2.10 专题：直线中的范围最值问题
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：倾斜角与斜率——代数值域型范围最值................................ 2
题型二：倾斜角与斜率——三角函数型范围最值................................ 3
题型三：直线与线段有公共点求斜率范围.........................................4
题型四：斜率公式几何意义应用.................................................... 7
题型五：函数型斜率数形结合....................................................... 9
题型六：直线过定点问题........................................................... 12
题型七：含参双动直线.............................................................. 14
题型八：截距直线应用.............................................................. 16
题型九：截距直线条数判断........................................................ 18
题型十：截距最值.................................................................... 19
2.10 专题：直线中的范围最值问题
模块一：题型分类
题型一：倾斜角与斜率——代数值域型范围最值
1.若直线经过
2,1
A
，
2
1,
B
m
(
R)
m
两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（
）
A．0
180
B．45
90
或90
180
C．0
45
D．0
45
或90
180
【答案】D
【分析】由斜率公式以及斜率的定义、斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】过
2,1
A
，
2
1,
B
m
两点直线l 的斜率为：
2
2
1
tan
1
1 2
m
k
m
，
因为
2
0
m
，所以
2
1
1
m
，
因为0
180
，所以0
45
或90
180
故选：D.
2.直线
2
(
1)
1
0
x
a
y
的倾斜角的取值范围是（
）
A．3
[
, ]
4
B．
3
[
,
]
4
4
C．(0,
]
4
D．3
[
, )
4
【答案】D
【解析】求得直线的斜率的取值范围，由此求得直线倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率为
2
1
1
a
，由于
2
1
1
a ，所以
2
1
1,0
1
a
，对应的倾斜角的取值范围是3
[
, )
4
.
故选：D
3.直线
2
(
1)
2
1
0(
)
a
x
ay
a
R 的倾斜角的取值范围是
.
【答案】
3
,
4
4
【分析】当
0
a
时，倾斜角为2
，当
0
a
时，斜率
, 1
1,
k
，即可求解倾斜角的取值范围．
【详解】当
0
a
时，倾斜角为2
；
当
0
a
时，斜率
2
1
1
1
, 1
1,
2
2
a
k
a
a
a
，
倾斜角范围为
3
,
,
4 2
2
4
；综上：倾斜角范围为
3
,
4
4
．故答案为：
3
,
4
4
4.直线
2
(
2 )
1
0(
a
a x
y
a
为常数）的倾斜角的取值范围是（
）
A．[0 ，
)
(
4
2
，3 ]
4
B．[0 ，
3
)
(
2
4
，
]
C．[0 ，
3
)
(
2
4
，
)
D．[0 ，
3
)
[
2
4
，
)
【答案】D
【分析】由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得tan
1
，可得倾斜角的范围.
【详解】直线
2
(
2 )
1
0(
a
a x
y
a
为常数）的斜率为
2
2
2
(
1)
1
1
a
a
a
.
，
故直线的倾斜角满足tan
1
.
．又
[0
，
)
，
[0
，
)
2
，或
3
[ 4
，
)
，故选：D．
题型二：倾斜角与斜率——三角函数型范围最值
1.设直线l 的方程
cos
2
0
x
y
R 则直线的倾斜角的取值范围是（
）
A．
0,
B．
,
4 2
C．
3
,
,
4 2
2
4
D．
3
,
4
4
【答案】D
【分析】当
2
k
k
Z 时，直线斜率不存在，可得倾斜角为2
；当
2
k
k
Z ，由斜率和倾
斜角的关系可知
tan
, 1
1,
，由此可得的取值范围.
【详解】当
2
k
k
Z 时，直线:
2
l x ，则其倾斜角为2
；
当
2
k
k
Z 时，直线
1
2
:
cos
cos
l y
x
，
则其斜率
1
, 1
1,
cos
k
，即
tan
, 1
1,
，
又
0,
，
3
,
,
4 2
2
4
；
综上所述：直线的倾斜角的取值范围为
3
,
4
4
.故选：D.
2.直线
sin
3
0
R
x
y
的倾斜角的取值范围是
．
【答案】45 ,135
【分析】讨论若sin
0
，倾斜角为90°；若sin
0
，求得直线的斜率，由正弦函数的值域，可得k 的范
围，结合正切函数的图像，即可得到倾斜角的范围．
【详解】解：直线
sin
3
0
R
x
y
，
若sin
0
，则
3
x
，直线的斜率不存在，倾斜角为90；
若sin
0
，则直线的斜率
in
1
s
k
，
由1
sin
0
或0
sin
1
，可得
1
k 或
1
k ，
由
tanθ
k =
（为不等于90的倾斜角），
可得45
90
或90
135
，
综合，倾斜角的取值范围是45
135
．
故答案为：45 ,135
．
3.直线
5
cos
sin
0,
0, 6
x
y
的斜率的取值范围为（
）
A．
, 3
B．
2,
C．
,0
0, 3
D．
,2
【答案】A
【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.
【详解】由
5
cos
sin
0,
0, 6
x
y
可得直线的斜率为：
cos
sin
k
.当
2
时，
0
k
；
当
5
0,
,
2
2
6
时，
1
tan
k
，因为
5
0, 6
，所以
3
tan
,
0,
3
,
所以
,
1
ta
0,
n
0
3
k
；所以
, 3
k
.故选：A
4.直线
cos
sin
1
0
x
y
，
π
(0,
)
2
的倾斜角是
A．
B．2
C．2
D．
【答案】C
【分析】将直线化为点斜式,根据倾斜角范围即可求得倾斜角.
【详解】直线
cos
sin
1
0
x
y
所以
cos
1
sin
y
x
即
cos
sin
k
设倾斜角为
所以斜率等于
tan
k
即
cos
sin
tan
sin
cos
所以
cos
cos
sin
sin
即sin
sin
cos
cos
0
,化简可得
cos
0
π
(0,
)
2
,
0,
所以
2
即
2
所以选C
5.已知直线1l ：
2
cos
3
2
0
x
y
，若1
2
l
l
，则2l 倾斜角的取值范围是（
）
A．
,
3 2
B．0, 6
C．
,
3 2
D．
5
,
3
6
【答案】C
【解析】先求出直线斜率的取值范围，进而利用三角函数的单调性可求出直线倾斜角的取值范围．
【详解】解：当
2
cos
0
时,
1l
：
2
cos
3
2
0
x
y
则
1
2
3
cos
lk
1
2
l
l
1
2
1
l
l
k
k
2
2
cos
3
lk
2
cos
1
0
2
2
3
c s
3
o
lk
设2l 的倾斜角为，
0,
则tan
3
3
2
当
2
cos
0
时直线1l 的斜率为0 ，倾斜角为0 ，
1
2
l
l
，
2l
的倾斜角为2
综上，
,
3 2
故选：C
题型三：直线与线段有公共点求斜率范围
1.已知点
2,3 ,
2, 1
A
B
，若直线
(
)
:
1
2
l y
k x
=
-
- 与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围是（
）
A．
1 ,5
3
B．
1
,
3
C．
5,
D．
1
,
5,
3
【答案】A
【分析】分别求出
,
PB
PA
k
k
，即可得到答案.
【详解】直线
(
)
:
1
2
l y
k x
=
- - 经过定点
1, 2
P
.
因为
2,3 ,
2, 1
A
B
，所以
3
2
1
2
1
5,
2 1
2 1
3
PA
PB
k
k
,
所以要使直线
(
)
:
1
2
l y
k x
=
- - 与线段AB 没有公共点，只需：
PB
PA
k
k
k
，即
1
5
3
k
.
所以k 的取值范围是
1 ,5
3
.故选：A
2.已知点
(1,3)
A
，
( 2,1)
B
，若直线:
1
0
l kx
y
k
与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是（
）
A．
2
k
B．
2
k
C．
2
k
或
2
k
D．2
2
k
【答案】C
【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k 的临界值，得k 的取值范围.
【详解】
直线l：
(
1)
1
y
k x
经过定点
( 1, 1)
P
，
2
PA
k
，
2
PB
k
．
又直线l：
(
1)
1
y
k x
与线段AB 相交，所以
2
k
或
2
k ，
故选：C．
3.已知坐标平面内三点
1,1 ,
1,1 ,
2, 3
1
A
B
C
，D 为ABC
的边AC 上一动点，则直线BD 斜率k 的变
化范围是（
）
A．
3
0, 3
B．
3
,0
,
3
C．
3 , 3
3
D．
,0
3,
【答案】D
【分析】作出图象，求出
,
AB BC 的斜率，再结合图象即可得解.
【详解】如图所示，
1 1
3
1 1
0,
3
1 1
2 1
AB
BC
k
k
，因为D 为ABC
的边AC 上一动点，
所以直线BD 斜率k 的变化范围是
,0
3,
.故选：D.
4.已知直线
2
0
mx
y
m
与函数
2
16, 4
0
( )
2
2,
0
x
x
f x
x
x
的图象有两个交点.则实数m 的取值范围
是
.
【答案】[ 2,0]
【解析】根据函数图象，结合直线的定点，数形结合讨论两个交点时斜率的取值范围即可得解.
【详解】由题：直线
2
0
mx
y
m
过定点
2,0 ，直线
2
0
mx
y
m
的斜率为m ，
作出函数
2
16, 4
0
( )
2
2,
0
x
x
f x
x
x
的图象，
当直线过
0,4 时，此时两个交点，
4
0
2
0
2
m
，当直线过
4,
0 时，
此时两个交点，
0
m
，结合图象可得，要使直线与函数图象有两个交点，则
[ 2,0]
m
.故答案为：[ 2,0]
5.已知点P，Q 的坐标分别为
1,1
，
2,2 ，直线l：
0
x
my
m
与线段PQ 的延长线相交，则实数m 的
取值范围是
.
【答案】
2
3
3
m
【分析】先求出PQ的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答
案.
【详解】如下图所示，
由题知
2 1
1
2
1
3
PQ
k
，直线
0
x
my
m
过点
0, 1
M
.
当
0
m
时，直线化为
0
x
，一定与PQ相交，所以
0
m
，当
0
m
时，
1
lk
m
，考虑直线l 的两个极限
位置.
（1）l 经过Q ，即直线1l ，则
1
2
1
3
2
0
2
lk
；（2）l 与直线PQ平行，即直线2l ，则
2
1
3
l
PQ
k
k
，
因为直线l 与PQ的延长线相交，所以1
1
3
3
2
m
，即
2
3
3
m
，故答案为：
2
3
3
m
题型四：斜率公式几何意义应用
1.已知点
2, 1
A
，
3,0
B
，若点
,
M x y 在线段AB 上，则
2
1
y
x
的取值范围（
）
A．
1
,
3,
2
B．
1 ,3
2
C．
, 1
3,
D．
1,3
【答案】A
【分析】设
1,2
Q
，分别求出
QA
k
，
QB
k
，根据
2
1
y
x
表示直线QM 的斜率即可得到结果.
【详解】设
1,2
Q
，则
2
1
3
1
2
QA
k
，
2
0
1
1 3
2
QB
k
因为点
,
M x y 在线段AB 上，所以
2
1
y
x
的取值范围是
1
,
3,
2
，
故选：A.
2.已知点
2, 3
A
，
3, 2
B
，若点
,
P x y 在线段AB 上，则
1
1
y
x
的取值范围为（
）
A．
3 ,
4
, 4
B．
1
3
,
,
4
4
C．
3
4, 4
D．3 ,4
4
【答案】A
【分析】
1
1
y
x
表示点
,x y 与
1,1
P
与直线的斜率取值范围，先求出
1,1 与
,
A B 点连线斜率，再结合题意
即可得出答案.
【详解】解：∵
1
2
1
2
y
y
k
x
x
，∴可得
1
1
y
x
为点
,x y 与
1,1
P
与直线的斜率取值范围，
如图所示：
∴
1,1 与B 点连线斜率为
1
1
2
3
1
3
4
k
，
1,1 与A 点连线斜率为
2
1
3
4
1 2
k
，∴可得斜率取值范围为
3 ,
4
, 4
．故选:A．
3.已知实数x ，y 满足方程
2
6
x
y
，当1
2
x
时，
1
3
y
x
的取值范围为
.
【答案】
3
1,
4
【分析】由题意，将问题转化为过定点且与已知线段相交的直线的斜率的取值范围，作图，可得答案.
【详解】由方程
2
6
x
y
，令=1
x
，解得
5
2
y
，令=2
x
，解得=2
y
，设
5
1,
,
2,2
2
A
B
，
由
1
3
y
x
表示的是点
,x y 与点
3,1
C
所连直线的斜率，则问题等价于过点C 与线段AB 相交的直线的斜率
k 的取值范围，作图如下：
则直线AC 的斜率
5
1
3
2
1 3
4
AC
k
，直线BC 的斜率
2 1
1
2
3
BC
k
，即
3
1,
4
k
，故答案为：
3
1,
4
4.若点
( , )
M x y 在函数
2
8
y
x
的图像上，当
2,5
x
时，则
1
1
y
x
的取值范围是
.
【答案】
1 5
,
6 3
【分析】由目标式表示
2
8
y
x
在
2,5
x
上点与
( 1, 1)
A
所成直线的斜率范围，应用数形结合法及两点
斜率公式求范围即可.
【详解】由题设，
1
1
y
x
表示
2
8
y
x
上
2,5
x
对应点与
( 1, 1)
A
所成直线的斜率范围，
如图，
(2,4),
(5, 2)
B
C
，则
5
3
AB
k
，
1
6
AC
k
，故
1
1
y
x
的取值范围是
1 5
,
6 3
.故答案为：
1 5
,
6 3
5.已知实数x，y 满足方程
2
6
x
y
，当
[1,2)
(2,3]
x
]时，
1
2
y
x
的取值范围为
.
【答案】
3
1
,
,
2
2
【分析】由
1
2
y
x
的几何意义是过
( , ),
(2,1)
M x y
N
两点的直线的斜率，结合图象可得
3
1
,
2
2
NA
NB
k
k
，进
而可得结果.
【详解】
1
2
y
x
的几何意义是过
( , ),
(2,1)
M x y
N
两点的直线的斜率，如图所示：
由题知点M 在直线
2
6
x
y
上，且
[1,2)
(2,3]
x
，当
1
x 时，
5
2
y
；当
3
x
时，
3
2
y
.设
5
1, 2
A
，
3
3, 2
B
.又
3
1
,
2
2
NA
NB
k
k
，结合图象可得，
1
2
y
x
的取值范围是
3
1
,
,
2
2
.
故答案为：
3
1
,
,
2
2
题型五：函数型斜率数形结合
1.已知函数
2
1
f x
mx
x
，若满足
0
f x
的整数解恰有3 个，则实数m 的范围为（
）
A．5 7
,
3 4
B．
7
5
,
4
3
C．5 7
,
3 4
D．3 5
,
2 4
【答案】A
【分析】将问题转化为函数
2
1
y
x
的图象在直线y
mx
下方的部分有3 个整点，然后数形结合可解.
【详解】
0
f x
得
2
1
mx
x
，所以满足
0
f x
的整数解恰有3 个，等价于函数
2
1
y
x
的图象在
直线y
mx
下方的部分有3 个整点.
如图，当直线y
mx
的斜率m 满足
OA
OB
k
m
k
时满足题意，其中
(3,5),
(4,7)
A
B
所以，
5
7
,
3
4
OA
OB
k
k
，所以5
7
3
4
m
.故选：A
2.函数
( )
y
f x
的图象如图所示，在区间[ , ]
a b 上可找到(
2)
n n
个不同的数
1
2
,
,
,
n
x x
x
，使得
2
1
1
2
(
)
n
n
f x
f x
f x
x
x
x
，则n 的取值集合为（
）
A．{3,4}
B．{2,3,4}
C．{3,4,5}
D．{2,3}
【答案】B
【分析】由函数零点的几何意义求解即可.
【详解】如图，
2
1
1
2
( )
n
n
f x
f x
f x
x
x
x
的几何意义是：曲线上存在n 个点与
坐标原点连线的斜率相等，即n 指的是过原点的直线与曲线的交点个数，
由图可得n 的值可以为2，3，4.故选：B.
3.已知在矩形ABCD 中，
4 4
A ，，
5 7
D
，，其对角线的交点E 在第一象限内且到y 轴的距离为1，动点
P x
y
，
沿矩形的一边BC 运动，则y
x 的取值范围是
．
【答案】
1
2
3
3
，
，
【分析】设
1
E
a
，
，根据点E 是线段AC 的中点可得C ，再由AD
DC
求出a ，进而可求出B ，由
OP
y
k
x
，
且满足
OP
OC
k
k
或
OP
OB
k
k
即可得出.
【详解】解：如图所示，设
1
E
a
，
．点E 是线段AC 的中点，
4
1
2
4
2
c
c
x
y
a
，则
6 2
4
C
a
，
．
AD
DC
，
·
9 3
1 2
11
9
3 2
11
0
，
，
AD DC
a
a
，解得
4
a
，
6 4
C
，．
ABCD
为矩形，
AB
DC
，即
4
4
6
5 4
7
1
3
B
B
x
y
，
，
，
，
3
1
B
B
x
y
，所以B 点坐标为
31
，，
因为点P 在边BC 上运动，所以
OP
y
k
x
，由题图可知，OP
OC
k
k
或
OP
OB
k
k
，则
2
3
OC
y
k
x
或
1
3
OB
y
k
x
．
故答案为：
1
2
3
3
，
，
．
4.已知函数
( )
2x
f x
，且
0
a
b
c
，则
1
f a
a
，
1
f b
b
，
1
f c
c
的大小关系为（
）
A．
1
1
1
f a
f b
f c
a
b
c
B．
1
1
1
f b
f a
f c
b
a
c
C．
1
1
1
f c
f a
f b
c
a
b
D．
1
1
1
f c
f b
f a
c
b
a
【答案】A
【分析】构造函数
2
0
1
1
x
f x
x
x
，该式表示点
,2x
x
和点
1,0 连线的斜率，结合
( )
2x
f x
的图像，即可得
答案.
【详解】函数
2
0
1
1
x
f x
x
x
，该式表示的几何意义为点
,2x
x
和点
1,0 连线的斜率，
如图所示：
根据图像知，
( )
( )
( )
1
1
1
f a
f b
f c
a
b
c
，故选：A
题型六：直线过定点问题
1.无论m 取何实数时，直线
1
3
11
0
m
x
m
y
m
恒过定点，则定点的坐标为（
）
【答案】A
【分析】将直线方程可化为
3
11
1
0
x
y
m x
y
，再解方程组
3
11
0
1
0
x
y
x
y
即可.
【详解】直线方程可化为
3
11
1
0
x
y
m x
y
，
解方程组
3
11
0
1
0
x
y
x
y
，得
7
2
5
2
x
y
，即定点的坐标为7 5
,
2 2
.故选：A.
2.已知直线1 :
2
1
0
l
ax
y
，直线2 :
(
1)
2
0
l
x
a
y
，则下列命题中不正确的是（
）
A．直线2l 过定点( 2,0)
B．若1
2
l
l
，则
2
3
a
C．直线1l 过定点
1
0,
2
D．若1
2
//
l
l ，则
2
a
【答案】D
【分析】根据直线过定点判断A、C，根据两直线垂直求出参数a ，即可判断B，根据两直线平行求出a ，
即可判断D.
【详解】对于A：直线2 :
(
1)
2
0
l
x
a
y
，当
0
y
时，无论a 取何值，
2
x 恒成立，
所以直线2l 恒过定点( 2,0)
，故A 正确．
对于B：若1
2
l
l
，则
1
2(
1)
0
a
a
，
2
3
a
，故B 正确；
对于C：直线1 :
2
1
0
l
ax
y
，当
0
x
时，无论a 取何值，
1
2
y
恒成立，
所以此时直线1l 恒过定点
1
0,
2
，故C 正确；
对于D：若1
2
//
l
l ，则
(
1)
2
0
a
a
，
2
2
0
a
a
，
2
a
或
1
a ，经检验此时两直线平行，故D 错误；
故选：D
3.不论k 为任何实数，直线(2
1)
(
3)
(
11)
0
k
x
k
y
k
恒过定点，则这个定点的坐标为（
）
A．( 2,3)
B．(2,3)
C．(2, 3)
D．( 2, 3)
【答案】B
【分析】直线方程即(2
1)
(
3
11)
0
k
x
y
x
y
，一定经过2
1
0
x
y
和
3
11
0
x
y
的交点，联立
方程组可求定点的坐标．
【详解】直线(2
1)
(
3)
(
11)
0
k
x
k
y
k
即(2
1)
(
3
11)
0
k
x
y
x
y
，
根据k 的任意性可得
2
1
0
3
11
0
x
y
x
y
，解得
2
3
x
y
，不论k 取什么实数时，直线(2
1)
(
3)
(
11)
0
k
x
k
y
k
都经过一个定点(2,3) ．故选：B
4.若直线
1 :
2
1
l
y
k
x
和直线2l 关于直线
1
y
x
对称，则直线2l 恒过定点（
）
A．
2,0
B．(
)
1, 1
-
C．
1,1
D．
2,0
【答案】C
【分析】先求出直线1l 过定点
0 2
，，再根据对称性求得直线2l 所过定点.
【详解】因为直线
1 :
2
1
l
y
k
x
过定点
0 2
，，
点
0 2
，关于直线
1
y
x
对称的点为
11，，
故直线2l 恒过定点
1,1 .故选：C
5.已知直线1 :
2
1
0
l
mx
y
m
过定点P，若点P 在直线2 :
2
0
l
Ax
By
上，且
0
AB
，则1
2
A
B
的最小
值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】先求出定点
( 2, 1)
P
，然后利用点P 在直线2l 上得到2
2
A
B
，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为直线1 :
2
1
0
l
mx
y
m
可化为：
(
2)
(
1)
0
m x
y
，
令
2
0
1
0
x
y
，解得：
2
1
x
y
，所以定点
( 2, 1)
P
，又因为点P 在直线2 :
2
0
l
Ax
By
上，所以2
2
A
B
，
则1
2
1
1
2
1
4
1
4
(2
)(
)
(4
)
(4
2
)
4
2
2
2
B
A
B
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
，当且仅当
4
B
A
A
B
，即
1 ,
1
2
A
B
时
取等号，
所以1
2
A
B
的最小值为4 ，故选：D .
题型七：含参双动直线
1.已知mR ，若过定点A 的动直线1l ：
2
0
x
my
m
和过定点B 的动直线2l ：
2
4
0
mx
y
m
交于
点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（
）
A．A 点的坐标为
2,1
B．PA
PB
C．
2
2
25
PA
PB
D．2 PA
PB
的最大值为5
【答案】D
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为1 :
2
0
l
x
my
m
可以转化为
(1
)
2
0
m
y
x
，
故直线恒过定点A
2,1 ，故A 选项正确；
又因为2l ：
2
4
0
mx
y
m
即
4
2
y
m x
恒过定点B
2,4
，
由
1 :
2
0
l
x
my
m
和
2 :
4
2
0
l
mx
y
m
, 满足
1
1
0
m
m
，
所以
1
2
l
l
, 可得PA
PB
, 故B 选项正确；
所以
2
2
2
2
2
2
2
1
4
25
PA
PB
AB
, 故C 选项正确;
因为PA
PB
, 设
,
PAB
为锐角, 则
5cos ,
5sin
PA
PB
,
所以
2
5 2cos
sin
5 5sin
PA
PB
, 所以当
sin
1
时, 2 PA
PB
取最大值5 5 ,
故选项D 错误. 故选：D.
2.已知直线1 :
0
l
kx
y
过定点A ，直线2 :
2
2
0
l
x
ky
k
过定点B ，1l 与2l 的交点为C ，则AC
BC
的
最大值（
）
A．2 6
B．2 5
C．4
D．2 3
【答案】D
【分析】由动直线的方程可得动点A，B 的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2
的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．
【详解】对于直线1 :
0
l
kx
y
过定点A（0，0），
对于直线2 :
2
2
0
l
x
ky
k
，即x
2
+k（2+y）＝0，则
2
0
2
0
x
y
，可得x＝
2 ，y＝﹣2，故定点
B（
2 ，﹣2），
直线1 :
0
l
kx
y
与直线2 :
2
2
0
l
x
ky
k
中，∵
1
1
0
k
k
，∴l1⊥l2，
∵l1 与l2 的交点为C，∴|CA|2+|CB|2＝|AB|2＝2+4＝6，
∴
2
2
2
2
·
2
4
CA
CB
CA
CB
CA CB
≤1
2 （|CA|2+|CB|2）＝3，∴
2
CA
CB
≤
3 ，
∴|CA|+|CB|≤2
3 ，当且仅当|CA|＝|CB|
3
时，|CA|+|CB|的最大值为2
3 ，故选：D．
3.过定点A 的动直线
0
x
ky
和过定点B 的动直线
2
1
0
kx
y
k
交于点M，则MA
MB
的最大值是（
）
A．2 2
B．3
C．10
D．15
【答案】C
【分析】求出A，B 的坐标，并判断两直线垂直，推出点M 在以AB 为直径的圆上，求得|
|
5
AB
，即
2
2
5
MA
MB
，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知
0
x
ky
过定点
(0,0)
A
,
动直线
2
1
0
kx
y
k
即(
2)
1
0
k x
y
过定点
(2,1)
B
，
对于直线
0
x
ky
和动直线
2
1
0
kx
y
k
满足1
( 1)
0
k
k
，
故两直线垂直，
因此点M 在以AB 为直径的圆上，
2
2
|
|
2
1
5
AB
，
则
2
2
5
MA
MB
，
所以
2
2
2
2
2
(
)
2
2(
)
10
MA
MB
MA
MB
MA MB
MA
MB
，
当且仅当
10
2
MA
MB
时等号成立，故MA
MB
的最大值为10 ，故选：C
4.过定点M 的直线
2
0
tx
y
与过定点N 的直线
2
4
0
x
ty
t
交于点A（A 与M，N 不重合），则AMN
面积的最大值为（
）
A．2 2
B．4 2
C．8
D．16
【答案】C
【分析】根据题意分析可得点A 在以MN 为直径的圆上，结合圆的性质求AMN
面积的最大值.
【详解】对于直线
2
0
tx
y
，即
2
0
tx
y
，
可得直线
2
0
tx
y
过定点
0, 2
M
，
对于直线
2
4
0
x
ty
t
，即
4
2
0
x
t y
，
可得直线
2
4
0
x
ty
t
过定点
4,2
N
，
∵
1 1
0
t
t
，则直线
2
0
tx
y
与直线
2
4
0
x
ty
t
垂直，即AM
AN
，
∴点A 在以MN 为直径的圆上，且
2
2
4
0
2
2
4 2
MN
，
由圆的性质可知：AMN
面积的最大值为
2
1
8
2
2
4
MN
MN
MN
.故选：C.
5.过定点A 的直线
1
2
0
a
x
y
与过定点B 的直线
1
4
2
0
x
a
y
a
交于点
(
P P 与A B
､不重合），
则PAB
面积的最大值为（
）
A．
2
B．2 2
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线
1
2
0
a
x
y
化为
1
2
y
a
x
，可知定点
0,2
A
，
动直线
1
4
2
0
x
a
y
a
化为(
1)(
4)
2
0
a
y
x
，可知定点
2,4
B
，
又(
1) 1 1 (
1)
0
a
a
所以直线
1
2
0
a
x
y
与直线
1
4
2
0
x
a
y
a
垂直，P 为交点，
2
2
2
2
2
)
,
8
(0
2
(2
4)
PA
PB
PA
PB
AB
.
则
2
2
1
1
2
2
2
2
PAB
PA
PB
S
PA PB
，当且仅当
2
PA
PB
时，等号成立.
即PAB
面积的最大值为2.故选：C.
题型八：截距直线应用
1.已知直线l 过
2,1
A
，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l 的方程是（
）．
A．
2
0
x
y
或
3
0
x
y
B．
1
0
x
y
或
3
0
x
y
C．
1
0
x
y
或
3
0
x
y
D．
2
0
x
y
或
3
0
x
y
【答案】A
【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0 时和
两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0 时，即可求解.
【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0 时，直线过原点，设直线方程为=
y kx
把点
2,1
代入求出
1
2
k
，即直线方程为
2
0
x
y
（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0 时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，
把点
2,1
代入求出
3
a ，即直线方程为
3
0
x
y
综上，直线方程为
2
0
x
y
或
3
0
x
y
故选：A
2.某直线l 过点
( 3,4)
B
，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2 倍，则该直线的斜率是（
）
A．
4
3
B．
1
2
C．4
3 或
1
2
D．
4
3
或
1
2
【答案】D
【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0 或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线
方程，进而写出其斜率.
【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0 时，
设直线的方程为y
kx
，代入点
( 3,4)
B
，则4
3k
，解得
4
3
k
，
当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0 时，
设直线的方程为
1
2
x
y
m
m
，代入点
( 3,4)
B
，则
3
4
1
2m
m
，解得
5
2
m
，
所以所求直线的方程为
1
5
5
2
x
y
，即
2
5
0
x
y
，
综上，该直线的斜率是
4
3
或
1
2
．故选：D
3.若直线y
x
b
在x 轴上的截距在[ 3,3]
范围内，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是（
）
A．2
3
B．1
3
C．1
6
D．1
2
【答案】B
【分析】根据题意，由几何概型的概率计算公式，代入计算即可得到结果.
【详解】所有的基本事件构成的区间长度为3
( 3)
6
，
因为直线在y 轴上的截距b 大于1，所以直线在x 轴上的截距小于1
，
所以“直线在y 轴上的截距b 大于1”包含的基本事件构成的区间长度为1
( 3)
2
，
由几何概型概率公式可得“直线在y 轴上的截距b 大于1”的概率为
2
1
6
3
P
，
故选:B
4.已知直线
0
Ax
By
C
在x 轴的截距大于在y 轴的截距，则A、B、C 应满足条件（
）
A．A
B
B．A
B
C．
0
C
C
A
B
D．
0
C
C
A
B
【答案】D
【分析】分别令
0
x
、
0
y
得直线在y 轴、x 轴上的截距，再由在x 轴的截距大于在y 轴的截距可得答案.
【详解】由已知
0,
0,
0
A
B
C
，
令
0
x
得直线在y 轴的截距为
C
y
B
，令
0
y
得直线在x 轴的截距为
C
x
A
，
由直线
0
Ax
By
C
在x 轴的截距大于在y 轴的截距可得
C
C
A
B ，
即
0
C
C
A
B
.故选：D.
5.经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（
）
A．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
B．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
或4
3
0
x
y
C．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
D．
7
0
x
y
或
1
0
x
y
或3
4
0
x
y
【答案】B
【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.
【详解】①当直线经过原点时，斜率
4
0
4
3
0
3
k
，所以直线方程为：
4
3
y
x
，即4
3
0
x
y
；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，将点
3,4
A
代入，的3
4
1
a
a
，解得
7
a
，
所以直线方程为：
1
7
7
x
y
，即
7
0
x
y
；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为
1
x
y
a
a
，将点
3,4
A
代入，的3
4
1
a
a
，
解得
1
a ，所以直线方程为：
1
1
1
x
y
，即
1
0
x
y
；
综上所述，直线方程为：4
3
0
x
y
或
7
0
x
y
或
1
0
x
y
.
故选：B.
题型九：截距直线条数判断
1.过点
3,4
P
在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【分析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为, ,
a b 利用截距式写出直线方程，根据过定
点P ,得到,a b 的关系，判定,a b 的范围，然后求得
4
3
a
b
a
后分离常数得到
12
4
3
b
a
，进而得出
3
a 应
当为12 正因数，从而解决问题.
【详解】当截距为0 时，是直线OP ,只有一条，
当截距大于0 时，设截距分别为, ,
a b 则直线方程为
1
x
y
a
b
，∵直线过点
3,4
P
,
∴3
4
1
+
a
b ①，∵
0,
0
a
b
,∴3
4
0
0
> ,
>
a
b
,结合①可得，3
4
<1
<1
,
a
b
,∴
3,
4
a
b
,
又∵,a b 为整数，
4
5
a
b
，
，由①解得
4
12
4
3
3
a
b
a
a
,
3
a 为12 的因数，
∴
3
1,2,3,4,6,12
a
,对应
4,5,6,7,9,15
a
,相应
16,10,8,7,6,5,
b
对应的直线又有6 条，
综上所述，满足题意的直线共有7 条，故选：D.
【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的
情况，而是在截距不为零时，得到
4
3
a
b
a
后分离常数得到
12
4
3
b
a
，进而得出
3
a 应当为12 正因数，
本题属中档题.
2.满足过点
2,3
P
且在两坐标轴上截距相等的直线l 的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】按照题意直线在两坐标轴上截距相等，则讨论直线过原点和不过原点两种情况，然后计算出结果，
确定直线的条数.
【详解】由题意知直线在两坐标轴上截距相等.
当直线过原点时直线方程为:
3
2
y
x
；
当直线不过原点时设直线方程为
1
x
y
a
b
，又因为截距相等，则b
a
，
将点
2,3
P
代入有2
3
1
a
a
，解得
5
a
b
，此时直线方程为: +
5
0
x y
.
综上满足过点
2,3
P
且在两坐标轴上截距相等的直线有2 条.故选：B.
3.过点P(4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(
)
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】B
【详解】当直线过原点时，直线在坐标轴上的截距为0，
当直线不过原点时，直线的斜率为﹣1，
可得过点P（4，﹣3）且在坐标轴上的截距相等的直线共有2 条．
故选：B．
4.过点
(3, 1)
A
且在两坐标轴上截距相等的直线有
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】B
【详解】当截距相等均为0 时，直线方程为
1
3
y
x
；
当截距相等不为0 时，设方程为
1
0
x
y
a
a
a
，代入点
3, 1
得
2
a
，直线方程为
2
x
y
，所以共有
2 条，故选择B.
题型十：截距最值
1.已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a>1)，当此直线在x，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是（
）
A．1
B．
2
C．2
D．3
【答案】D
【解析】根据题意，分别求得直线在坐标轴上的截距，得到截距之和
3
3
1
a
t
a
a
，结合基本不等式，
即可求解.
【详解】由题意，直线(
1)
3
0(
1)
a
x
y
a
a
，当
0
x
时，
3
y
a
，当
0
y
时，
3
1
a
x
a
，
令
3
4
3
(
1)
5
1
1
a
t
a
a
a
a
，因为
1
a ，可得
4
1
0,
0
1
a
a
，
所以
4
4
(
1)
5
2 (
1)
5
9
1
1
t
a
a
a
a
，当且仅当
4
1
1
a
a
时，即
3
a
时，等号成立，
所以直线在x，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是3 .故选：D.
2.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为
A．x+2y﹣6=0
B．2x+y﹣6=0
C．x﹣2y+7=0
D．x﹣2y﹣7=0
【答案】B
【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P（1，4）的坐标代入得a 与b 的等式关系，把
截距的和a+b 变形后使用基本不等式求出它的最小值．
解：设直线的方程为
1
x
y
a
b
=1（a＞0，b＞0），则有1
4
1
a
b
，
∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（1
4
a
b
）=5+
4
b
a
a
b
≥5+4=9，
当且仅当1
4
a
b
，即a=3，b=6 时取=．∴直线方程为2x+y﹣6=0．故选B．
3.若直线
(
0,
0)
ax
by
ab a
b
过点(1,4) ，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为（
）
A．1
B．4
C．9
D．16
【答案】C
【分析】由基本不等式求解即可
【详解】直线
(
0,
0)
ax
by
ab a
b
过点(1,4) ，
4
a
b
ab
，即4
1
1
a
b
，
4
1
4
4
5
5
2
9
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
，
当且仅当
2
a
b
时上式等号成立．
直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为9．故选：C．
4.已知过定点直线
4
0
kx
y
k
在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（
）
A．
2
7
0
x
y
B．
2
7
0
x
y
C．2
6
0
x
y
D．
2
6
0
x
y
【答案】C
【分析】由题意可知，
0
k
，求出直线
4
0
kx
y
k
与两坐标轴的交点
0,4
A
k
，
4
1
,0
B
k
，再由均
值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.
【详解】直线
4
0
kx
y
k
可变为
1
4
0
k x
y
，所以过定点
1,4
P
，又因为直线
4
0
kx
y
k
在
两坐标轴上的截距都是正值，可知
0
k
，
令
0,
4
x
y
k
，所以直线与y 轴的交点为
0,4
A
k
，
令
4
0,
1
y
x
k
，所以直线与x 轴的交点为
4
1
,0
B
k
，
所以
4
4
4
4
1
5
5
2
5
4
9
k
k
k
k
k
k
，
当且仅当
4
k
k
即
2
k 时取等，所以此时直线为：2
6
0
x
y
.故选：C.
5.若直线
0,
0
ax
by
ab a
b
过点
1,1 ，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】先由直线方程求出截距分别为a 和b ，结合直线过
1,1 ，可得1
1
1
a
b
，由基本不等式“1”的妙用
即可求解
【详解】因为直线
0,
0
ax
by
ab a
b
，当
0
x
时，y
a
，当
0
y
时，x
b
，所以该直线在x
轴与y 轴上的截距分别为b，a，又直线
0,
0
ax
by
ab a
b
过点
1,1 ，所以a
b
ab
，即1
1
1
a
b
，
所以
2
2
2
1
1
4
b
a
b a
a
b
a
b
a
b
a b
a
b
，当且仅当
2
a
b
时等号成立．所以直线在x 轴与
y 轴上的截距之和的最小值为4.故选：D．
