2.2 两条直线平行和垂直的判定
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：两条直线平行................................................................ 2
考点二：两条直线垂直................................................................ 2
模块二：题型分类.........................................................................3
题型一：两条直线平行的判定....................................................... 3
题型二：两直线垂直的判定.......................................................... 4
题型三：两直线平行求参数.......................................................... 5
题型四：两直线垂直求参数.......................................................... 6
题型五：直线平行垂直在几何中的应用............................................7
模块三：综合巩固.........................................................................8
2.2 两条直线平行和垂直的判定
模块一：基础知识
考点一：两条直线平行
对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为
1k ，
2k ，有1
2
1
2
l
l
k
k
.如下1 图
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
l
l
k
k
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②1l 与2l 不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则1
2
l
l
，如上2 图
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1
2
1
2
l
l
k
k
或1l ，2l 斜率都不存在.
考点二：两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1
；反之，如果它们的斜率之积等
于1
，那么它们互相垂直，即1
2
1
2
1
l
l
k
k
.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1) 1
2
1
2
1
l
l
k
k
成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②
1
0
k
且
2
0
k
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
1
2
1
2
1
l
l
k
k
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
模块二：题型分类
题型一：两条直线平行的判定
1.下列各对直线互相平行的是（
）
A．直线1l 经过点
0,1
A
，
1 0
B
,
，直线2l 经过点
1,3
M
，
2,0
N
B．直线1l 经过点
1, 2
A
，
1,2
B
，直线2l 经过点
2, 1
M
，
0, 2
N
C．直线1l 经过点
1,2
A
，
1,3
B
，直线2l 经过点
1, 1
C
，
1,4
D
D．直线1l 经过点
3,2
A
，
3, 1
B
，直线2l 经过点
1, 1
M
，
3,2
N
2.根据下列给定的条件，判断直线1l 与直线2l 是否平行．
(1) 1l 经过点
2,3
A
，
4,0
B
，2l 经过点
3,1
M
，
2,2
N
；
(2) 1l 的斜率为
1
2
，2l 经过点
4,2
A
，
2,3
B
；
(3) 1l 平行于y 轴，2l 经过点
0, 2
P
，
0,5
Q
；
(4) 1l 经过点
0,1
E
，
2, 1
F
，2l 经过点
3,4
G
，
2,3
H
．
3.（多选）已知直线1l 与2l 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（
）
A．若1
2
//
l
l ，则斜率
1
2
k
k
B．若斜率
1
2
k
k
，则1
2
//
l
l
C．若倾斜角
1
2
，则1
2
//
l
l
D．若1
2
//
l
l ，则倾斜角
1
2
4.（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
//
l
l 的是（
）．
A．1l 的斜率为2，2l 过点
1,2
A
，
4,8
B
B．1l 经过点
3,3
P
，
5,3
Q
，2l 平行于x 轴，且不经过点P
C．1l 经过点
1,0
M
，
5, 2
N
，2l 经过点
4,3
R
，
0,5
S
D．1l 的方向向量为
1,1 ，2l 的倾斜角为π
3
5.记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为
1k 、2k ，则“ 1
2
l
l
// ”是“
1
2
k
k
”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
6.已知直线1l 过
1,4
A
，
2,0
B
，且1
2
//
l
l ，则直线2l 的斜率为（
）
A．4
3
B．3
4
C．
4
3
D．
3
4
7.已知经过点
(3, ), (5, )
A
n B
m 的直线1l 与经过点
2
,0 ,
0,
(
0)
P
m
Q
n
mn
的直线2l 平行，则m
n 的值为（
）
A．－1
B．－2
C．－1 或2
D．－2 或1
8.过
,3 ,
1,
A m
B
m
两点的直线与直线l 平行，直线l 的倾斜角为45，则m （
）
A．1
B．2
C．-1
D．-2
9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的
纸折叠一次，使点
2,0 与点
2,4
重合，点
2023,2024 与点
,a b 重合，则a
b
（
）
A．4046
B．4047
C．4048
D．4049
题型二：两直线垂直的判定
1.判断直线1l 与2l 是否垂直．
(1) 1l 的斜率为10
，2l 经过点
10,2
A
，
20,3
B
；
(2) 1l 经过点
3,4
A
，
3,10
B
，2l 经过点
10,40
M
，
10,40
N
；
(3) 1l 经过点
1,2
A
，
5, 1
B
，2l 经过点
1,0
C
，
4,6
D
．
2.判断下列直线1l 与2l 是否垂直：
(1) 1l 的倾斜角为2π
3 ，2l 经过
4,
3
M
，
5,2 3
N
两点；
(2) 1l 的斜率为
3
2
，2l 经过
3, 2
P
，
6,4
Q
两点；
(3) 1l 的斜率为
1
3
，2l 的倾斜角为，为锐角，且
3
tan 2
4
.
3.（多选）满足下列条件的直线1l 与2l ，其中1
2
l
l
的是（
）
A．1l 的倾斜角为45，2l 的斜率为1
B．1l 的斜率为
3
3
，2l 经过点
2,0
A
，
3, 3
B
C．1l 经过点
2,1
P
，
4, 5
Q
，2l 经过点
1,2
M
，
1,0
N
D．1l 的方向向量为
1,m ，2l 的方向向量为
1
1,
m
4.已知
7, 4 ,
5,6
A
B
，若直线m 与直线AB 垂直，则直线m 的斜率为（
）
A．6
5
B．
6
5
C．5
6
D．
5
6
5.若直线1l 的倾斜角为45°，直线2l 经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线1l 与2l 的位置关系是（）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．平行或重合
6.已知直线1l 经过
3,2
A
，
1, 2
B
两点，直线2l 倾斜角为45，那么1l 与2l （
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．相交但不垂直
7.已知两直线1
2
,
l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
,
k k 是方程
2
1
0
x
x
的两根，则1l 与2l 的位置关系为（
）
A．平行
B．相交且垂直
C．重合
D．相交且不垂直
8.已知两条直线1
l 和
2
l ，其斜率分别是一元二次方程
2
2024
1
k
k
的两不等实数根，则其位置关系是（
）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．异面
9.若过点
3,2
P
m 和点
,2
Q
m
的直线与方向向量为
5,5
a
的直线垂直，则实数m 的值是
．
10.直线1l 过点
,1
A m
和点
1,
B
m
，直线2l 过点
,
1
C m
n n
和点
1,
D n
n
m
，则直线1l 与2l 的位置关
系是
．
题型三：两直线平行求参数
1.在平面直角坐标系中，直线1l 经过
1,
,
4, 5
M
m
N
两点，2l 经过
6,0 , ( 1,3)
R
S
两点，若1
2
l
l
，则
m
；若1
2
l
l
∥
，则m
．
2.已知直线1
2
l
l
// ，它们的斜率分别记作
1
2
,
k k ，若
1
2
,
k k 是方程
2
2
1 0
x
ax
的两个根，则a 的值（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．无法确定
3.已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m 的值为
.
4.已知直线1l 经过
,3 ,
1,
A m
B
m 两点，2l 经过
2,1 ,
4,2
P
Q
两点．
(1)若1
2
//
l
l ，求m 的值；
(2)若1
2
,
l l 的倾斜角互余，求m 的值．
5.已知直线1l 的倾斜角为60，直线2l 的斜率
2
2
3
4
k
m
，若1
2
l
l
∥，则m 的值为
.
6.当a 为何值时，直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
.
(1)平行；
(2)垂直.
题型四：两直线垂直求参数
1.若直线l 经过点
2, 1
A a
和
2,1
B
a
，且与斜率为
2
3
的直线垂直，则实数a 的值是（）
A．
2
3
B．3
2
C．
2
3
±
D．
3
2
2.已知
7, 4 ,
5,6
A
B
，若直线m 与直线AB 垂直，则直线m 的斜率为（
）
A．6
5
B．
6
5
C．5
6
D．
5
6
3.已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m
D
m
，若直线AB
CD
，则m 的值为（
）
A．1 或1
B．3
或1
C．1
或3
D．3 或3
4.若直线1l 与2l 的斜率
1k 、
2k 是关于k 的方程
2
2
4
k
k
b
的两根，若1
2
l
l
，则b （
）
A．2
B．－2
C．0
D．－4
5.当a 为何值时，直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
.
(1)平行；
(2)垂直.
6.已知1l 的倾斜角为45°，2l 经过点
2, 1 ,
3,
P
Q
m
．若1
2
l
l
，则实数m 为（
）
A．6
B．－6
C．5
D．－5
7.若直线l 经过点(
2, 1)
a
和(
2,1)
a
，且与经过点( 2,1)
，斜率为
2
3
的直线垂直，则实数a 的值
为
．
8.已知直线1l ：
2
y
x
a
与直线2l ：
2
2
2
y
a
x
垂直，则a 的值为
.
9.已知过
3,1
A
、
1, 3
B
的直线与过
3,
C
m
、
,2
D n
的直线互相垂直，则点
,
m n 有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．无数个
题型五：直线平行垂直在几何中的应用
1.以
5, 1 ,
1,1 ,
2,3
A
B
C
为顶点的三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A 为直角顶点的直角三角形
D．以B 为直角顶点的直角三角形
2.已知四边形MNPQ 的顶点
1,1 ,
3, 1 ,
4,0 ,
2,2
M
N
P
Q
，则四边形MNPQ 的形状为
.
3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为
0,0 ,
1,
,
1 2 ,2
,
2 ,2
O
P
t
Q
t
t
R
t
，其中
0
t
.试判断四边形OPQR 是否为矩形.
4.（多选）已知点
4,2 ,
6, 4 ,
12,6 ,
2,12
P
Q
R
S
，则下列结论正确的是（
）
A．
//
PQ SR
B．PQ
PS
C．
//
PS QR
D．PR
QS
5.（多选）直线1
2
,
l l 的斜率
1
2
,
k k 是关于k 的方程
2
2
4
0
k
k
m
的两个根，则下列说法正确的是（
）
A．若1
2
l
l
，则
2
m
B．若1
2
l
l
，则
=2
m
C．若1
2
//
l
l 则
2
m
D．若1
2
//
l
l ，则
=2
m
6.已知
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，A，B，C，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标.
7.在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是
0,0
O
，
1,
P
t ，
1 2 ,2
Q
t
t
，
2 ,2
R
t
，其中
0,
t
，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．
模块三：综合巩固
1.经过(0,4), ( 1,3)
A
B
两点的直线的方向向量(1, )
k ，则k （
）
A．1
B．0
C．1
D．2
2.已知直线1l 过
2,3
A
，
0,4
B
，且1
2
l
l
，则直线2l 的斜率为（
）
A．2
B．
1
2
C．2
D．1
2
3.已知两直线1
2
,l l 的斜率分别为
1
2
,
k k ，且
1
2
,
k k 是方程
2
1
0
x
x
的两根，则1l 与2l 的位置关系为（
）
A．平行
B．相交且垂直
C．重合
D．相交且不垂直
4.已知经过点
2,0
A
和点
1,3
B
a 的直线1l 与经过点
0, 1
P
和点
, 2
Q a
a
的直线2l 互相垂直，则实数a
的值为（
）
A．0
B．1
C．0 或1
D．1
或1
5.已知直线l 的倾斜角为3
4
，直线1l 经过点
3,2
A
和
, 1
B a
，且直线l 与1l 垂直，a 的值为（
）
A．1
B．6
C．0 或6
D．0
6.以
1,1
A
，
2, 1
B
，
1,4
C
为顶点的三角形是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以点A 为直角顶点的直角三角形
D．以点B 为直角顶点的直角三角形
7.下列说法中正确的有（
）
①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；
②若1
2
//
l
l ，则
1
2
k
k
；
③所有的直线都有倾斜角；
④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8.已知点
1,1
A
和
2,4
B
，点P 在y 轴上，且
APB
为直角，则点P 坐标为（
）
A．
0,2
B．
0,2 或
0,3
C．
0,2 或
0,4
D．
0,3
9.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的
纸折叠一次，使点
2,0 与点
2,4
重合，点
2023,2024 与点
,a b 重合，则a
b
（
）
A．4046
B．4047
C．4048
D．4049
10.已知点
(
3,2),
( 2
4,4),
(
,
),
(3,3
2)
A
m
B
m
C
m m D
m
，若直线AB
CD
，则m 的值为（
）
A．1 或1
B．3
或1
C．1
或3
D．3 或3
11.两直线的斜率分别是方程
2
2013
1
0
x
x
的两根，那么这两直线的位置关系是（
）
A．垂直
B．斜交
C．平行
D．重合
12.（多选）下列说法中不正确的是（
）
A．直线倾斜角的范围是：0
180
，且当倾斜角增大时，斜率也增大
B．若两直线平行，则两直线的斜率相等
C．若两直线的斜率之积等于1
，则两直线垂直
D．过点
1,1 且斜率为1 的直线方程可表示为：
1
1
1
y
x
13.（多选）以
( 1,1),
(2, 1), (1,4)
A
B
C
为顶点的三角形，下列结论正确的有（
）
A．
2
3
AB
k
B．
1
4
BC
k
C．以A 点为直角顶点的直角三角形
D．以B 点为直角顶点的直角三角形
14.（多选）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是
1
2
,
，斜率分别为
1
2
,
k k ，则下列命题正
确的是（
）
A．若斜率
1
2
k
k
，则
1
2
l
l
∥
B．若
1 2
1
k k ，则1
2
l
l
C．若倾斜角
1
2
，则
1
2
l
l
∥
D．若
1
2
π
，则1
2
l
l
15.已知
(1,3), (5,1),
(3,7)
A
B
C
，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，则点D 的坐标为
．
16.已知点
2,2
A
，
6,4
B
，
5,2
H
，H 是ABC
的垂心．则点C 的坐标为
．
17.已知O 为坐标原点，直线l ：
2
4
y
x
上有一点Q，
5,0
A
，若
90
AQO
，则点Q 的坐标为
．
18.已知
4,0
A
，
1,2
B
，
,
C m m ，
7, 1
D
.
(1)若直线AB 与CD 平行，求m 的值；
(2)若ABC
为直角三角形，求m 的值.
19.已知四边形ABCD的四个顶点坐标分别为
5, 1
A
，
1,1
B
，
2,3
C
，
4,2
D
．
试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
20.已知直线1l 经过点
(
)
3,
A
a ，(
1,2)
B a
直线2l 经过点
(1,2),
( 2,
2)
C
D
a
.若1
2
l
l
，求a 的值.
21.已知
1, 1
M
，
2,2
N
，
3,0
P
．
(1)求点Q 的坐标，满足PQ
MN
，PN
MQ
∥
；
(2)若点Q 在x 轴上，且
NQP
NPQ
，求直线MQ 的倾斜角．
