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回扣 7 解析几何
1．直线方程的五种形式
(1)点斜式： y － y ＝ k ( x － x)(直线过点P(x ，y)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直
0 0 0 0 0
线)．
(2)斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直
线)．
(3)两点式： ＝ ( 直线过点P(x ，y)，P(x ，y)，且x≠x ，y≠y ，不包括坐标轴和平行于坐
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标轴的直线)．
(4)截距式：＋＝1(a，b分别为直线的横、纵截距，且a≠0，b≠0，不包括坐标轴、平行于
坐标轴和过原点的直线)．
(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)．
2．直线的两种位置关系
(1)当不重合的两条直线l 和l 的斜率都存在时：
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①两直线平行：l∥l⇔k ＝ k.
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②两直线垂直：l⊥l⇔kk ＝－ 1.
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提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽
略．
(2)直线方程一般式是Ax＋By＋C＝0.
①若直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0，则l∥l⇔AB －BA ＝0且AC －
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AC ≠0.
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②若直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，则l⊥l⇔AA＋BB＝0.
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提醒 无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便．
3．三种距离公式
(1)已知A(x，y)，B(x，y)，两点间的距离
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|AB|＝.
(2)点到直线的距离d＝(其中点P(x，y)，直线方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0))．
0 0
(3)两平行线间的距离d＝(其中两平行线方程分别为l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝
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0(A2＋B2≠0))．
提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等．
4．圆的方程的两种形式
(1)圆的标准方程： ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 .(2)圆的一般方程： x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D 2 ＋ E 2 － 4 F >0) ．
5．直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离．
(2)弦长的求解方法
根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 r2＝ d 2 ＋ ( 其中l为弦长，
r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝ 2 .
(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含．
(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程．
6．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
|PF|＋|PF|＝ 2 a (2a>| ||PF|－|PF||＝ 2 a (2a<| |PF|＝|PM|点F不在直线l
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定义
FF|) FF|) 上，PM⊥l交l于点M
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标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
图形
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0
顶点 (± a ， 0) ， (0 ， ± b ) (± a ， 0) (0,0)
几 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称
何 焦点 (± c ， 0)
性 轴 长轴长 2 a ，短轴长 2 b 实轴长 2 a ，虚轴长 2 b
质 离心率 e＝ ＝ ( 01) e ＝ 1
准线 x＝－
渐近线 y ＝ ± x
7.直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断．
弦长公式：|AB|＝|x－x|，
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或|AB|＝|y－y|(k≠0)．
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1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围
确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽
视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x ，y)的直线往往忽视斜率不存在的
0 0
情况直接设为y－y＝k(x－x)等．
0 03．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，
一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重
合，易忽视重合．
4．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解．
5．利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲
线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|FF|.如果不满足第一个条件，
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动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一
支．
6．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中 a，b，c三者之间的关系，
导致计算错误．
7．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
8．直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要
注意：二次项的系数是否为零，判别式 Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问
题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都
应在“Δ>0”下进行．
