2.11 专题：圆中的范围最值问题
模块一：基础知识.........................................................................2
题型一：斜率型.........................................................................2
题型二：直线截距型................................................................... 3
题型三：点到圆距离、直线到圆距离...............................................4
题型四：周长、面积型.............................................................. 13
题型五：数量积型.................................................................... 16
题型六：坐标与角度型.............................................................. 20
题型七：阿波罗尼斯圆问题........................................................ 24
题型八：将军饮马问题.............................................................. 28
题型九：长度型....................................................................... 32
题型十：方程中的参数.............................................................. 38
2.11 专题：圆中的范围最值问题
模块一：基础知识
题型一：斜率型
1.已知点
,
P x y 在圆
2
2
1
x
y
上运动，求
2
y
x
的最大值与最小值.
【解析】设
2
y
k
x
，则
2
0
kx
y
k
．
点
( , )
P x y 在圆
2
2
1
x
y
上运动，
圆心(0,0) 到直线
2
0
kx
y
k
的距离小于等于1，
2
| 2 |
1
1
k
k
，
3
3
3
3
k
，
2
y
x
的最大值为
3
3
，最小值为
3
3
．
2.若
,
P x y 在圆
2
2
4
2
9
x
y
上运动，则
1
y
x
的最大值为
；
【答案】24
7 /
3
3 7
【解析】设
1
y
k
x
，可得
1
0
kx
y
，
又因为点
,
P x y 在圆
2
2
4
2
9
x
y
上运动，则直线
1
0
kx
y
与圆
2
2
4
2
9
x
y
有公共点，
且圆心坐标为
4,2 ，半径为
3
r
，
由点到直线的距离公式可得
2
4
3
3
1
k
k
，整理可得
2
7
24
0
k
k
，解得
24
0
7
k
.
因此，
1
y
x
的最大值为24
7 .
故答案为：24
7 .
3.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐
标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点
,
P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则
2
y
x
的最
小值为（
）
A．
2
3
B．
3
2
C．
4
3
D．1
【答案】C
【解析】记
2,0
A
，则
2
y
k
x
为直线AP 的斜率，
故当直线AP 与半圆
2
2
1
1
0
x
y
x
相切时，得k 最小，
此时设
:
2
AP y
k x
，故
2
1 2
1
1
k
k
，解得
4
3
k
或
0
k
（舍去），
即
min
4
3
k
．
故选：C
4.求函数
sin
1
cos
2
x
y
x
的最大值及最小值．
【解析】sin
1
cos
2
x
x
表示过
cos ,sin
A
x
x ，
2,1
B
的直线的斜率，
由几何意义，即过定点
2,1 与单位圆相切时的切线斜率为最值，
所以设切线的斜率为k ，则直线方程为
1
2
y
k x
，即
2
1
0
kx
y
k
，
则
2
1
2
1
1
k
k
，解得
0
k
或
4
3
k
，
所以函数
sin
1
cos
2
x
y
x
的最大值为4
3 ，最小值为0．
题型二：直线截距型
1.已知实数x，y 满足方程
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
，则y
x
的最小值是
．
【答案】
2
【解析】由
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
，得
2
2
2
2
1
x
y
，
它表示以
2,2 为圆心，1 为半径的圆．
设y
x
b
，即y
x
b
，
当y
x
b
与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值．
由2
2
1
2
b
，得
2
b
.
故y
x
的最小值为
2
.
故答案为：
2
2.已知实数x 、y 满足
2
2
4
x
y
，求x
y
的最大值．
【解析】因为
2
2
4
x
y
，则根据圆的标准方程知2
2
x
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
8
x
y
x
y
xy
x
y
，
当且仅当
2
2
x
y
或
2
2
x
y
时，取等号，此时
2
x
y
有最大值为8.
所以当
2
2
x
y
时，x
y
的最大值为2 2 .
3.已知实数,x y 满足方程
2
2
(
2)
3
x
y
，求y
x
的最大值和最小值．
【解析】设y
x
b
，即y
x
b
，
则当直线y
x
b
与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，
圆
2
2
(
2)
3
x
y
的圆心为(2,0) ，半径为
3
r
，则
2
0
3
2
b
，解得
2
6
b
，
所以y
x
的最大值为2
6
，最小值为2
6
.
题型三：点到圆距离、直线到圆距离
1.已知
,
P a b 是圆
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
上的点，则
2
2
a
b
的最小值是
．
【答案】30 10 5
【解析】圆
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
，即
2
2
25
1
2
x
y
，
所以圆的圆心为(
)
1, 2
-
，半径为5，
原点
0,0 到圆心(
)
1, 2
-
的距离是5 ，
所以圆上的点到原点的距离的最小值是5
5
，
则
2
2
a
b
的最小值是
2
5
5
30 10 5
.
故答案为：30 10 5
2.已知圆C ：
2
2
1
2
2
x
y
，直线l ：
4
y
x
，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值为
．
【答案】
2
2
/ 1
2
2
【解析】由
2
2
1
2
2
x
y
，得圆心
( 1,2)
C
，半径
2
r
，
圆心C 到直线
4
0
x
y
的距离
| 1 2
4|
3 2
2
1 1
d
，
所以圆C 上的点到直线l 的距离最小值为
3 2
2
2
2
2
d
r
.
故答案为：
2
2
.
3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科
学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （
0
k
且
1
k ）的点的轨迹是圆，后
人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy 中的点
( 2 0),
(2 2,0)
E
F
，
，则满足|
|
2 |
|
PF
PE
的动
点P 的轨迹记为圆E .
(1)求圆E 的方程；
(2)过点
(3,3)
Q
向圆E 作切线
,
QS QT ，切点分别是,
S T ，求直线ST 的方程.
(3)若点
( 2,2), ( 2,6),
(4, 2)
A
B
C
，当P 在E 上运动时，求
2
2
2
2 |
|
|
|
|
|
PA
PB
PC
的最大值和最小值.
【解析】（1）设
,
P x y ，由|
|
2 |
|
PF
PE
得
2
2
2
PF
PE
，
即
2
2
2
2
2 2
2
2
x
y
x
y
，
整理得
2
2
4
x
y
①.
（2）
3 2
OQ
，所以以OQ 为直径的圆的方程为
2
2
2
3
3
3 2
2
2
2
x
y
，
即
2
2
3
3
0
x
y
x
y
②，
①-②并整理得直线ST 的方程为3
3
4
0
x
y
.
（3）依题意，
,
P x y 满足
2
2
4
x
y
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
2
2|
|
|
|
|
|
x
PA
PB
P
y
x
y
x
C
y
2
2
2
2
4
4
4
16
76
4
4
19
x
y
x
y
x
y
x
y
4 4
4
19
4
4
23
x
y
x
y
，
设
2cos ,
2sin ,0
2π
x
y
，
所以
2
2
2
2|
|
|
|
|
|
4 2cos
8sin
23
PA
PB
PC
4 2 17 sin
23
8 17 sin
92
92
8 17,92
8 17
，
所以最大值为92
8 17
，最小值为92
8 17
.
4.已知圆心为C 的圆经过点
1,1
A
和
2, 2
B
，且圆心C 在直线l ：
1
0
x
y
上.
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知
2,1
P
，Q 为圆C 上的点，求PQ 的最大值和最小值.
【解析】（1）∵
1,1
A
，
2, 2
B
，∴
1
2
3
1 2
AB
k
,
∴弦AB 的垂直平分线的斜率为1
3 ，
又弦AB 的中点坐标为3
1
,
2
2
，∴弦AB 的垂直平分线的方程为
1
1
3
2
3
2
y
x
，即
3
3
0
x
y
，
与直线l ：
1
0
x
y
联立，解得：
3,
2
x
y
，
圆心C 坐标为
3, 2
，∴圆的半径
2
2
1 3
1 2
5
r
AC
，
则圆C 的方程为
2
2
(
3)
(
2)
25
x
y
.
∴圆C 的一般方程为
2
2
6
4
12
0
x
x
y
y
；
（2）由（1）知圆C 的方程为
2
2
(
3)
(
2)
25
x
y
，
所以
2
2
2
3
1
2
34
PC
,∴
2,1
P
在圆C 外，
PQ
的最大值为34
5
，最小值为
34
5
.
5.已知实数
1
x 、
2
x 、
1y 、
2y 满足：
2
2
1
1
1
x
y
，
2
2
2
2
1
x
y
，
1
2
1
2
1
2
x x
y y
，设
1
1
,
A x y
，
2,
2
B x y
，则
AB
，
1
1
2
2
1
1
2
2
x
y
x
y
的最大值为
.
【答案】
1
3
2
/
2
3
【解析】作出圆
2
2
:
1
O x
y
，与直线:
1
0
l x
y
，
由题意，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
都在圆
2
2
1
x
y
上，
∴
2
2
1
1
1
x
y
且
2
2
2
2
1
x
y
，又由
1
2
1
2
1
2
x x
y y
，
∴
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
(
)
(
)
2
1
A
y
B
x
x
y
y
x
y
x x
y
x
y
）
（
；
∴
1
AB
OA
OB
,即AOB
为正三角形，
∴
60
AOB
，
1
1
2
2
|
1|
|
1|
2
2
x
y
x
y
表示A 和B 到直线:
1
0
l x
y
的距离和|
|
|
|
AA
BB
，
由图可知，只有当A 、B 都在直线l 的左侧，距离之和才会取得最大值．
取A 、B 的中点G ，过G 作GG
l
，垂足为G，则|
|
|
| 2 |
|
AA
BB
GG
，
因为AOB
为等边三角形，G 为AB 的中点，
3
2
OG
，
则G 在圆
2
2
3
4
x
y
上运动，
故G 到直线
1
0
x
y
距离的最大值为圆心O到直线:
1
0
l x
y
的距离+半径OG
3
2
2
2
，
|
|
|
| 2 |
|
AA
BB
GG
的最大值为
3
2
2 (
)
3
2
2
2
．
故答案为：1；
3
2
.
.
6.已知实数,a b 满足
2
2
4
3
0
a
b
a
，则
2
2
2
a
b
的最大值为
．
【答案】9
4 2
/4 2
9
【解析】方程
2
2
4
3
0
a
b
a
整理得
2
2
2
1
a
b
，设点
,
A a b ，即点A 是圆
2
2
:
2
1
C
x
y
上一
点
又点
0, 2
B
在圆
2
2
:
2
1
C
x
y
外，所以
2
2
2
AB
a
b
，
则
2
max
2
0
0
2
1
2 2
1
AB
BC
r
，所以
2
2
2
a
b
的最大值为
2
2 2
1
9
4 2
.
故答案为：9
4 2
.
7.已知实数,x y 满足
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
，则
2
2
1
3
x
y
的最大值为
．
【答案】36
【解析】由
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
得
2
2
2
1
=1
x
y
，
所以点
,x y 是以
2, 1
A
为圆心，半径为1上的圆上的点，
2
2
1
3
x
y
表示点
,x y 与点
1,3
B
两点间距离的平方，
2
2
= 3
4 =5
AB
，所以
2
2
1
3
x
y
的最大值为
2
5 1
=36
.
故答案为：36
8.已知点P 为圆
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y
上的动点，求点P 到直线3
4
8
0
x
y
的距离的最小值.
【解析】把圆的方程化为标准方程得：
2
2
(
1)
(
1)
1,
x
y
所以圆心
(1,1)
A
，圆的半径
1
r ，
则圆心A 到直线3
4
8
0
x
y
的距离
2
2
| 3
4
8|
3,
3
4
d
如图，过圆心A 作AP 垂直直线3
4
8
0
x
y
，交圆A 于点P （靠近直线），
此时点P 到直线的距离最短，即动点P 到直线距离的最小值为3 1
2
.
9.已知点
,
P x y 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上任意一点，求点P 到直线3
4
12
0
x
y
的距离的最大值和最小值．
【解析】圆心
2,0
C
到直线3
4
12
0
x
y
的距离
6
0 12
6
5
9 16
d
，
半径
1
r ，
故点P 到直线3
4
12
0
x
y
的距离的最大值为
11
5
d
r
，最小值为
1
5
d
r
-
=
．
10.已知,x y R ，且圆
2
2
:(
1)
(
2)
4
C
x
y
，求
2
2
(
2)
(
2)
x
y
的最大值与最小值；
【解析】因为
2
2
(
1)
(
2)
4
x
y
表示以
1, 2
C
为圆心，半径
2
r
的圆，
所以
2
2
(
2)
(
2)
x
y
表示圆上的动点
,
M x y 与定点
2,2
A
的距离（如图）．
连接AC ，直线AC 与圆C 交于
1
2
,
A A ，
因为
2
2
(1
2)
( 2
2)
5
AC
，
则当M 位于
2
A 位置时，
2
2
(
2)
(
2)
x
y
取得最大值，为
5
2
7
AC
r
；
当M 位于
1A 位置时，
2
2
(
2)
(
2)
x
y
取得最小值，为
5
2
3
AC
r
；
所以
2
2
(
2)
(
2)
x
y
的最大值为49，最小值为9．
11.圆
2
2
1
1
x
y
上点到直线3
4
7
0
x
y
距离的最小值是
．
【答案】1
【解析】由题意圆心为( 1,0)
，半径为1，圆心到已知直线的距离为
2
2
3
0
7
2
3
4
d
，
所以所求距离最小值为2 1
1
．
故答案为：1.
12.过
( , )
P x y 作圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
x
与圆
2
2
2 :
6
6
14
0
C
x
y
x
y
的切线，切点分别为A ，B ，若
PA
PB
，则
2
2
x
y
的最小值为
．
【答案】49
13 / 10
313
【解析】圆
2
2
2
2
1 :
2
0
1
1
C
x
y
x
x
y
，显然
1 1,0
C
，半径为1，
圆
2
2
2
2
2 :
6
6
14
0
3
3
4
C
x
y
x
y
x
y
，显然
2 3,3
C
，半径为2，
因为
,
PA PB 是分别是圆
1
C ，圆
2
C 的切线，
所以
1
2
,
AC
PA PB
BC
，
因为|
|
PA
PB
∣，
所以有
2
2
1
2
|
|
1
4
PC
PC
，
即
2
2
2
x
y
x
2
2
6
6
14
x
y
x
y
，
化简，得
7
2
2
3
7
3
x
x
y
y
代入
2
2
x
y
中，
得
2
2
2
2
7
2
13
28
49
13
14
49
3
9
9
9
9
13
13
x
x
x
x
x
，
所以当
14
13
x
时，
2
2
x
y
的最小值49
13 ，
故答案为：49
13
13.（多选）已知点
(0,3), (1,1)
A
B
，且点P 在圆C：
2
2
(
2)
4
x
y
上运动，则下列结论正确的是（
）
A．|
|
PA 的最大值为13
2
B．|
|
|
|
PA
PB
的最小值为5
C．PA
PB
的最大值为5
D．当PAB 最大时，
3
PA
【答案】ACD
【解析】对于选项A：|
|
PA 的最大值为圆心C 到A 的距离加上圆的半径2，又易知|
|
13
CA
，所以|
|
PA
的最大值为13
2
，故选项A 正确；
对于选项B：当
,
,
A B P 三点不共线时，PA
PB
AB
，当P 与B 重合时，PA
PB
AB
，所以PA
PB
的最小值为
2
2
1
2
5
AB
，故选项B 错误；
对于选项C：当
, ,
A B P 三点不共线时，PA
B
PB
A
-
，当P 为射线AB 与圆C 的交点时，
-
PA
PB 取
得最大值
5
AB
，故选项C 正确；
对于选项D：因为点B 在圆C 内，如图，当AP 与圆C 相切时，PAB 最大，连接CP ，
2
2
4
9
4
3
PA
AC
r
，故选项D 正确，
故选：ACD．
14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数（
0
，且
1
），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的
阿波罗尼斯圆．若点C 到
( 1,0)
A
，
(1,0)
B
的距离之比为
3 ，则点C 到直线
2
8
0
x
y
的距离的最小值为
（
）
A．2 5
3
B．5
3
C．2 5
D．
3
【答案】A
【解析】设
,
C x y ，则
2
2
2
2
1
3
1
x
y
x
y
，化简得
2
2
2
3
x
y
，
即点C 的轨迹方程为以
2,0 为圆心，
3 为半径的圆，
则点C 到直线
2
8
0
x
y
的距离的最小值为圆心
2,0 到直线
2
8
0
x
y
的距离减去半径，
即2
0
8
3
2 5
3
1 4
，点C 到直线
2
8
0
x
y
的距离最小值为2 5
3
.
故选：A
15.已知直线:
1
0
l ax
by
，圆
2
2
:
4
2
1
0
C x
y
x
y
，若圆C 上存在两点关于直线l 对称，则
2
2
2
7
a
b
的最小值是（
）
A．5
B．5
C．2 5
D．20
【答案】D
【解析】圆
2
2
:
4
2
1
0
C x
y
x
y
的圆心坐标为
2, 1
C
，
圆C 上存在两点关于直线l 对称，则直线l 过圆心，即2
1
0
a
b
，有
2
1
b
a
，
2
2
2
2
2
2
2
7
=
2
2
6
5
20
40
5
2
4
a
b
a
a
a
a
a
，
当
2
a 时，
2
2
2
7
a
b
有最小值20.
故选：D
16.已知直线:
1
0
l
x
y
和圆
2
2
:
4
0
C x
y
y
交于
,
A B 两点，则AB 的最小值为（
）
A．2
B．
2
C．4
D．2 2
【答案】D
【解析】
:
1
1
0
l
x
y
，令
1
x ，则
1
y ，所以直线l 过定点
1,1 ，
当
1,
1
x
y
得
2
2
1
1
4 1
2
0
，则
1,1 在圆内，则直线l 与圆必有两交点，
因为圆心
0,2 到直线l 的距离
2
2
1 0
1 2
2
d
，所以
2
2
2 2
2 2
AB
d
．
故选：D.
题型四：周长、面积型
1.已知
1,0
A
，
2,0
B
，若动点M 满足
2
MB
MA
，直线:
2
0
l x
y
与x 轴、y 轴分别交于两点,
P Q ，
则MPQ
的面积的最小值为（
）
A．4
2 2
B．4
C．2 2
D．4
2 2
【答案】D
【解析】设
,
M x y ，由
2
MB
MA
可得
2
2
2
2
2
4
1
4
x
y
x
y
，
化简可得
2
2
2
4
x
y
，故动点M 的轨迹为圆心为
2,0
，半径为
2
r
的圆，
圆心
2,0
到:
2
0
l x
y
的距离为
2
2
2
2
2 2
1
1
，
故圆上的点到直线:
2
0
l x
y
的最小距离为2 2
2 2
2
r
，
由于
2,0 ,
0,2
P
Q
，所以
2 2
PQ
，
故MPQ
的面积的最小值为
1
2 2
2 2
2
4
2 2
2
，
故选：D
2.已知直线l：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点，动直线1l ：
y
mx m
R 和2l ：
4
2
0
my
x
m
交于点P，则
MNP
△
的面积的最小值为（
）
A．10
B．5
10
C．2 2
D．2 10
3
【答案】B
【解析】根据题意可知，动直线1 :
0
l
mx
y
过定点
0,0
O
，动直线2l ：
4
2
0
my
x
m
，即
4
2
0
m y
x
过定点
2,4
B
，
因为
( 1) 1
0
m
m
，所以无论m 取何值，都有1
2
l
l
，
所以点P 在以OB 为直径的圆上，且圆心坐标为
1,2 ，半径为1
5
2 OB
，
设
,
P x y ，则点P 的轨迹方程为
2
2
1
2
5
x
y
，
圆心到直线l 的距离为1
2
2
5 2
2
2
，则P 到直线l 的距离的最小值为5 2
5
2
．
由题可知
2,0
M
，
0, 2
N
，则
2 2
MN
，
所以
MNP
△
的面积的最小值为1
5 2
2 2
5
5
10
2
2
．
故选：B
3.已知直线:
3
0
l x
y
上的两点
,
A B ，且
1
AB ，点P 为圆
2
2
:
2
3
0
D x
y
x
上任一点，则PAB
的
面积的最大值为（
）
A．
2
1
B．2 2
2
C．
2
1
D．2 2
2
【答案】A
【解析】把圆
2
2
:
2
3
0
D x
y
x
变形为
2
2
(
1)
4
x
y
，
则圆心
1,0
D
，半径
2
r
，
圆心D 到直线:
3
0
l x
y
的距离
2
2
1
3
2 2
1
1
d
，
则圆D 上的点到直线AB 的距离的最大值为
2 2
2
d
r
，又
1
AB ，
∴PAB
的面积的最大值为
1
2 2
2
1
2
1
2
．
故选：A．
4.直线1 :
2
1
0
l
kx
y
k
与2 :
2
0
l
x
ky
k
分别与圆
2
2
:
10
O x
y
交于A 、C 和B 、D ，则四边形
ABCD面积的最大值为（
）
A．3 5
B．4 5
C．10
D．15
【答案】D
【解析】显然1
2
l
l
，且两直线同时过定点
( 2,1)
P
，点P 在圆O内，
设点O到弦AC 、BD 的距离分别为
1d 、
2
d ，则
2
2
2
1
2
5
d
d
OP
，
2
1
|
| 2 10
AC
d
，
2
2
|
| 2 10
BD
d
四边形面积
2
2
2
2
1
2
1
2
1
10
10
|
| |
| 2 10
10
2
15
2
2
d
d
S
AC
BD
d
d
故选：D.
5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为3，直线1l ，2l 互相垂直，垂足为
(1, 5)
M
，且
1l 与圆O相交于A ，C 两点，2l 与圆O相交于B ，D 两点，则四边形ABCD的面积的最大值为（
）
A．10
B．12
C．13
D．15
【答案】B
【解析】设圆心到直线1l 的距离为
1d ，圆心到直线2l 的距离为
2
d ，
直线1l ，2l 互相垂直，垂足为
(1, 5)
M
，
2
2
2
1
2
|
|
6
d
d
OM
，
2
1
2 9
AC
d
，
2
2
2 9
BD
d
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2 9
9
9
9
18
6
12
2
ABCD
S
AC
BD
d
d
d
d
．
故选：B．
6.已知两点
1,0 ,
0,2
A
B
，点C 是圆
2
2
2
0
x
y
x
上任意一点，则ABC
面积的最小值是（
）
A．
5
2
2
B．2
5
2
C．4
5
D．4
5
【答案】B
【解析】由题意可得：
2
2
1
0
0
2
5
AB
，
且直线AB 的方程为
1
1
2
x
y
，即2
2
0
x
y
，
圆
2
2
2
0
x
y
x
，即
2
2
1
1
x
y
，圆心
1,0
M
，半径
1
r ，
则圆心
1,0
M
到直线AB ：2
2
0
x
y
的距离
2
2
2
0
2
4 5
1
5
2
1
d
r
，
所以圆C 与直线AB 相离，可知点C 到直线AB 的距离的最小值为
4 5
1
5
d
r
，
所以ABC
面积的最小值是1
4 5
5
5
1
2
2
5
2
.
故选：B.
7.已知直线l 与圆
2
2
:
6
0
C x
y
x
交于
,
A B 两点，则ABC
面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．7
2
D．9
2
【答案】D
【解析】由圆C 的方程知：圆心
3,0
C
，半径
2
1
6
3
2
r
，
设圆心C 到直线l 的距离为d ，则
2
2
2
2
2 9
AB
r
d
d
，
2
2
2
2
2
2
1
9
9
9
9
2
2
2
ABC
d
d
S
AB d
d
d
d
d
（当且仅当
3 2
2
d
时取等号），
则ABC
面积的最大值为9
2 .
故选：D.
题型五：数量积型
1.已知线段AB 是圆
2
2
:(
1)
(
1)
4
C
x
y
上的一条动弦，且
2 3
AB
，设点O为坐标原点，则
OA OB
的最大值为
；如果直线1 :
3
1
0
l
x
my
m
与2 :
3
1
0
l
mx
y
m
相交于点M ，则MA MB
的
最小值为
.
【答案】
2 2
2
6
4 2
【解析】设D 为AB 中点，则
1
CD ，点D 的轨迹方程为
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
，
2 O
OA
B
D
O
，则最大值为2 2
2
，
由直线1 :
3
1
0
l
x
my
m
，2 :
3
1
0
l
mx
y
m
，
可得1
2
l
l
且1l 过定点
2
1, 3 ,l
过定点
3, 1
，点M 的轨迹是以
1, 3 ,
3, 1
为直径端点的圆，其
方程为
2
2
2
2
2
x
y
，
MA MB
MD
DA
MD
DB
MD
DA
MD
DA
2
2
MD
DA
，
2
3
MA MB
MD
，
2
2
(1
2)
(1
2)
1
2
MD
2 2
1
，
2
3
MA MB
MD
2
(2 2
1)
3
6
4 2
，
MA MB
的最小值为6
4 2
.
故答案为：2 2
2
；6
4 2
.
2.已知直线
:
2
l y
k x
k
R 交
2
2
:
1
3
5
M
x
y
于不同的A 、B 两点，AB
4
．
(1)求直线l 的方程；
(2)若Q 为
2
2
:
1
O x
y
e
上一动点，求QA QB
的最小值．
【解析】（1）圆心为
1,3
M
，圆心M 到直线l 的距离为
2
2
3
3
1
1
k
k
d
k
k
，
由题意可知，圆M 的半径为
5
r
，
由勾股定理可得
2
2
2
2
AB
d
r
，即
2
2
2
3
2
5
1
k
k
，整理可得6
8
0
k
，解得
4
3
k
，
因此，直线l 的方程为
4
2
3
y
x
，即4
3
8
0
x
y
.
（2）设线段AB 的中点为S，由垂径定理可知MS
AB
，
且
2
2
1
2
AB
MS
d
r
，
2
2
2
4
QA QB
QS
SA
QS
SB
QS
SA
QS
，
因为
4
3
AB
k
，则
1
3
4
MS
AB
k
k
，
所以，直线MS 的方程为
3
3
1
4
y
x
，即3
4
9
0
x
y
，
联立
3
4
9
0
4
3
8
0
x
y
x
y
，解得
1
5
12
5
x
y
，即点
1 12
,
5
5
S
，
则
2
2
1
12
145
5
5
5
OS
，
所以，
145
1
5
QS
QO
OS
，
当且仅当点Q 为线段OS 与圆O的交点时，等号成立，
所以，
2
2
145
14
2 145
4
1
4
5
5
QA QB
QS
，
故QA QB
的最小值为14
2 145
5
．
3.已知直线l1：
3
1
0
x
my
m
与l2：
3
1
0
mx
y
m
相交于点M，线段AB 是圆C：
2
2
1
1
4
x
y
的一条动弦，且
2 3
AB
，则MA MB
的最小值为（
）
A．6
4 2
B．3
2
C．5
3
D．5
1
【答案】A
【解析】由圆的方程知：圆心
1, 1
C
，半径
2
r
；
由1 :
3
1
0
l
x
my
m
得：
1
3
0
x
m y
，
1l
恒过定点
1,3
E
；
由2 :
3
1
0
l
mx
y
m
得：
3
1
0
m x
y
，
2l
恒过定点
3,1
F
；
由直线1
2
,l l 方程可知：1
2
l
l
，
ME
MF
，即
0
ME MF
，
设
,
M x y ，则
1
,3
ME
x
y
，
3
,1
MF
x
y
，
1
3
3
1
0
ME MF
x
x
y
y
，整理得：
2
2
2
2
2
x
y
，
即点M 的轨迹是以
2,2
G
为圆心，
2 为半径的圆，又直线2l 斜率存在，
M
点轨迹不包含
3,3 ；
若点D 为弦AB 的中点，则
2
MA
MB
MD
，位置关系如图：
连接CD ，由
2 3
AB
知：
2
2
2
3
1
CD
，
则
2
2
min
min
2
1
2 1
2 1
2
1
2 2
1
MD
MC
CD
CG
，
2
MA MB
MD
DA
MD
DB
MD
DA
DB
MD
DA DB
2
2
3
2 2
1
3
6
4 2
MD
（当M 在
1,1 处取等号），
即MA MB
的最小值为6
4 2
.
故选：A.
4.若点M 是圆C ：
2
2
4
0
x
y
x
上的任一点，直线l ：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于
,
A B 两点，则
AM AB
的最小值为（
）
A．4
2 2
B．2
C．8
4 2
D．8
【答案】C
【解析】
2
0
x
y
令
0
y
则
2
x ，即
2,0
A
，
令
0
x
，则=
2
y
，即
0, 2
B
，
圆C ：
2
2
2
2
2
4
4
0
x
y
x
x
y
，则设点
2
2cos ,2sin
M
，
4
2cos ,2sin
2, 2
8
4cos
4sin
AM AB
8
4 2 sin
4
当sin
1
4
时取得最小值
min
8
4 2
AM AB
.
故选：C.
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A 、B 的距离之比
为定值（
0
且
1
）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，
2,0
A
、
2,0
B
，点P 满足
3
PA
PB
，则PA PB
的最小值
为
.
【答案】3
【解析】设点
,
P x y ，由
3
PA
PB
可得
2
2
2
2
2
3
2
x
y
x
y
，整理可得
2
2
5
4
0
x
y
x
，
化为标准方程可得
2
2
5
9
2
4
x
y
，
因为O为AB 的中点，
所以，
2
2
PA PB
PO
OA
PO
OB
PO
OA
PO
OA
PO
OA
2
4
PO
，
记圆心为
5 ,0
2
M
，当点P 为线段OM 与圆
2
2
5
9
2
4
x
y
的交点时，
PO
取最小值，此时，
5
3
1
2
2
PO
，
所以，
2
4
1 4
3
PA PB
PO
.
故答案为：3
.
题型六：坐标与角度型
1.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点
,
M N 是锐角
AQB
的一边QA上的两点，试着在边QB 上找一
点P ，使得
MPN
最大”.如图，其结论是：点P 为过
,
M N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结
论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点
1,2 ,
1,4
M
N
，点P 在x 轴上移动，当
MPN
取
得最大值时，该圆的方程是（
）
A．
2
2
(
1)
(
2)
2
x
y
B．
2
2
(
7)
(
10)
100
x
y
C．
2
2
(
1)
(
2)
4
x
y
D．
2
2
(
7)
(
10)
10
x
y
【答案】C
【解析】由题意可知，点P 为过
,
M N 两点且和x 轴相切的圆的切点，线段MN 中点坐标为
0,3 ，又
2
4
1
1 1
MN
k
，
所以线段MN 的垂直平分线方程为
3
y
x
，
所以以MN 为弦的圆的圆心在直线
3
y
x
上，
故设该圆圆心为
,3
C a
a
，又因为该圆与x 轴相切，所以圆的半径
3
r
a
，
又CN
r
，所以
2
2
2
(
1)
(3
4)
(3
)
a
a
a
，解得
1
a 或
7
a ，
当
7
a 时，
MQP
是钝角，故舍去.
所以
1
a 此时圆的方程为
2
2
(
1)
(
2)
4
x
y
.
故选：C
2.已知圆
2
2
:
3
4
4
C
x
y
和两点
,0
A
m
，
,0
0
B m
m
，若圆C 上存在点P 使得
90
APB
，
则m 的最大值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】B
【解析】设点
,
P x y
圆C 上点P 使得
90
APB
，
0
AP BP
,
又
,
AP
x
m y
，
,
BP
x
m y
,
2
0
x
m
x
m
y
，即
2
2
2
x
y
m
0
m
2
2
m
x
y
，其意义表示为
,
P x y 到原点的距离，
又点P 在圆C 上,可知m
2
9 16
2
7
OC
,
故选：B.
3.（多选）已知圆
2
2
:(
1)
(
1)
4
M
x
y
，直线:
2
0,
l x
y
P
为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线
PA PB
､
，切点为A B
､，则下列各选项正确的是（
）
A．四边形MAPB 面积的最小值为4
B．四边形MAPB 面积的最大值为8
C．当
APB
最大时，
2
PA
D．当
APB
最大时，直线AB 的方程为
0
x
y
【答案】ACD
【解析】由圆的几何性质可得
,
MA
PA MB
PB
，圆
1,1
M
，半径为2，如下图所示：
对于A ，由切线长定理可得PA
PB
，又因为MA
MB
，所以PAM
PBM
，所以四边形MAPB 的面
积
2
2
PAM
S
S
PA
AM
PA
△
，
因为
2
2
2
|
|
|
|
4
PA
MP
MA
MP
，
当MP
l
时，MP 取最小值，且
min
1 1 2
|
|
2 2
2
MP
，
所以四边形MAPB 的面积的最小值为
2
2
(2 2)
4
4
S
，故A 正确；
对于B ，因为MP 无最大值，即PA 无最大值，故四边形MAPB 面积无最大值，故B 错误；
对于C ，因为
APM
为锐角，
2
APB
APM
，且
2
sin
AM
APM
MP
MP
，
故当MP 最小时，
APM
最大，此时
APB
最大，此时
2
PA
，故C 正确；
对于D，由上可知，当
APB
最大时，
2
PA
PB
MA
MB
且
90
PAM
，
故四边形MAPB 为正方形，且有MP
l
，直线
:
2
0,
1,1
l x
y
M
，
则MP 的方程为y
x
，联立
2
0
y
x
x
y
，可得
1
1
x
y
，即点
1, 1
P
，
由正方形的几何性质可知，直线AB 过线段MP 的中点
0,0
O
，
此时直线AB 的方程为y
x
，故D 正确.
故选：ACD.
4.已知圆
2
2
:(
4)
(
3)
4
C
x
y
和两点
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，若圆C 上存在点P，使得
90
APB
，则a
的最小值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
【解析】由
90
APB
，得点P 在圆
2
2
2
x
y
a
上，故点P 在圆
2
2
2
x
y
a
上，又点P 在圆C 上，所以，
两圆有交点，
因为圆
2
2
2
x
y
a
的圆心为原点O，半径为a，圆C 的圆心为(4, 3)
，半径为1，
所以|
1|
1
a
OC
a
，又
2
2
4
( 3)
5
OC
，所以|
1| 5
1
a
a
，
解得4
6
a
，所以a 的最小值为4.
故选：C.
5.已知圆
2
2
:(
3)
4
1
C
x
y
和两点
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，圆C 上若存在点P，使得
90
APB
，则a
的最小值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【解析】
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，且存在点P，使得
90
APB
，
点P 的轨迹为
2
2
2(
0)
x
y
a a
，
点P 在圆
2
2
:(
3)
4
1
C
x
y
上，
两圆有公共点，
两圆圆心分别为(0,0) ，( 3, 4)
，圆心距为5，半径分别为,1
a
，
|
1| 5
1
a
a
，解得4
6
a
，
故选：D
6.已知圆
2
2
:
2
0
C x
y
x
与直线:
2
0(
0)
l mx
y
m
m
，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A，
B，若
ACB
的最小值为2
3
，则实数m 的值为（
）
A．
3
2
B．2 2
3
C．3 3
4
D．2 5
5
【答案】D
【解析】圆
2
2
:(
1)
1
C
x
y
，圆心
(1,0)
C
，半径
1
r .
由
ACB
的最小值为2
3
可得，3
2
ACP
，
又
1
|
|
cos
CP
ACP
，
1
0
cos
2
ACP
，
所以CP 的最小值为：2 .
而圆心
(1,0)
C
到直线:
2
0(
0)
l mx
y
m
m
的距离等于2，
即，
2
|
2
|
2
1
m
m
m
，解得
2 5
5
m
，又
0
m
，所以
2 5
5
m
．
故选：D．
题型七：阿波罗尼斯圆问题
1.（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
,
A B 的距㐫之比为定值
1
的点的
轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知
4,2
A
，
2,2
B
，点P 满足
2
PA
PB
，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（
）
A．点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16π
B．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π
3
C．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为
15
5
D．若点
3,1
Q
，则2 PB
PQ
的最小值为5 2
【答案】ABD
【解析】因为
4,2
A
，
2,2
B
，点P 满足
2
PA
PB
，
设点
,
P x y ，则
2
2
2
2
4
2
2
2
2
x
y
x
y
，
化简得：
2
2
8
4
4
0
x
y
x
y
，即
2
2
4
2
16
x
y
，
则该圆圆心
4,2
C
，半径为4，面积为
2
4
16
，故A 正确；
显然
8,
4
AC
R
，所以
1
sin 2
2
R
AC
，因为
π
0,
2
2
，则
π
2
6
，解得
π
3
，故B 正确；
易知直线的斜率存在，设直线:
4
2
0
l kx
y
k
，因为圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，
则圆心到直线的距离为：
2
8
2
1
k
d
k
，解得
15
15
k
，故C 错误；
对于D，因为
2
PA
PB
，则
2
PA
PB
，所以2 PB
PQ
PA
PQ
，
显然当
,
,
P A Q 三点共线时，PA
PQ
取得最小值，即
2
2
3
4
1 2
5 2
AQ
，故D 正确.
故选：ABD.
2.已知正方形ABCD的边长为2，点M 在以C 为圆心，1 为半径的圆上，则2 MB
MD
的最小值为（
）
A．
15
2
B．15
C．17
2
D．17
【答案】D
【解析】依题意，以点C 为原点，直线
,
CB CD 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则
(2,0),
(0,2)
B
D
，如
图，
取点
1
(0,
)
2
E
，设
( , )
M
x y
，当|
| 2 |
|
M D
M E
时，
2
2
2
2
1
(
2)
2
(
)2
x
y
x
y
，
化简整理得
2
2
1
x
y
，即点M 的轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，
而点M 在以C 为圆心，1 为半径的圆上，因此|
| 2 |
|
MD
ME
，显然点B 在圆C ：
2
2
1
x
y
外，
则2
2 |
| 2 |
| 2(|
|
|
|)
2 |
MB
MD
MB
ME
MB
ME
BE
，当且仅当M 为线段BE 与圆C 的交点时取等号，
而
2
2
1
17
|
|
2
( )
2
2
BE
，所以2 MB
MD
的最小值为2|
|
17
BE
.
故选：D
3.已知圆O：
2
2
1
x
y
和点
1 ,0
2
P
，点
2,1
B
，M 为圆O 上的动点，则2 MP
MB
的最小值为（
）
A．15
B．1
10
C．17
D．3
2
【答案】C
【解析】取
2,0
F
，连接
,
MF MO ，
则
1,
2
MO
OF
，又
1
2
OP
，
所以
1
2
MO
OP
OF
MO
，
又
MOP
FOM
，故
MOP
△
∽
FOM
△
，
故
1
2
MP
MO
OP
MF
OF
MO
，从而
2
MF
MP
，
所以2 MP
MB
MF
MB
，
当
,
,
F M B 三点共线时，2 MP
MB
MF
MB
取得最小值，
最小值为
2
2
2
2
1 0
17
FB
.
故选：C
4.对平面上两点A、B，满足
1
PA
PB
的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此
圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，
0,3
D
，若动点P 满足
1
2
PA
PB
，
则2 PD
PB
的最小值是
．
【答案】2 10
【解析】
由题意知：
1
2
PA
PB
，即
2
PB
PA
，
2
2
2
2
PD
PB
PD
PA
AD
（当且仅当
, ,
A P D三点按顺序共线时取等号），
又
2
2
1
3
10
AD
，
2 PD
PB
的最小值为2 10 ；
故答案为：2 10 .
5.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表
作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M 与两定点
,
A B 的距离之
比为(
0,
1
，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P
为圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，
4,0 ,
3,1
M
N
，则
2
PM
PN
的最小值为
.
【答案】2 17
【解析】
假设存在这样的点
,0
Q t
，使得
2
PM
PQ
，则
2
2
4
PM
PQ
，设点
,
P x y ，则
2
2
2
2
4
4
x
y
x
t
y
，
即
2
2
2
2
2
2
2
2
8
16
4
2
3
3
8
8
4
16
0
x
y
x
x
y
tx
t
x
y
t
x
t
，
该圆对照
2
2
4
x
y
，所以
1
t ，所以点
1,0
Q
，
所以
2
2
2
2
2
2 17
PM
PN
PQ
PN
PQ
PN
QN
.
故答案为：2 17
题型八：将军饮马问题
1.已知圆
2
2
: (
2)
(
1)
9
C
x
y
.
(1)若过点
( 1,1)
P
向圆C 作切线l ，求切线l 的方程；
(2)若Q 为直线
: 2
5
0
m
x
y
上的动点，M 是圆C 上的动点，定点
( 2,6)
N
，求QM
QN
的最大值.
【解析】（1）若切线l 的斜率不存在，则l 的方程为= 1
x ；
若切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为
1
(
1)
y
k x
，即
1
0
kx
y
k
.
因为直线l 与圆C 相切，所以圆心(2, 1)
到l 的距离为3，即
2
|3
2 |
3
1
k
k
，解得
5
12
k
，
所以切线l 的方程为
5
1
(
1)
12
y
x
，即5
12
17
0
x
y
.
综上，切线l 的方程为= 1
x 或5
12
17
0
x
y
.
（2）因为
3
QM
QC
，所以
3
QM
QN
QC
QN
．
设
( 2,6)
N
关于直线m 对称的点为
( , )
N x y
，
则
2
6
2
5
0
2
2
6
1
2
2
x
y
y
x
，解得
2
4
x
y
，即
(2,4)
N
.
因为QN
QN
，所以QC
QN
QC
QN
.
因为QC
QN
CN
，当且仅当
,
,
Q C N三点共线时，等号成立，
所以
max
(
)
4
( 1)
5
QC
QN
，故QM
QN
的最大值为5
3
8
.
2.已知
2
2
1 :
2
1
O
x
y
e
，
2
2
2 :
3
6
9
O
x
y
e
，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是
M，N，当PM
PN
取到最小值时，点P 坐标为
.
【答案】3 ,0
4
【解析】
2
2
1 :
2
1
O
x
y
e
的圆心为
1(0,2)
O
，半径1
1
r ，
2
2
2 :
3
6
9
O
x
y
e
的圆心为
2(3,6)
O
，半径2
3
r
，
设
,0
P t
，则
2
2
2
1
4
3
1
1
PM
PO
t
t
，
2
2
2
2
2
2
3
(
3)
6
9
(
3)
27
PN
PO
t
t
所以
2
2
2
2
2
2
3
(
3)
27
(
0)
[0
(
3)]
(
3)
(0
3 3)
PM
PN
t
t
t
t
，
取
3
(0,
)
A
，
(3,3 3)
B
则
2
23
4 3
57
PM
PN
PA
PB
AB
，
当
, ,
P A B 三点共线时取等号，
此时AB 直线：
4 3
3
(
0)
3
y
x
令
0
y
，则
3
4
x
，
3 ,0
4
P
，
故答案为：3 ,0
4
3.已知Q 为圆
1
C ：
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
上一动点，
(4,5)
M
，点P 为x 轴上一动点，则PM
PQ
的最小值
为
．
【答案】3 5
1
【解析】
如图，由题意，PQ 的最小值是
1
1
1
PC
r
PC
，PM
PQ
最小值即为求
1
1
PM
PC
最小值，点
1 1,1
C
关于x 轴的对称点为
2 1, 1
C
，则
1
2
PC
PC
，
当M ，P ，
2
C 三点共线时，
2
PM
PC
最小，
1
2
2
PM
PC
PM
PC
MC
，即此时
1
1
PM
PC
的值最小，即
PM
PQ
的最小值为
2
1
3 5
1
MC
.
故答案为：3 5
1
.
4.已知点P 为直线
1
y
x
上的一点，M，N 分别为圆
1
C ：
2
2
4
1
1
x
y
与圆
2
C ：
2
2
4
1
x
y
上的
点，则
|
|
PM
PN
的最小值为（
）
A．5
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】如图所示，由圆
2
2
1 :(
4)
(
1)
1
C
x
y
，可得圆心
1(4,1)
C
，半径为1
1
r ，
圆
2
2
2 :
(
4)
1
C
x
y
，可得圆心
2(0,4)
C
，半径为2
1
r ，
可得圆心距
2
2
1
2
(4
0)
(1 4)
5
C C
，
如图，
1
1
PM
PC
r
，
2
2
PN
PC
r
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
|
|
|
|
2
2
3
PM
PN
PC
PC
r
r
PC
PC
C C
，
当
1
2
,
,
,
,
M N C C P 共线时，取得最小值，
故|
|
|
|
PM
PN
的最小值为3 .
故选：B
5.已知圆
2
2
1
2
3
1
:
C
x
y
，圆
2
2
2 :
3
4
9
C
x
y
，M，N 分别是圆
1
C ，
2
C 的动点，P 为x 轴
上的动点，则PM
PN
的最小值为（
）
A．5 2
4
B．17
2
C．6
2 2
D．17
【答案】A
【解析】圆
1
C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标
2, 3
A
，半径为1，圆
2
C 的圆心坐标为(3,4) ，半径为3，
点M 关于x 轴对称点M 在圆A 上，则|
| |
|
PM
PM
，即|
|
|
| |
|
|
|
PM
PN
PM
PN
，
由图知，当
,
,
P N M三点共线时|
|
|
|
PM
PN
取得最小值，
因此|
|
|
|
PM
PN
的最小值为圆A 与圆
2
C 的圆心距减去两个圆的半径和，
即
2
2
2
|
| 3 1
3
2
3
4
4
5 2
4
AC
.
故选：A
题型九：长度型
1.（多选）已知直线l 与圆
2
2
:
1
O x
y
相切于点M，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A，B 点，
则下列各选项正确的是（
）
A．MA
MB
为定值
B．MA
MB
的最小值为2
C．AOB
面积的最小值为2
D．
2
OA
OB
的最小值为3 2
【答案】AB
【解析】由直角三角形的性质得
2
1
MA
MB
OM
，故A 正确；
设
0
OA
a a
，
0
OB
b b
，则直线l 的方程为
1
0
x
y
a
b
，
原点
0,0
O
到l 的距离为1，即
2
2
1
1
1
1
a
b
，则
2
2
1
1
1
a
b
，
又
2
2
2
1
1
1
ab
a
b
，则
2
ab
，
故
1
1
2
AOB
S
ab
，当且仅当
2
a
b
时取等号，故C 错误；
2
2
MA
MB
AB
a
b
，而
2
2
1
1
1
a
b
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
a b
，
则
2
2
4
a
b
，故
2
2
2
MA
MB
a
b
，当且仅当
2
a
b
时，等号成立，故B 正确；
5
3
a
，
5
4
b
显然是满足
2
2
1
1
1
a
b
的一组值，
25
2
2
6
OA
OB
a
b
，
2
25
625
18
6
36
，
则25
3 2
6
，故D 错误．
故选：AB．
2.已知点P 是圆
2
2
1 : (
2)
(
10)
4
C
x
y
上的一点，过点P 作圆
2
2
2 :(
3)
(
2)
1
C
x
y
的切线，则切线长
的最小值为（
）
A．2 30
1
B．2 30
C．2 30
1
D．2 30
2
【答案】B
【解析】切线长
2
2
1
d
PC
，所以当
2
PC
取得最小值时，切线长取得最小值.当
1
2
,
,
P C C
共线且点P 在
1
2
C C 之间时，
2
PC 最小，由于
2
2
2
1
2
3
10
2
13
C C
=
,所以
2
PC
min
1
2
1
2
1
2
11
C C
C C
PC
，
所以
2
min
11
1
2 30
d
.
故选：B .
3.设P 是直线l ：
1
0
x
y
上的动点，过P 作圆C ：
2
2
3
4
4
x
y
的切线，则切线长的最小值为（
）
A．4
B．4 2
C．2 5
D．2 7
【答案】D
【解析】圆
2
2
:
3
4
4
C
x
y
的圆心为
3 4
C
，，半径为
2
r
，切点为Q
由题意得当PQ 最小时，CP 连线与直线:
1
0
l x
y
垂直，
所以
2
2
| 3
4
1|
8
|
|
4 2
2
1
1
CP
，
由勾股定理得
2
2
|
|
|
|
2
32
4
2 7
PQ
CP
，
所以PQ 的最小值为2 7 ，
故选：D.
4.已知点A 在直线l：3
4
6
0
x
y
上，点B 在圆C：
2
2
2
6
8
0
x
y
x
y
上，则AB 的最小值是（
）
A．1
B．3
2
C．3
2
D．5
【答案】B
【解析】由题意可知圆C 的圆心
1,3
C
，半径
2
r
.
则圆心C 到直线l 的距离
2
2
3
4 3
6
3
3
4
d
，
故AB 的最小值是
3
2
d
r
.
故选：B.
5.若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】方法一：由
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
，得
2
2
1
2
2
x
y
，
依题意得圆心
1,2
C
在直线2
6
0
ax
by
上，
即
2
1
2
6
0
a
b
，整理得
3
a
b
①．
易知由点
,a b 向圆所作的切线长
2
2
1
2
2
l
a
b
②，
将①代入②，得
2
2
2
4
2
2
2
1
16
l
b
b
b
．
又
R
b
，所以当
1
b = - 时，min
4
l
．
方法二：因为过圆外一点的圆的切线长l 、半径r 和该点到圆心的距离d 满足勾股定理，
即
2
2
2
l
d
r
，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值
问题．
由题意知圆心
1,2
C
，半径
2
r
，点
,a b 满足
3
a
b
，即点
,a b 在直线
3
y
x
上；
所以点
,a b 与圆心的距离的最小值即圆心到直线
3
y
x
的距离d，
易求得
1
2
3
3 2
2
d
，所以切线长的最小值为
2
3 2
2
4
．
故选：C
6.过点
1,1
A
的直线l 与圆
2
2
3
x
y
交于M ，N 两点，则弦长MN 的最小值为（
）
A．7
B．2 7
C．1
D．2
【答案】D
【解析】由圆方程
2
2
3
x
y
，可知圆心
0,0
O
，半径
3
r
，
当OA垂直l 时，MN 最小，此时O到直线l 的距离
2
d
OA
,
所以MN 的最小值为
2
2
min
2
2 3
2
2
MN
r
d
.
故选：D.
7.已知圆
2
2
0
(
)
(
:
1
2)
3
C
x
y
，直线:(2
1)
(
1)
7
4
0
l
m
x
m
y
m
，则直线l 被圆C 截得的弦长的最
小值为（
）
A．10
B．4 5
C．5
D．2
5
【答案】A
【解析】直线l 方程变形为(2
7)
4
0
x
y
m
x
y
，
由
2
7
0
4
0
x
y
x
y
得
3
1
x
y
，即直线l 过定点(3,1) ，圆心为
(1,2)
C
，
定点到圆心距离为
2
2
(3 1)
(1
2)
5
30
d
，即定点在圆内部，
所以当定点和圆心连线与直线l 垂直时，弦长最短，最短弦长为2 30
5
10
，
故选：A．
8.若圆C ：
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
上任意一点关于直线2
6
0
ax
by
的对称点都在圆C 上，由点
,a b 向
圆C 作切线，则切线段长的最小值为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
为
2
2
(
1)
(
2)
2
x
y
，圆心
( 1,2)
C
，半径为
2 ，
由题意得直线2
6
0
ax
by
过
( 1,2)
C
，得2
2
6
0
a
b
，即
3
b
a
，
点
,a b 到圆心
( 1,2)
C
可表示为
2
2
2
2
2
(
1)
(
2)
2
1
10
25
2(
2)
18
a
b
a
a
a
a
a
，
当且仅当
2
a
时取最小值18 ，此时切线段长为18
2
4
，
故选：B
9.已知⊙M：
2
2
1
1
4
x
y
，直线l：2
2
0
x
y
，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，
切点为A，则切线段PA 长的最小值为
．
【答案】1
【解析】⊙M：
2
2
(
1)
(
1)
4
x
y
的圆心坐标为
(1,1)
M
，半径为2，如图，
|
| 2
MA
，且
2
2
2
PA
PM
MA
，
故要使|
|
PA 最小，则|
|
PM 最小，此时PM⊥l，
因为圆心M 到直线l：2
2
0
x
y
的距离为
2
2
| 2 1 1 2 |
5
2
1
，
∴|
|
PA 的最小值为
2
2
( 5)
2
1.
故答案为：1．
10.点
( 3,1)
P
在动直线
(
1)
(
1)
0
m x
n y
上的投影为点M，若点
(
)
3,3
N
，那么MN 的最小值为
.
【答案】2 5
2
【解析】因为直线
(
1)
(
1)
0
m x
n y
过定点
1,1
A
，且PM
AM
，
所以M 的轨迹是以
,
P A为直径的圆，且圆心为
1,1
C
，半径
2
R
，
所以
2
2
min
3
1
2
2
2 5
2
MN
CN
R
，
故答案为：2 5
2
.
11.已知点
(8, 6)
A
与圆
2
2
:
25
C x
y
，P 是圆C 上任意一点，则AP 的最小值是
．
【答案】5
【解析】圆
2
2
:
25
C x
y
的圆心为
(0,0)
C
，半径
= 5
r
，
因为
2
2
(8
0)
( 6
0)
10
5
AC
，所以点A 在圆外，
所以AP 的最小值为
10
5
5
AC
r
，
故答案为：5
12.从直线:
1
8
4
x
y
l
上的任意一点P 作圆
2
2
8
O
x
y
：
的两条切线，切点为A B
、，则弦AB 长度的最小值
为
．
【答案】2 3
【解析】设
(8
2 ,
)
P
m m
，易知P 的极线方程为
(8
2 )
8
my
m x
，即
(2
)
8
8
m
x
y
x
可得弦AB 必过
1 2
，，
易得圆
2
2
8
O
x
y
：
上，过
1 2
，的最短的弦长为
2
2
max
2
2 3
r
d
．
13.已知圆
2
2
:
2
0
C x
y
y
，过直线:
1
0
l x
y
上任意一点P ，作圆的两条切线，切点分别为
,
A B 两点，
则AB 的最小值为
.
【答案】
2
【解析】由题意得，圆
2
2
:
2
0
C x
y
y
的圆心为
0,1
C
，半径为
1
r ，
如图所示，
根据圆的切线长公式，可得
2
2
1
PA
PC
，
则
1
1
2
2
2
PBCA
S
PA AC
PA
PC AB
四边形
，
2
2sin
PA
AB
ACP
PC
,
当PC 取最小值时，AP 取最小值，又
1
AC ，
所以此时tan
ACP
最小，sin
ACP
也最小，AB 取最小值，
圆心
0,1
C
到直线:
1
0
l x
y
的距离
1 1
2
2
d
，
则
min
2
PC
，此时
1
PA ，
则
min
|
|
2
AB
.
故答案为：
2 .
题型十：方程中的参数
1.如图，在直角梯形ABCD中，
90 ,
4,
2
A
B
AD
AB
BC
，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足
AM
mAB
nAD
，则m
n
的最大值为（
）
A．2
B．3
C．
5
2
D．
10
5
4
【答案】D
【解析】
如图，以A 为原点建立直角坐标系，设CD 中点为E ，易得
(0,0), (2,0),
(2,2),
(0,4)
A
B
C
D
，则CD 中点
1,3
E
，
2 2
CD
，
故以CD 为直径的圆的方程为
2
2
1
3
2
x
y
，过E 作x 轴平行线交y 轴于Q ，交半圆于P ，则
45
DEQ
PEC
，设
PEM
，
则
(1
2 cos ,3
2 sin )
45
135
M
，又
(1
2 cos ,3
2 sin )
(2 ,0)
0,4
2 ,4
AM
mAB
nAD
m
n
m
n
，
故2
1
2 cos ,4
3
2 sin
m
n
，则
1
2 cos
3
2 sin
5
10 sin(
)
2
4
4
4
m
n
，其中
2 5
5
sin
,cos
5
5
，
显然当
sin
1
时，m
n
取最大值
10
5
4
.
故选：D.
2.已知
0,0
O
，
3,1
P
，
1 4cos , 3
4sin
Q
，
0,2
，则
OPQ
△
面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．5 3
D．8
3
3
【答案】B
【解析】设点
,
Q
Q
Q x
y
，因为
1
4cos
3
4sin
Q
Q
x
y
，所以
2
2
1
3
16
Q
Q
x
y
，
Q 点的轨迹是以
1, 3
M
为圆心，4 为半径的圆，
又直线OP 的方程为OP
l
：
3
0
x
y
，
2
2
3
1
2
OP
，圆心M 到直线OP 的距离
2
2
1
3
3
1
1
3
d
，
所以Q 到直线OP 的距离最大值为
1 4
5
d
r
则
OPQ
△
面积的最大值为
1
2 5
5
2
S
.
故选：B .
3.已知点
0, 4
A
，点
2,0 ,
B
P 为圆
2
2
:
4
O x
y
上一动点，则
PB
PA 的最大值是（
）
A．2 5
3
B．3 3
4
C．4 5
3
D．3 3
2
【答案】A
【解析】因为点P 为圆
2
2
:
4
O x
y
上一动点，故设
(2cos ,2sin ),
[0,2π]
P
，
则
2
2
2
2
(2cos
2)
(2sin )
8
8cos
2(1 cos )
5
4sin
20 16sin
(2cos )
(2sin
4)
PB
PA
，
令
1
cos
5
4sin
t
，则(5
4sin )
1
cos
t
，
即4 sin
co
1 5
s
t
t
，则
2
2
1 5
16
1(
1 5 ,
(
16
1
sin
)
sin
)
t
t
t
t
，
其中为辅助角，
1
tan
4t
，
则
2
1 5
|
| 1
16
1
t
t
，整理得
2
10
9
10
0,
0
9
t
t
t
，
故
2(1 cos )
5
4sin
2
PB
t
PA
的最大值为2 5
3
，
故选：A
