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14 小题＋1 大题(概统)——节选自金华十校模拟
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∩B＝( )
A.{0}
B.{1}
C.{1，2}
D.{1，2，3}
答案 B
解析 B＝{x|x2－2x<0}＝{x|0<x<2}，故A∩B＝{1}，故选B.
2.＝( )
A.＋i
B.－i
C.＋i
D.－i
答案 A
解析 ＝＝，故选A.
3.设α∈(0，π)，条件p：sin α＝，条件q∶cos α＝，则p 是q 的( )
A.充分不要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由于α∈(0，π)，
若sin α＝，则cos α＝±＝±，充分性不成立，
若cos α＝，则sin α＝＝，必要性成立，
故p 是q 的必要不充分条件.故选B.
4.设直线l：x－2y－a2＝0，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，则l 与圆C( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上都有可能
答案 C
解析 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1 的圆心为C(1，2)，半径r＝1，
则圆心C 到直线l 的距离d＝＝≥>1＝r，
故直线l 与圆C 相离.故选C.
5.等差数列{an}的首项为正数，公差为d，Sn 为{an}的前n 项和，若a2＝3，且
S2，S1＋S3，S5成等比数列，则d＝( )
A.1
B.2
C.
D.2 或
答案 B
解析 因为S2，S1＋S3，S5成等比数列，
所以S2S5＝(S1＋S3)2，即(2a1＋d)(5a1＋10d)＝(4a1＋3d)2，
即(3a1＋d)(2a1－d)＝0，
所以d＝－3a1或d＝2a1，
又a2＝3，a1>0，
当d＝－3a1，则a1＋d＝a1－3a1＝3，
解得a1＝－(舍去)，
当d＝2a1，则a1＋d＝a1＋2a1＝3，
解得a1＝1，则d＝2.故选B.
6.在△ABC 中，sin B＝，C＝120°，BC＝2，则△ABC 的面积为( )
A.6
B.4
C.3
D.2
答案 D
解析 由题意，sin A＝sin(60°－B)＝sin 60°cos B－cos 60°sin B＝×－×＝，
由正弦定理＝，
即b＝＝＝4，
所以S△ABC＝absin C＝×2×4×＝2，故选D.
7.金华市选拔2 个管理型教师和4 个教学型教师去新疆支教，把这6 个老师分配
到3 个学校，要求每个学校安排2 名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，
则不同的分配方案有( )
A.72 种
B.48 种
C.36 种
D.24 种
答案 A
解析 选取一个学校安排2 名教学型老师有CC 种不同的方法，剩余2 名教学型
老师与2 名管理型教师，各取1 名，分成两组共有A 种，这2 组分配到2 个不同
学校有A 种不同分法，所以由分步乘法计数原理知，共有C·C·A·A ＝
3×6×2×2＝72 种不同的分法，故选A.
8.已知cos(α－β)＝，sin αsin β＝－，则cos2α－sin2β＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由cos(α－β)＝得cos αcos β＋sin αsin β＝，
又sin αsin β＝－，所以cos αcos β＝，
所以cos2α－sin2β＝－
＝
＝
＝cos(α＋β)cos(α－β)
＝(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)
＝×＝×＝.故选C.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50
kW·h～350 kW·h 之间，进行适当分组后(每组为左闭右开区间)，画出频率分布
直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si(i＝1，
2，…，6，)则( )
A.x 的值为0.004 4
B.这100 户居民该月用电量的中位数为175
C.用电量落在区间[150，350)内的户数为75
D.这100 户居民该月的平均用电量为∑ (50i＋25)si
答案 AD
解析 对于A，由频率分布直方图的性质可知，
(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，
解得x＝0.004 4，故A 正确；
对于B，因为(0.002 4＋0.003 6)×50＝0.3<0.5，(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0)×50
＝0.6>0.5，
所以中位数落在区间[150，200)内，设其为m，
则0.3＋(m－150)×0.006＝0.5，解得m≈183，故B 错误；
对于C，用电量落在区间[150，350)内的户数为(0.006 0＋0.004 4＋0.002 4＋
0.001 2)×50×100＝70，故C 错误；
对于D，这100 户居民该月的平均用电量为(50＋25)s1＋(50×2＋25)s2＋…＋
(50×6＋25)s6＝∑ (50i＋25)si，故D 正确.
10.已知0<a<b<1，m>n>1，则( )
A.ba>ab
B.mn>nm
C.logba>logmn
D.logan>logbm
答案 ACD
解析 对于A，因为0<a<b<1，所以指数函数y＝bx在R 上单调递减，且a<b，
所以ba>bb，
因为幂函数y＝xb在(0，＋∞)上单调递增，且a<b，所以ab<bb，
所以ba>ab，故A 正确，
对于B，取m＝5，n＝2，则52<25，故B 错误；
对于C，因为对数函数y＝logbx 在(0，＋∞)上单调递减，y＝logmx 在(0，＋∞)上
单调递增，
所以logba>logbb＝1，logmn<logmm＝1，
所以logba>logmn，故C 正确；
对于D，因为y＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，
所以ln a<ln b<0，ln m>0，
则logam＝>＝logbm，
因为对数函数y＝logax 在(0，＋∞)上单调递减，
所以logan>logam>logbm，故D 正确.故选ACD.
11.在三棱锥D－ABC 中，已知AB＝BC＝2，AC＝2，DB＝4，平面BCD⊥平面
ABC，且DB⊥AB，则( )
A.DB⊥AC
B.平面DAB⊥平面ABC
C.三棱锥D－ABC 的体积为
D.三棱锥D－ABC 的外接球的表面积为16π
答案 ABC
解析 因为AB＝BC＝2，AC＝2，
所以cos∠ABC＝＝－，
所以∠ABC＝，
如图，过D 作DE⊥BC 于E.
因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC＝BC，
所以DE⊥平面ABC，
因为AB⊂平面ABC，
所以DE⊥AB，
假设DB，DE 不重合，
因为DB⊥AB，DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BCD，所以AB⊥平面BCD，
因为BC⊂平面BCD，
所以AB⊥BC，与∠ABC＝矛盾，
所以假设不成立，
所以DB，DE 重合，即DB⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，
所以DB⊥AC.
因为DB⊂平面DAB，
所以平面DAB⊥平面ABC，故A，B 正确；
三棱锥D－ABC 的体积为××2×2×sin ×4＝，故C 正确；
如图，设△ABC 的外心为F，其外接圆半径为×＝2，
过F 作FO⊥平面ABC，
设O 为外接球的球心，则
FA＝FB＝2，OA＝OD，
所以＝，
所以＝，解得OF＝2，
所以外接球的半径为OA＝＝2，
所以三棱锥D－ABC 的外接球的表面积为S＝4π·OA2＝32π，故D 错误.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知单位向量a，b 满足|a－2b|＝，则a 与b 的夹角为________.
答案 (或写成60°)
解析 因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝3，所以a·b＝，
所以cos〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]，〈a，b〉＝.
13.已知函数f(x)＝若f(x)在点(1，f(1))处的切线与点(x0，f(x0))处的切线互相垂直，
则x0＝________.
答案 －
解析 当x>0 时，f′(x)＝>0，
所以f′(1)＝1，
且点(x0，f(x0))不在y＝ln x 上，
否则切线不垂直，故x0≤0，
当x<0 时，f′(x)＝2x，所以f′(x0)＝2x0，
由切线垂直可知，2x0×1＝－1，
解得x0＝－.
14.设椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>0，b2>0)有相同的焦距，它
们的离心率分别为e1，e2，椭圆C1的焦点为F1，F2，C1，C2在第一象限的交点为
P，若点P 在直线y＝x 上，且∠F1PF2＝90°，则＋的值为________.
答案 2
解析 设椭圆与双曲线相同的焦距为2c，
则a－b＝c2，a＋b＝c2，
又∠F1PF2＝90°，
所以|OP|＝|F1F2|＝c，
又点P 在第一象限，且在直线y＝x 上，
所以P，又点P 在椭圆上，
所以＋＝1，即＋＝2，
整理得2a－4ac2＋c4＝0，
即2·－4·＋1＝0，
解得＝＝，
因为0<e1<1，所以＝，
同理可得点P 在双曲线上，
所以－＝1，
即－＝2，
解得＝，
所以＋＝＋＝2.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：概统)
15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100 元的顾客可抛掷骰子两
次，若两次点数之和等于7，则获得5 个积分；若点数之和不等于7，则获得2
个积分.
(1)记两次点数之和等于7 为事件A，第一次点数是奇数为事件B，证明：事件
A，B 是独立事件；
(2)现有3 位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X 的分布列和期望.
(1)证明 因为两次点数之和等于7 有以下基本事件：
(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共6 个，
所以P(A)＝＝，
又P(B)＝.
而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7 的基本事件是(1，6)，(3，4)，(5，2)
共3 个，所以P(AB)＝＝，故P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A，B 是独立事件.
(2)解 设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X，则X 可取6，9，12，
15，
P(X＝6)＝C＝，
P(X＝9)＝C＝，
P(X＝12)＝C＝，
P(X＝15)＝C＝，
所以分布列为：
X
6
9
12
15
P
所以E(X)＝×6＋×9＋×12＋×15＝.
