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3.14圆锥曲线章末复习卷(二)(解析版)(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_圆锥曲线PDF矢量版_原卷版+解析版

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圆锥曲线章末复习卷(二)
一.选择题(本题共8 小题,每小题5 分,共40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。)
1.已知抛物线


2
2
0
y
px p


的准线为l ,且点


4,4
A
在抛物线上,则点A 到准线l 的距离为(
)
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】A
【分析】点代入抛物线方程求得p 的值,运用点到线的距离公式即可求得结果.
【详解】由题意知,16
8p

,
所以
2
p 
,
所以抛物线方程为
2
4
y
x

,则抛物线的准线l 为= 1
x ,
所以点A 到抛物线准线的距离为4
( 1)
5


.
故选:A.
2.已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
:
1
4
5
x
y
E

的两个焦点,P 是椭圆E 上一点(顶点除外),则
1
2
PF F
△
的周长为(
)
A.2
2 5

B.6
C.1
5

D.3
【答案】A
【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】依题意
5,
2,
1
a
b
c



,
所以
1
2
PF F
△
的周长为2
2
2
2 5
a
c



.
故选:A
3.已知


1
,0
F
c

,


2
,0
F
c
分别为双曲线


2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b




的左、右焦点,点P 在C 的右支上,点Q
在直线
2
2
:
c
a
l x
c


上,若
1
2
F F
QP



,则双曲线C 的离心率的取值范围是(
)
A.
1
3
1,
2







B.1
3 ,
2






C.
1
5
1,
2







D.1
5 ,
2








【答案】D
【分析】根据
1
2
F F
QP



确定P 点的横坐标满足的关系式,再根据点P 在双曲线的右支上得到P 点的横坐标
满足的不等式,解不等式即可.
【详解】设P 点的横坐标为
0x ,
1
2
F F
QP




,
2
2
0
2
c
a
x
c
c




,即
2
2
0
2
c
a
x
c
c



,
由题可知
2
2
2c
c
a
c
a



,
2
1
0
e
e


,得
1
5
2
e


.
故选:D.
4.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示,其横截面为圆,过横截面圆心的纵截面为椭圆,
1F ,
2
F 分别为
该椭圆的两个焦点,PQ为该椭圆过点
2
F 的一条弦,且
1
PQF
△
的周长为
1
2
3 F F .若该椭球横截面的最大直径
为2 米,则该椭球的高为(
)
A.2 10
3
米
B.6 5
5
米
C.8
3 米
D.12
5 米
【答案】B
【分析】根据题意,画出椭圆,根据椭圆的相关性质可得.
【详解】根据题意,画出该椭球的过横截面圆心的纵截面如下,
根据椭圆的定义
1
PQF
△
的周长为
1
1
4
3 2
PQ
PF
QF
a
c




,
即2
3
a
c

①
由该椭球横截面的最大直径为2 米,可知2
2
b 
米,得
1
b 
又因为
2
2
2
a
b
c


,所以
2
2
1
a
c

②
②联立可得
2 5
5
c 
,
3 5
5
a 
,
所以该椭球的高为
6 5
2
5
a 
米.
故选:B
5.设F 为抛物线
2
1 :
2
C
y
x

的焦点,点P 在抛物线上,点Q 在准线l 上,满足PQ
x
∥
轴.若PQ
QF

,
则PF (
)
A.2
B.2 3
C.3
D.3 3
【答案】A
【分析】先根据题意和抛物线的性质可得到
PQF
△
为等边三角形,进而即可求得PF 的值.
【详解】依题意有PQ
QF
PF


,则
PQF
△
为等边三角形,
又PQ
x
∥
轴,所以
4
2
PF
PQ
OF



.
故选:A.
6.已知直线:
1
0
l x
my


过抛物线
2
:
2
C y
px

的焦点,直线l 与抛物线C 相交于
,
A B 两点,若AB 的中点M
到抛物线C 的准线的距离为5
2 ,则m (
)
A.2

B.
1
2

C.1
2
D.2
【答案】B
【分析】由直线l 所过定点及抛物线的焦点所在位置可求
2
p 
,设




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,联立直线l 与抛物线
的方程,求出
1
2
x
x

,根据
5
1
2
M
x

即可求解.
【详解】因为直线:
1
0
l x
my


过定点

1,0 ,抛物线
2
:
2
C y
px

的焦点在x 轴,且直线l 过抛物线的焦点,
所以抛物线的焦点坐标为

1,0 ,所以
1
2
p ,解得
2
p 
,
所以抛物线C 的标准方程为
2
4
y
x

.
联立
2
1
0
4
x
my
y
x






,消去x ,可得


2
4 1
y
my


,即
2
4
4
0
y
my



.
设




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,
因为




2
2
4
4 1
4
16
16
0
m
m




,
所以
1
2
4
y
y
m


.
所以


2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
4
x
x
my
my
m y
y
m








.
因为AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5
2 ,且抛物线C 的准线方程为= 1
x ,
所以
5
1
2
M
x

,解得
3
2
M
x

.
所以
1
2
3
2
2
x
x


,即
2
2
4
3
m


,解得
1
2
m 
.
故选:B.
7.已知椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C

​
的左、右焦点分别为
1
2
F F
,​
,点,M ​
在椭圆C ​
上,当
1
2
MF F

​
的面
积最大时,
1
2
MF F

​
内切圆半径为(
)
A.3
B.2
C.5
3 ​
D.4
3 ​
【答案】D
【分析】当
1
2
MF F

​
的面积最大时,M ​
为椭圆C ​
短轴的一个顶点,利用面积法求内切圆半径.
【详解】由椭圆
2
2
:
1
25
9
x
y
C

​
,得
5
a 
​
,
3
b 
,
2
2
4
c
a
b



​
,则


1
4,0
F 
,


2 4,0
F
,
当
1
2
MF F

​
的面积最大时,M ​
为椭圆C ​
的短轴的一个顶点,不妨设为上顶点


0,3
M
,
点O​
为坐标原点,
1
2
MF F

​
内切圆半径为r ​
,
则
1
2
5
MF
MF
a



​
,
1
2
2
8
F F
c


​
,
3
OM
b


,
则


1
2
1
2
1
2
1
2
MF F
S
M F
M F
F F




​
1
2
1
·
2
r
F F
OM

​
,即1
1
18
8 3
2
2
r


,
解得
4
3
r 
​
.
故选:D​
.
8.抛物线
2
:
2
W y
px

的焦点为F.点F 关于原点O 的对称点为A.若以F 为圆心的圆经过点A 且与W
的两个交点为B,C,则下面结论正确的是(
)
A.BOC

一定是钝角三角形
B.BOC

可能是锐角三角形
C.ABC

一定是钝角三角形
D.ABC

可能是锐角三角形
【答案】A
【分析】联立圆和抛物线线方程求出
,
B C 坐标,再利用二倍角的正切公式即可判断AB,利用等腰直角三
角形性质即可判断CD.
【详解】根据对称性,不妨设
0
p 
,B 位于第一象限,C 位于第四象限,
由题意得
,0
2
p
F 





,
,0
2
p
A





,
则圆的方程为
2
2
2
2
p
x
y
p









,联立抛物线方程
2
2
y
px

,
解得
2
p
x
y
p





或
2
p
x
y
p






,则
,
2
p
B
p





,
,
2
p
C
p







,
则有
B
F
x
x

,则BF
AF

,则tan
2
2
p
BOF
p



,
则根据对称性有
2
2
2
4
tan
tan 2
0
1
2
3
BOC
BOF








,
又因为


0,π
BOC


,所以
π ,π
2
BOF






,所以BOC

一定是钝角三角形,故A 正确,B 错误;
又因为AF
BF
p


,且AF
BF

,所以三角形ABF 为等腰直角三角形,
则
π
4
BAF


,则根据对称性知
π
2
BAC


,则三角形ABC 为直角三角形,故C,D 错误,
故选:A.
二.选择题(本题共4 小题,每小题5 分,共20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全
部选对的得5 分,部分选对的得2 分,有选错的得0)
9.(多选)已知�1,�2分别是椭圆Γ:
�2
16 +
�2
12 = 1 的左、右焦点,点�是Γ上的动点,则(
)
A.Γ的离心率为
1
2
B.∠�1��2 <
�
2
C.△��1�2的周长为12
D.△��1�2的面积的最大值为2 3
【答案】ABC
【分析】对A,直接求出离心率即可,对B 利用�, �的大小关系及直径所对圆周角为直角的结论即可判断,
对C,根据椭圆的定义即可判断,对D,根据面积最大时,�为椭圆的短轴端点,代入计算即可.
【详解】A 选项:依题意,�= �,�= ��,�= �,所以�的离心率�=
�
�=
�
�=
�
�,A 正确.
B 选项:因为�< �,所以以����为直径的圆在�的内部,故∠�����<
�
�,B 正确.
C 选项:根据椭圆的定义得△�����的周长为��+ ��= ��,C 正确.
D 选项:设�为坐标原点,连接��,易知当��⊥����时,△�����的面积最大,
最大值为
�
�× ���= ��= ��,D 错误.
故选:ABC.
10.(多选)已知椭圆Ω:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 ,则下列结论正确的是(
)
A.若�= 2�,则Ω的离心率为
2
2
B.若Ω的离心率为
1
2,则
�
�=
3
2
C.若F1,F2 分别为Ω的两个焦点,直线�过点F1 且与Ω交于点A,B,则△ABF2 的周长为4�
D.若A1,A2 分别为Ω的左、右顶点,P 为Ω上异于点A1,A2 的任意一点,则PA1,PA2 的斜率之积为−
�2
�2
【答案】BCD
【分析】选项AB,直接利用离心率的变形公式�=
�
�=
��
��=
��−��
��
=
�−
��
��,直接计算即可,选项C 利
用定义直接判断,选项D 需要设�(��, ��)代入椭圆公式计算可得.
【详解】选项A,�=
�
�=
��
��=
��−��
��
=
�−
��
��,若�= ��,
�=
�−
��
��=
�−
��
���=
�
�,所以不正确.选项B 离心率�=
�−
��
��=
�
�,则
�
�=
�
�,所以正确.选项C 根
据椭圆定义可以知道是正确的.选项D 设�(��, ��) 则
���
��+
���
��= �,由方程可知��( −�, �), ��(�, �),所以
����⋅����=
��
��+�⋅
��
��−�=
���
���−��=
��(�−
���
��)
���−��=−
��
��,正确.
故选:BCD.
11.(多选)已知圆锥曲线�1: ��2 + ��2 = 1(�> �> 0)与�2: ��2 −��2 = 1(�> 0, �> 0)的公共焦点为�1,
�2.点�为�1,�2的一个公共点,且满足∠�1��2 = 90°,若圆锥曲线�1的离心率为
3
4,则下列说法正确的
是(
)
A.�2的离心率为
9
2
B.�2的离心率为
3 2
2
C.�2的渐近线方程为�=±
14
2 �
D.�2的渐近线方程为�=±
3 2
2 �
【答案】BC
【分析】由椭圆与双曲线的定义及所给条件列式,整理得
�
��
�+
�
��
�= �,求出双曲线的离心率进而求得双曲
线渐近线.
【详解】由题意,不妨取�为两曲线在第一象限的交点,
令曲线��方程为
��
��+
��
��= �(�> �> �),曲线��方程为
��
��
�−
��
��
�= �(��> �,��> �),其中��=
�
�,��=
�
�,
��
�=
�
�,��
�=
�
�,
又两曲线有公共焦点,则��−��= ���+ ��
�= ��,
由圆锥曲线定义得:|���| + |���| = ��,|���| −|���| = ���,解得|���| = �+ ��,|���| = �−��,
又∠�����= ��°,则|���|�+ |���|�= |����|�,于是得��+ ��
�= ���,即
��
��+
��
�
��= �,
令曲线C1,C2 的离心率分别为e1,e2,于是得
�
��
�+
�
��
�= �,而��=
�
�,从而得��=
��
�,A 不正确,B 正确;
由
�
��=
��
�,可得
��
��
�=
��
�+��
�
��
�
=
�
�,得
��
��=
��
�,所以��的渐近线方程为�=±
��
��,C 正确,D 不正确.
故选:BC
12.(多选)已知双曲线�过点3, 2 ,且渐近线方程为�=±
3
3 �,则下列结论正确的是(
)
A.双曲线�的方程为
�2
3 −�2 = 1
B.左焦点到渐近线的距离为1
C.直线�−
2�−1 = 0 双曲线�有两个公共点
D.过右焦点截双曲线�所得弦长为2 3的直线只有三条
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的基本性质,以及直线和双曲线的位置关系逐项分析判断即可得解.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为�=±
�
��,
且点�,
�与原点连线的斜率小于
�
�,
所以可设双曲线方程为
��
�−��= ��≠�.
又双曲线过点�,
�,所以�=
��
�−
�
�= �,
所以双曲线�的方程为
��
�−��= �,A 正确;
由双曲线方程知��= �,��= �,�=
��+ ��= �,
则左焦点为–�, �,渐近线方程为�±
��= �,
则左焦点到渐近线的距离�=
−�
��+ ± �
�= �,B 正确;
由�−
��−�= �得�=
��+ �,
代入双曲线�的方程并整理得��−���+ �= �,
解得�=
�,所以�=
�×
�+ �= �,
故直线�−
��−�= �与双曲线只有一个公共点�,
�,C 错误;
双曲线的通径长为
���
�=
�
�=
��
�< ��,
因此过右焦点,两端点都在右支上且弦长为��的弦有两条,
又双曲线的两顶点间距离为��= ��,
因此端点在双曲线左,右两支上且弦长为��的弦只有一条,为实轴,
所以共有三条弦的弦长为��,D 正确.
故选:ABD.
三.填空题(本题共4 小题,每小题5 分,共20 分)
13.双曲线
2
2
2
1(
0)
36
x
y
a
a 


的渐近线方程为
2
y
x

,则

a
.
【答案】3
【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】
2
2
2
1(
0)
36
x
y
a
a 


的渐近线方程为
6
y
x
a

,所以6
2
3
a
a 


,
故答案为:3
14.已知抛物线C:


2
2
0
y
px p


的焦点为F,过点F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点A 在第一象限,
线段AB 的中点为M,其中点A 的横坐标为3,
4
AF 
,则点M 到y 轴的距离为
.
【答案】5
3 / 2
13
【分析】利用抛物线的定义,结合一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】因为
3
4
2
2
p
AF
p





,
所以抛物线C:
2
4
y
x

,则

3,2 3
A
,
所以直线l 的斜率为
3 ,则直线AB:


3
1
y
x


,
故把直线


3
1
y
x


与抛物线进行联立


2
3
1
4
y
x
y
x






,
得
2
3
10
3
0
x
x



,因为


2
10
4 3 3
0



,
所以设


1
1
,
A x y
,


2
2
,
B x
y
,
则
1
2
10
3
x
x


,
1
2
5
2
3
M
x
x
x



,
故答案为:5
3 .
15.已知椭圆C:
2
2
1
4
3
x
y

的左、右焦点分别为
1F ,
2
F ,过
2
F 的直线l 交椭圆C 于A,B 两点.若
1
ABF

的
内切圆的半径为3 2
7
,则直线l 的方程为
.
【答案】
1
x
y

【分析】设出直线l 的方程,根据椭圆的定义以及三角形内切圆的半径求得直线l 的方程.
【详解】椭圆
2
2
1
4
3
x
y

对应的
2,
3,
1
a
b
c


,
所以右焦点


2 1,0
F
,依题意可知直线l 与x 轴不平行,
故可设直线l 的方程为
1
x
my

,此时由于
2
F 在椭圆内部,
所以直线l 与椭圆必有两个交点
,
A B ,设




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,
由
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y






消去x 并化简得

2
2
3
4
6
9
0
m
y
my




,
易知
0

,则
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m







,
所以




2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
36
36
4
3
4
3
4
m
y
y
y
y
y y
m
m










2
2
2
2
2
144
144
12
1
3
4
3
4
m
m
m
m






,
1
ABF

的内切圆的半径为3 2
7
,
1
ABF

的周长为4
8
a 
,
所以
1
1
2
1
2
1
1
3 2
8
2
2
7
ABF
S
F F
y
y







,
即
2
2
2
2
12
1
12 2
1
2
,
3
4
7
3
4
7
m
m
m
m






,解得
1
m ,
所以直线l 的方程为
1
x
y
.
故答案为:
1
x
y

16.双曲线的光学性质为:如图①,从双曲线右焦点
2
F 发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向
延长线经过左焦点
1F . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线
灯”的轴截面是双曲线一部分,如图②,其方程为
2
2
2
2
1
x
y
a
b

,
1
2
,
F F 为其左右焦点,若从右焦点
2
F 发出的
光线经双曲线上的点A 和点B 反射后,满足DA
AB

,
1
tan
2
ABC


,则该双曲线的离心率
为
.
【答案】
3
【分析】设
1
AF
m

,由双曲线定义表示出
2
AF ,用已知正切值求出
2
BF ,再由双曲线定义得
1
BF ,再
由勾股定理结合正切值用m 表示出
1
BF ,从而建立关系式求出m (用a 表示),然后在
1
2
AF F
△
中,应用勾
股定理得出,a c 的关系,求得离心率.
【详解】
由题可知
1, ,
F A D 共线,
1, ,
F B C 共线,
如图,设
1
AF
m

,则
2
2
AF
m
a


,
因为
1
tan
2
ABC


,所以
1
1
tan
2
ABF


,
又
1
AF
AB

,所以
1
2
AB
AF

,所以
2
2
BF
m
a


,所以
1
4
BF
m
a


,
又因为
1
AF
AB

,
1
2
AB
AF

,所以
1
5
BF
m

,
所以
4
5
m
a
m


,得


1
5
1
m
a
AF



,则


2
2
5
1
AF
m
a
a




,
又
1
2
2
F F
c

,且
1
2
AF
AF

,所以




2
2
2
2
2
4
5
1
5
1
c
a
a




,
化简得
2
2
3
c
a

,所以
3


c
e
a
.
故答案为:
3 .
四.解答题(本题共6 小题,17 题10 分,剩下每题12 分。共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17.若M 是抛物线�2 = 2�上一动点,点�3,
10
3 ,设�是点M 到准线的距离,要使�+ ��最小,求点M
的坐标.
【答案】�(�, �)
【分析】由抛物线的定义可求解.
【详解】由题意,可知抛物线的焦点�(
�
�, �),
由抛物线的定义有�+ ��= |��| + ��≥|��|,
所以�+ ��最小值为|��|,此时点�为直线��与抛物线的交点,
而直线��的方程求得为:�=
�
��−
�
�,
所以有�=
�
��−
�
�
��= ��
,解得�= �
�= �
所以�(�, �)
18.分别求解以下两个小题:
(1)设椭圆的离心率为
1
2,短轴长为2 3,求椭圆的标准方程;
(2)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹
为曲线C.求曲线C 的方程.
【答案】(1)
��
�+
��
�= �或
��
�+
��
�= �
(2)
��
�+
��
�= ��≠−�
【分析】(1)根据已知条件求得��, ��,由此求得椭圆的标准方程.
(2)结合椭圆的定义求得曲线�的方程.
【详解】(1)由题意可知,
�
�=
�
�
��= ��
,又��= ��+ ��,所以��= �, ��= �,
所以椭圆�的标准方程为
��
�+
��
�= �.或
��
�+
��
�= �.
(2)由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N 的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P 的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)
+(r2-R)=r1+r2=4>2
由椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外),则a=2,c=1,故b2=a2-c2
=4-1=3,故所求C 的方程为
��
�+
��
�= ��≠−�.
19.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1(�> �> 0)经过点�(2,1) ,离心率为
2
2 ,过点�(3,0)的直线l 与椭圆C 交于不
同的两点M,N.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为���和���,求证:���+ ���为定值
【答案】(1)
��
�+
��
�= �
(2)证明见解析
【分析】(1)由题意结合椭圆的几何性质,列出方程组,求得答案;
(2)设直线l 的方程为�= �(�−�)并联立椭圆方程,可得根与系数的关系式,代入化简���+ ���的表
达式,可得结论.
【详解】(1)由题意椭圆�:
��
��+
��
��= �(�> �> �)经过点�(�,�) ,离心率为
�
�,
可得
�
��+
�
��= �
��= ��+ ��
�
�=
�
�
,解得�=
�, �=
�,
故椭圆C 的方程为
��
�+
��
�= �
(2)由题意可知直线l 的斜率一定存在,设直线l 的方程为�= �(�−�),
由
�= �(�−�)
��
�+
��
�= �,可得(�+ ���)��−�����+ ����−�= �,
由于直线l 与椭圆C 交于不同的两点M,N,
则�= �����−�(�+ ���)(����−�) = ��(�−��) > �,解得−�< �< �,
设�(��, ��), �(��, ��),则��+ ��=
����
�+���, ����=
����−�
�+���,
��= �(��−�) ��= �(��−�),
故���+ ���=
��−�
��−�+
��−�
��−�=
(���−��−�)(��−�)+(���−��−�)(��−�)
(��−�)(��−�)
= ������−(��+ �)(��+ ��) + ���+ �
����−�(��+ ��) + �
= ��(����−�) −(��+ �) ⋅����+ (���+ �)(�+ ���)
����−�−����+ �(�+ ���)
=
−���+�
���−�=−�,
即���+ ���为定值.
20.已知椭圆�:
�2
�2 +
�2
�2 = 1 �> �> 0 过点1,
3
2 ,离心率为
1
2.
(1)求椭圆�的方程;
(2)若点�在椭圆�上且横坐标为3,不过原点�的直线�交椭圆�于�,�两点,与直线��相交于点�,且�
是线段��的中点,求△���面积的最大值.
【答案】(1)
��
�+
��
�= �
(2) �
【分析】(1)由椭圆�:
��
��+
��
��= �(�> �> �)的离心率为
�
�,点�,
�
�在椭圆�上,列出方程组,求出�,�
即可得到椭圆方程.
(2)首先求出�的坐标,易得直线��的方程为�=
�
��.当直线�的斜率不存在时,��的中点不在直线�=
�
��上,故直线�的斜率存在.设直线�的方程为�= ��+ �(�≠�),与
��
�+
��
�= �联立消�得(�+ ���)��+
����+ ���−��= �,设�(��,��),�(��,��),利用韦达定理,求出中点坐标,通过弦长公式以及
点到直线的距离,求解三角形的面积,推出最值.
(1)解:(1)由椭圆�:
��
��+
��
��= �(�> �> �)的离心率为
�
�,点�,
�
�在椭圆�上,所以
�
�=
�
�
�
��+
�
���= �
��= ��+ ��
,解得
��= �
��= �,所以椭圆�的方程为
��
�+
��
�= �.
(2)解:由(1)可得椭圆方程为
��
�+
��
�= �,所以
�
�
�
+
��
�= �,所以�=±
�
�,不妨令�
�,
�
�,
易得直线��的方程为�=
�
��.
当直线�的斜率不存在时,��的中点不在直线�=
�
��上,故直线�的斜率存在.
设直线�的方程为�= ��+ �(�≠�),与
��
�+
��
�= �联立消�得(�+ ���)��+ ����+ ���−��= �,
所以�= ������−�(�+ ���)(���−��) = ��(�+ ���−��) > �.
设�(��,��),�(��,��),
则��+ ��=−
���
�+���,����=
���−��
�+���. ��+ ��= �(��+ ��) + ��=
��
�+���,
所以��的中点�( −
���
�+���,
��
�+���),
因为�在直线�=
�
��上,所以−
���
�+���= �×
��
�+���,解得�=−
�
�
所以�= ��(��−��) > �,得−
��< �<
��,且�≠�,
|��| =
�+ ( −
�
�)�|��−��| =
��
�
(��+ ��)�−�����=
��
�
��−
���−��
�
=
��
�
��−��,
又原点�到直线�的距离�=
�|�|
��,
所以�△���=
�
�×
��
�
��−��×
�|�|
��=
�
�
(��−��)��⩽
�
�
��−��+��
�
=
�,
当且仅当��−��= ��,�=±
�时等号成立,符合−
��< �<
��,且�≠�.
所以△���面积的最大值为�.
21.已知抛物线�2 = 4�的焦点为F,直线l 交抛物线于不同的A、B 两点.
(1)若直线l 的方程为�= �−1,求线段AB 的长;
(2)若直线l 经过点P(-1,0),点A 关于x 轴的对称点为A',求证:A'、F、B 三点共线.
【答案】(1)8;
(2)证明见解析.
【分析】(1)联立直线与抛物线方程,应用韦达定理及弦长公式求线段AB 的长;
(2)设�为�= ��−�,联立抛物线由韦达定理可得��+ ��= ��,����= �,应用两点式判断���−���′
是否为0 即可证结论.
(1)由题设,联立直线与抛物线方程可得(�−�)�= ��,则��−��+ �= �,�= ��−�× �= ��> �,
∴��+ ��= �,����= �,
所以|��| =
�+ ��⋅|��−��| =
�⋅
(��+ ��)�−�����= �.
(2)由题设,�(�, �),又直线l 经过点P(-1,0),此时直线斜率必存在且不为0,可设�为�= ��−�,
联立抛物线得:��−���+ �= �,则��+ ��= ��,����= �,
又�′(��, −��),故���′ =
−��
��−�=−
��
���−�,而���=
��
��−�=
��
���−�,
所以���−���' =
��
���−�+
��
���−�=
������−�(��+��)
������−��(��+��)+�=
��−��
�(�−��) = �,
所以A'、F、B 三点共线.
22.设双曲线�:
�2
�2 −
�2
�2 = 1 的右焦点为�
5, 0 ,其中一条渐近线的方程为�=
1
2 �.
(1)求双曲线�的方程;
(2)过点�1,0 的直线与双曲线的右支交于�,�两点,过点�,�分别作直线�: �= 4 的垂线(点�,�在直线
�的两侧),垂足分别为�,�,记△���,△���,△���的面积分别为�1,�2,�3,试问:是否存在常
数�,使得��3
2 = �1�2?若存在,求出�的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)�:
��
�−��= �
(2)存在,�=
�
�
【分析】(1)根据渐近线方程,焦点坐标以及�, �, �关系即可得到方程组,解出即可;
(2)设���, ��,���, ��,则��, ��,��, ��,再设�: �= ��+ �,联立椭圆方程,得到韦达定理
式,计算出�的范围,再写出��, ��, ��的表达式,代入韦达定理式即可得到�的值.
【详解】(1)由题意:
�=
�
�
�=
�
�
��= ��+ ��
⇒�= �
�= �⇒�:
��
�−��= �
(2)设���, ��,���, ��,则��, ��,��, ��.
设直线�: �= ��+ �,
由
�= ��+ �,
��
�−��= �, 得��−���+ ���−�= �,当�= �时,显然不合题意,
且双曲线渐近线方程为�=±
�
��,
因为与右支交于两点,则
Δ = ���−���−�
−�> �
�
�>
�
�
,
解得�< ��< �,即−�< �<−
�或�< �< �
��+ ��=
−��
��−�,����=
−�
��−�.
��=
�
���−���= ���−���,��=
�
���−���= ���−���,��=
�
���−��.
�= ����
��
�
= ���−������−���
���+ ���
= ������−����+ ��+ �����
���+ ��
�
= �−���+ ��⋅��+ ���−�
����+ ����−�
=
����−�
�����−�=
�
�.
即�=
�
�.
【点睛】关键点睛:本题第二问的关键在于设直线�: �= ��+ �,将其与双曲线方程联立得到韦达定理式,
然后写出��, ��, ��的表达式,最后得出�=
������−����+��+�����
���+���
,再将韦达定理式代入化简即可