文档文本内容
五
专题
解析几何
第十一讲 直线与圆
1.【解答】解：对于
：直线的倾斜角为
，则
，
，
因为
，所以
，故
正确；
对于
：当
时，直线
与直线
斜率分别为1，
，斜率之积为
，
故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线
与直线
互相垂直“，则
，
故
或
，所以得不到
，故必要性不成立，故
错误；
对于
：截距为0 时，设直线方程为
，又直线过点
，
所以可得
，所以直线方程为
，
当截距不为0 时，设直线方程为
，又直线过点
，
所以可得
，所以直线方程为
，
所以过点
且在
轴，
轴截距相等的直线方程为
或
，故
错误；
对于
：经过平面内任意相异两点
，
，
，
的直线，
当斜率等于0 时，
，
，方程为
，能用方程
表示，
当斜率不存在时，
，
，方程为
，能用方程
表示，
当斜率不为0 且斜率存在时，直线方程为
，
也能用方程
表示，故
正确．
故选：
．
2.【解答】解：
．若圆
关于直线对称，则直线过圆
的圆心
，
即
，得
，故
错误；
．
，整理为
，
不管
为何值，直线始终过点
，
当
是线段
的中点时，此时弦长
最短，
圆
，圆心是
，半径
，
圆心
和点
的距离是
，
所以最短弦长
，故
正确；
．当
时，直线
，
曲线
，即
，
所以曲线
为过直线与圆
交点的曲线方程，故
正确；
．若
，
，
，
四点共圆，设此圆为圆
，圆
的圆心
，
的中点为
，所以
的垂直平分线方程为
，所以
，
圆
的方程为
，整理为
，
直线
是圆
与圆
的交线，圆
与圆
的方程相减得
，
所以直线
的方程是
，
将直线所过的定点坐标
代入上式得
，得
，
所以直线
，即直线的斜率为
，即
，则
，故
正确．
故选：
．
3.【解答】解：对于
：设
，由
，得
，
化简得
，故
正确；
对于
：由上可知点
的轨迹
为圆，圆心坐标为
，半径
，
点
与原点距离
，
过点
的直线被点
的轨迹
所截得弦的长度的最小值
，故
错误；
对于
：圆心到直线
的距离为
，
所以直线
与点
的轨迹
相离，故
正确；
对于
：设
，则
，
所以四边形
面积
，当
时，等号成立，故
正确．
故选：
．
4.【解答】解：直线
，即
，
直线
，即
，
，
，
，
，
则直线
与直线
分别过定点
，
，且两直线垂直，
交点
的轨迹是以
为直径的圆，即点
的轨迹方程为
，圆心
，
因为点
是
上的一点，直线
是
的切线，所以问题可转化为圆
上任一点
作直线与圆
相切，求切线长
的取值范围．
设圆
的半径为
，则
，
因为圆
的圆心为
，其半径为定值，当
取得最小值和最大值时，切线长
取得最小值和
最大值，
又因为
，即
，即
，
所以
，
即
．
故选：
．
5.【解答】解：对于选项
，当
在
轴上时，
，则
，
，则
，故选项
正确；
对于选项
，设
，
且
，则
，
，代入得
，
可得
在以坐标原点
为圆心、
为半径的圆上运动，又圆
交
轴于
，
，故
，故选项
错误；
对于选项
，由圆的直径式方程可知，以
为直径的圆
的方程可写为
，
令
，可得
，即
，
则
，
分别为方程的两根，由韦达定理得
，故选项
正确；
对于选项
，要证
，即证
，
，
，
，即
，故选项
正确．
故选：
．
6.【解答】解：对于
，将
换成
，方程不变，所以图形关于
轴对称，故选项
正确；
对于
，当
时，代入方程可得
，所以
，即曲线经过点
，
，
当
时，方程变为
，所以△
，解得
，
因为
只能取整数1，当
时，
，解得
或
，即曲线经过点
，
，
根据对称性，可得曲线还经过
，
，故曲线一共经过6 个整点，故选项
正确；
对于选项
，当
时，由
，可得
，当且仅当
取等号，
所以
，所以
，
故曲线
上
轴右边的点到原点的距离不超过
，
根据对称性可得，曲线
上任意一点到原点的距离都不超过
，故选项
错误；
对于
，在
轴上方图形的面积大于矩形的面积
，
在
轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积
，
因此曲线
所围成的“心形”区域的面积大于
，故选项
正确．
故选：
．
【精选练习】
7.【解答】解：
：根据圆的性质知：
点坐标为
时
最小，此时圆
的面积最小，正确；
：若圆
的半径为
且
，
如下图，当
为圆
在
轴右侧交点，此时
，显然直线
垂直于
轴，在
点右侧；
如下图，当
为圆
在
轴左侧交点，此时
，显然直线
也垂直于
轴，在
点左侧；
所以直线
不可能过定点，错误；
：由对称性，不妨设
，则
，
所以圆
方程为
，又直线
为两圆相交弦，
则圆
、圆
相减并整理得：直线
，
所以
到直线
的距离
为定值，正确；
：由题意，
与
交于
且
垂直平分
，
令
，则
，可得
，故
，
所以
，正确；
故选：
．
8.【解答】解：因为
，
、
，
在圆
上，
，
因为
，则
是等腰直角三角形，
表示
、
到直线
的距离之和的
倍，
原点
到直线
的距离为
，如图所示：
，
，
是
的中点，作
于
，
且
，
，
，
，
，
的最大值为
．
故选：
．
9.【解答】解：圆
的圆心
，半径为：
，
为圆
的一条弦，
为线段
的中点，若
为坐标原点），
可知
，所以
，即在圆
上存在
、
，满足
，可得
，
所以
，
可得
，
解得
，
．
故答案为：
，
．
10.【解答】解：由托勒密定理，得
．
因为
，所以
．
设圆
的半径为
，由正弦定理，得
．
又
，所以
．
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，则
，故
．
故选：
．
第十二讲 圆锥曲线的方程与性质
1.【解答】解：由
，可得
，而
，可知
在
的平分线上．
圆
，圆心为原点
，半径
，连接
，延长
交
于点
，连接
，
因为
且
，所以
，且
为
中点，
因此，
，
点
在以
、
为焦点的双曲线上，设双曲线方程为
，
可知
，
，由
，得
，故
，双曲线方程为
．
故选：
．
2.【解答】解：由椭圆的方程可知
，
，所以
，
所以焦点
，
，
设
，
，则
，
，
，
可知
，可得
，
选项中，
，即
的最小值为
，所
以
不正确；
选项中，由椭圆的对称性可知：
为定值，所以
正确；
选项中，因为
，所以以
为直径的圆与椭圆有交点，所以存在
点，使得
，所以
正
确；
选项中，
，所以
正确．
故选：
．
3.【解答】解：对于
项，通过比较直线与渐近线斜率易知
项正确；
对于
项，由于
，
，
相减得
，
所以
，因此
项
正确；
对于
项，设
的中点为
，则
，即两圆半径之和，所以两圆
外切，因此
项错误；
对于
项，联立渐近线
与圆
方程得
，
由于
，则
，
连接
并延长交
于
，则
，
为
中点，
又
的中点为
，则
，从而
，
所以
，从而
，因此
．因此
项正确．
故选：
．
4.【解答】解：对于
：易知
，又双曲线的一条渐近线方程为
，
则
到该渐近线的距离为
，又
，
所以
，所以
，得双曲线的离心率为
，故
正确；
对于
：在△
中，
，
，
则
，
由余弦定理得
，
即
，解得
，
所以△
的面积为
，
又
，所以
，故
错误；
对于
：因为
，
，所以
，
由角平分线定理可得
，则
，
又
，所以
，
故
应在
轴的正半轴，又
，所以
，故
正确；
对于
：延长
交
于点
，连接
，如图，
易知
，所以
，所以
，
又
、
分别是
，
的中点，所以
，
所以
，
又点
在第一象限，故直线
的斜率必小于渐近线
的斜率，
设渐近线
的倾斜角为
，
，可得
，
则
，即
，整理得
，
又
，所以
，
解得
，得
，故
正确．
故选：
．
5.【解答】解：
．如图，
作
，
，
，
根据切线长定理，
，
，
，
又
，所以
，
，
所以
，即
，故
正确；
．因为
，
，
所以
，解得：
，
所以
，故
错误；
．由内切圆的性质可知，
为角平分线，则
，即
，整理为
，
即
，
所以
，由
选项的证明可知，
，即
，故
正确；
．若△
的内切圆与
轴相切，则
，
则由选项
知，
，即
，
则
，即
或
（舍，
所以双曲线
的离心率为
，故
正确．
故选：
．
6.【解答】解：对于选项
，设
，
，由焦半径公式得
，解得
，所以
，从而
，选项
正确；
对于选项
，由题意知
，根据抛物线的定义可知
．设
与
轴的交点为
，易
知
，
，
故
，所以四边形
的周长为
，选项
错误；
对于选项
，若直线
过点
，则当
轴时，
最小，且最小值为1，选项
正确；
对于选项
，设直线
，
，
，
，
，
联立直线
与抛物线方程得
，则
，
所以
，
由
可得
，
即
，解得
，
故直线
的方程为
，
即直线
恒过定点
，选项
正确．
故选：
．
7.【解答】解：抛物线
的焦点为
，准线
，
对于
，
，当且仅当
，
，
三点共线时，等号成立，
而
，此时
与垂直，故
正确；
对于
，过
作
垂直于准线于
，根据抛物线定义可知：
，由图象知
，
当
与
重合时，
，所以
，故
正确；
对于
，点
的纵坐标为4 时，点
的横坐标为
，
所以
，
当
，
，
三点共线时，有直线
方程为：
，
令
，得
，即
，此时
，
，所以
，故
错误；
对于
，若
是等边三角形，
，
所以
与
重合，所以
，即
，
所以
，故
正确．
故选：
．
8.【解答】解：由椭圆
，
可得
，
，
，
不妨设点
，
在第一象限，
由椭圆的定义知
，
因为
，
可得
，
即
，
可得
，
所以
，
所以△
的面积为
，
可得
，
解得
，
又因为
，可得
，
即
，
将点
代入椭圆的方程，
可得
，
整理得
，
因为
，
可得
，
即
，
解得
和
（舍去），
即椭圆
的离心率为
．
故选：
．
9.【解答】解：依题意，直线
都与椭圆
相切，
因此直线
所围成矩形的外接圆
即为椭圆
的蒙日圆，
由点
、
为椭圆
上任意两个动点，动点
满足
为锐角，得点
在圆
外，
又动点
在直线
上，因此直线
与圆
相离，
于是
，解得
，则
，解得
，
所以椭圆
的离心率的取值范围为
．
故答案为：
．
10.【解答】解：因为
，
整理得
，
即
，
对于选项
：用
代替
得
，所以曲线关于
轴对称，
用
代替
得
，所以曲线关于
轴对称，
用
代替
，
代替
得
，所以曲线关于原点对称，
所以曲线
既是中心对称图形，又是轴对称图形，故选项
正确；
对于选项
：当
时，
，
当
时，点
与点
或点
重合，
此时
，故选项
错误；
对于选项
：令
，
解得
，
即
，
解得
，
若
，
此时
或
，
则曲线
与
轴有三个交点，故选项
正确；
对于选项
：假设存在点
，使得
，
此时
，
因为
，
，
所以
，
即
，
因为
，
所以
，
则
，反之，也成立，故选项
正确．
故选：
．
【精选练习】
11.【解答】解：设
，
，则
，
由中点坐标公式得
，
因为点
在曲线
上，
所以
，
故线段
的中点
的轨迹方程为
．
故选：
．
12.【解答】解：双曲线
的
，
，
，
渐近线方程为
，
其倾斜角为
或
，
而过
且倾斜角为
的直线与双曲线的右支交于
，
两点，
可得
，
，故
错误；
由双曲线的定义和圆的切线长定理可得
，
的横坐标均为
，即直线
与
轴垂直，故
正确；
因为
为直角三角形
的斜边上的高，
由直角三角形的射影定理可得
，
即
，又
，
解得
，即
垂直于
轴，
，
，
，故
正确；
设内切圆
与
与
轴的切点为
，
因为
，
，所以
，
，
，
，
所以
，
，
又
，所以
，
，可得
，
．
故选：
．
13.【解答】解：根据对称性，不妨设M 在第一象限，
则根据题意易知M（c，b
2
a ），N（c，−b
2
a ），
又F（c，0），B（a，0），A（﹣a，0），∴P（c，b
2
2a），
∴AN 直线方程为y=
−b
2
a
c +a
（x+a），
BP 直线方程为y=
b
2
2a
c−a
（x﹣a），
联立两直线方程可得交点的横坐标为a(3a−c)
3c−a
，
又直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上，
∴3a﹣c＝0，∴c
a =3．
故选：B．
14.【解答】解：不妨取点
在第一象限，且
的平分线
与
轴的交点
位于
轴的正半轴，如图
所示，
设
，
，
，
由角平分线的性质知，
，
所以
①，
因为
，且
，
所以
，所以
②，
联立①②，消去
，可得
，
由椭圆的定义知，
，
所以
，
，
因为
，
所以
，
所以
，即
，
又
，
所以
，
所以离心率
．
故选：
．
15.【解答】解：抛物线
的焦点为
，
，准线方程为
，
对于
，若抛物线上一点
到焦点
的距离等于4，
由抛物线的定义可得
，解得
，则抛物线的方程为
，故
不正确；
对于
，可设
，
，
，
，
直线
的方程为
，与抛物线
联立，
消去
，可得
，
可得
，
，
可得
的坐标为
，
，
，
可得
到准线的距离为
，则以
为直径的圆与准线相切，故
正确；
对于
，由
，可得
时，
的最小值为
，故
正
确；
对于
，由上面的分析可得△
，
，
，
，
到
轴的距离为
，
．
当且仅当
时，取得等号，故
正确．
故选：
．
16.【解答】解：由
可知其焦点为圆
的圆心
，圆
的半径为
，
设
，
，则
，对于
，因为
，所以
，故
正确；
对于
，设
是圆
的切线，切点为
，则
，
，
因为
，
所以
，所以
，
所以
，即
最大值为
，故
不正确；
对于
，如图：当
，
两点在
轴异侧，且
与抛物线
相切于
，
与圆
相切
时，
取得最大值，
不妨设点
在第一象限，则点
在第四象限，
设直线
，代入
，消去
并整理得
，
所以△
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，即
，
此时
，
当
与圆
相切于
时，
，
，
所以四边形
的面积为
，故
正确；
对于
，如图设
的中点为
，
是圆
的切线，切点为
，
根据圆的切割线长定理可得
，
又
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
设
，
，则
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，即点
的纵坐标的取值范围为
，
．故
正确；
故选：
．
第十三讲 圆锥曲线定点（线）、定值问题
1.【解答】（1）解：由椭圆的定义知，
，
，
又
，
，
故椭圆
的标准方程为
．
（2）证明：设直线
的方程为
，
，
，
，
，则
，
，
联立
，
，
，
而直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，
令
，有
，
，
直线
过定点
．
2.【解答】解：（1）由题意知：直线
，
的方程分别为
，
，
则
，
是方程
，即方程
的两根．
当
时，圆
与
轴相切，直线
的斜率不存在，矛盾．
于是
，化简得
，
所以
．
（2）证明：设
，
，
，
，
依题意，
，
，
则有
，
．
即
，
，
解得
，
，
于是
，
，
所以
．
（2）
，
当且仅当
时等号成立．
综上所述，四边形
面积的最大值为
．
3.【解答】解：（1）双曲线
中心为原点，左焦点为
，
，离心率为
，
则
，解得
，
故双曲线
的方程为
；
（2）证明：过点
的直线与
的左支交于
，
两点，
则可设直线
的方程为
，
，
，
，
，
记
的左，右顶点分别为
，
，
则
，
，
联立
，化简整理可得，
，
故△
且
，
，
，
直线
的方程为
，直线
方程
，
故
，
故
，解得
，
所以
，
故点
在定直线
上运动．
4.【解答】解：（1）设双曲线
的实轴长为
，虚轴长为
，
因为双曲线
的两条渐近线为
轴和
轴，
所以两渐近线之间的夹角为
，所以
，
所以
．
（2）不妨设
是双曲线
在第一象限的点，
则
，
，
，
，
则过点
的切线方程为：
，即
，
与双曲线渐近线
联立，即
，
，
解得
或
，
设
，
则
，
，
因为
，
所以
，
所以
面积是定值2．
（3）由
的图象是双曲线，渐近线为
轴与直线
，
则两渐近线的夹角为
，故
，两渐近线夹角的平分线所在直线方程为
，
联立
得，
或
，则双曲线的
，
所以
，则将
图象绕原点
顺时针旋转
得到双曲线
的图象，
直线
与
轴夹角为
，故直线的图象绕原点
顺时针旋转
得到直线
，
同理可得点
，
，
，
，
，
绕原点
顺时针旋转
得到
，
，
，
，
，
，且点
，
为
右支上的点，
设
，
，
，
，则
，
由题知，过
的直线斜率不为0，设该直线
方程
，
因为点
，
为
右支上的点，所以
且
，
所以
，
由
得，
，△
，
，
则
，即
，
因为由图象知直线
的斜率存在，所以
，
故直线
的方程为：
，
令
，
，
由
得，
，
所以直线
过定点
，
同理可得直线
也过定点
，
所以直线
与
的交点为
，
则
，令
，
则
，
因为函数
在
，
上单调递减，
，
，则
，即
所以
，
故
面积的最小值为
．
【精选练习】
5.【解答】解：（1）因为
，所以
，
将点
代入
，得
，
解得
，故椭圆
的方程为
．
证明：（2）由题意可设
，
，
，
，
，
联立
，可得
，
所以
，
，
又因为
，
，
所以直线
的方程为
，
令
，则
，即
，
同理
，
所以
，
，
故
．
6.【解答】解：（1）不妨设
，
是椭圆上一点，
此时
，
因为
，
，
若
，
此时
，
解得
（舍去），
若
，
此时
，
解得
（舍去）或
，
所以
点的坐标为
；
（2）证明：不妨设直线的方程为
，
，
，
，
，
联立
，消去
并整理得
，
因为△
，
解得
或
，
由韦达定理得
，
，
此时
，①
易知直线
的方程为
，②
直线
的方程为
，③
联立②③，消去
并整理得
，④
联立①④，消去
，
此时
，
解得
．
故点
在直线
上．
7.【解答】解：（1）易知抛物线
的焦点
，
因为点
到圆
上一点的距离的最大值为
，
解得
，
则抛物线
的方程为
；
（2）不妨设直线
的方程为
，
，
，
，
，
联立
，消去
并整理得
，
此时△
，
由韦达定理得
，
，
易知直线
的方程为
，
令
，
解得
，
同理得
，
因为
是线段
的中点，
所以
，
整理得
，
即
，
因为
，
，
所以
，
整理得
，
若
，
此时直线
经过点
，不符合题意；
若
，
此时直线
的方程为
，经过定点
．
第十四讲 圆锥曲线最值、范围问题
1.【解答】解：（1）当
与原点
重合时，可设
，
，由题意可得
，
，
，
，
因为
，即
，即有
，
则
，
即
，又
，故
，则
，
即有
，由离心率为
，即
，
则
，故
，即有
，
解得
，故
，
即
的方程为：
；
（2）设直线方程为
，令
，即
，
设点
，
，
，
，则
，
，
联立直线与椭圆方程：
，整理可得：
，
△
，即
，
有
，
，
直线
的方程为：
，
令
，故
，
即
，
则
，
当且仅当
时等号成立，
故
周长的最小值为
．
2.【解答】解：（1）设
，
，
，
，因为
在抛物线上，
所以
，即
，所以
，
不妨设
在
的左边，过
作
垂直于
轴交于
点，如图，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以直线
，
的倾斜角互补，即
，
显然
，
不与
关于
轴的对称点重合，所以
，
，
又因为
，
，
所以
，所以
，
即
，
所以
，
即直线
的斜率为
；
（2）设
，
联立
，可得
，
所以
，
，
且△
，所以
，
若
与
重合，此时
，故
，
又
，
且
到直线
的距离
，
所以
，
令
，
，
所以
，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
所以
的面积取值范围是
，即为
．
3.【解答】解：（1）由题意可得
，
因为直线的倾斜角为
，所以
，
因此的方程为
，设
，
，
，
，
联立方程
，整理可得：
，
解得
，
，
所以
；
（2）由题意得直线的斜率不为0，
故设为：
，设
，
，
，
，
联立方程
，
整理可得
，
因此
，
所以
，
设线段
的中点为
，
，
，
即
，
，
所以
，
所以
，
设
，
则
，
当且仅当
，即
，即
时等号成立，
当
最大时，
也最大，
此时直线的方程为
，
即
或
．
4.【解答】解：（1）易知双曲线
的渐近线方程为
，
即
，
若渐近线方程为
，
此时
，
则
的标准方程为
；
（2）由（1）知
，
，
不妨设
，
，
，
，
，
易知直线
不垂直于
轴，
不妨设直线
的方程为
，
，
，
联立
，消去
并整理得
，
此时△
，
由韦达定理得
，
，
所以
，
因为
，
，
三点共线，
所以直线
，
的斜率满足
，
同理，由
，
，
三点共线，
可得
，
消去
并整理得
，
即
，
此时
，
因为
，
，
，
所以
，
解得
或
，
若
，
因为
，
所以
，
，
又
，
可得
，
即
，显然不成立，
所以
，
当
时，其满足△
，
所以直线
的方程
恒过点
，
点
在以
为直径的圆
上，
当点
与点
重合时，
最大，
此时
轴，
，
故当
最大时，点
的纵坐标为
．
【精选练习】
5.【解答】解：（1）由题意知
，
的方程为
；
（2）当斜率不存在时，设
，
，
，
由
，此时
，
当斜率存在时，设方程：
，
，
，
，
，
联立
，消去
化简得
，
则
，△
，
即
且
，
，
，又
，
则
，即
，
又
，
令
，则
且
，
，
，
令
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
，
，
综上，
的取值范围为
；
（3）设
，
，则
平分
，又
，
，
设过
与圆
相切的直线为
，
即
，
化为关于
的二次方程
，
则
，
由题可设切线
，
则与方程
联立，
消去
得
，
则
，
同理
，
则
，
则
，
即
，
即
，化简得
，
解得
．
6.【解答】解：（1）设
，
，
，
，
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
．
由
，得
，
所以
，
由
，得
，
所以
，
所以
，即点
的纵坐标是点
、点
的纵坐标的等差中项，
所以
是
的中点．
（2）设
，
，因为直线
与直线
相交，交点在
轴上，所以
，
从而
，
，
直线
的方程是
，
所以
，即
，
因为
是
的中点，
所以
，
，
法一：记
，考察函数
，
，
因为
，
所以
在
，
上是减函数，在
，
上是增函数，
故
的最小值是
，即
的最小值是
．
法二：
，
时取到等号，即
的最小值是
．
7.【解答】解：（1）因为抛物线
的焦点到准线的距离为2，
所以
，
则抛物线的方程为
；
（2）易知直线
的斜率不为0，
不妨设直线
的方程为
，
，
，
，
，
联立
，消去
并整理得
，
此时△
恒成立，
由韦达定理得
，
，
因为
，
，
所以
；
（3）因为
，
，
均在抛物线
上，
不妨设
，
，
，
此时直线
的斜率
，
所以直线
的方程为
，
即
，
同理得直线
方程为
，直线
方程为
，
因为直线
经过
，
所以
，
解得
，
因为直线
经过
，
所以
，
解得
，
此时
，
整理得
，
因为直线
的方程为
，
所以直线
经过定点
，
故当
时，点
到直线
距离取得最大值，最大值
．
微专题12 圆锥曲线优化计算策略
1.【解答】解：（1）将点
代入双曲线方程得
，
化简得
，
，故双曲线方程为
，
由题显然直线的斜率存在，设
，设
，
，
，
则联立双曲线得：
，
故
，
，
，
化简得：
，
故
，
即
，而直线不过
点，故
；
（2）设直线
的倾斜角为
，由
，
，得
由
，
，
得
，即
，
联立
，及
得
，
同理
，
故
，
而
，由
，得
，
故
．
2.【解答】解：（1）因为双曲线
的顶点
，
所以
，
此时双曲线
的方程为
，
不妨设
，
，
，
，
此时
，
当且仅当
时，等号成立，
则
的最小值为
，
解得
，
则
，
故双曲线
的方程为
；
（2）不妨设
，
，
，
此时直线的方程为
，
不妨设直线
的方程为
，
，
，
，
，
，
联立
，消去
并整理得
，
此时△
，
由韦达定理得
，
，
不妨设直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，
所以
或
，
则直线
的斜率与直线
的斜率满足
，
因为直线
的方程为
，
所以
，
此时
，
又
，
所以
，
因为
，
，
整理得
，
解得
或
（舍去），
故
．
3.【解答】解：（1）因为
与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线
的方程为：
，
令
，则
，
根据抛物线的对称性，不妨设
在
轴上方，
在
轴下方，故
，
因为
，故
，
抛物线
的方程为：
，
因为
与相切，故其半径为1，故
．
另解：（1）根据抛物线的对称性，由题意可得
，
因此点
，
的坐标为
，
由题意可设抛物线
的方程为：
，
可得
，
因此抛物线
的方程为
．
而圆
的半径为圆心
到直线的距离为1，
可得
的方程为
．
（2）当
斜率不存在时，
为
或
，
当
为
时，此时
为
，此时由于
与抛物线只有一个交点，
不存在，故不成立；
当
为
时，假设
，设直线
为
，
根据
到直线
距离为1 可得
，
即直线
为
，可知直线过
，
所以
关于
轴对称，所以
也与圆
相切；
否则：
设
，
，
，
，
，
．
当
，
，
其中某一个为坐标原点时（假设
为坐标原点时），
设直线
方程为
，根据点
到直线距离为1 可得
，解得
，
联立直线
与抛物线方程可得
，
此时直线
与
的位置关系为相切，
当
，
，
都不是坐标原点时，即
，直线
的方程为
，
此时有，
，即
，
同理，由对称性可得，
，
所以
，
是方程
的两根，
则
，
依题意有，直线
的方程为
，
令
到直线
的距离为
，则有
，
此时直线
与
的位置关系也为相切，
综上，直线
与
相切．
（2）另解：设
，
，
，2，3，
由直线的两点式可知，直线
的方程为
，
化简可得
，
因为直线
与圆
相切，所以
，
整理得
，
同理有
，
所以
，
是关于
的方程
的两个根，
则
，
依题意有，直线
的方程为
，
令
到直线
的距离为
，则有
，
此时直线
与
的位置关系也为相切，
综上，直线
与
相切．
4.【解答】解：（1）设直线
，
，
，
，
，
联立
消去
，得
，
可得：
，
且直线
与
的斜率之和为
，
化简
，代入
，
，
即
，
整理得
，则过定点
，即
；
（2）设
，
，
关于
轴的对称点为
，则
，
，
由
，得直线
与直线
关于
轴对称，直线
即为直线
，
又直线
，
联立
解得：
，
又
，故
，
即
，且
，
所以点
的轨迹为以
，
为焦点，长轴长为
的椭圆的一部分，
根据椭圆的定义，知
．
【精选练习】
5.【解答】解：（1）由题意得
，
直线
的方程为
，
联立
，化简得
，
当
时，又
，解得
，
，
当
时，得
，又
，
解得
，经检验△
满足题意，
所以双曲线方程为
或
；
（2）当
，
时，
（舍，
当
，
时，
满足题意，
设
，
，
，
，直线
，
的斜率分别为
，
，
直线
，与
联立得
，
所以
，
，
则
，
即直线
与直线
的斜率之和为4．
6.【解答】解：（1）设椭圆
的右焦点为
，连接
，
，
根据椭圆的对称性可知
，四边形
为平行四边形．
又
，所以
，
，所以
，
，
在四边形
中，
，所以
，
在△
，根据余弦定理得
，
即
，所以
．
所以椭圆
心率
；
（2）直线恒过定点，定点坐标为
．理由如下：
椭圆
上顶点为
，则
，所以
，
又由（1）知
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为：
．
在
中，
，
，
所以
，从而
，
又
为线段
的中点，即
，所以
，
因此
，从而
，
根据题意可知直线的斜率一定存在，设它的方程为
，
，
，
，
，
联立
，消去
，整理得
①，
△
，
根据韦达定理可得
，
，
于是
，
所以
，
整理得
，解得
或
．
又直线不经过点
，所以
舍去，
于是直线的方程为
恒过定点
，
该点在椭圆
内，满足关于
的方程①有两个不相等的解，
所以直线恒过定点，定点坐标为
．
微专题13 阿基米德三角形
1.【解答】解：由
，得
，
由题意，点
处的切线方程为
，
点
处的切线方程为
，
联立两个方程并消去
得
，
代入点
处的切线方程得
，
所以点
坐标为
，
，故
正确，
设直线
的斜率为
，则
，
故直线
的方程为
，
化简得
，故
正确，
由
得点
到直线
的距离
，
，
故
，
故
错误．
故选：
．
2.【解答】（1）
设
，若过点
且斜率为
的直线
与抛物线
相切，则联立后得到的关于
的方程
只有一个实数根.
此即关于
的二次方程
的判别式等于零，即
，得
.
另一方面，该直线与
轴交于点
，而该点与
的连线的斜率为
.
所以，过点
作抛物线的切线后，该切线与
轴的交点到焦点
和点
的连线互相垂直.
这就说明
，从而
，所以
，
，
，
四点共圆.
（2）由的定义知其方程为
，设
的斜率分别为
，则根据第1 小问的解析，知
都是关于
的方程
即
的根.
故
，
.
由于
均过点P(x0, y0)，故其方程分别为
和
.
在
中令
，得
，从而得到
，同理
.
所以
.
由
，可设
，则
，进而得到
.
所以
（这里使用了不等式
）
.
另一方面，当
时，
的斜率分别是
，可求得
，
.
从而此时
，故
.
综上，
的面积的最小值是
.
【精选练习】
3.【解答】（1）若同时满足①②：由
，可得AB 过焦点
，
当
时，
而
，所以①②不同时成立
若同时满足①③由①
，可得AB 过焦点
，
因为直线AB 的方程为
，不可能过焦点
，所以①③不同时成立
只能同时满足条件②③，因为②
；
且直线AB 的方程为
，所以
，解得
．
所以抛物线C 的标准方程为
．
（2）如图：
设直线AB 的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
则
．因为
，直线AN，BN 的斜率之和为0，
即
，
所以
，
即
，
所以
，即
．
（3）设过点A，B，E 的三条切线分别为
，倾斜角分别为
，
令
，
由
得：
：
所以：
；
：
；
：
.
联立
直线方程可得
联立
直线方程可得
又
，
所以
.
所以：
四点共圆，即
的外接圆过焦点F．
跨章节综合6 圆锥曲线与数列
1.【解答】解：（1）
关于
轴对称，
，
关于
轴对称，
，
，
中恰有两个点在
上，
，
在
上，
不在
上，
，又
，
，
，
的方程为
．
（2）存在
，使得点
都在
上．理由如下：
，
，
，
，即
，
，
又
，所以
，
，即
，
，
点
在以
，
为焦点，
为长轴长的椭圆上，
又
的焦点为
，长轴长为4，点
，
在
轴上且关于原点对称，
点
都在椭圆
上
，
存在
，使得点
都在
上．
【精选练习】
2.【解答】解：由题意得
，
，
，
，直线
，
联立
，得
，
，
，
，
，
，
为公差4 的等差数列，
，
，
，故
正确；
，
，故
错误；
，
，
，故
正确．
故选：
．
跨章节综合7 圆锥曲线与解三角形
1.【解答】解：如图所示，设双曲线的实轴长为
，虚轴长为
，焦距为
，
设
的内心为
，过点
向三边作垂线，垂足分别为
，
，
，
根据三角形内心的性质可知，
，
，
，
又因为双曲线
以
，
为焦点，且经过点
，
所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，
所以点
在双曲线的左支上，所以
，
而
，
所以
，
，
所以
为双曲线的左顶点，
所以
，
所以
，即
，
所以
，渐近线的倾斜角为
，
所以两条渐近线的夹角为
；
又因为
，
所以
，
而
，
所以
．
故答案为：
．
【精选练习】
2.【解答】解：如图以
的中点为原点直角坐标系，
设
，
分别是
，
与圆的切点，由圆的切线性质得
，
设
，所以
，
，
在△
中，
，
以
，
为焦点经过点
的双曲线的离心率为
，
以
，
为焦点经过点
的椭圆的离心率为
，
则
，
在△
中，设
，所以
，
，
，
由余弦定理可得
，
即
，
所以
，所以
，得
，
由对勾函数的单调性可得函数
在
上单调递增，
所以
．
故答案为：
．
跨章节综合8 圆锥曲线与立体几何
1.【解答】解：（1）①证明：由椭圆定义可知
，
，
所以
的周长
，所以
，因为离心率为
，故
，解得
，
则
，由题意，椭圆的焦点在
轴上，
所以椭圆方程为
，
当
时，直线的方程为
，即
，
联立
得
，解得
或
，
当
时，
，当
时，
，
因为点
在
轴上方，所以
，
，
故
，折叠后有
，
因为二面角
为直二面角，即平面
，交线为
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
；
②以
为坐标原点，折叠后的
轴负半轴为
轴，原
轴为
轴，原
轴正半轴为
轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则
，
，
，
，
，1，
，
，
，
其中平面
的法向量为
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
，
，故
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
故平面
与平面
的夹角的余弦值为
．
（2）设折叠前
，
，
，
，折叠后对应的
，
，
，
，0，
，
设直线方程为
，将直线与椭圆方程
联立得，
，
则
，
在折叠前可知
，
折叠后，在空间直角坐标系中，
，
由
，
，
故
，
所以
①，
分子有理化得
，
所以
②，
由①②得
因为
，
故
，
即
，
将
，
代入上式得：
，
两边平方后，整理得
，
即
，解得
，
因为
，所以
．
