2.9 专题：直线与圆的新定义问题
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：阿波罗尼斯圆................................................................ 2
题型二：欧拉线.........................................................................4
题型三：欧式距离......................................................................7
题型四：切比雪夫距离.............................................................. 10
题型五：费马距离.................................................................... 15
题型六：闵可夫斯基距离........................................................... 18
题型七：曼哈顿距离................................................................. 21
2.9 专题：直线与圆的新定义问题
模块一：题型分类
题型一：阿波罗尼斯圆
1．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”
是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数��≠1 的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲
线�是平面内到两个定点−1,0 和1,0 的距离之比等于常数
1
2的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是
（
）
A．曲线�关于�轴对称
B．曲线�关于�轴对称
C．曲线�关于坐标原点对称
D．曲线�经过坐标原点
【答案】A
【分析】由点到直线的距离公式再结合题意可得.
【详解】设动点��, �，曲线�是平面内到两定点��−�, �，���, �距离之比等于常数
�
�，
所以
�+ ��+ ��=
�
�
�−��+ ��，显然�, −�也满足方程，故曲线�关于�轴对称，
不关于�轴、原点对称，且不过原点.
故选：A.
2．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成
果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数��≠1 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波
罗尼斯圆，已知点�0,0 ，�3,0 ，动点��, �满足
��
��=
1
2，则点�的轨迹与圆�: �−1 2 + �2 = 1 的公切
线的条数为
.
【答案】2
【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点�的轨迹方程为�+ ��+ ��= �，由两圆圆心距与半径的关系可
得两圆相交，可得有2 条公切线.
【详解】由题意设��, �，
易知���= ����，即可得�−��+ ��= ���+ ��，
整理得点�的轨迹方程为�+ ��+ ��= �，
其轨迹是以−�, �为圆心，以2 为半径的圆，
而圆�−��+ ��= �的圆心坐标为�, �，半径为1，
可得两圆的圆心距为2，大于�−�= �，小于�+ �= �，
则动点�的轨迹与圆�−��+ ��= �的位置关系是相交.
故公切线的条数为2.
故答案为：2
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点�，�的距离之
比为定值�（�> 0 且�≠1）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗
尼斯圆，简称阿氏圆.已知点��, �到两个定点�1,0 ，�−2,0 的距离之比为2，则
�
�−1的取值范围为
.
【答案】−
�
�,
�
�
【分析】首先求点�的轨迹方程，再根据
�
�−�的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解.
【详解】由题意可知，
��
��= �，
�−��+��
�+��+��= �，整理为�+ ��+ ��= �，
所以点�的轨迹是以−�, �为圆心，2 为半径的圆，
�
�−�表示圆上的点与定点�, �连线的斜率，
设�=
�
�−�，即��−�−�= �，如图可知，直线��−�−�= �与圆有交点，
则�=
−��−�
��+�≤�，解得：−
�
�≤�≤
�
�.
故答案为：−
�
�,
�
�
4．公元前3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常
数�(�> 0, �≠1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系���中，�(0,0), �(3,0)，
动点Q 满足
|��|
|��| = 2，设动点�的轨迹为曲线�．
(1)求曲线�的方程；
(2)直线�: �+ ��+ �= 0(�∈R)与曲线�交于�, �两点，若�∈{ −1,0,1}，从中任选一个�值，求此时相
应的弦长��．
【答案】(1)(�+ �)�+ ��= �
(2)答案见解析
【分析】（1）设��, �，由距离公式得到(�−�)�+ ��= ���+ ��，整理即可得解；
（2）根据所选�的值确定直线�的方程，再求出圆心到直线的距离，最后由弦长公式计算可得.
【详解】（1）设��, �，
由
|��|
|��| = �，得(�−�)�+ ��= ���+ ��，
整理得��+ ��+ ��= �，
即曲线�的方程为(�+ �)�+ ��= �.
（2）①如果选�=−�，此时直线�的方程为�−�−�= �
而圆�的半径�= �，圆心( −�, �)到直线�的距离为�=
−�−�−�
��+ −��=
�，
故弦长|��| = ���−��= ��，
②如果选�= �，此时直线�的方程为�= �，
由
�= �
�+ ��+ ��= �，解得�= �
�=
�或
�= �
�=−
�，
则直线�与圆�的两个交点坐标为�,
�，�, −
�，
故弦长|��| = ��.
③如果选�= �，此时直线�的方程为�+ �+ �= �，
可知直线�经过圆心( −�, �)，圆�的半径�= �，
所以弦长|��| = ��= �.
题型二：欧拉线
1．欧拉于1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这
条线称之为三角形的欧拉线.已知�0,2 ，�4,2 ，��, −1 ，且△���为圆�2 + �2 + ��+ ��= 0 内接三
角形，则△���的欧拉线方程为
.
【答案】�= �/�−�= �
【分析】首先将点的坐标代入圆的方程，即可求出�、�，从而得到圆心坐标即△���的外心坐标，再确
定△���的重心坐标，即可得解.
【详解】依题意
��+ ��= �
��+ ��+ ��+ ��= �，解得�=−�
�=−�，
所以圆��+ ��−��−��= �，即�−��+ �−��= �，故圆心坐标为�, �，
即△���的外心坐标为�, �，又△���的重心坐标为
�+�
�, �，
又点�, �、
�+�
�, �均在直线�= �上，所以△���的欧拉线方程为�= �.
故答案为：�= �
2．数学家欧拉1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条
直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△���的顶点�2,0 , �0,4 ，若其欧拉线的方程为�−�+ 2 = 0，
(1)求三角形���外心�的坐标；
(2)求顶点�的坐标.
【答案】(1) −�, �
(2) −�, �
【分析】（1）根据题意可得��边的垂直平分线的所在的直线方程为�−��+ �= �，结合题意联立方程求
解即可；
（2）设��, �，根据题意结合重心坐标公式可得�−�+ �= �，由外心可得��+ ��+ ��−��= �，
联立方程求解即可.
【详解】（1）由题意可知：��边的中点坐标为�, �，���=
�−�
�−�=−�，
��边的垂直平分线的所在的直线方程为�−�=
�
��−�，即�−��+ �= �，
联立方程�−��+ �= �
�−�+ �= �，解得�=−�
�= �
所以△���的外心�的坐标为−�, �.
（2）设��, �，则△���的重心为
�+�
�,
�+�
�
，
代入欧拉线方程得
�+�
�
−
�+�
�+ �= �，整理得�−�+ �= �，
由（1）可知：△���的外心坐标为�−�, �，
可知��= ��，则
�+ ��+ �−��=
�+ ��+ �−��=
��，
整理得��+ ��+ ��−��= �，
联立方程
�−�+ �= �
��+ ��+ ��−��= �，解得�=−�
�= �或�= �
�= �，
当�= �, �= �时，点B，C 重合，舍去，
所以顶点C 的坐标是−�, �.
3．瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后
人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△���满足��= ��，顶点�−1,0 、�1,2 ，且其“欧拉
线”与圆M：�+ 5 2 + �2 = �2
�> 0 相切．
(1)求△���的“欧拉线”方程；
(2)若圆�与圆�2 + �−�2 = 2 有公共点，求�的范围．
【答案】(1)�+ �−�= �
(2)�∈−
�,
�
【分析】（1）由等腰三角形三线合一知△���的欧拉线即为��的垂直平分线，根据与直线��垂直得到斜
率，结合过中点得到所求直线方程；
（2）由直线与圆相切得到圆�的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于�的不等
式，解不等式即可得到�的取值范围.
【详解】（1）因为��= ��，所以△���是等腰三角形，由三线合一得：△���的外心、重心、垂心均在
边��的垂直平分线上，
设△���的欧拉线为�，则�过��的中点，且与直线��垂直，
由�−�, �、��, �可得：��的中点�
�−�
�,
�+�
�
，即��, �，
由���=
�−�
�−−�= �，得��=−�，故�的方程为�−�=−�即�+ �−�= �；
（2）因为�与圆M：�+ ��+ ��= ��相切，故圆心�−�, �，�=
|�|
�+�= ��，
圆��+ �−��= �的圆心坐标为�, �，半径��=
�，
则要想圆M 与圆��+ �−��= �有公共点，则两圆外切、相交或内切，
只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，
即��−
�≤
−��+ ��≤��+
�，故��≤
��+ ��≤��，解得�∈−
�,
�．
4．平面几何中有一个著名的定理：△���的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点
共圆，该圆称为△���的九点圆或欧拉圆，若�−2,1 ，�4,1 ，△���的垂心为�3,3 ，则△���的九点
圆的标准方程为
．
【答案】�−��+ �−
��
�
�
=
���
��
【分析】根据中点坐标公式求出�, �, �三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可.
【详解】由�−�, �，��, �，��, �，可得��中点为��, �，��中点为�
�
�, �，��中点为�
�
�, �，
设△���的九点圆方程为��+ ��+ ��+ ��+ �= �，
代入�, �, �三点坐标，可得
�+ �+ �+ �+ �= �
�
�+ �+
�
��+ ��+ �= �
��
�+ �+
�
��+ ��+ �= �
，
解得�=−�, �=−
��
�, �=
���
��，
即��+ ��−��−
��
��+
���
��= �，
化简可得圆的标准方程为�−��+ �−
��
�
�
=
���
��．
故答案为：�−��+ �−
��
�
�
=
���
��
题型三：欧式距离
1.函数
2
2
2
5
6
10
f x
x
x
x
x
的最小值是
.
【答案】5
【解析】因为
2
2
2
5
6
10
f x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
0
2
3
0 1
x
x
，
设
1,2
A
，
3,1
B
，
,0
P x
，则
f x 表示点
,0
P x
到点
1,2
A
，
3,1
B
两点的距离之和，即PA
PB
，
点P 是x 轴上的点，则点A 关于x 轴的对称点为
1, 2
A
，则PA
PA
，
所以
2
2
3 1
1 2
5
PA
PB
PA
PB
A B
，所以
f x 的最小值是5.
故答案为：5
2.
2
2
2
2
4
8
f x
x
x
x
x
的最小值为
．
【答案】3 2
【解析】
2
2
2
2
2
2
1
1
1
0 1
x
x
x
x
，
2
2
2
2
4
8
2
4
2
0
2
x
x
x
x
，
如图，设点
,0
A x
，
1,1
B
，
2, 2
C
，要求
f x 的最小值，即求AB
AC
的最小值．
由于AB
AC
BC
，当A，B，C 三点共线时，等号成立，
且
2
2
1 2
1 2
3 2
BC
，故
f x 的最小值为3 2 ．
故答案为：3 2 .
3.
2
2
2
2
2
2
2
2
,
1
2
4
2
f x y
x
y
x
y
x
y
x
y
，其中1
2
x
，4
0
y
，则
二元函数
,
f x y 的最小值为
【答案】7
【解析】
1
2
x
，4
0
y
，
( , )
P x y
在由直线= 1
x 、
2
x
、
4
y 、
0
y
围成的矩形区域内（含
边界），如图所示：
因为
2
2
2
2
2
2
2
2
,
1
2
4
2
f x y
x
y
x
y
x
y
x
y
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
2
x
y
x
y
x
y
x
y
所以二元函数
( , )
f x y 表示动点
,
P x y 到定点
(0,0)
O
，
( 1,0)
A
，
(0, 2)
Q
，
4
(2,
)
C
距离的和，
在矩形ABCD边界及内部任取点P ，连接PO，PA ，PQ，PC ，AC ，
于是有PO
PQ
OQ
，当且仅当点P 在线段OQ 上时取等号，
PA
PC
AC
，当且仅当点P 在线段AC 上时取等号，
于是
2
2
( , )
2
3
4
7
f x y
PO
PQ
PA
PC
OQ
AC
，
当且仅当点P 是线段OQ 与AC 的交点时取等号，
又
4
4
2
1
3
AC
k
，所以直线AC 为
4
1
3
y
x
，即
4
4
3
3
y
x
，
显然直线
4
4
:
3
3
AC y
x
与y 轴的交点为
4
0,
3
在线段OQ 上，即当
0
4
3
x
y
时，
( , )
f x y 的最小值为7.
故答案为：7 ．
4.函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最小值为
．
【答案】
41
【解析】
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
2
2
2
2
1
(0
3)
5
(0
2)
x
x
，
根据两点距离公式的几何意义得，函数
f
x 表示
( ,0)
P x
到点
(1,3),
(5,2)
A
B
距离之和，
如图所示，作出点A 关于x 轴的对称点
1 1, 3
A
，
连接
1A B ，交x 轴于点
1P ，连接
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
PA PB PA P A PB P A，
可得
1
1
1
1
1
1
,
PA
PB
PA
PB
PA
PB
PA
PB
，
又由
2
2
1
1
1
1
1
(1 5)
( 3
2)
41
PA
PB
PA
PB
A B
，
当且仅当点P 与
1P 重合时，等号成立，
所以
1
41
PA
PB
PA
PB
，即函数
f
x 的最小值为
41
故答案为：
41
5.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最大值．
【解析】
2
1
9
x
表示
,0
A x
、
1,3
B
的距离，
2
5
4
x
表示
,0
A x
、
5,2
C
的距离，所以
f x
AB
AC
，
因为AB
AC
BC
，
所以
2
2
max
1 5
3
2
17
f x
BC
.
6.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最小值．
【解析】由题意，函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
2
2
2
2
1
(0
3)
5
(0
2)
x
x
，
根据两点距离公式的几何意义得，函数
f
x 表示
( ,0)
P x
到点
(1,3),
(5,2)
A
B
距离之和，
如图所示，作出点A 关于x 的对称点
1 1, 3
A
，
连接
1A B ，交x 轴于点
1P ，连接
1
1
,
,
,
PA PB PA P A，
可得
2
2
1
1
(1 5)
( 3
2)
41
PA
PB
PA
PB
A B
，
当且仅当点P 与
1P 重合时，等号成立，
所以
41
PA
PB
，即函数
f
x 的最小值为
41 ．
题型四：切比雪夫距离
1.我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里
得距离是
1
1
,
A x y
与
2
2
,
B x
y
两点间的直线距离，即
2
2
1
2
1
2
AB
d
x
x
y
y
.切比雪夫距离是
1
1
,
A x y
与
2
2
,
B x
y
两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即
1
2
1
2
max
,
AB
d
x
x
y
y
.已知
P 是直线: 2
15
0
l
x
y
上的动点，当P 与O（O为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比
雪夫距离为
.
【答案】6
【解析】因为点P 是直线l ：2
15
0
x
y
上的动点，要使OP 最小，则OP
l
，此时
2
lk ，
所以
1
2
PO
k
，由方程组
2
15
0
1
2
x
y
y
x
，解得
6
x
，
3
y ，
所以，P ，O两点之间的切比雪夫距离为6.
故答案为：6.
2.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
1
2
( ,
)
max
,
d P P
x
x
y
y
为两点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
的“切比雪夫距
离”．若点P 到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P 的轨迹长度之和为
．
【答案】16
【解析】由前文知点P 的轨迹是边长为4 的正方形，则轨迹长度之和为16．
3.在平面直角坐标系中,定义
1
2
1
2
,
max
d A B
x
x
y
y
，
为两点
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
、
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及l 上任意一点Q ,称
,
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作
,
d P l ，给出下列四个
命题:
①对任意三点
,
,
A B C ，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
3
d P
l
，
；
③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】D
【解析】①对任意三点A 、B 、C ，若它们共线，设
1
(
A x ，
1)
y 、
2
(
B x ，
2)
y ，
3
(
C x ，
3)
y
，如图，结合三
角形的相似可得
( , )
d C A ，( ,
)
d C B ，( ,
)
d A B 为AN ，CM ，AK ，或CN ，BM ，BK ，则
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
若B ，C 或A ，C 对调，可得
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
若A ，B ，C 不共线，且三角形中C 为锐角或钝角，如图，
由矩形CMNK 或矩形BMNK ，
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
则对任意的三点A ，B ，C ，都有
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
，故①正确；
②设点Q 是直线
2
1
y
x
上一点，且
( ,2
1)
Q x
x
，
可得( ,
)
{|
3|
d P Q
max
x
，| 2
2 |}
x
，
由|
3| | 2
2 |
x
x
，解得
5
1
3
x
，即有( ,
) |
3|
d P Q
x
，
当
5
3
x
时，取得最小值4
3 ；
由|
3| | 2
2 |
x
x
，解得
5
3
x
或
1
x ，即有( ,
) | 2
2 |
d P Q
x
，
( ,
)
d P Q 的范围是4
( ,
)
3 ，无最值；
综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为4
3 ；故②正确；
③由题，到原点O的“切比雪夫距离”的距离为1 的点
,
P x y 满足
,
max
,
1
d O P
x
y
，即
,
1,
x
y
x
或
,
1,
x
y
y
，显然点P 的轨迹为正方形，故③正确；
故选：D
4.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , )
max{|
|,|
|}
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到
直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l ，给出下列三个命题：
①对任意三点A 、B 、C ，都有
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
( , )
3
d P l
；
③定点
1(
,0)
F
c
、
2( ,0)
F c
，动点
( , )
P x y 满足
1
2
| ( ,
)
( ,
) | 2
d P F
d P F
a
（2
2
0
c
a
），
则点P 的轨迹与直线y
k
（k 为常数）有且仅有2 个公共点；
其中真命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】设
,
,
,
,
,
A
A
B
B
C
C
A x
y
B x
y
C x
y
，由题意可得：
,
,
max
,
max
,
,
A
C
A
C
B
C
B
C
A
C
B
C
A
B
d C A
d C B
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
x
x
x
x
同理可得：
,
,
A
B
d C A
d C B
y
y
,则：
,
,
max
,
,
A
B
A
B
d C A
d C B
x
x
y
y
d A B
，
命题①成立；
设点Q 是直线y=2x-1 上一点，且Q（x,2x-1），可得
,
max
3 , 2
2
d P Q
x
x
，
由
3
2
2
x
x
，解得
5
1
3
x
，即有
,
3
d P Q
x
，当
5
3
z
时取得最小值4
3 ；
由
3
2
2
x
x
，解得
5
3
x
或
1
x ，即有
,
2
2
d P Q
x
，
,
d P Q 的范围是
4
4
3,
,
,
3
3
，无最小值.
综上可得，P,Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为4
3 .
说法②正确.
定点
1
,0
F
c
、
2
,0
F c
，动点
,
P x y 满足
1
2
,
,
2
d P F
d P F
a
（2
2
0
c
a
），则：
max
,
max
,
2
x
c
y
x
c
y
a
，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.
(1)当
x
c
y
x
c
y
时，有
2
x
c
x
c
a
，得：0
x
a
y
a
c
；
(2)当
x
c
y
x
c
y
时，有0
2a
，此时无解；
(3)当
x
c
y
x
c
y
时，有
2 ,
x
c
y
a a
x
；
则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.
结合图象可知，点P 的轨迹与直线y
k
（k 为常数）有且仅有2 个公共点，命题③正确.
综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.
本题选择D 选项.
5.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
,
max |
|,|
|
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距
离”．又设点P 及l 上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d（P，
l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；②已知点P（3，1）
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
,
3
d P l
；③到原点的“切比雪夫距离”等于1 的点的轨迹是正方形．其中正
确的序号为
．
【答案】①②③
【解析】其中①③的讨论见后文．
②设点Q 是直线
2
1
y
x
上一点，且
,2
1
Q x
x
，则
,
max |
3|,| 2
2 |
d P Q
x
x
．由|
3| | 2
2 |
x
x
，
解得
5
1
3
x
，即有
,
|
3|
d P Q
x
，当
5
3
x
时，取得最小值4
3 ；由|
3| | 2
2 |
x
x
，解得
5
3
x
或
1
x ，
即有
,
| 2
2|
d P Q
x
，此时
,
d P Q 的范围是4 ,
3
，无最值．故P，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值
为4
3 ．
综上，①②③正确．
6.在平面直角坐标系中，称d（P，Q）为点P、Q 两点间的距离，若d（P，Q）满足下列三个性质：（1）
非负性：
,
0
d P Q
；（2）对称性：
,
,
d P Q
d Q P
；（3）三角不等式：
1
2
2
3
1
3
(
)
,
,
,
d P P
d P P
d P P
．设
点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
、
3
3
3
(
,
)
P x y
，则下列能够作为距离公式的有
．
①
2
2
1
2
1
2
1
2
,
(
)
(
)
d P P
x
x
y
y
；
②
1
2
1
2
1
2
,
d P P
x
x
y
y
；
③
1
2
1
2
1
2
,
max
,
d P P
x
x
y
y
；
④
1
2
1
2
1
2
,
min
,
d P P
x
x
y
y
．
【答案】①②③
【解析】①、②显然能够作为距离公式；而③易证得满足非负性及对称性，下证③也满足三角不等式．
1
2
2
3
1
2
1
2
2
3
2
3
1
2
2
3
,
,
max
,
max
,
d P P
d P P
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
x
x
，由绝对值不等式
性质得
1
2
2
3
1
3
x
x
x
x
x
x
．
同理可得
1
2
2
3
1
3
,
,
d P P
d P P
y
y
，
则
1
2
2
3
1
3
1
3
1
3
,
,
max
,
,
d P P
d P P
x
x
y
y
d P P
．
对于④，设点
1(1,2)
P
、
2(1,3)
P
、
3(2,3)
P
，则
1
2
2
3
,
,
0
d P P
d P P
，
1
3
,
1
d P P ，不满足三角不等式．
综上可知：能够作为距离公式的有①②③．
7.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , )
max{|
|,|
|}
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及直线l 上任一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l .
（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有( , )
( , )
( , )
d A C
d C B
d A B
；
（2）已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，求( , )
d P l ；
（3）定点
0
0
(
,
)
C x
y
，动点
( , )
P x y 满足
( ,
)
d C P
r
（
0
r
），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.
【解析】（1）证明：设
1
1
2
2
3
3
( ,
), (
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
C x
y ，则
1
3
1
3
3
2
3
2
1
3
3
2
1
2
( ,
)
( ,
)
max
,
max
,
d A C
d C B
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
x
x
x
x
，同理可得
1
2
( ,
)
( , )
d A C
d C B
y
y
，
所以
1
2
1
2
( ,
)
( ,
)
max
,
( ,
)
d A C
d C B
x
x
y
y
d A B
，
（2）设
( ,2
1)
Q x
x
为直线: 2
1
0
l
x
y
上一点，则
( ,
)
max
3 , 2
2
d P Q
x
x
，
由
3
2
2
x
x
，解得
5
1
3
x
，即有( ,
)
3
d P Q
x
，当
5
3
x
时，取得最小值4
3 ；
由
3
2
2
x
x
，解得
5
3
x
或
1
x ，即有( ,
)
2
2
d P Q
x
，
( ,
)
d P Q 的范围是
4
4
(3,
)
( ,
)
( ,
)
3
3
，无最大值，
综上可得，
,
P Q 两点的最小值为4
3 ，
所以
4
( , )
3
d P l
；
（3）设轨迹上动点为
( , )
P x y ，则
0
0
( ,
)
max
,
d C P
x
x
y
y
r
，
等价于
0
0
0
x
x
r
y
y
x
x
或
0
0
0
x
x
y
y
y
y
r
，
所以点
( , )
P x y 的轨迹是以
0
0
(
,
)
C x
y
为中心，边长为2r 的正方形，
所以点P 所在的曲线所围成图形的面积为
2
4r
题型五：费马距离
1.以三角形边BC ，CA，AB 为边向形外作正三角形BCA，CAB，ABC，则AA，BB，CC三线共点，
该点称为ABC
的正等角中心．当ABC
的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：
（1）
120
APB
APC
BPC
Ð
= Ð
= Ð
=
°；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费
马点）．由以上性质得
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值为
【答案】2
3
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点
(0,1)
A
，
(0, 1)
B
，
(2,0)
C
，
则
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
表示坐标系中一点( , )
x y 到点A 、B 、C 的距离之和，
因为ABC
是等腰三角形，AC
BC
，
所以C点在x 轴负半轴上，所以CC与x 轴重合，
令ABC
的费马点为
( , )
P a b ，则P 在CC上，则
0
b
，
因为ABC
是锐角三角形，由性质（1）得
120
APC
，
所以
60
APO
，所以1
3
a
，所以
3
3
a
，
3
( 3
P
，0) 到A 、B 、C 的距离分别为
2 3
3
PA
PB
，
3
2
3
PC
，
所以
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值，
即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则
2
3
PA
PB
PC
．
故答案为：2
3
．
2.点M 是ABC
内部或边界上的点，若M 到ABC
三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC
的费马点（该
问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若
0,2
A
，
1,0
B
，
1,0
C
时，点
0
M 是ABC
的费马点，且已
知
0
M 在y 轴上，则
0
0
0
AM
BM
CM
的大小等于
.
【答案】2
3
【解析】先证明：若P 到ABC
三个顶点距离之和最小，则
120
APB
APC
BPC
Ð
= Ð
= Ð
=
°
如图将ABP
绕点B 逆时针旋转60°得到BDE
，则BDE
≌ABP
，
,
60
BD
BP
PBD
=
Ð
=
°，所以
BDP
是等边三角形，BP
DP
，
PA
PB
PC
ED
DP
PC
+
+
=
+
+
，当
,
,
,
E D P C 四点共线时取得最小值，
此时
120
APB
EDB
Ð
= Ð
=
° ，
同理可得
120
BPC
APC
Ð
= Ð
=
°
所以命题得证.
点
0
M 是ABC
的费马点，且已知
0
M 在y 轴上，
0
0
0
120
AM B
AM C
BM C
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
0
0
60
AM O
OM C
Ð
= Ð
=
°，
所以
0
0
0
2 3
3
,
2
3
3
BM
CM
OM
=
=
=
-
，
所以
0
0
0
AM
BM
CM
= 2
3
.
故答案为：2
3
3.以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA，CAB，ABC，则AA，BB，CC三线共点，
该点称为ABC
的正等角中心．当ABC
的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：
（1）
120
APB
APC
BPC
Ð
= Ð
= Ð
=
°；
（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．
由以上性质求
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值．
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点
(0,1)
A
，
(0, 1)
B
，
(2,0)
C
，
则
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
表示坐标系中一点( , )
x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为
ABC
是等腰三角形，AC
BC
，
所以C点在x 轴负半轴上，所以CC与x 轴重合，
令ABC
的费马点为
( , )
P a b ，则P 在CC上，则
0
b
，
因为ABC
是锐角三角形，由性质（1）得
120
APC
，所以
60
APO
，
所以1
3
a
，所以
3
3
a
，
3 ,0
3
P
到A 、B 、C 的距离分别为
2 3
3
PA
PB
，
3
2
3
PC
，
所以
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值,即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则
2
3
PA
PB
PC
．
4.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三
个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，
已知
( 2,0)
A
，(2,0)
B
，(0,4)
C
，P 为ABC
内一点，记
f P
PA
PB
PC
，则
f P 的最小值为（
）
A．2 3
B．4
2 3
C．4
3
D．2
3
【答案】B
【解析】设
(0,0)
O
为坐标原点，由
( 2,0)
A
，
(2,0)
B
，
(0,4)
C
，
知|
| |
| 2 5
AC
BC
,且ABC
为锐角三角形，
因此，费马点M 在线段OC 上，设
(0, )
M
h ，如图，
则
MAB
△
为顶角是120°的等腰三角形，故
2 3
|
| tan30
3
h
OB
，
所以
( )
(
)
4
4
4
2 3
f P
f M
MA
MB
MC
h
h
，
则
f P 的最小值为4
2 3
.
故选：B
题型六：闵可夫斯基距离
1.（多选）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
和
1
2
,
,
,
n
B
b b
b
，这两组数据间的闵氏距离定义为
1
1
n
q
q
AB
k
k
k
d
q
a
b
，其中q 表示阶数．下列命题
中为真命题的是（
）
A．若
1,2,3,4
A
，
0,3,4,5
B
，则
1
4
AB
d
B．若
,
1
A
a a
，
1,
B
b
b
，其中a，bR ，则
1
2
AB
AB
d
d
C．若
,
A
a b
，
,
B
c d
，其中a，b，c，d
R
，则
1
2
AB
AB
d
d
D．若
2
,
A
a a
，
,
1
B
b b
，其中a，bR ，则
2
AB
d
的最小值为3 2
8
【答案】ACD
【解析】对于A：
1
1
0
2
3
3
4
4
5
4
AB
d
，故A 正确．
对于B：
1
2
1
AB
d
a
b
，
2
2
1
AB
d
a
b
，故B 错误．
对于C：
1
AB
d
a
c
b
d
，
2
2
2
AB
d
a
c
b
d
，不妨设a
c
M
，b
d
N
，因为
0,
0
M
N
，所以2
0
MN
，所以
2
2
2
2
2
M
N
MN
M
N
，所以
2
2
2
(
)
M
N
M
N
，所以
2
2
M
N
M
N
，故C 正确．
对于D：构造函数
2
f x
x
，
1
g x
x
，则
2
AB
d
的最小值即两曲线动点间的最小距离，设直线y
x
m
与曲线
2
f x
x
相切，则由
2
y
x
m
y
x
，得
2
0
x
x
m
，由
1 4
0
m
，得
1
4
m
，所以切线方程为
1
4
y
x
，
所以两曲线动点间的最小距离为
1
1
3 2
4
8
2
d
，故D 正确．
故选：ACD
2.闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
和
1
2
,
,
,
n
B
b b
b
，这两组数据间的闵氏距离定义为
1
1
( )
n
q
q
AB
k
k
k
d
q
a
b
，其中q 表示阶数.现有下列四
个命题：
①若
(1,2,3,4),
(0,3,4,5)
A
B
，则
(1)
4
AB
d
；
②若
( ,
1),
(
1, )
A
a a
B
b
b
，其中,a bR ，则
(1)
(2)
AB
AB
d
d
；
③若
( , ),
( , )
A
a b B
c d
，其中, , ,
a b c d R ，则
(1)
(2)
AB
AB
d
d
；
④若
2
,
,
( ,
1)
A
a a
B
b b
，其中,a bR ，则
(2)
AB
d
的最小值为3 2
8
.
其中所有真命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】对于①：
(1) |1
0 |
| 2
3|
|3
4 |
| 4
5| 4
AB
d
，故①正确.
对于②：
(1)
2 |
1|,
(2)
2 |
1|
AB
AB
d
a
b
d
a
b
，故②错误.
对于③：
2
2
(1) |
|
|
|,
(2)
(
)
(
)
AB
AB
d
a
c
b
d
d
a
c
b
d
，不妨设|
|
,|
|
a
c
M
b
d
N
，
2
2
2
2
M
N
M
N
，且
,
M N 均为非负数，所以
2
2
M
N
M
N
故③正确.
对于④：构造函数
2
( )
, ( )
1
f x
x
g x
x
，则
2
2
1
2
1
2
(2)
AB
d
x
x
y
y
，
(2)
AB
d
的最小值即两曲线动
点间的最小距离，设
2
( )
f x
x
与直线( )
1
g x
x
平行的切线方程为y
x
b
，联立
2
x
y
x
y
b
得：
2
0
x
x
b
，令
1
4
0
b
得，
1
4
b
，所以切线方程为
1
4
y
x
：( )
1
g x
x
与
1
4
y
x
之间的距离
3
3 2
4
8
2
d
，所以最小值为3 2
8
，故④正确.
故选C.
3.在直角坐标系xOy 中，已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，记
1
2
1
2
,
p
p
p
d
A B
x
x
y
y
，其中p 为正整数，
称
,
p
d
A B 为点A ，B 间的M 距离．下列说法正确的是（
）．
A．若
1
,
1
d O A ，则点A 的轨迹是正方形
B．若
1
2
,
,
d
A B
d
A B
，则A 与B 重合
C．
1
2
2
,
,
d
A B
d
A B
D．
2
1
,
,
d
A B
d
A B
【答案】A
【解析】由
1
,
1
d O A 得
1
1
1
x
y
，所以点A 的轨迹是以O为中心的正方形，故A 正确；
记
1
2
m
x
x
，
1
2
n
y
y
，则
0
m
，
0
n
，
若
1
2
,
,
d
A B
d
A B
，则
2
2
m
n
m
n
，显然有
0
m
，
1
n 满足此等式，可取点
1,1
A
，
1,2
B
，显然
A 与B 不重合，故B 错误；
取点
0,1
A
，
1 ,1
2
B
，
2
1
1
1
,
,
2
4
d
A B
d
A B
，
，则
2
2
2
,
4
d
A B
，
此时
1
2
2
,
,
d
A B
d
A B
，故C 错误，也可得D 错误．
故选：A.
题型七：曼哈顿距离
1．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点��1, �1 ，
��2, �2 的“曼哈顿距离”为��, �= |�1 −�2| + |�1 −�2|，已知动点N 在圆�2 + �2 = 16 上，定点�4,5 ，
则M，N 两点的“曼哈顿距离”的最大值为
．
【答案】�+ ��
【分析】由题意设������, �����, �∈�, �π ，结合距离新定义以及辅助角公式即可得解.
【详解】由题意，不妨设������, �����, �∈�, �π ，
则M，N 两点的“曼哈顿距离”为��, �= |�−�����| + |�−�����| = �−�����+ ����= �−
������+
π
�，
所以��, �= �−������+
π
�≤�+ ��，当且仅当����+
π
�=−�等号成立，
即当且仅当�+
π
�=−
π
�+ ��π, �∈Z
�∈�, �π
，即�=
�π
�，
综上所述，M，N 两点的“曼哈顿距离”的最大值为�+ ��.
故答案为：�+ ��.
2.十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
的曼哈顿距离为
1
2
1
2
,
D P Q
x
x
y
y
.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形ABC
的三个顶点坐标为
2,4
A
，
8,2
B
，
12,10
C
，则ABC
的“好点”的坐标为（
）
A．
2,4
B．
6,8
C．
0,0
D．
5,1
【答案】B
【解析】对于A，设
2,4
P
，
则
,
2
2
4
4
0,
,
2
8
4
2
8
0
D P A
D P B
，
所以点
2,4 不是ABC
的“好点”；
对于B，设
6,8
P
，
则
,
6
2
8
4
8,
,
6
8
8
2
8
D P A
D P B
，
,
6 12
8 10
8
D P C
，
所以
,
,
,
D P A
D P B
D P C
，
所以点
6,8 是ABC
的“好点”；
对于C，设
0,0
P
，
则
,
0
2
0
4
6,
,
0
8
0
2
10
6
D P A
D P B
，
所以点
0,0 不是ABC
的“好点”；
对于D，设
5,1
P
，
则
,
5
2
1 4
6,
,
5 8
1 2
4
6
D P A
D P B
，
所以点
5,1 不是ABC
的“好点”.
故选：B.
3.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
的曼哈顿距离
1
2
1
2
,
d A B
x
x
y
y
，则下列结论正确的是（
）
A．若点
2,4 ,
2,1
P
Q
，则
,
6
d P Q
B．若点
1,0 ,
1,0
M
N
，则在x 轴上存在点P ，使得
,
,
1
d P M
d P N
C．若点
2,1
M
，点P 在直线
2
6
0
x
y
上，则
,
d P M 的最小值是5
D．若点M 在圆
2
2
4
x
y
上，点N 在直线2
8
0
x
y
上，则
,
d M N 的值可能是4
【答案】D
【解析】A 选项，
,
2
2
4 1
7
d P Q
，A 错误；
B 选项，设
,0
P m
，则
,
,
1
1
1
1
2
d P M
d P N
m
m
m
m
，
当且仅当1
1
m
时，等号成立，
故在x 轴上不存在点P ，使得
,
,
1
d P M
d P N
，B 错误；
C 选项，点P 在直线
2
6
0
x
y
上，设
0
0
2
6,
P
y
y
，
则
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
3
,
1
,
2
6
2
1
2
8
1
7
,1
4
3
9,
4
y
y
d P M
y
y
y
y
y
y
y
y
，
当
0
,4
y
时，
,
d P M 单调递减，当
0
4,
y
时，
,
d P M 单调递增，
故当
0
4
y
时，
,
d P M 取得最小值，最小值为3 4
9
3
，C 错误；
D 选项，设
0,2 ,
2,4
M
N
，此时
,
0
2
2
4
4
d M N
，
故
,
d M N 的值可能为4，D 正确.
故选：D
4.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离
测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
曼哈顿距离
1
2
1
1
,
d A B
x
x
y
y
，余弦距离
,
1 cos
,
e A B
A B
，其中
cos
,
cos
,
A B
OA OB
（O
为坐标原点）．已知
2,1
M
，
,
1
d M N ，则
,
e M N 的最大值近似等于（
）
（参考数据：
2
1.41
，5
2.24
．）
A．0.052
B．0.104
C．0.896
D．0.948
【答案】B
【解析】设
,
N x y ，
由题意可得：
,
2
1
1
d M N
x
y
，即
2
1
1
x
y
，
可知
2
1
1
x
y
表示正方形ABCD，其中
2,0 ,
3,1 ,
2,2 ,
1,1
A
B
C
D
，
即点N 在正方形ABCD的边上运动，
因为
2,1 ,
,
OM
ON
x y
uuur
uuur
，由图可知：
当
cos
cos
M
N
OM ON
，
，
取到最小值，即OM ON
，
最大，点N 有如下两种可能：
①点N 为点A，则
2,0
ON
uuur
，可得
4
2 5
cos
,
cos
,
5
5
2
M N
OM ON
uuur uuur
；
②点N 在线段CD 上运动时，此时ON
与DC
同向，不妨取
1,1
ON
uuur
，
则
3
3 10
cos
,
cos
,
10
5
2
M N
OM ON
uuur uuur
；
因为3 10
2 5
10
5
，
所以
,
e M N 的最大值为
2 5
1
0.104
5
.
故选：B.
5.对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.
给出下列三个命题:
①若点C 在线段AB 上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC 中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC 上，||AC||+||CB||>||AB||.
其中的真命题为（
）
A．①③
B．①②
C．①
D．③
【答案】C
【解析】对于①，若点C 在线段AB 上，设点C 的坐标为(x0，y0)，
则x0 在x1、x2 之间，y0 在y1、y2 之间，
则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||成立，故①正确；
对于②，在△ABC 中，若∠C=90°，
则|AC|2+|CB|2=|AB|2 是几何距离而非题目定义的“新距离”，所以②不正确；
对于③，在△ABC 中，
||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.
当x0-x1 与x2-x0 同号，且y0-y1 与y2-y0 同号时，等号成立，故③不一定成立.
因此只有命题①成立，
故选：C.
6.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , ) |
|
|
|
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，又
设点P 及直线l 上任意一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l ，给出下
列三个命题：
①对任意三点A 、B 、C ，都有( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
( , )
3
d P l
；
③定义
(0,0)
O
，动点
( , )
P x y 满足( , )
1
d P O ，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由新定义表示出三点
, ,
A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，
由新定义计算出( , )
d P l ，判断②，
根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．①设
1
1
2
2
3
3
( ,
), (
,
),
(
,
)
A x y
B x
y
C x
y ，则
1
2
1
2
( ,
)
d A B
x
x
y
y
，
1
3
1
3
2
3
2
3
( ,
)
( ,
)
d A C
d B C
x
x
y
y
x
x
y
y
，
显然
1
3
2
3
1
3
2
3
1
2
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，同理
1
3
2
3
1
2
y
y
y
y
y
y
，
∴
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
，①正确；
②设
( , )
P x y 是直线l 上任一点，则
2
1
y
x
，
( , )
3
1
3
2
2
d P l
x
y
x
x
3
5,
3
1,1
3
5
3 ,
1
x
x
x
x
x x
，易知( , )
d P l 在[1,
)
上是增函数，在(
,1)
上是
减函数，∴
1
x 时，
min
( , )
1 3
2
2
2
d P l
，②错；
③由( , )
1
d P O 得
1
x
y
，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)
为
顶点的正方形，其转成图形面积为
1
2
2
2
2
S
，③错．
故选：B．
7.在平面直角坐标系中，两点
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P
x
y
间的“L-距离”定义为
1
2
1
2
1
2
| |
|
|
|.
PP
x
x
y
y
‖
则平面内与
x 轴上两个不同的定点
1
2
,
F F 的“L-距离”之和等于定值（大于
1
2
| F F ）的点的轨迹可以是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
，再设动点
( , )
M x y ，动点到定点
1
2
,
F F 的“L-距离”之和等于
(
2
0)
m m
c
，由题
意可得：x
c
y
x
c
y
m
，即
2
x
c
x
c
y
m
，当
,
0
x
c y
时，方程化为2
2
0
x
y
m
；
当
,
0
x
c y
时，方程化为2
2
0
x
y
m
；当
,
0
c
x
c y
时，方程化为
2
m
y
c
；当
,
0
c
x
c y
时，方程化为
2
m
y
c
；当
,
0
x
c y
时，方程化为2
2
0
x
y
m
；当
,
0
x
c y
时，方程化为
2
2
0
x
y
m
；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A．
考点：轨迹方程．
【方法点晴】本题主要考查了轨迹方程的求解，着重考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确
分类，属于中档试题，本题的解答中设出设
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
和动点
( , )
M x y 的坐标，根据题设条件列出关系
式后，分类讨论去掉绝对值号，从而确定动点的轨迹方程，结合本题的选项可得动点的轨迹，得到答案．
8．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似
度，常用测量距离的方式有3 种．设��1, �1 ，��2, �2 ，则欧几里得距离�(�, �) =
�1 −�2
2 + �1 −�2
2；
曼哈顿距离�(�, �) = �1 −�2 + �1 −�2 ，余弦距离�(�, �) = 1 −cos(�, �)，其中cos(�, �) = cos〈��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ〉
（�为坐标原点）．
(1)若�( −1,2)，�
3
5 ,
4
5 ，求�，�之间的曼哈顿距离�(�, �)和余弦距离�(�, �)；
(2)若点�(2,1)，�(�, �) = 1，求�(�, �)的最大值；
(3)已知点�，�是直线�: �−1 = �(�−1)上的两动点，问是否存在直线�使得�(�, �)min = �(�, �)min，若存
在，求出所有满足条件的直线�的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
��
�，
�−�
�
(2)�−
��
�
(3)存在，�= �和�= �
【分析】（1）代入�(�, �)和�(�, �)的公式，即可求解；
（2）首先设��, �，代入�(�, �) = �，求得点�的轨迹，再利用数形结合，结合公式��, �，结合余弦
值，即可求解；
（3）首先求��, �的最小值，分�= �和�≠�两种情况求��, �的最小值，对比后，即可判断直线方程.
【详解】（1）�(�, �) = −�−
�
�+ �−
�
�=
�+�
�=
��
�，
���(�, �) = ���〈��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ〉=
��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ
��Ԧ
ሬሬሬሬ=
−�
�+�
�
��=
�
�，
��, �= �−����, �= �−
�
�=
�−�
�；
（2）设�(�, �)，由题意得：�(�, �) = |�−�| + |�−�| = �，
即|�−�| + |�−�| = �，而|�−�| + |�−�| = �表示的图形是正方形����，
其中��, �、��, �、��, �、��, �．
即点�在正方形����的边上运动，��Ԧ
ሬሬሬሬሬ= (�, �)，��Ԧ
ሬሬሬሬ= (�, �)，
可知：当���(�, �) = ���< ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ>取到最小值时，< ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ>最大，相应的�(�, �)有最大值．
因此，点�有如下两种可能：
①点�为点�，则��Ԧ
ሬሬሬሬ= (�, �)，可得���(�, �) = ���< ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ>=
�
�× �=
��
�；
②点�在线段��上运动时，此时��Ԧ
ሬሬሬሬ与��Ԧ
ሬሬሬሬ= (�, �)同向，取��Ԧ
ሬሬሬሬ= (�, �)，
则���(�, �) = ���< ��Ԧ
ሬሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ>=
�
�× �=
���
��．
因为
���
��>
��
�，所以�(�, �)的最大值为�−
��
�．
（3）易知�(�, �)min =
|�−�|
��+�，设�(�, ��−�+ �)，则�(�, �) = �(�) = |�| + |��−�+ �|
当�= �时，�(�, �) = �(�) = |�| + |�|，则�(�, �)min = �，�(�, �)���= �，满足题意；
当�≠�时，�(�, �) = �(�) = |�| + |��−�+ �| = |�| + |�| ⋅�−
�−�
�
，
由分段函数性质可知�(�, �)���= ����(�), �
�−�
�
，
又�(�) = |�−�| ≥
|�−�|
��+�且�
�−�
�
=
�−�
�
≥
|�−�|
��+�恒成立，当且仅当�= �时等号成立．
综上，满足条件的直线有且只有两条，�: �= �和�= �．
【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3 问的关键
是理解�(�, �)���= �(�, �)���，同样是转化为代数与几何相结合的问题.
