文档内容
第5讲 定点(定直线)问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】定点(定直线)问题..........................................................................................................2
【专题精练】.................................................................................................................................4
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：解析几何中的定点问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，其类型
一般为直线过定点与圆过定点等.
真题自测
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
2．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
考点突破
【考点一】定点(定直线)问题
一、单选题
1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设椭圆 的离心率等于 ，抛物线 的焦点
是椭圆 的一个顶点，A、B分别是椭圆的左右顶点．动点P、Q为椭圆上异于A、B两点，设直线 、
的斜率分别为 ，且 ．则（ ）
A． 的斜率可能不存在，且不为0
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学科网（北京）股份有限公司B． 点纵坐标为
C．直线 的斜率
D．直线 过定点
2．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线 ： ，过直线 ： 上的动点 可作 的两条切线，
记切点为 ，则直线 （ ）
A．斜率为2 B．斜率为 C．恒过点 D．恒过点
二、多选题
3．（2024·云南昆明·模拟预测）设O为坐标原点，直线l过抛物线C： 的焦点F且与C交
于A，B两点（点A在第一象限）， ，l为C的准线， ，垂足为M， ，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若 ，则
D．x轴上存在一点N，使 为定值
4．（2024·安徽安庆·二模）抛物线 的焦点为 ，经过点F且倾斜角为 的直线l与
抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ）
A．当 时，
B． 面积的最大值为2
C．点E在一条定直线上
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学科网（北京）股份有限公司D．设直线 倾斜角为 ， 为定值
三、解答题
5．（2024·浙江杭州·二模）已知 是椭圆 的左，右顶点，点 与椭圆上的点
的距离的最小值为1.
(1)求点 的坐标.
(2)过点 作直线 交椭圆 于 两点（与 不重合），连接 ， 交于点 .
（ⅰ）证明：点 在定直线上；
（ⅱ）是否存在点 使得 ，若存在，求出直线 的斜率；若不存在，请说明理由.
6．（2024·浙江·二模）已知双曲线 左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线
上，且点 到双曲线两条渐近线的距离乘积为 ，过 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线 ， ，
已知 与 双曲线左支交于 ， 两点， 与 左右两支分别交于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若线段 ， 的中点分别为 ， ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点坐标.
7．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的中心为坐标原点，离心率为 ，左、右顶点分别为A(-4,0)，
B(4,0).
(1)求 的方程；
(2)过右焦点 的直线l与G的右支交于M，N两点，若直线 与 交于点 ．
（i）证明：点 在定直线上：
（ii）若直线 与 交于点 ，求证：PF ⊥QF ．
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8．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线 ，点 ，经过点M的直线交双曲线C于
不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线 在曲线
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学科网（北京）股份有限公司上某点 处的切线方程为 ）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N， ，求 的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记 ，
， 的面积分别为 ，问：是否存在常数m，使得 ？若存在，求出m的值；
若不存在，请说明理由．
规律方法：
动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，
得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于
零，得出定点．
专题精练
一、单选题
1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆 的左、右顶点分别为 ，点
是椭圆 上异于 的点， 为平面内一点，且满足 ，过点 作直线 的垂线与直线
交于点 ，则 （ ）
A．12 B．16 C．24 D．32
2．（2024·甘肃定西·一模）已知椭圆 的离心率为 是 上任意一点， 为坐标原点，
到 轴的距离为 ，则（ ）
A． 为定值 B． 为定值
C． 为定值 D． 为定值
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学科网（北京）股份有限公司3．（2024·湖北黄石·三模）已知 为双曲线 上的动点， ， ，直线 ：
与双曲线的两条渐近线交于 ， 两点（点 在第一象限）， 与 在同一条渐近线上，则
的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知抛物线 ，过动点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线
相切于点 ，则 面积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5．（2024·浙江·模拟预测）设点 ， ， 是抛物线 上3个不同的点，且 ，若抛物线上存
在点 ，使得线段 总被直线 平分，则点 的横坐标是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．（2024·河北沧州·三模）已知椭圆 的上顶点、左顶点为 为椭圆 上异于点
的两个不同点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线 的斜率之和为 ，则直线 恒过定点
B．若直线 的斜率之积为 ，则直线 恒过定点
C．若直线 的斜率之和为 ，则直线 恒过定点
D．若直线 的斜率之积为 .则直线 恒过定点
7．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 ： 的右焦点为F，动点M，N在直线 ： 上，且
，线段 ， 分别交C于P，Q两点，过P作 的垂线，垂足为 .设 的面积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司的面积为 ，则（ ）
A． 的最小值为 B．
C． 为定值 D． 的最小值为
8．（2024·广西南宁·一模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作两条互相垂直的直线 ， 与 交
于 、Q两点， 与 交于 、N两点， 的中点为 的中点为 ，则（ ）
A．当 时， B． 的最小值为18
C．直线 过定点 D． 的面积的最小值为4
三、填空题
9．（2024·安徽合肥·三模）已知曲线 的方程为 ，过 作直线与曲线 分别交于 两点．
过 作曲线 的切线，设切线的交点为 ．则 的最小值为 ．
10．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，
点 在 的左支上， ， ，延长 交 的右支于点 ，点 为双曲线上任意一点
（异于 两点），则直线 与 的斜率之积 .
四、解答题
11．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，D为圆O： 上一动点，过点D分别作x轴，y轴的
垂线，垂足分别为A，B，连接 并延长至点W，使得 ，点W的轨迹记为曲线 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的两条直线 ， 分别交曲线C于M，N两点，且 ，求证：直线MN过定点；
(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线 与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于
P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得 ？若存在，求出点R坐标；若不存在，
请说明理由．
12．（2024·广东韶关·二模）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4， 是其左、
右顶点， 是其右焦点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 是椭圆 上一点， 的角平分线与直线 交于点 ．
①求点 的轨迹方程；
②若 面积为 ，求 ．
13．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线 的方程为 ，虚轴长为2，点 在
上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过原点 的直线与 交于 两点，已知直线 和直线 的斜率存在，证明：直线 和直线 的
斜率之积为定值；
(3)过点 的直线交双曲线 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，求证： 的中点为
定点.
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学科网（北京）股份有限公司14．（2023·湖北·二模）已知双曲线C： 的离心率为 ，过点 的直线l与C
左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且 ，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
15．（23-24高二下·四川泸州·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ， 为 上一
点，且 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率存在的直线 与 交于不同的两点 ，且点 关于 轴的对称点为 ，直线 与
轴交于点 .
（i）求点 的坐标；
（ii）求 与 的面积之和的最小值.
16．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于 两
点，设抛物线 在点 处的切线分别为 和 ，已知 与 轴交于点 与 轴交于点 ，设 与 的交
点为 .
(1)证明：点 在定直线上；
(2)若 面积为 ，求点 的坐标；
(3)若 四点共圆，求点 的坐标.
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