文档内容
第5讲 定点(定直线)问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................5
【考点一】定点(定直线)问题..........................................................................................................5
【专题精练】...............................................................................................................................20
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：解析几何中的定点问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，其类型
一般为直线过定点与圆过定点等.
真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
2．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
参考答案：
1．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）设直线 的方程，进而可求点 的坐标，结合韦达定理验证 为定值即可.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以椭圆方程为 .
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则 ，解得 ，
可得 ，
因为 ，则直线 ，
令 ，解得 ，即 ,
同理可得 ，
则
，
所以线段 的中点是定点 .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
2．(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
（2） ，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
，过点 .
②若过点 的直线斜率存在，设 .
联立 得 ，
可得 ， ，
且
联立 可得
可求得此时 ，
将 ，代入整理得 ，
将 代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
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学科网（北京）股份有限公司考点突破
【考点一】定点(定直线)问题
一、单选题
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆 的离心率等于 ，抛物线 的焦点
是椭圆 的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线 、
的斜率分别为 ，且 ．则（ ）
A． 的斜率可能不存在，且不为0
B． 点纵坐标为
C．直线 的斜率
D．直线 过定点
2．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，
记切点为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
二、多选题
3．（2024·云南昆明·模拟预测）设O为坐标原点，直线l过抛物线C： 的焦点F且与C交
于A，B两点（点A在第一象限）， ，l为C的准线， ，垂足为M， ，则下列说法
正确的是（ ）
A．
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学科网（北京）股份有限公司B． 的最小值为
C．若 ，则
D．x轴上存在一点N，使 为定值
4．（2024·安徽安庆·二模）抛物线 的焦点为 ，经过点F且倾斜角为 的直线l与
抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ）
A．当 时，
B． 面积的最大值为2
C．点E在一条定直线上
D．设直线 倾斜角为 ， 为定值
三、解答题
5．（2024·浙江杭州·二模）已知 是椭圆 的左，右顶点，点 与椭圆上的点
的距离的最小值为1.
(1)求点 的坐标.
(2)过点 作直线 交椭圆 于 两点（与 不重合），连接 ， 交于点 .
（ⅰ）证明：点 在定直线上；
（ⅱ）是否存在点 使得 ，若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
6．（2024·浙江·二模）已知双曲线 左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线
上，且点 到双曲线两条渐近线的距离乘积为 ，过 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线 ， ，
已知 与 双曲线左支交于 ， 两点， 与 左右两支分别交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若线段 ， 的中点分别为 ， ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点坐标.
7 / 54
学科网（北京）股份有限公司7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为 ，左、右顶点分别为A(-4,0)，
B(4,0).
(1)求 的方程；
(2)过右焦点 的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线 与 交于点 ．
（i）证明：点 在定直线上：
（ii）若直线 与 交于点 ，求证：PF ⊥QF ．
2 2
8．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线 ，点 ，经过点M的直线交双曲线C于
不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线 在曲线
上某点 处的切线方程为 ）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N， ，求 的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记 ，
， 的面积分别为 ，问：是否存在常数m，使得 ？若存在，求出m的值；
若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D ABD CD
1．D
【分析】A选项，求出F(0,1)，得到 ，由离心率得到椭圆方程，求出 ，若 的斜率
不存在，则 重合，A错误；B选项，设出直线 ，联立抛物线方程，得到两根之和，得到
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学科网（北京）股份有限公司，进而得到 ；C选项，求出 ，联立抛物线方程，得到 ，
结合 ，同理得到 ，从而得到当 时，满足要求；D选项，在C选项基础上，
分 与 两种情况，求出直线 的方程，判断其过定点 .
【详解】A选项，由题意得F(0,1)，故 ，
因为 ，且 ，解得 ，
故椭圆方程为 ，故 ，
若 的斜率不存在，则 重合，
因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，故A错误；
B选项，因为动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，
所以直线 的斜率存在且不为0，设直线 ，
联立 得， ，
则 ，故 ，
故 ，B错误；
C选项，直线 ，
联立 得， ，
则 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
因为 ，所以 ， ，
若 ，则 ， ，
， ，此时 不与 重合，两者也不重合，满足要求，C错误；
D选项，若 ，此时 ，故直线 与 轴垂直，且过点 ；
若 ，
由于 ， ，
故
，
故直线 方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 得 .
故直线 过定点 ，
综上，直线 过定点 ，D正确.
故选：D
【点睛】思路点睛：（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于0，
求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为
常数.
2．D
【分析】设 ，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设 ，将其代入两切
线方程，得到直线 的方程为 ，得到过定点 .
【详解】设 ，则 ， ，
由于 ，故过点 的切线方程为 ，
即 ，即 ，
同理可得过点 的切线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，过点 的两切线交于点 ，
故 ，整理得 ，
同理 ，整理得 ，
故直线 的方程为 ，
斜率不为定值，AB错误，当 时， ，恒过点 ，C错误，D正确.
故选：D
3．ABD
【分析】对于A项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B项，利用抛物线上点的性质进行
转化再结合图象，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C项，由条件推理得点A的坐标，得到直线
的方程，与抛物线方程联立求得两点即得；对于D项，设出直线 的方程，与抛物线方程联立，得到韦达
定理，将所求式代入化简，分析推理即得.
【详解】
如图，对于A项，因直线 经过点 ,故当且仅当 为通径时， 最短，即 ，即 ，故A项
正确；
对于B项，由抛物线定义知 ，故 ，由图知，当且仅当 三点共线时，
取得最小值，
即 ,故B项正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于C项，因 ,在 中，由 可得： ,即得点 ，
于是 代入 中，整理得： ，解得： ，即得
，
故 ,即C项错误；
对于D项，设直线 ，代入 中，整理得： ，设 ，则得：
，
设在x轴上存在一点 ，则
，
故当 时， ，即存在点 使得 为定值0.故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与抛物线相交有关的最值、弦长和定值问题,属于难题.
求解直线与抛物线相交有关的最值的思路，一般是从抛物线定义转化线段，结合图象，从三点共线角度考
虑；对于相关的定值问题，经常需要直线与抛物线方程联立得出韦达定理，并将所求式进行代入消元整理，
再观察分析可得.
4．CD
【分析】由焦点为 可得抛物线方程，联立直线与曲线方程，可得关于 的一元二次方程，即可得与
有关韦达定理，对A：利用韦达定理与弦长公式计算即可得；对B：利用韦达定理与弦长公式及面积公式
计算即可得；对C：借助导数的几何意义可得 与 的方程，即可得点 坐标，即可得解；对D：由
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学科网（北京）股份有限公司，故可得 .
【详解】
由抛物线的焦点为 ，故 ，即 ，
由题意可知，直线 斜率存在，
设 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，有 ， ，
， ，
对A： ，
当 时，即有 ，故 ，
即 ，即 或 ，故A错误；
对B： ，
故 ，故B错误；
对C：由A(x ,y )， ，即 ，有 ，
1 1
故 ，又 ，故 ，
同理可得 ，设点 ，
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学科网（北京）股份有限公司则有 ，有 ，
，由 ， ，
故 ， ，故点E在一条定直线上且该直线为 ，故C正确；
对D：由 ， ，则 ，
故有 ，即 ，
故 为定值且该定值为 ，故D正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．(1) ；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，
【分析】（1）设P(x ,y )，利用两点间距离公式得 ，然后根据
0 0
分类讨论求解即可；
（2）（ⅰ）设直线 ，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得
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学科网（北京）股份有限公司，写出直线 ， 的方程，进而求解即可；
（ⅱ）由题意点 在以 为直径的圆上，代入圆的方程求得 ，写出直线 的方程，与椭
圆联立，求得点C的坐标，进而可得答案.
【详解】（1）设P(x ,y )是椭圆上一点，则 ，
0 0
因为 ，
①若 ，解得 （舍去），
②若 ，解得 （舍去）或 ，
所以 点的坐标位 .
（2）（ⅰ）设直线 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，①
由 ，得 或 ，
y
易知直线 的方程为y= 1 (x+2)，②
x +2
1
直线 的方程为 ，③
联立②③，消去 ，得 ，④
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学科网（北京）股份有限公司联立①④，消去 ，则 ，
解得 ，即点 在直线 上；
（ⅱ）由图可知， ，即 ，所以点 在以 为直径的圆上，
设 ，则 ，所以 ，即 .
故直线 的方程为 ，
直线 的方程与椭圆方程联立，得 ，因为 ,
所以 ，所以 ,故 .
6．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意，列出 的方程组求出 得解；
（2）设直线 的方程为 ，可得 的方程 ，分别与双曲线方程联立，结合韦达
定理求出点 的坐标，表示直线 的方程，令 求得 是定值.
【详解】（1）设双曲线 的两渐近线方程分别为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司点 到双曲线两渐近线的距离乘积为 ，
由题意可得： ，解得 ， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
由 ， 互相垂直得 的方程 ，
联立方程得 ，消 得 ，
成立，所以 ， ，
所以点 坐标为 ，
联立方程得 ，所以 ， ，
所以点 坐标为 ，
根据对称性判断知定点在 轴上，
直线 的方程为 ，
则当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 恒过定点，定点坐标为 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法再联立双曲线方程从而解出点 的坐标，再得
到直线 的方程，最后令 即可得到其定点坐标.
7．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由点 ， 的坐标可知 ，结合离心率可得 ，即可得 ，即可得双曲线方程；
（2）设出M(x ,y )，N(x ,y )，可表示出直线 与 的方程，借助联立直线l与G所得韦达定理计
1 1 2 2
算即可得证点 在定直线上；由双曲线的对称性可得点 亦在该直线上，借助韦达定理，通过计算
⃗F P⋅⃗F Q的值从而得证.
2 2
【详解】（1）由点 ， 的坐标可知 ，
离心率为 ，故 ，所以b=c2-a2=3，
所以双曲线 方程为 ；
{
x=my-5
（2）（ⅰ）设直线 为：x=my+5，联立双曲线 得 x2 y2 ，
- =1
16 9
消去 得：(9m2-16)y2+90my+81=0，
根据题意得： ，Δ=8100m2-4×81(9m2-16)=64×81(1+m2)>0
-90m 81
设M(x ,y )，N(x ,y )，则y + y = ，y y = ，
1 1 2 2 1 2 9m2-16 1 2 9m2-16
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学科网（北京）股份有限公司-160 400+144m2 16
x +x = >0，x x =- >0，故m2< ，
1 2 9m2-16 1 2 9m2-16 9
y x ❑ 2-16 y ❑ 2
直线 ：y= 1 (x+4)，因为 在 上，所以 1 = 1 ，
x +4 16 9
1
9(x -4) y
直线 ：y= 1 (x+4)，直线 ：y= 2 (x-4)，
16 y x -4
1 2
9(x -4) y
令 1 (x+4)= 2 (x-4)，
16 y x -4
1 2
9(x-4) y y y y
= 1 2 = 1 2
可得
16(x-4) (x -4)(x -4) x x -4(x +x )+16
1 2 1 2 1 2
81
9m2-16 81
= =-
，
-400+144m2 160 16
+4× +16
9m2-16 9m2-16
解得 ，故点 在直线 上；
（ⅱ）由双曲线对称性可知，点 也在直线 上，
设P (16 ,y ) ，Q (16 ,y ) ，点 在直线 上，所以y = 36 × y 1 ，
5 3 5 4 3 5 x +4
1
( y ) 36 y
点 在直线AN y= 2 (x+4) 上，所以y = × 2 ，
x +4 4 5 x +4
2 2
⃗F P⋅⃗F Q= ( - 9 ,y ) ⋅ ( - 9 ,y ) = 81 + y y = 81 + 1296 × y 2 × y 1
2 2 5 3 5 4 25 3 4 25 25 x +4 x +4
2 1
81
81 1296 y y 81 1296 9m2-16
= + × 1 2 = + ×
25 25 x x +4(x +x )+16 25 25 400+144m2 160
1 2 1 2 - -4× +16
9m2-16 9m2-16
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学科网（北京）股份有限公司81 1296 ( -81 )
= + × =0，所以PF ⊥QF .
25 25 1296 2 2
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为(x ,y )，(x ,y )；
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（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
8．(1)证明见解析
(2)0
(3)存在
【分析】（1）设 ，由题意可证得点A，B都在直线 上，直线l过
点 ，可得 ，即可证明点E恒在定直线 上．
（2）法一：设 ，由 可得 ，将其带入双曲线方程可得 ，同
理可得 ，由根与系数的关系可得 ．
法二：由题意知，设l的方程： ，联立直线与双曲线的方程，设 ，由 可得
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学科网（北京）股份有限公司，同理 ，将韦达定理代入 即可得出答案.
（3）设 ，与 联立，设 ，表示出 ，将韦达定理代入化简即
可得出答案.
【详解】（1）证明：设 ，
由题意得：切线EA的方程为： ，将点E带入得： ，
同理可得： ，易知点A，B都在直线 上，
所以直线l的方程为： ，
因为直线l过点 ，所以 ，
所以点E恒在定直线 上．
（2）法一：设 ，因为 ，所以
整理得
因为点A(x ,y )在双曲线上，所以 ，
1 1
整理得 ，
同理可得 ，
所以， 是关于x的方程 的两个实根，
所以 ．
法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程： ，
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学科网（北京）股份有限公司联立 得： ，
所以 ，
设 ，因为 ，所以 ，所以 ，
同理 ，
所以
.
（3）设 ，与 联立得：
，
，
因为直线L的方程为 ，所以 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
故存在 ，使得 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
规律方法：
动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，
得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于
零，得出定点．
专题精练
一、单选题
1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆 的左、右顶点分别为 ，点
是椭圆 上异于 的点， 为平面内一点，且满足 ，过点 作直线 的垂线与直线
交于点 ，则 （ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
2．（2024·甘肃定西·一模）已知椭圆 的离心率为 是 上任意一点， 为坐标原点，
到 轴的距离为 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． 为定值 B． 为定值
C． 为定值 D． 为定值
3．（2024·湖北黄石·三模）已知 为双曲线 上的动点， ， ，直线 ：
与双曲线的两条渐近线交于 ， 两点（点 在第一象限）， 与 在同一条渐近线上，则
的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线 ，过动点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线
相切于点 ，则 面积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5．（2024·浙江·模拟预测）设点 ， ， 是抛物线 上3个不同的点，且 ，若抛物线上存
在点 ，使得线段 总被直线 平分，则点 的横坐标是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．（2024·河北沧州·三模）已知椭圆 的上顶点、左顶点为 为椭圆 上异于点
的两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线 的斜率之和为 ，则直线 恒过定点
B．若直线 的斜率之积为 ，则直线 恒过定点
C．若直线 的斜率之和为 ，则直线 恒过定点
D．若直线 的斜率之积为 .则直线 恒过定点
25 / 54
学科网（北京）股份有限公司7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为F，动点M，N在直线 ： 上，且
，线段 ， 分别交C于P，Q两点，过P作 的垂线，垂足为 .设 的面积为 ，
的面积为 ，则（ ）
A． 的最小值为 B．
C． 为定值 D． 的最小值为
8．（2024·广西南宁·一模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作两条互相垂直的直线 ， 与 交
于 、Q两点， 与 交于 、N两点， 的中点为 的中点为 ，则（ ）
A．当 时， B． 的最小值为18
C．直线 过定点 D． 的面积的最小值为4
三、填空题
9．（2024·安徽合肥·三模）已知曲线 的方程为 ，过 作直线与曲线 分别交于 两点．
过 作曲线 的切线，设切线的交点为 ．则 的最小值为 ．
10．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，
点 在 的左支上， ， ，延长 交 的右支于点 ，点 为双曲线上任意一点
（异于 两点），则直线 与 的斜率之积 .
四、解答题
11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，D为圆O： 上一动点，过点D分别作x轴，y轴的
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学科网（北京）股份有限公司垂线，垂足分别为A，B，连接 并延长至点W，使得 ，点W的轨迹记为曲线 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的两条直线 ， 分别交曲线C于M，N两点，且 ，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线 与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于
P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得 ？若存在，求出点R坐标；若不存在，
请说明理由．
12．（2024·广东韶关·二模）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4， 是其左、
右顶点， 是其右焦点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 是椭圆 上一点， 的角平分线与直线 交于点 ．
①求点 的轨迹方程；
②若 面积为 ，求 ．
13．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线 的方程为 ，虚轴长为2，点 在
上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过原点 的直线与 交于 两点，已知直线 和直线 的斜率存在，证明：直线 和直线 的
斜率之积为定值；
27 / 54
学科网（北京）股份有限公司(3)过点 的直线交双曲线 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，求证： 的中点为
定点.
14．（2023·湖北·二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，过点 的直线l与C
左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且 ，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
15．（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一
点，且 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率存在的直线 与 交于不同的两点 ，且点 关于 轴的对称点为 ，直线 与
轴交于点 .
（i）求点 的坐标；
（ii）求 与 的面积之和的最小值.
16．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于 两
点，设抛物线 在点 处的切线分别为 和 ，已知 与 轴交于点 与 轴交于点 ，设 与 的交
点为 .
(1)证明：点 在定直线上；
(2)若 面积为 ，求点 的坐标；
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学科网（北京）股份有限公司(3)若 四点共圆，求点 的坐标.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B A ABC BC AD
1．C
【分析】设 坐标为 ， ，所以 是 的中点，可表达出 坐标，根据斜率表达出直
线 ，直线 ，联立解出 点坐标，在表达出 与 解之即可.
【详解】设 坐标为 ，则 ，
根据题意知 ，
，所以 坐标为 ，
直线 斜率为 ，所以直线 方程为 ，
直线 斜率为 ，因为直线 与直线 垂直，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 方程为 ，
联立直线 方程 与 方程 ，
求得 点坐标为 ，则 ， ，
所以 .
故选：C
2．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】观察选项，设 ，从而表示出 ，再利用椭圆离心率的定义求得 ，进而得到椭圆方
程，从而配凑出关于 的式子，由此得解.
【详解】依题意，设 ，则 ，
因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 ，即 ，即 ，
所以 ，故D正确，显然ABC错误.
故选：D.
3．D
【分析】先证明线 是双曲线 的切线，线段 的中点为 ，再根据
，结合双曲线的性质即可得解.
【详解】因为 为双曲线 上的动点，
所以 ，则 ， ，
联立 ，消 得 ，
因为 ，
且 ，
30 / 54
学科网（北京）股份有限公司所以直线 是双曲线 的切线，切点为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
联立 ，解得 ，
所以 点的坐标为 ，
联立 ，解得 ，
所以 点的坐标为 ，
所以线段 的中点为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，实半轴长为 ，故 ，
则
（当且仅当 时取等号）
，
由题意可得直线 的斜率大于零或不存在，
故 ，当且仅当 为右顶点时取等号，
所以 ，
所以 的最小值为 .
31 / 54
学科网（北京）股份有限公司故选：D.
【点睛】关键点点睛：证明线 是双曲线 的切线，线段 的中点为 ，是解决本题的关
键.
4．B
【分析】设直线 与抛物线联立方程，建立等式化简计算可得 ， ，
同理可得 ， ，有 ，设直线 与抛物线联立方程，建立等式计算可
得 ，而P(x ,y )在直线 , 上，建立等式计算可得 ，根据三角形面积公式计算即可.
0 0
【详解】设 ，
因为点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线 相切于点 ，
所以直线 , 斜率均存在，
故设直线 ，
则 ，
所以 ，因为 ，代入化简得 ，得 ，
所以直线 ，整理得 ，
32 / 54
学科网（北京）股份有限公司设直线 ，同理可得 ，
所以 ，即 ，
设直线 ，
，
所以 ， ，得 ，
因为抛物线 的焦点为 ，
所以设直线 恒过抛物线焦点 ，
而P(x ,y )在直线 , 上，
0 0
所以 ，即 是方程 是方程的两实数根，
所以 ， 解得 ，即
所以 ，
设 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 ，当 时， 面积的最小为 .
故选：B
33 / 54
学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题的关键根据切线方程与抛物线建立等式计算可得 ，直线 与抛物线
建立等式可得直线 经过抛物线的焦点；P(x ,y )在直线 , 上，得 是方程 方程
0 0
的两相异实数根，利用根与系数的关系建立等式求得 ，最后根据三角形面积公式计算可得.
5．A
【分析】
说明直线 过定点 ,并求出 关于点 的对称点代入抛物线即可求解.
【详解】设 ， ， ，
则 ,同理 ，
故直线 方程为： ，
整理得 ,①
由 得 整理得 ,②
由①②两式得 ，即直线 过点 ,
关于点 的对称点即为点 在抛物线上，
代入得 ，解得 .
故选:A.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中的定点问题，关键是利用垂直得斜率的关系进而求出定点坐标.
34 / 54
学科网（北京）股份有限公司6．ABC
【分析】A选项，设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据
得到方程，求出 ，得到直线 恒过定点 ；B选项，在A选项基
础上，得到方程，求出 ，得到恒过定点；C选项，根据斜率公式得到方程，求出 或
，求出恒过定点 ；D选项，根据斜率之积为-1得到方程，求出直线 恒过定点 .
【详解】A选项，易知 ， ，设M(x ,y )，N(x ,y ).
1 1 2 2
依题意，设直线 的方程为 .
， ， ， .
联立 得 .
， .
，
，
.
代入整理，得 .
35 / 54
学科网（北京）股份有限公司， ，
.
直线 恒过定点 ，A正确；
B选项， ，
代入整理，得 ，解得 或 （舍去）.
直线 恒过定点 ，B正确；
C选项，
，
代入整理，得 ，
或 ，恒过定点 或 ，
由于 ，故 舍去，C正确；
D选项， .代入整理，得 ，
解得 或 ，恒过定点 或 .
由于 ，故 舍去，
直线 恒过定点 ，D错误.
故选：ABC.
36 / 54
学科网（北京）股份有限公司【点睛】思路点睛：处理定点问题
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于0，
求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为
常数.
7．BC
【分析】由三角形相似和基本不等式，即可判断A；代入两点间距离公式，化简后，即可判断B；根据直
角三角形的性质，结合B选项，即可判断C；设 ，利用三角函数表示 ，再通过换元，利用导
数判断函数的单调性，即可求函数的最值.
【详解】对于A，易得 ，设 ，则 ，
设 ， ，由三角形相似可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故A错误；
37 / 54
学科网（北京）股份有限公司对于B，设P(x ,y )，则 ，由 ，得 ，
0 0
所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，所以 ，
整理得 ，为定值，故C正确；
对于D，易知 ，设 ，
则 ， ，
设 ，则 ，解得 ，
同理可得 ，
所以 ，
令 ，
则 ，设 ，
38 / 54
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以 在 上单调递减，故 的最小值为 ，故D错误.
故选：BC
【点睛】难点点睛：本题的难点是D选项的判断，需根据 ，转化为三角函数的问题，再利用换
元，转化为一般函数问题，再利用导数判断函数的单调性，即可求最值.
8．AD
【分析】
设直线 和 的方程，与抛物线方程联立，再利用焦半径公式求解弦长，结合基本不等式判断 AB，利用两
点求出直线方程，求解直线恒过定点判断C，将面积分割，结合韦达定理，再利用基本不等式求解最值判
断D.
【详解】对于A，由题意得F(1,0)，设直线 方程为 ，则 方程为 ，P(x ,y )，
1 1
Q(x ,y )， ， ，
2 2
联立直线 方程与抛物线方程 得 .则 ， ，同理
， ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B，由A知， ，
，
39 / 54
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故B错误；
对于C，由A知， ，所以直线GH： ，
令 得 ，所以直线GH恒过定点 ，故C错误；
对于D，由C知直线GH恒过定点 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.故D正确；
故选：AD
【点睛】思路点睛：1.直线与圆锥曲线相交问题时，有时需要考查斜率不存在和存在两种情况，斜率存在
的情况经常和曲线方程联立，利用根与系数的关系解决几何问题；2.一般涉及三角形面积问题时，采用面
积分割法，结合韦达定理，利用基本不等式法求解范围或最值.
9．5
【分析】根据题意，写出过 两点的切线方程，根据其都过 ，进而求得 方程，结合其过点 ，求
得 ，即为 的轨迹方程，再求目标式的最小值即可.
【详解】设 两点坐标为 ，
40 / 54
学科网（北京）股份有限公司故过 点的切线方程为： ，又其过点 ，则 ；
同理，过 点的切线方程为： ，又其过点 ，则 ；
由 以及 可得， 方程为： ，
根据题意可得， 过点 ，则 ，即 ，
故动点 的轨迹方程为： ；
则 ，当且仅当 取得等号.
下证：过抛物线 上的一点(x ,y )的切线方程为： ：
1 1
当 时， ，也即过原点作抛物线切线，显然其为 ，满足 ；
当 时，对 求导可得 ，即 ，
故过点(x ,y )的切线的斜率为 ，
1 1
则过点(x ,y )的切线方程为： ， ，
1 1
又 ，则切线方程为： ；
综上所述：过抛物线 上的一点(x ,y )的切线方程为： .
1 1
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是，能够准确写出过抛物线上一点的切线方程，在小题中可直
41 / 54
学科网（北京）股份有限公司接使用二级结论，从而加快解题速度；二是，根据题意，求出切点弦方程，进而求得 点的轨迹方程；属
综合困难题.
10．2
【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出 和 的边长，再分别利用余弦定理联
立可得 ，最后根据斜率公式求解即可.
【详解】依题意，设双曲线 的半焦距为 ，则 ，
因为 是 的中点，所以 ，故由 得 ，
又因为 ，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以双曲线方程为 ，则 ，
设 ， ， ，
所以 ，
42 / 54
学科网（北京）股份有限公司故答案为：2
11．(1)
(2)证明见解析，
(3)存在，
【分析】（1）设 ，求得D点并代入 ，化简求得曲线C的方程；
（2）设 的方程为 ，直线 的方程为 ，将直线 的方程与曲线C的方程联立，求
得M，N的坐标，对 进行分类讨论，由此证得直线 过定点并求得定点坐标；
（3）假设存在点 使得 ，先求得 ，设出G，H的坐标，由直线SH
和直线SG的方程求得P，Q两点的坐标，结合G在曲线C上求得R点的坐标．
【详解】（1）设 ， ，则 ，
由题意知 ，所以 ，得( ，所以 ，
因为 ，得 ，故曲线C的方程为 ．
（2）由题意可知，直线 不平行坐标轴，
则可设 的方程为： ，此时直线 的方程为 ．
由 ，消去 得： ，
解得： 或 (舍去)，所以 ，
43 / 54
学科网（北京）股份有限公司所以 ，同理可得： ．
当 时，直线 的斜率存在，
，
则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 ．
当 时，直线 斜率不存在，此时直线 方程为： ，也过定点 ，
综上所述：直线 过定点 ．
（3）假设存在点R使得 ，设 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
直线 与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于 轴对称，
设 ，
易知点 ，直线 方程是 ，
令 得点P横坐标 ，
直线 方程是 ，令 得点Q横坐标 ，
由 ，得 ，又 在椭圆上，
44 / 54
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，解得 ，
所以存在点 ，使得 成立．
12．(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；
（2）①易知当 时 ；当 时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线 、 方
程，联立方程组，化简计算求出点T的坐标，即可求解点T的轨迹方程；②利用面积公式建立关于 的方
程，化简计算即可求解.
【详解】（1）由题意知， ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）①：由（1）知， ，设 ，则 ，
易知当 时， ， ，此时 ，
由 ，解得 ，即 ；
当 时， ， ，设直线 的斜率为 ，
45 / 54
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以直线 方程为 ，又直线 方程为 ，
由 ，得 ，即 ，
解得 ，
将 代入直线 方程，得 ，即 ，
又 ，所以 ，
故点 的轨迹方程为 ；
②：由 ，得 ，
又 ，所以 ，得 ，
整理得 ，又 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
由 ，解得 .
【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、动点得轨迹方程以及面积问题，第二问关键是寻找
点 与直线 的斜率之间的关系，即 是求出直线 方程的解题关键，表示出 的代数
式，需要扎实的计算能力才可以化简求解.
46 / 54
学科网（北京）股份有限公司13．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得 ， ，可求得双曲线 的方程为 ；
（2）设出 两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明；
（3）设直线 的方程为 ，求出直线 与 轴的交点分别为 的坐标，联立直线和双曲
线方程利用韦达定理化简即可得出证明.
【详解】（1）因为虚轴长 ，所以 .
又因为点 在双曲线上，所以 ，
解得 .
故双曲线 的方程为 .
（2）证明：如下图所示：
设 ，则
所以
因为 在双曲线 上，所以 ，可得 ；
47 / 54
学科网（北京）股份有限公司于是 ，
所以直线 和直线 的斜率之积为定值，定值是 .
（3）证明：设 ，直线 的方程为 ，如下图所示：
联立 ，消去 整理可得 ①
则
所以 ②
③
直线 的方程为 ，令 ，得点 的横坐标为 ；
同理可得点 的横坐标为 ；
所以
48 / 54
学科网（北京）股份有限公司将①②③式代入上式，并化简得到
所以 的中点的横坐标为 ，
故 的中点是定点 .
14．(1)1
(2)是在定直线上，定直线
【分析】（1）根据题意列出方程组得到 ，设 ， ， ，利用点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出 ， ，设直线l： ， ，设 ， ，联
立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线 与直线 的方程得出 ，进而得证.
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
设 ， ， ，
则 ，
作差得 ，
又MN的斜率 ， ，
49 / 54
学科网（北京）股份有限公司所以 .
（2）∵ ，∴ ， ， ，
直线l： ， ，
设 ， ，
联立 得 ，
所以 ，所以 ，
设直线AN： ，BM： ，
所以 ，
所以 ．故存在定直线 ，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
15．(1)
(2)（i） ；（ii）
【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求 ，由此可得抛物线方程；
（2）（i）设 的方程为 ，联立方程组并化简，设 ，应用韦达定理得
，写出直线 方程，求出它与 轴的交点坐标即得；
（ii）由（i）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．
50 / 54
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以 的方程为： ；
（2）（i）由已知可得直线 的斜率不为0，且过点 ，
故可设的直线 的方程为 ，
代入抛物线 的方程，
可得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ，
不妨设 ，则 ,
所以直线AD的方程为： ，即
即 ，令 ，可得 ，
所以 ，所以
所以 ；
（ii）如图所示，可得 ，
，
所以 与 的面积之和
51 / 54
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 与 的面积之和的最小值为 .
【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，
解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题
易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析
问题解决问题的能力等。
16．(1)证明见解析
(2) 或
(3)
【分析】（1）设 ，利用导数求 和 的方程，进而可得点 的坐标，再联立
直线 、抛物线的方程，利用韦达定理分析求解；
（2）根据面积关系可得 ，结合韦达定理分析求解；
（3）可知抛物线焦点 ，分析可得 是 外接圆的直径，结合垂直关系分析求解.
【详解】（1）由 ，得 ，
设 .
所以 方程为： ，整理得： .
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学科网（北京）股份有限公司同理可得， 方程为： .
联立方程 ，解得 .
因为点 在抛物线内部，可知直线 的斜率存在，且与抛物线必相交，
设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得： ，
故 ，
所以 ，可知 .
所以点 在定直线 上.
.
（2）在 的方程中，令 ，得 ，
所以 面积 .
故 ，
代入 可得： .
整理得 ，解得： 或 .
所以点 的坐标为 或 .
53 / 54
学科网（北京）股份有限公司（3）若 ，则 重合，与题设矛盾.
抛物线焦点 ，由 得直线 斜率 ，
可知 ，
同理 ，所以 是 外接圆的直径.
若点 也在该圆上，则 .
由 ，得直线 的方程为： .
又点 在定直线 上，
联立两直线方程 ，解得 ，
所以点 的坐标为 .
【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键是，引入抛物线焦点 ，利用斜率可得 ，
，可知 是 外接圆的直径，即可得结果.
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