
4
d
.故答案为：12
5
14.与直线:3
4
5
0
l
x
y
关于y 轴对称的直线的方程为
.
【答案】3
4
5
0
x
y
【解析】由直线3
4
5
0
x
y
的斜率为3
4 ，可得直线l 关于y 的对称直线的斜率为
3
4
k
，
又因为直线l 与y 的交点为
5
(0,
)
4 ，所以对称直线的方程为
5
3 (
0)
4
4
y
x
，
即对称直线的方程为3
4
5
0
x
y
.
故答案为：3
4
5
0
x
y
.
15.过点
1,3
A
的直线l 被圆
2
2
4
x
y
截得的弦长为2 3 ，则直线l 的方程为
.
【答案】= 1
x 或4
3
5
0
x
y
【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答
案.
【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为= 1
x ，
此时直线l 截圆所得弦长为
2
2
2 2
1
2 3
，满足题意，
设直线l 的方程为
3
(
1)
y
k x
，即
3
0
kx
y
k
.
由垂径定理，得圆心到直线l 的距离
2
2
2 2
3
1
d
，
结合点到直线距离公式，得
2
3
1
1
k
k
＋
，
化简得
2
2
6
9
1
k
k
k
，解得
4
3
k
，即直线l 的方程为4
3
5
0
x
y
.
故答案为：= 1
x 或4
3
5
0
x
y
.
16.已知直线1 :
3
1
0
l
mx
y
m
与直线2 :
3
1
0
l
x
my
m
相交于点E ，其轨迹记为曲线
1
C ，曲线
2
C 的
方程为
2
2
1)
(
1)
16
x
y
(
，点M ，N 分别在曲线
1
C ，2
C 上运动，点P 在直线l 上，若直线l 经过点
4, 2
Q
，
且与两曲线
1
C ，
2
C 的公共弦所在的直线垂直，则PM
PN
的最小值为
.
【答案】3 10
2
4
【分析】由题意首先得
2
2
1 :
2
2
2,
,
3
C
x
y
x y
，:
6
0
l x
y
，取点
1 2,2
C
关于直线l 的对称
点为
8, 4
R
，结合三角形三边关系即可求解.
【详解】
由题意1 :
3
1
0
l
mx
y
m
即
3
1
m x
y
，2 :
3
1
0
l
x
my
m
即
3
1
m y
x
，
所以
1
3
1
3
y
y
x
x
，
注意到点
3,3 不满足
3
1
m x
y
和
3
1
m y
x
，
所以化简得
2
2
1 :
2
2
2,
3,
3
C
x
y
x
y
，
又
2
2
2 :
1
1
16
C
x
y
，
两式相减得公共弦方程为3
3
10
0
x
y
，
所以直线l 的方程为
4
2
0
x
y
，即
6
0
x
y
，
设点
1 2,2
C
关于直线l 的对称点为
,
R a b ，
所以
2
2
6
0
2
2
2
1
2
a
b
b
a
，解得
8,
4
a
b
，
所以
1
1
1
2
2
1
PM
PN
PN
PC
r
PN
PR
r
RC
r
r
81 9
4
2
3 10
4
2
，
当且仅当点P 与
2
RC 与直线l 的交点重合时，等号成立，
综上所述，PM
PN
的最小值为3 10
2
4
.
故答案为：3 10
2
4
.
【点睛】关键点睛：关键是取点
1 2,2
C
关于直线l 的对称点为
8, 4
R
，由此即可顺利得解.
四、解答题（本题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，其它每题12 分，解答应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.）
17.求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：
(1)已知
(1,2)
A
，
( 1,4)
B
，
(5,2)
C
，求ABC
的边AB 上的中线所在的直线方程.
(2)直线l 经过点
( 2, 1)
B
，倾斜角为直线
1
2
y
x
的倾斜角的2 倍，求l 的方程.
【答案】(1)x+5y﹣15＝0；(2)4x﹣3y+5＝0
【解析】（1）因为
(1,2),
( 1,4)
A
B
，则AB 的中点
(0,3)
D
，
因为ABC
的边AB 上的中线过点
(5,2),
(0,3)
C
D
，
所以CD 的方程为
2
3
3
0
5
0
y
x
（
），即
5
15
0
x
y
，
故ABC
的边AB 上的中线所在的直线方程为
5
15
0
x
y
；
（2）设直线
1
2
y
x
的倾斜角为，则
π
0, 4
，则所求直线的倾斜角为2，
因为
1
tan
2
，所以
2
2 tan
4
tan 2
1
tan
3
，
又直线经过点
( 2, 1)
B
，故所求直线方程为
4
1
2
3
y
x
（
），即4x﹣3y+5＝0；
18.已知圆
2
2
:
2
4
10
0
M
x
x
y
y
．
(1)求圆M 的标准方程，并写出圆M 的圆心坐标和半径：
(2)若直线
3
0
x
y
C
与圆M 交于A，B 两点，且
2 5
AB
，求C 的值．
【答案】(1)
2
2
(
1)
(
2)
15
x
y
，圆心坐标
(1, 2)
M
，半径为15 ；(2)
15
C
或5
【解析】（1）由
2
2
2
4
10
0
x
x
y
y
，得
2
2
2
1
4
4
15
x
x
y
y
，
则圆M 的标准方程为
2
2
(
1)
(
2)
15
x
y
，
圆M 的圆心坐标
(1, 2)
M
，半径为15 ．
（2）由
2 5
AB
，得圆心M 到直线
3
0
x
y
C
的距离为
2
15
10
2
AB
，
则圆心M 到直线
3
0
x
y
C
的距离
2
2
|1
6
|
10
1
3
C
，得
15
C
或5
．
19.已知直线2
1
0
x
y
与直线3
9
0
x
y
相交于点P ，则
(1)求过点P 且平行于直线5
4
1
0
x
y
的直线1l
(2)求过点P 且垂直于直线3
4
3
0
x
y
的直线2l
【答案】(1)5
4
2
0
x
y
；(2) 4
3
1
0
x
y
【解析】（1）由
2
1
0
3
9
0
x
y
x
y
解得
2
3
x
y
，即
2, 3
P
，
因为直线5
4
1
0
x
y
的斜率为5
4 ，
所以过点P 且平行于直线5
4
1
0
x
y
的直线1l 的斜率为5
4 ，
所以直线1l 为：
5
3
(
2)
4
y
x
，化简得5
4
2
0
x
y
.
（2）因为直线3
4
3
0
x
y
的斜率为
3
4
，
所以点P 且垂直于直线3
4
3
0
x
y
的直线2l 的斜率为4
3
所以直线2l 为：
4
3
2
3
y
x
，化简得4
3
1
0
x
y
.
20.已知圆
2
2
:
2
4
0
C x
y
x
y
m
与y 轴相切，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过P 作圆C 的切线，切
点为M．
(1)求圆C 的圆心坐标及半径；
(2)求满足
2
PM
PO
的点P 的轨迹方程．
【答案】(1)圆心坐标为(
)
1,2
-
，圆C 的半径为1．
(2)
2
2
1
2
9
x
y
【分析】（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径，
（2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解.
【详解】（1）圆C 的标准方程为
2
2
1
2
5
x
y
m
，所以圆C 的圆心坐标为
1,2
．又圆C 与y 轴
相切，所以
5
1
m
，即
4
m
，故圆C 的半径为1．
（2）设
,
P x y ，则
2
2
2
2
2
1
2
1
PM
PC
MC
x
y
，
2
2
2
PO
x
y
．
由于
2
PM
PO
，则
2
2
2
2
1
2
1
2
x
y
x
y
，
整理得点P 的轨迹方程为：
2
2
1
2
9
x
y
．
经检验，
2
2
1
2
9
x
y
上的点都符合条件．
21.已知圆C：
2
2
1
5
x
y
，直线l：
1
0
mx
y
m
与圆C 交于两点A，B．
(1)若
3 2
AB
，求实数m 的值；
(2)若点P 为直线l 所过定点，且
2
PB
AP
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
1
m
(2)
0
x
y
或
2
0
x
y
【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解，
（2）根据向量的坐标运算即可得
2
1
3
2
x
x
，联立直线与抛物线方程，即可根据韦达定理求解.
【详解】（1）由题意可知：圆C：
2
2
1
5
x
y
的圆心为
0,1
C
，半径为
5
R
．
圆心C 到直线l：
1
0
mx
y
m
的距离为：
2
1
m
d
m
，
由
2
2
2
3 2
5
2
1
m
m
解得：
1
m ．
（2）直线l 的方程：
1
0
mx
y
m
可化为：
1
1
y
m x
，
直线l 过定点
1,1
P
，且
1,1
P
在圆内；
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
(1,1)
P
，
1
1
1
,1
AP
x
y
，
2
2
1,
1
PB
x
y
1
2
AP
PB
，
1
1
2
2
1
1
,1
1,
1
2
x
y
x
y
1
2
1
1
1
2
x
x
，
2
1
3
2
x
x
①
由
2
2
1
0
(
1)
5
mx
y
m
x
y
得：
2
2
2
2
1
2
5
0
m
x
m x
m
（※）
2
1
2
2
2
1
m
x
x
m
，②
由①②解得
2
1
2
3
1
m
x
m
，带入（※）式
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
1
2
5
0
1
0
1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
，解得
1
m ，
直线l 的方程为
0
x
y
或
2
0
x
y
．
22.已知圆O 的方程是
2
2
:
1
O x
y
，
(1)若点
0
0
(
,
)
M x
y
为圆O 上一点，过点M 作圆O 的切线，求该切线方程.
(2)若点
0
0
(
,
)
M x
y
为圆O 外一点，过点M 作圆O 的两条切线，切点分别为A、B，
①求直线AB 的方程.
②若
0
0
(
,
)
M x
y
为直线:
3
0
l
x
y
上的一个动点，试讨论直线AB 是否恒过定点，若是，求出定点坐标;
若不是，请说明理由
【答案】(1)
0
0
1
x x
y y
；(2)①
0
0
1
x x
y y
；②恒过定点1 1
( , )
3 3 .
【解析】（1）圆
2
2
:
1
O x
y
的圆心
(0,0)
O
，由点
0
0
(
,
)
M x
y
在圆O 上，得
2
2
0
0
1
x
y
，
设过点M 的圆O 的切线上任意点
( , )
P x y ，当P 与M 不重合时，OM
MP
，有
0
OM MP
，
当P 与M 重合时，
0
OM MP
也成立，而
0
0
0
0
(
,
),
(
,
)
OM
x
y
MP
x
x
y
y
，
因此
0
0
0
0
(
)
(
)
0
x x
x
y
y
y
，整理得
0
0
1
x x
y y
，
所以所求切线的方程为
0
0
1
x x
y y
.
（2）①设切点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，
由（1）知切线
,
MA MB 的方程分别为
1
1
1
x x
y y
，
2
2
1
x x
y y
，
于是
1
0
1
0
2
0
2
0
1
1
x x
y y
x x
y y
，显然点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
的坐标满足方程
0
0
1
x x
y y
，
所以直线AB 的方程为
0
0
1
x x
y y
.
②由①知，直线AB 的方程为
0
0
1
x x
y y
，而点
0
0
(
,
)
M x
y
在直线:
3
0
l x
y
上，
即
0
0
3
y
x
，则直线AB ：
0
0
(3
)
1
x x
x
y
，即
0
(
)
3
1
0
x
y x
y
，
由
0
3
1
0
x
y
y
，解得
1
3
x
y
，因此直线AB 过定点1 1
( , )
3 3 .
