2.11 专题：圆中的范围最值问题
模块一：基础知识.........................................................................2
题型一：斜率型.........................................................................2
题型二：直线截距型................................................................... 2
题型三：点到圆距离、直线到圆距离...............................................3
题型四：周长、面积型................................................................ 5
题型五：数量积型......................................................................6
题型六：坐标与角度型................................................................ 7
题型七：阿波罗尼斯圆问题.......................................................... 9
题型八：将军饮马问题.............................................................. 10
题型九：长度型....................................................................... 11
题型十：方程中的参数.............................................................. 12
2.11 专题：圆中的范围最值问题
模块一：基础知识
题型一：斜率型
1.已知点
,
P x y 在圆
2
2
1
x
y
上运动，求
2
y
x
的最大值与最小值.
2.若
,
P x y 在圆
2
2
4
2
9
x
y
上运动，则
1
y
x
的最大值为
；
3.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐
标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点
,
P x y 是阴影部分（包括边界）的动点，则
2
y
x
的最
小值为（
）
A．
2
3
B．
3
2
C．
4
3
D．1
4.求函数
sin
1
cos
2
x
y
x
的最大值及最小值．
题型二：直线截距型
1.已知实数x，y 满足方程
2
2
4
4
7
0
x
y
x
y
，则y
x
的最小值是
．
2.已知实数x 、y 满足
2
2
4
x
y
，求x
y
的最大值．
3.已知实数,x y 满足方程
2
2
(
2)
3
x
y
，求y
x
的最大值和最小值．
题型三：点到圆距离、直线到圆距离
1.已知
,
P a b 是圆
2
2
2
4
20
0
x
y
x
y
上的点，则
2
2
a
b
的最小值是
．
2.已知圆C ：
2
2
1
2
2
x
y
，直线l ：
4
y
x
，则圆C 上的点到直线l 的距离最小值为
．
3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科
学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （
0
k
且
1
k ）的点的轨迹是圆，后
人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy 中的点
( 2 0),
(2 2,0)
E
F
，
，则满足|
|
2 |
|
PF
PE
的动
点P 的轨迹记为圆E .
(1)求圆E 的方程；
(2)过点
(3,3)
Q
向圆E 作切线
,
QS QT ，切点分别是,
S T ，求直线ST 的方程.
(3)若点
( 2,2), ( 2,6),
(4, 2)
A
B
C
，当P 在E 上运动时，求
2
2
2
2 |
|
|
|
|
|
PA
PB
PC
的最大值和最小值.
4.已知圆心为C 的圆经过点
1,1
A
和
2, 2
B
，且圆心C 在直线l ：
1
0
x
y
上.
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知
2,1
P
，Q 为圆C 上的点，求PQ 的最大值和最小值.
5.已知实数
1
x 、
2
x 、
1y 、
2y 满足：
2
2
1
1
1
x
y
，
2
2
2
2
1
x
y
，
1
2
1
2
1
2
x x
y y
，设
1
1
,
A x y
，
2,
2
B x y
，则
AB
，
1
1
2
2
1
1
2
2
x
y
x
y
的最大值为
.
6.已知实数,a b 满足
2
2
4
3
0
a
b
a
，则
2
2
2
a
b
的最大值为
．
7.已知实数,x y 满足
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y
，则
2
2
1
3
x
y
的最大值为
．
8.已知点P 为圆
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y
上的动点，求点P 到直线3
4
8
0
x
y
的距离的最小值.
9.已知点
,
P x y 是圆
2
2
(
2)
1
x
y
上任意一点，求点P 到直线3
4
12
0
x
y
的距离的最大值和最小值．
10.已知,x y R ，且圆
2
2
:(
1)
(
2)
4
C
x
y
，求
2
2
(
2)
(
2)
x
y
的最大值与最小值；
11.圆
2
2
1
1
x
y
上点到直线3
4
7
0
x
y
距离的最小值是
．
12.过
( , )
P x y 作圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
x
与圆
2
2
2 :
6
6
14
0
C
x
y
x
y
的切线，切点分别为A ，B ，若
PA
PB
，则
2
2
x
y
的最小值为
．
13.（多选）已知点
(0,3), (1,1)
A
B
，且点P 在圆C：
2
2
(
2)
4
x
y
上运动，则下列结论正确的是（
）
A．|
|
PA 的最大值为13
2
B．|
|
|
|
PA
PB
的最小值为5
C．PA
PB
的最大值为5
D．当PAB 最大时，
3
PA
14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数（
0
，且
1
），那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的
阿波罗尼斯圆．若点C 到
( 1,0)
A
，
(1,0)
B
的距离之比为
3 ，则点C 到直线
2
8
0
x
y
的距离的最小值为
（
）
A．2 5
3
B．5
3
C．2 5
D．
3
15.已知直线:
1
0
l ax
by
，圆
2
2
:
4
2
1
0
C x
y
x
y
，若圆C 上存在两点关于直线l 对称，则
2
2
2
7
a
b
的最小值是（
）
A．5
B．5
C．2 5
D．20
16.已知直线:
1
0
l
x
y
和圆
2
2
:
4
0
C x
y
y
交于
,
A B 两点，则AB 的最小值为（
）
A．2
B．
2
C．4
D．2 2
题型四：周长、面积型
1.已知
1,0
A
，
2,0
B
，若动点M 满足
2
MB
MA
，直线:
2
0
l x
y
与x 轴、y 轴分别交于两点,
P Q ，
则MPQ
的面积的最小值为（
）
A．4
2 2
B．4
C．2 2
D．4
2 2
2.已知直线l：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点，动直线1l ：
y
mx m
R 和2l ：
4
2
0
my
x
m
交于点P，则
MNP
△
的面积的最小值为（
）
A．10
B．5
10
C．2 2
D．2 10
3
3.已知直线:
3
0
l x
y
上的两点
,
A B ，且
1
AB ，点P 为圆
2
2
:
2
3
0
D x
y
x
上任一点，则PAB
的
面积的最大值为（
）
A．
2
1
B．2 2
2
C．
2
1
D．2 2
2
4.直线1 :
2
1
0
l
kx
y
k
与2 :
2
0
l
x
ky
k
分别与圆
2
2
:
10
O x
y
交于A 、C 和B 、D ，则四边形
ABCD面积的最大值为（
）
A．3 5
B．4 5
C．10
D．15
5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知圆O的半径为3，直线1l ，2l 互相垂直，垂足为
(1, 5)
M
，且
1l 与圆O相交于A ，C 两点，2l 与圆O相交于B ，D 两点，则四边形ABCD的面积的最大值为（
）
A．10
B．12
C．13
D．15
6.已知两点
1,0 ,
0,2
A
B
，点C 是圆
2
2
2
0
x
y
x
上任意一点，则ABC
面积的最小值是（
）
A．
5
2
2
B．2
5
2
C．4
5
D．4
5
7.已知直线l 与圆
2
2
:
6
0
C x
y
x
交于
,
A B 两点，则ABC
面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．7
2
D．9
2
题型五：数量积型
1.已知线段AB 是圆
2
2
:(
1)
(
1)
4
C
x
y
上的一条动弦，且
2 3
AB
，设点O为坐标原点，则
OA OB
的最大值为
；如果直线1 :
3
1
0
l
x
my
m
与2 :
3
1
0
l
mx
y
m
相交于点M ，则MA MB
的
最小值为
.
2.已知直线
:
2
l y
k x
k
R 交
2
2
:
1
3
5
M
x
y
于不同的A 、B 两点，AB
4
．
(1)求直线l 的方程；
(2)若Q 为
2
2
:
1
O x
y
e
上一动点，求QA QB
的最小值．
3.已知直线l1：
3
1
0
x
my
m
与l2：
3
1
0
mx
y
m
相交于点M，线段AB 是圆C：
2
2
1
1
4
x
y
的一条动弦，且
2 3
AB
，则MA MB
的最小值为（
）
A．6
4 2
B．3
2
C．5
3
D．5
1
4.若点M 是圆C ：
2
2
4
0
x
y
x
上的任一点，直线l ：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于
,
A B 两点，则
AM AB
的最小值为（
）
A．4
2 2
B．2
C．8
4 2
D．8
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A 、B 的距离之比
为定值（
0
且
1
）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称
阿氏圆，在平面直角坐标系xOy 中，
2,0
A
、
2,0
B
，点P 满足
3
PA
PB
，则PA PB
的最小值
为
.
题型六：坐标与角度型
1.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点
,
M N 是锐角
AQB
的一边QA上的两点，试着在边QB 上找一
点P ，使得
MPN
最大”.如图，其结论是：点P 为过
,
M N 两点且和射线QB 相切的圆的切点.根据以上结
论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点
1,2 ,
1,4
M
N
，点P 在x 轴上移动，当
MPN
取
得最大值时，该圆的方程是（
）
A．
2
2
(
1)
(
2)
2
x
y
B．
2
2
(
7)
(
10)
100
x
y
C．
2
2
(
1)
(
2)
4
x
y
D．
2
2
(
7)
(
10)
10
x
y
2.已知圆
2
2
:
3
4
4
C
x
y
和两点
,0
A
m
，
,0
0
B m
m
，若圆C 上存在点P 使得
90
APB
，
则m 的最大值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
3.（多选）已知圆
2
2
:(
1)
(
1)
4
M
x
y
，直线:
2
0,
l x
y
P
为直线l 上的动点，过点P 作圆M 的切线
PA PB
､
，切点为A B
､，则下列各选项正确的是（
）
A．四边形MAPB 面积的最小值为4
B．四边形MAPB 面积的最大值为8
C．当
APB
最大时，
2
PA
D．当
APB
最大时，直线AB 的方程为
0
x
y
4.已知圆
2
2
:(
4)
(
3)
4
C
x
y
和两点
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，若圆C 上存在点P，使得
90
APB
，则a
的最小值为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
5.已知圆
2
2
:(
3)
4
1
C
x
y
和两点
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a
，圆C 上若存在点P，使得
90
APB
，则a
的最小值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
6.已知圆
2
2
:
2
0
C x
y
x
与直线:
2
0(
0)
l mx
y
m
m
，过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A，
B，若
ACB
的最小值为2
3
，则实数m 的值为（
）
A．
3
2
B．2 2
3
C．3 3
4
D．2 5
5
题型七：阿波罗尼斯圆问题
1.（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
,
A B 的距㐫之比为定值
1
的点的
轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知
4,2
A
，
2,2
B
，点P 满足
2
PA
PB
，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（
）
A．点P 的轨迹所包围的图形的面积等于16π
B．过点A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为π
3
C．过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为2，该直线斜率为
15
5
D．若点
3,1
Q
，则2 PB
PQ
的最小值为5 2
2.已知正方形ABCD的边长为2，点M 在以C 为圆心，1 为半径的圆上，则2 MB
MD
的最小值为（
）
A．
15
2
B．15
C．17
2
D．17
3.已知圆O：
2
2
1
x
y
和点
1 ,0
2
P
，点
2,1
B
，M 为圆O 上的动点，则2 MP
MB
的最小值为（
）
A．15
B．1
10
C．17
D．3
2
4.对平面上两点A、B，满足
1
PA
PB
的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此
圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，
0,3
D
，若动点P 满足
1
2
PA
PB
，
则2 PD
PB
的最小值是
．
5.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表
作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点M 与两定点
,
A B 的距离之
比为(
0,
1
，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，已知点P
为圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点，
4,0 ,
3,1
M
N
，则
2
PM
PN
的最小值为
.
题型八：将军饮马问题
1.已知圆
2
2
: (
2)
(
1)
9
C
x
y
.
(1)若过点
( 1,1)
P
向圆C 作切线l ，求切线l 的方程；
(2)若Q 为直线
: 2
5
0
m
x
y
上的动点，M 是圆C 上的动点，定点
( 2,6)
N
，求QM
QN
的最大值.
2.已知
2
2
1 :
2
1
O
x
y
e
，
2
2
2 :
3
6
9
O
x
y
e
，过x 轴上一点P 分别作两圆的切线，切点分别是
M，N，当PM
PN
取到最小值时，点P 坐标为
.
3.已知Q 为圆
1
C ：
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
上一动点，
(4,5)
M
，点P 为x 轴上一动点，则PM
PQ
的最小值
为
．
4.已知点P 为直线
1
y
x
上的一点，M，N 分别为圆
1
C ：
2
2
4
1
1
x
y
与圆
2
C ：
2
2
4
1
x
y
上的
点，则
|
|
PM
PN
的最小值为（
）
A．5
B．3
C．2
D．1
5.已知圆
2
2
1
2
3
1
:
C
x
y
，圆
2
2
2 :
3
4
9
C
x
y
，M，N 分别是圆
1
C ，
2
C 的动点，P 为x 轴
上的动点，则PM
PN
的最小值为（
）
A．5 2
4
B．17
2
C．6
2 2
D．17
题型九：长度型
1.（多选）已知直线l 与圆
2
2
:
1
O x
y
相切于点M，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A，B 点，
则下列各选项正确的是（
）
A．MA
MB
为定值
B．MA
MB
的最小值为2
C．AOB
面积的最小值为2
D．
2
OA
OB
的最小值为3 2
2.已知点P 是圆
2
2
1 : (
2)
(
10)
4
C
x
y
上的一点，过点P 作圆
2
2
2 :(
3)
(
2)
1
C
x
y
的切线，则切线长
的最小值为（
）
A．2 30
1
B．2 30
C．2 30
1
D．2 30
2
3.设P 是直线l ：
1
0
x
y
上的动点，过P 作圆C ：
2
2
3
4
4
x
y
的切线，则切线长的最小值为（
）
A．4
B．4 2
C．2 5
D．2 7
4.已知点A 在直线l：3
4
6
0
x
y
上，点B 在圆C：
2
2
2
6
8
0
x
y
x
y
上，则AB 的最小值是（
）
A．1
B．3
2
C．3
2
D．5
5.若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
6.过点
1,1
A
的直线l 与圆
2
2
3
x
y
交于M ，N 两点，则弦长MN 的最小值为（
）
A．7
B．2 7
C．1
D．2
7.已知圆
2
2
0
(
)
(
:
1
2)
3
C
x
y
，直线:(2
1)
(
1)
7
4
0
l
m
x
m
y
m
，则直线l 被圆C 截得的弦长的最
小值为（
）
A．10
B．4 5
C．5
D．2
5
8.若圆C ：
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
上任意一点关于直线2
6
0
ax
by
的对称点都在圆C 上，由点
,a b 向
圆C 作切线，则切线段长的最小值为（
）
A．2
B．4
C．5
D．6
9.已知⊙M：
2
2
1
1
4
x
y
，直线l：2
2
0
x
y
，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，
切点为A，则切线段PA 长的最小值为
．
10.点
( 3,1)
P
在动直线
(
1)
(
1)
0
m x
n y
上的投影为点M，若点
(
)
3,3
N
，那么MN 的最小值为
.
11.已知点
(8, 6)
A
与圆
2
2
:
25
C x
y
，P 是圆C 上任意一点，则AP 的最小值是
．
12.从直线:
1
8
4
x
y
l
上的任意一点P 作圆
2
2
8
O
x
y
：
的两条切线，切点为A B
、，则弦AB 长度的最小值
为
．
13.已知圆
2
2
:
2
0
C x
y
y
，过直线:
1
0
l x
y
上任意一点P ，作圆的两条切线，切点分别为
,
A B 两点，
则AB 的最小值为
.
题型十：方程中的参数
1.如图，在直角梯形ABCD中，
90 ,
4,
2
A
B
AD
AB
BC
，点M 在以CD 为直径的半圆上，且满足
AM
mAB
nAD
，则m
n
的最大值为（
）
A．2
B．3
C．
5
2
D．
10
5
4
2.已知
0,0
O
，
3,1
P
，
1 4cos , 3
4sin
Q
，
0,2
，则
OPQ
△
面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．5 3
D．8
3
3
3.已知点
0, 4
A
，点
2,0 ,
B
P 为圆
2
2
:
4
O x
y
上一动点，则
PB
PA 的最大值是（
）
A．2 5
3
B．3 3
4
C．4 5
3
D．3 3
2
