文档文本内容
二
轮
二
核
百
心
题物料使用说明
一、使用场景
本资料覆盖高中数学六大模块，200道题目，是一轮复习结束后作为高考前的练习使用，适合学生自我
设定刷题目标，比如考前每日一题或者多题．对于基础薄弱的同学建议优先刷目标90分的题目，目的在于
巩固基础，成绩取得进步之后可尝试刷目标120分甚至140分的题目．
二、适用人群
全体学生
三、模块说明
01
/难度分层
模块作用：每讲题目按照难度分为三个档次：
90分、120分、140分，适合不同基础的同
学使用
02
/考点说明
模块作用：考点详细分解，覆盖全面03
/题型精练
模块作用：精选近2—3年优质高考题及模
拟题，把握高考新动向
04
/进阶练习
模块作用：每一讲的后十题为该模块压轴题，
适合成绩在140分左右的同学目录
二轮核心二百题
目录 1
模块一
函数与导数 13
模块二
立体几何 27
模块三
三角函数与解三角形 41
模块四
概率统计 53
模块五
解析几何 67模块六
数列 84
参考答案与解析 95函数与导数 第13页
模块⼀
目标90分
1.简单的指对比较
2.简单的指对运算
3.简单的指对转化
4.指对互化比较大小
5.对数函数综合求最值
6.零点存在定理
7.由解析式判断函数图象
8.由函数图象判断解析式
9.利用函数性质配对求值
10.半周期条件求值
11.由公切线条件求参
12.利用切线求点到直线距离的最小值
13.已知极值点条件判断参数
14.导数构造比较大小
15.构造同构函数比较函数值大小
16.带绝对值函数的最值问题
17.双绝对值函数综合题
目标120分
18.综合函数性质比较抽象函数值的大小19.综合函数性质解抽象函数不等式
20.构造同构函数比较自变量大小
21.构造同构函数并综合放缩比较自变量大小
22.存在零点求参数范围
23.导数构造解不等式
24.同构函数恒成立求参
25.利用具体函数的单调性和对称性解不等式
26.隐零点求函数最小值
27.简单的恒成立求参和数列不等式
28.含参不等式恒成立证明
29.凹凸性反转证明不等式
30.简单的极值点偏移
目标140分
31.利用最值求参和利用隐零点求参
32.指对同构求参范围
33.极值点偏移
34.双零点含参不等式
35.引元法证明双变量不等式
36.双切线放缩证明双变量不等式
37.换元法解恒成立求参问题
38.零点存在性定理应用
39.含参函数零点个数讨论
40.放缩估值立体几何 第27页
模块⼆
目标90分
41.点线面的基本位置关系
42.平行与垂直的基本判定
43.正三棱柱的外接球体积
44.圆柱和圆锥的基本计算
45.根据三视图求几何体体积
46.圆锥与圆台的基本计算
47.圆台体积计算相关的应用题
48.等体积法求内切球半径
49.正方体中的线面平行和体积问题
50.几何法证明线面平行与线面垂直
目标120分
51.异面直线的简单判断
52.直线位置关系判定
53.正三棱柱中的异面直线成角
54.圆锥中的异面直线成角
55.由已知条件求三棱锥的体积
56.圆柱中的线面垂直与点到平面距离
57.四棱锥模型（底面是矩形）
58.四棱锥模型（底面是平行四边形）59.四棱锥模型（底面是菱形）
60.三棱柱模型（底面有直角）
目标140分
61.正四面体与正四棱锥的组合体
62.二面角中各个夹角的大小关系
63.正方体中的角度最值
64.正方体中的动态二面角
65.直棱柱中的动态问题
66.三棱锥中的动态问题
67.翻折问题（始终有线线垂直）
68.翻折问题（始终有线线平行）
69.底面为半圆弧（始终有垂直）
70.无法建系的问题
三角函数与解三角形 第41页
模块三
目标90分
71.二倍角公式
72.正弦型函数单调区间的求法
73.函数性质
74.图象变换基础
75.辅助角公式
76.换元法求最值77.正余弦定理解三角形
78.面积公式
79.正余弦定理、面积公式
80.中线定理
目标120分
81.由图象求解析式
82.图象变换进阶
83.正弦型函数性质
84.三角恒等变换、图象变换、正弦型函数性质
85.边角互化
86.边角互化、判断三角形形状
87.最值问题 — 转化为三角函数求最值
88.最值问题 — 基本不等式求最值
89.多三角形问题
90.中线定理进阶考法
目标140分
91.正切和差角公式、辅助角公式
92.正弦型函数性质
93.正弦型函数性质综合
94.由图象求解析式
95.函数性质
96.多三角形问题97.多三角形与向量综合
98.边角互化
99.最值问题 — 转化为三角函数求值域
100.多三角形面积最值
概率统计 第53页
模块四
目标90分
101.分层抽样
102.图表中的数字特征
103.频率分布直方图中的数字特征
104.线性回归方程
105.独立性检验的应用
106.分组分配问题
107.排列组合计算古典概型
108.利用分布列求期望
109.二项分布求概率
110.正态分布的性质
目标120分
111.简单随机抽样
112.利用图表判断数字特征
113.线性回归分析
114.独立性检验的计算115.加法原理与乘法原理
116.相邻问题捆绑法
117.补集法
118.分布列的应用
119.二项分布及其应用
120.正态分布及其应用
目标140分
121.特殊元素问题
122.选派问题
123.环排问题
124.递推法
125.多个展开问题
126.展开式系数最值问题
127.赛制问题与期望
128.概率综合
129.非线性回归
130.独立性检验
解析几何 第67页
模块五
目标90分
131.直线方程
132.点到直线距离133.直线与圆的位置关系
134.切线长问题
135.双曲线的渐近线方程
136.抛物线的标准方程
137.抛物线的焦半径
138.齐次方程求离心率
139.椭圆焦点三角形面积
140.第三定义速算离心率
141.中点弦问题
142.抛物线的焦比弦公式
143.抛物线的焦点弦
144.定值问题、最值问题
145.定点问题 — 手电筒模型
目标120分
146.对称问题
147.直线过定点、直线方程、最值问题
148.留一代一求切点弦
149.弦长最值问题
150.齐次方程求离心率
151.抛物线的焦比弦公式
152.抛物线中的基本结论
153.抛物线的弦长154.直线与双曲线的交点个数
155.弦长最值问题
156.面积最值问题
157.定点问题 — 手电筒模型
158.硬解定理
目标140分
159.与切线有关的最值范围
160.与圆有关的距离最值
161.齐次方程求离心率
162.椭圆的参数方程
163.椭圆中的弦长问题
164.弦长最值
165.面积最值问题
166.定直线问题 — 以极点极线为背景
167.定点问题 — 以极点极线为背景
168.定点问题 — 手电筒模型
169.定值问题、范围问题
170.探究型问题 — 先猜后证
数列 第84页
模块六
目标90分
171.等差数列的角标性质172.利用等差数列的角标性质求和
173.等比数列的角标性质
174.等比数列求和
175.公差与公比
176.由 求通项
177.累加法求通项
178.累乘法求通项
179.裂项相消法求和
180.错位相减法求和
目标120分
181.等差数列的性质
182.等差数列前 项和性质
183.等比数列的性质
184.等比数列前 项和性质
185.等差等比综合
186.构造法求通项
187.特征根法求通项
188.分组求和
189.错位相减
190.裂项放缩
目标140分
191.等差数列的性质与基本不等式192.等差数列的函数性
193.等比数列前 项和性质进阶
194.等差等比综合进阶
195.二阶递推求通项
196.奇偶求通项
197.均值不等式放缩
198.等比放缩
199.数列与函数
200.数列与导数综合
第95页
参考答案与解析函数与导数
模块一 函数与导数
目标90分
1.简单的指对比较
1.
设 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.简单的指对运算
2.
地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.震级 用距震中 千米处的标准地震仪所记
录的地震波最大振幅值的对数来表示.里氏震级的计算公式为： （其中常数 是距震中 公里处接收到
的 级地震的地震波的最大振幅； 是指我们关注的这次地震在距震中 公里处接收到的地震波的最大振幅）．地
震的能量 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． （单位：焦耳），其中 为地震震级.
已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 倍，若乙地地震在距震中 公里处接收到的地震波的最大振幅
为 ，则甲地地震在距震中 公里处接收到的地震波的最大振幅为 （ ）
A. B. C. D.
- 13 -题型精练 二轮核心二百题
3.简单的指对转化
3.
设 ， ， 都是正数，且 ，那么 （ ）
A. B. C. D.
4.指对互化比较大小
4. （多选）
已知正数 ， ， 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.对数函数综合求最值
5.
已知 （ ），设函数 ，则 ．
6.零点存在定理
6.
函数 的零点所在的区间为 （ ）
A. B. C. D.
- 14 -函数与导数
7.由解析式判断函数图象
7.
函数 的图象大致为 （ ）
A. B.
C. D.
8.由函数图象判断解析式
8.
已知函数 ， ，则图象为下图的函数可能是 （ ）
A.
B.
C.
D.
- 15 -题型精练 二轮核心二百题
9.利用函数性质配对求值
9.
设 ，则 的值为 ．
10.半周期条件求值
10.
已知对 ， ，当 时， ，则 （ ）
A. B. C. D.
11.由公切线条件求参
11.
已知函数 ， （ ），若经过点 存在一条直线 与 图象和 图象都相切，
则 （ ）
A. B. C. D. 或
- 16 -函数与导数
12.利用切线求点到直线距离的最小值
12.
已知点 ，直线 ： ，则点 到 距离的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
13.已知极值点条件判断参数
13.
设 ，若 为函数 的极大值点，则 （ ）
A. B. C. D.
14.导数构造比较大小
14.
已知函数 的定义域为 ，对任意的 ，有 ，则 （ ）
A. B. C. D.
- 17 -题型精练 二轮核心二百题
15.构造同构函数比较函数值大小
15.
已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
16.带绝对值函数的最值问题
16.
函数 的最小值为 ．
17.双绝对值函数综合题
17.
设函数 ， ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若函数 恰有三个零点，求实数 的取值范围．
- 18 -函数与导数
目标120分
18.综合函数性质比较抽象函数值的大小
18.
已知定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，若 ， ，则
， ， 的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
19.综合函数性质解抽象函数不等式
19.
已知函数 的定义域为 ， ， 是偶函数，任意 ， 满足 ，则不等
式 的解集为 （ ）
A. B. C. D.
20.构造同构函数比较自变量大小
20.
已知 ， ， 且 ，且 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
- 19 -题型精练 二轮核心二百题
21.构造同构函数并综合放缩比较自变量大小
21.
已知 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D. ， 大小关系无法确定
22.存在零点求参数范围
22.
若函数 存在零点，则实数 的取值范围为 （ ）
A. B. C. D.
23.导数构造解不等式
23.
定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函数，则不等式
的解集是 （ ）
A. B. C. D.
24.同构函数恒成立求参
24.
若对于 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 ．
- 20 -函数与导数
25.利用具体函数的单调性和对称性解不等式
25.
已知 ，其中 是自然对数的底数，若 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
26.隐零点求函数最小值
26.
已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 的最小值．
27.简单的恒成立求参和数列不等式
27.
已知函数 ．
（1）若 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）求证： （ 且 ）．
- 21 -题型精练 二轮核心二百题
28.含参不等式恒成立证明
28.
函数 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）求证：当 时， ．
29.凹凸性反转证明不等式
29.
已知函数 （ ）且 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ．
30.简单的极值点偏移
30.
已知函数 ， （ ）．
（1）若方程 存在两个不等的实根 ， ，求 的取值范围；
（2）满足（1）问的条件下，证明： ．
- 22 -函数与导数
目标140分
31.利用最值求参和利用隐零点求参
31.
已知函数 （ ）， ．
（1）若 有唯一的零点，求 的取值范围；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
32.指对同构求参范围
32.
已知函数 ．
（1）若曲线 在点 处切线的斜率为 ，求 的单调区间；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．
33.极值点偏移
33.
已知函数 ， ．
（1）若 在定义域内是减函数，求 的最小值；
（2）若 有两个极值点分别是 ， ，证明： ．
- 23 -题型精练 二轮核心二百题
34.双零点含参不等式
34.
已知函数 ．
（1）求函数 在定义域内的最值；
（2）当 时，若 有两个不同的零点 ， ，求证： ．
35.引元法证明双变量不等式
35.
设函数 （ ）．
（1）当 时，求 的单调区间（ 是 的导数）；
（2）若 有两个极值点 ， （ ），证明： ．
36.双切线放缩证明双变量不等式
36.
已知函数 ．
（1）设曲线 在 处的切线方程为 ，求证： ；
（2）若方程 有两个根 ， ，求证： ．
- 24 -函数与导数
37.换元法解恒成立求参问题
37.
对任意 ，不等式 （ ）恒成立，则正实数 的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
38.零点存在性定理应用
38.
已知函数 ， ．
（1）求证：函数 在区间 上有 个零点；
（2）求证：函数 有唯一的极值点．
- 25 -题型精练 二轮核心二百题
39.含参函数零点个数讨论
39.
已知函数 ．
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）讨论函数 零点的个数．
40.放缩估值
40.
已知函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 在区间 上的单调性；
（2）求证： ．
- 26 -立体几何
模块二 立体几何
目标90分
41.点线面的基本位置关系
41. （多选）
下列推理正确的是 （ ）
A. ， ， ，
B. ，
C. ， ， ，
D. ， ， ， ， ， ，且 ， ， 三点不共线 ， 重合
42.平行与垂直的基本判定
42.
设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 或 ；
④若 ， ， ，则 ．
其中正确命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
- 27 -题型精练 二轮核心二百题
43.正三棱柱的外接球体积
43.
已知正三棱柱 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，则球 的体积为（ ）
A. B. C. D.
44.圆柱和圆锥的基本计算
44.
现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为 ，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为
（ ）
A. B. C. D.
45.根据三视图求几何体体积
45.
某几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积（单位： ）是 （ ）
A. B.
C. D.
- 28 -立体几何
46.圆锥与圆台的基本计算
46.
若用平行于某圆锥底面的平面去截该圆锥，得到的小圆锥与圆台的母线长相等，则该小圆锥与该圆台的侧面积的比值
为（ ）
A. B. C. D.
47.圆台体积计算相关的应用题
47.
最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）．该书第二章为“天时类”，收录了有关降水
量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”．其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆
台形的天池盆收集雨水．已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．当盆中积水深九寸
（注：1尺=10寸）时，平地降雨量是（ ）
A. 9寸 B. 7寸 C. 8寸 D. 3 寸
48.等体积法求内切球半径
48.
如果一个八面体各个面都是全等的正三角形，如图所示，则这个几何体叫正八面体，则棱长为 的正八面体的内切球半
径是 ．
- 29 -题型精练 二轮核心二百题
49.正方体中的线面平行和体积问题
49.
如图，在边长为 的正方体 中， 为 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积．
50.几何法证明线面平行与线面垂直
50.
如图所示，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ，
．
（1）设 ， 分别为 ， 的中点，求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
- 30 -立体几何
目标120分
51.异面直线的简单判断
51.
若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是 （ ）
A. 与 ， 都相交 B. 与 ， 都不相交
C. 至少与 ， 中的一条相交 D. 至 多与 ， 中 的一条相交
52.直线位置关系判定
52.
如图 ， ， ， 分别是菱形 的边 ， ， ， 上的点，且 ， ，
， ，现将 沿 折起，得到空间四边形 ，在折起过程中，下列说法正确的
是（ ）
A. 直线 ， 有 可能平行
B. 直线 ， 一 定异面
C. 直线 ， 一 定相交，且交点一定在直线 上
D. 直线 ， 一 定相交，但交点不一定在直线 上
- 31 -题型精练 二轮核心二百题
53.正三棱柱中的异面直线成角
53.
正三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 成角余弦值为 （ ）
A. B.
C. D.
54.圆锥中的异面直线成角
54.
如图，圆锥的轴截面 为正三角形，其面积为 ，D为弧 的中点， 为母线 的中点，则异面直线 ，
所成角的余弦值为 （ ）
A. B.
C. D.
- 32 -立体几何
55.由已知条件求三棱锥的体积
55.
已知三棱锥 的外接球的表面积为 ， ， ， ， ，则三棱锥 的体
积为（ ）
A. B. C. D.
56.圆柱中的线面垂直与点到平面距离
56.
在如图所示圆柱中， 为圆柱底面的一条直径， 为圆柱的一条母线， 为弧 的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
- 33 -题型精练 二轮核心二百题
57.四棱锥模型（底面是矩形）
57.
如图，在四棱锥 中，侧棱 底面 ，底面 为长方形，且 ， ， 是棱
的中点，过点 作 于点 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值．
58.四棱锥模型（底面是平行四边形）
58.
如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， 平面 ， ， ，
是棱 的中点， 是平面 与棱 的交点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
- 34 -立体几何
59.四棱锥模型（底面是菱形）
59.
如图，四棱锥 的底面 是边长为 的菱形， ，点 是棱 的中点， 平面
．
（1）证明： 平面 ；
（2）当 长度为多少时，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
60.三棱柱模型（底面有直角）
60.
如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值．
- 35 -题型精练 二轮核心二百题
目标140分
61.正四面体与正四棱锥的组合体
61. （多选）
年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥
的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数
学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论．对于该新几何体，则（ ）
A.
B.
C. 新几何体有 个面
D. 新几何体的六个顶点不能在同一个球面上
62.二面角中各个夹角的大小关系
62.
如图，在大小为 的锐二面角 中， ， ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的
中点.记直线 与半平面 的夹角为 ，直线 与半平面 的夹角为 ．若 ，则 （ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 36 -立体几何
63.正方体中的角度最值
63.
在棱长为 的正方体 中，动点 满足 ，则 的最大值为 ．
64.正方体中的动态二面角
64.
如图，在正方体 中， 为线段 上的一个动点， 为线段 上的一个动点，则平面 与
底面 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
- 37 -题型精练 二轮核心二百题
65.直棱柱中的动态问题
65.
如图，在直棱柱 中，底面 是边长为 的菱形， ， .点 是线段 上
的动点（不含端点）．
（1）当 时，求 的值；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值的取值范围．
66.三棱锥中的动态问题
66.
如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，直线 与平面 成 角，
为 的中点， ， ．
（1）若 ，求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
- 38 -立体几何
67.翻折问题（始终有线线垂直）
67.
已知 的各边长为 ，点 ， 分别是 ， 上的点，且满足 ， 为 的三等分点（靠近点 ），
如图（1），将 沿 折起到 的位置，使二面角 的平面角为 ，连接 ， 如图
（2）．
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说
明理由．
68.翻折问题（始终有线线平行）
68.
已知多边形 是边长为 的正六边形，沿对角线 将平面 折起，使得 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ，若存在，请求出 的长度；若不存
在，请说明理由．
- 39 -题型精练 二轮核心二百题
69.底面为半圆弧（始终有垂直）
69.
如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上异于 ， 的一个动点， 平面 ， ，且 ，
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当 为半圆弧的中点时，求二面角 的正弦值．
70.无法建系的问题
70.
如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ， 的中点，
为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 ．
（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为 的中心．若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
- 40 -三角函数与解三角形
模块三 三角函数与解三角形
目标90分
71.二倍角公式
71.
已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
72.正弦型函数单调区间的求法
72.
下列区间中，函数 单调递增的区间是 （ ）
A. B. C. D.
73.函数性质
73.
下列函数中，是奇函数且最小正周期 的是 （ ）
A. B. C. D.
- 41 -题型精练 二轮核心二百题
74.图象变换基础
74.
要得到函数 的图象，只需将函数 图象上 （ ）
A. 各点的横坐标缩短到原来的 倍 ，再向右平移 个单位
B. 各点的横坐标缩短到原来的 倍 ，再向右平移 个单位
C. 各点的横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个 单位
D. 各点的横坐标伸长到原来的 倍，再向右平移 个 单位
75.辅助角公式
75.
函数 的最小正周期和最大值分别是 （ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
76.换元法求最值
76.
已知函数 ，则该函数 （ ）
A. 奇函数，最大值为 B. 偶函数，最大值为 C. 奇函数，最大值为 D. 偶函数，最大值为
- 42 -三角函数与解三角形
77.正余弦定理解三角形
77.
在 中，已知 ， ， ，求 ， ．
78.面积公式
78.
在锐角 中，已知 ， ， ，则 的面积为 （ ）
A. B. 或 C. D.
79.正余弦定理、面积公式
79.
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，面积 ．再从以下两个条件中选择其中一
个作为已知，求三角形的周长．
① ；
② ．
- 43 -题型精练 二轮核心二百题
80.中线定理
80.
在 中， ， ， 是 的中点， ，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
目标120分
81.由图象求解析式
81.
已知函数 的部分图象如图所示，则 ．
82.图象变换进阶
82.
把函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则 （ ）
A. B. C. D.
- 44 -三角函数与解三角形
83.正弦型函数性质
83.
函数① ；② ；
③ 中，周期是 且为奇函数的所有函数的序号是 （ ）
A. ①② B. ② C. ③ D. ②③
84.三角恒等变换、图象变换、正弦型函数性质
84. （多选）
函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，对于函数 ，下列
说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的 图象关于直线 对称
C. 在区间 上 单调递增 D. 的图象关于点 对 称
85.边角互化
85.
在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求 的值及 的
面积．
问题：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
．
- 45 -题型精练 二轮核心二百题
86.边角互化、判断三角形形状
86.
在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ， ， ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
87.最值问题 — 转化为三角函数求最值
87.
在 中，若 ，则 ， 的最大值为 ．
- 46 -三角函数与解三角形
88.最值问题 — 基本不等式求最值
88.
中， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 周长的最大值．
89.多三角形问题
89.
已知 ， ， ，分别为 三个内角 ， ， 的对边，且 ．
（1）求 ；
（2）若 为 边上的中线， ， ，求 的面积．
- 47 -题型精练 二轮核心二百题
90.中线定理进阶考法
90.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， 边上的中线长为 ，则 面积的最大值
为（ ）
A. B. C. D.
目标140分
91.正切和差角公式、辅助角公式
91.
已知 为正整数， ， ，且 ，则当函数 （ ）取得
最大值时， （ ）
A. B. C. D.
92.正弦型函数性质
92.
已知函数 （ ， ）的图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，且 在
上恰好有 个零点，则 ．
- 48 -三角函数与解三角形
93.正弦型函数性质综合
93.
已知函数 （ ， ）图象过 ，在区间 上为单调函数，把 的图象向右
平移 个单位长度后与原来的图象重合．设 ， 且 ，若 ，则 的值
为（ ）
A. B. C. D.
94.由图象求解析式
94.
已知函数 的部分图象如图所示．则满足条件 的最小
正整数 为 ．
95.函数性质
95. （多选）
已知函数 ，则 （ ）
A. 是周期函数 B. 的图象必有对称轴
C. 的增区间为 ， D. 的值域为
- 49 -题型精练 二轮核心二百题
96.多三角形问题
96.
已知在 中， ， ．
（1）求 的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，并求 边上中线的长度．
① ；
②周长为 ；
③面积为 ．
97.多三角形与向量综合
97.
在 中， ， ， ， 在边 上（不与端点重合），延长 到 ，使得 ，若
（ 为常数），则 的长度是 ．
- 50 -三角函数与解三角形
98.边角互化
98.
已知在 中， ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）若 ，求 的周长．
99.最值问题 — 转化为三角函数求值域
99.
在① ；② ；③ 这三个条件中，任
选一个，补充在下面问题中．
问题：在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边， ， ．
（1）求角 ；
（2）求 的最大值．
- 51 -题型精练 二轮核心二百题
100.多三角形面积最值
100.
在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ，边 上的中线长为 ，则 面
积的最大值是（ ）
A. B. C. D.
- 52 -概率统计
模块四 概率统计
目标90分
101.分层抽样
101.
在文明城市创建过程中，某市创建办公室对市区内从事小吃、衣帽、果蔬、玩具等 类商户数进行了统计并绘成如图所
示的条形统计图，对商户进行了文明城市知识教育培训． 年初，该市创建办公室计划从 户商户中，按照商户
类型进行分层抽样，随机抽取 户进行文明城市知识教育培训效果调查，则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别
为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
102.图表中的数字特征
102. （多选）
某学校为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展，制订了一套量化评价标准.如表是该校甲、乙两个班级在某次活动
中的德、智、体、美、劳的评价得分（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（ ）
德 智 体 美 劳
甲班
⼄班
A. 甲班五项得分的极差为 B. 甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数
C. 甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数 D. 甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差
- 53 -题型精练 二轮核心二百题
103.频率分布直方图中的数字特征
103.
某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满
分为 ）作为样本（样本容量为 ）进行统计，按照 ， ， ， ， 的分组作出频率
分布直方图，已知得分在 ， 的频数分别为 ， ．
（1）求样本容量 和频率分布直方图中的 ， 的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
104.线性回归方程
104.
年 月全国两会上，“碳达峰”“碳中和”备受关注．为应对气候变化，我国提出“二氧化碳排放力争于 年前达到
峰值，努力争取 年前实现碳中和”等庄严的目标承诺．在今年的政府工作报告中，“做好碳达峰、碳中和工作”被列
为 年重点任务之一；“十四五”规划也将加快推动绿色低碳发展列入其中．我国自 年开展全民义务植树以来，
全国森林面积呈线性增长，第三次全国森林资源清查的时间为 年，每 年清查一次，历次清查数据如表：
第 次
森林⾯积 （亿平⽅⽶）
经计算得到线性回归直线为 （参考数据： ），据此估算我国森林面积在第几次森林资源
清查时首次超过 亿平方米 （ ）
A. B. C. D.
- 54 -概率统计
105.独立性检验的应用
105.
某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了 人进行调查统计得到下方的 列联
表．则根据列联表可知（ ）
年轻⼈ ⾮年轻⼈ 总计
经常⽤流⾏⽤语
不经常⽤流⾏⽤语
总计
参考公式：独立性检验统计 ，其中 ．
（ ）
A. 有 的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
B. 没有 的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
C. 有 的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
D. 有 的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系
106.分组分配问题
106.
某班 名同学去参加 个社团，每人只参加 个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有
种．（用数字填写答案）
- 55 -题型精练 二轮核心二百题
107.排列组合计算古典概型
107.
“华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有 名高三学生准备 年高考后到“华
东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，
则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
108.利用分布列求期望
108.
已知 的分布列为：
设 ，则 的数学期望 的值是 （ ）
A. B. C. D.
109.二项分布求概率
109.
接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有
的可能 不会感染这种病毒，若有 人接种了这种疫苗，则最多 人被感染的概率为 （ ）
A. B. C. D.
- 56 -概率统计
110.正态分布的性质
110.
某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布 ，已知 ，现随机从这次考试的成绩中抽
个样本，则成绩小于 分的样本个数大约为 （ ）
A. B. C. D.
目标120分
111.简单随机抽样
111.
某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式：
方式一：周一到周五每天培训 小时，周日测试
方式二：周六一天培训 小时，周日测试
公司有多个班组，每个班组 人，现任选两组（记为甲组、乙组）先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每
周培训后测试达标的人数如表：
第⼀周 第⼆周 第三周 第四周
甲组
⼄组
①用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到 ），并据此判断哪种培训方式效率更高？
②在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取 人，求这 人中
至少有 人来自甲组的概率。
- 57 -题型精练 二轮核心二百题
112.利用图表判断数字特征
112.
， 两名同学 次的跳高成绩如图所示，且这 次成绩的平均分分别为 ， ，标准差分别为 ， ，则 （ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
113.线性回归分析
113.
年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在进行临床试验时，对符合一定
条件的 名试验者注射了该疫苗．一周后有 人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗
的人群中抽取 人，分成 组，各组感染人数如表：
调查⼈数
感染⼈数
（1）求 与 的回归方程；
（2）同期，在人数均为 的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为 ；注射疫苗后仍被感
染的人数记为 ，估计该疫苗的有效率．（疫苗的有效率为 ，结果保留 位有效数字）
（参考公式： ， ，参考数据： ）
- 58 -概率统计
114.独立性检验的计算
114.
某学校共有 名学生，其中男生 人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了 名学生
进行调查，月消费金额分布在 ~ 之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所
示：
将月消费金额不低于 元的学生称为“高消费群”．
（参考公式： ，其中 ）
（ ）
（1）求 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在 ， 内的两组学生中抽取 人，再从这 人中随机抽
取 人，记被抽取的 名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望．
（3）若样本中属于“高消费群”的女生有 人，完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为该校学生属于
“高消费群”与“性别”有关？
“ ” “ ”
属于 ⾼消费群 不属于 ⾼消费群 合计
男
⼥
合计
- 59 -题型精练 二轮核心二百题
115.加法原理与乘法原理
115.
中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、
鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同
学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则
不同的选法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
116.相邻问题捆绑法
116.
永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇
葩． 年 月，永定土楼成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特、规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆
形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土
楼依次进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有（ ）种不同
的排法
A.
B.
C.
D.
117.补集法
117.
为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在 天时间内检测 盒 类药， 盒 类药， 盒 类药，若每天只能检测 盒药
品，且 类药不在第 天或第 天检测， 盒 类药中只有 盒在相邻两天被检测，则不同的检测方案的个数是
．
- 60 -概率统计
118.分布列的应用
118.
已知离散型随机变量 的分布列 ， ， ， ， ， ．令 ，则
．
119.二项分布及其应用
119. （多选）
袋子中有 个黑球 个白球现从袋子中有放回地随机取球 次取到白球记 分，黑球记 分，记 次取球的总分数为 ，
则（ ）
A. B. C. 的期望 D. 的方差
120.正态分布及其应用
120. （多选）
“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两
系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂
交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位： ）服从正态分布，其密度曲线函数为
， ，则下列说法正确的是 （ ）
A. 该地水稻的平均株高为
B. 该地水稻株高的方差为
C. 随机测量一株水稻，其株高在 以上的概率比株高在 以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在 和在 （单位： ）的概率一样大
- 61 -题型精练 二轮核心二百题
目标140分
121.特殊元素问题
121.
已知 ， 两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队， 不排两端， 个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有
种．
122.选派问题
122.
为帮助当地老百姓尽快脱贫，某市政府决定选派 名干部（ 男 女）到该市甲、乙两个县去督查扶贫工作，若要求每
个县至少要派 名干部，每个干部必须去两个县中的一个督查，且不能仅仅将 名女干部编为一组去某个县督查，则不
同的派遣方案共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
123.环排问题
123.
人围圆桌就坐，其中有 对夫妻，问：
（1）夫妻相邻的坐法有多少种？
（2）夫妻不相邻的坐法有几种？
- 62 -概率统计
124.递推法
124.
书架上有 本不同的书，把它们全部拿下来，然后再放回书架上，使得没有一本书在原来的位置上，问有多少种不同的
放法？
125.多个展开问题
125.
若 （ ）的展开式中 的系数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
126.展开式系数最值问题
126. （多选）
已知 （ ）的展开式中第 项的二项式系数为 ，且展开式中各项系数和为 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. B. 展开式中偶数项的二项式系数和为
C. 展开式中第 项的系数最大 D. 展开式中的常数项为
- 63 -题型精练 二轮核心二百题
127.赛制问题
127.
甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的 ， ， 三点，第
一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，
下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺
时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为 ， ， ，且甲、乙、丙之间竞答互不影
响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到 场，游戏结束，该选手为晋级选手．
（1）求比赛进行了 场且甲晋级的概率；
（2）当比赛进行了 场后结束，记甲获胜的场数为 ，求 的分布列与数学期望．
128.概率综合
128.
公元 年，法国一位著名的统计学家德梅赫 向另一位著名的数学家帕斯卡 提请了一个问题，
帕斯卡和费马 讨论了这个问题，后来惠更斯 也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优
秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢 （ ）局，谁便赢得全部赌注
，
元．每局甲赢的概率为 （ ），乙赢的概率为 ，且每局赌博相互独立在甲赢了 （ ）局，乙赢了
（ ）局时，赌博意外终止赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢 局则赌博意
外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比 ： 分配赌注．
甲 ⼄
（1）甲、乙赌博意外终止，若 ， ， ， ， ，则甲应分得多少赌注？
（2）记事件 为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当 ， ， 时赌博继续进行下去甲赢得全部
赌注的概率 ，并判断当 时，事件 是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于
，则称该随机事件为小概率事件．（注意：纯粹数学讨论，珍爱生命，远离赌博）
- 64 -概率统计
129.非线性回归
129. （多选）
年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区
年 月至 年 月间，当月在售二手房均价（单位： 万元 平方米 ）的散点图． （图中月份代码 ~ 分别对
应 年 月~ 年 月）
根据散点图选择 和 两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为
和 ，并得到以下一些统计量的值：
注： 是样本数据中 的平均数， 是样本数据中 的平均数，则下列说法正确的是 （ ）
A. 当月在售二手房均价 与 月份代码 呈 负相关关系
B. 由 预测 年 月在售二手房均价约为 万元 平方米
C. 曲线 与 都经过点
D. 模型 回归曲线的拟合效果比模型 的好
- 65 -题型精练 二轮核心二百题
130.独立性检验
130.
第五代移动通信技术（英语： 或 、 ，简
‐
称 或 技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继 （ 、 ）、 （ 、 ）和 （
‐
）系统之后的延伸． 的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设
备连接．某大学为了解学生对“ ”相关知识的了解程度，随机抽取 名学生参与测试，并将得分绘制成如表频数分
布表：
得分
男性⼈数
⼥性⼈数
（1）将学生对“ ”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于 分）和“不太了解”（得分低于 分）两类，完成
列联表，并判断是否有 的把握认为“学生对“ ”的了解程度”与“性别”有关？
不太了解 ⽐较了解 合计
男性
⼥性
合计
（2）以这 名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率，现从该校学生中，有放回的抽取 次，每次
抽取 名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
附： （ ）．
临界值表：
（ ）
- 66 -解析几何
模块五 解析几何
目标90分
131.直线方程
131.
已知直线 过点 ，且与 ， 轴的正半轴分别交于 ， 两点．若 的面积为 （ 为坐标原点），则直线
的方程为 （ ）
A. B. C. D.
132.点到直线距离
132.
已知实数 ， ， 成等差数列，则点 到直线 的最大距离是 （ ）
A. B. C. D.
- 67 -题型精练 二轮核心二百题
133.直线与圆的位置关系
133. （多选）
已知直线 ： 与圆 ： ，点 ，则下列说法正确的是 （ ）
A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切 B. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
C. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离 D. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
134.切线长问题
134.
若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ．
135.双曲线的渐近线方程
135.
已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为 ．
- 68 -解析几何
136.抛物线的标准方程
136.
抛物线 （ ）的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
137.抛物线的焦半径
137.
已知抛物线 ： ， 焦点为 ，点 在 上，且 ，且 的横坐标是 ．
138.齐次方程求离心率
138.
已知双曲线 （ ， ）的右焦点与抛物线 （ ）的焦点重合．抛物线的准线交双曲线
于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
- 69 -题型精练 二轮核心二百题
139.椭圆焦点三角形面积
139.
已知 ， 为椭圆 ： 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边
形 的面积为 ．
140.第三定义速算离心率
140.
已知双曲线 ： （ ， ）， ， 是双曲线 上关于原点对称的两点， 是双曲线 上异于 ，
的一点，若直线 与直线 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值 ，则双曲线的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
141.中点弦问题
141.
已知点 是直线 被 所截线段的中点，则直线 的方程是 ．
- 70 -解析几何
142.抛物线的焦比弦公式
142.
过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，若 ，则 的值为 （ ）
A. B. C. D.
143.抛物线的焦点弦
143.
斜率为 的直线过抛物线 ： （ ）的焦点，且与 交于 ， 两点，若 ，则
， （ 为坐标原点）的面积为 ．
144.定值问题、最值问题
144.
已知抛物线 ： （ ）的焦点 与椭圆 的右焦点重合，点 是抛物线 的准线上任意一点，
直线 ， 分别与抛物线 相切于点 ， ．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明 为定值；
（3）求 的最小值．
- 71 -题型精练 二轮核心二百题
145.定点问题 — 手电筒模型
145.
已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为坐标原点，点 ， 是抛物线 上异于点 的两个不同的动点，
当直线 过点 时， 的最小值为 ．
（1）求抛物线 的方程．
（2）若 ，证明：直线 恒过定点．
目标120分
146.对称问题
146.
若直线 ： 与直线 关于点 对称，则直线 恒过定点的坐标为 ，直线 与 的距离的最大
值 ．
- 72 -解析几何
147.直线过定点、直线方程、最值问题
147.
设直线 ： （ ）．
（1）求证：直线 恒过定点 ，并求出定点 坐标．
（2）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求直线 的方程．
（3）设直线 与 轴、 轴的正半轴交于点 ， ，求当 （点 为（1）中的定点）取得最小值时直线 的方
程．
148.留一代一求切点弦
148.
过点 向圆 引两条切线 ， ，则弦 所在的直线方程为 （ ）
A. B. C. D.
- 73 -题型精练 二轮核心二百题
149.弦长最值问题
149.
已知圆 ： ，直线 ： ，则当 的值发生变化时，直线被圆 所截的弦长的最小值为 ，则 的
取值为（ ）
A. B. C. D.
150.齐次方程求离心率
150.
点 在双曲线 （ ， ）的右支上，其左、右焦点分别为 ， ，直线 与以坐标原点 为圆
心、 为半径的圆相切于点 ，线段 的垂直平分线恰好过点 ，则该双曲线的离心率为 ．
151.抛物线的焦比弦公式
151.
过抛物线 ： （ ）焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，过 ， 分别向 的准线作垂线，垂足分别为
， ，若 与 的面积之比为 ，则直线 的斜率为 （ ）
A. B. C. D.
- 74 -解析几何
152.抛物线中的基本结论
152. （多选）
已知 ， 是抛物线 （ ）上的两点，若直线 过抛物线的焦点 且倾斜角为 ， ，
是 ， 在准线上的射影．则下列命题正确的是 （ ）
A. B.
C. D. 为锐角三角形
153.抛物线的弦长
153.
已知抛物线： （ ），若第一象限的 ， 两点在抛物线上，焦点为 ， ， ，
，则直线 的斜率为 ．
154.直线与双曲线的交点个数
154. （多选）
已知双曲线 ： ，过其右焦点 的直线 与双曲线交于两点 ， ，则 （ ）
A. 若 ， 同在双曲线的右支，则 的斜率大于 B. 若 在双曲线的右支，则 最短长度为
C. 的最短长度为 D. 满足 的直线有 条
- 75 -题型精练 二轮核心二百题
155.弦长最值问题
155.
已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，右顶点 到左焦点的距离为 ，直线 与椭圆 交于点 ，
．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）设直线 ， 的斜率为 ， ．若 ，求 的最小值．
156.面积最值问题
156.
已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，且 与圆 ： 上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， ， 是 的两条切线， ， 是切点，求 面积的最大值．
- 76 -解析几何
157.定点问题 — 手电筒模型
157.
已知椭圆 ： （ ）的焦距为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程．
（2）设椭圆 上存在两点 ， ，使得 的斜率与 的斜率之和为 ，直线 是否过定点？若是，求出定点
的坐标；若不是，说明理由．
158.硬解定理
158.
已知椭圆 ： （ ）过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）过点 的直线 斜率为 ，交椭圆 于不同的两点 ， ，直线 交 于点 ，直线 交 于
点 ，若 ，求 的取值范围．
- 77 -题型精练 二轮核心二百题
目标140分
159.与切线有关的最值范围
159. （多选）
已知点 在圆 上，点 ， ，则 （ ）
A. 点 到直线 的 距离小于 B. 点 到直线 的 距离大于
C. 当 最小时， D. 当 最 大时，
160.与圆有关的距离最值
160.
已知 是圆 ： 上一动点，过圆心 作两条互相垂直的直线 ， ，它们分别交 轴于 点，交
轴于 点，记 中点为 ，则 的最小值是 ，此时圆 上到 的距离等于 的点有 个．
161.齐次方程求离心率
161.
已知椭圆 （ ），焦点 ， （ ）．若过 的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．
- 78 -解析几何
162.椭圆的参数方程
162.
已知椭圆 ： ，过 上一点 （第一象限）的直线 与 轴正半轴， 轴正半轴分别交于点 ， ，若
，则 的值为 ．
163.椭圆中的弦长问题
163.
已知椭圆 的方程为 （ ），右焦点为 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程．
（2）设 ， 是椭圆 上的两点，直线 与曲线 （ ）相切．证明： ， ， 三点共线的充要条
件是 ．
- 79 -题型精练 二轮核心二百题
164.弦长最值
164.
已知 为坐标原点，椭圆 ： ，点 ， ， 为 上的动点， ， ， 三点共线，直线 ， 的斜
率分别为 ， （ ）．
（1）证明： ；
（2）当直线 过点 时，求 的最小值；
（3）若 ，证明： 为定值．
165.面积最值问题
165.
已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，过 的直线交 于 ， 两点， 的中点坐标为
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过原点 的直线 和线段 相交且交 于 ， 两点，求四边形 面积的最大值．
- 80 -解析几何
166.定直线问题 — 以极点极线为背景
166.
已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，椭圆 与 轴交于点 ， （点 在 轴下方）， ，
直径为 的圆过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 点且不与 轴重合的直线与椭圆 交于点 ， ，设直线 与 交于点 ，证明：点 在直线 上．
167.定点问题 — 以极点极线为背景
167.
已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ， ，且 ．
（1）求椭圆 的方程．
（2）若 ， 为 上的两个动点，过 且垂直 轴的直线平分 ，证明：直线 过定点．
- 81 -题型精练 二轮核心二百题
168.定点问题 — 手电筒模型
168.
如图所示：在双曲线 ： 中， ， 分别为双曲线 的左、右两个焦点， 为双曲线上且在第一象限内
的点， 的重心为 ，内心为 ．
（1）求内心 的横坐标；
（2）已知 为双曲线 的左顶点，直线 过右焦点 与双曲线 交于 ， 两点，若 ， 的斜率 ， 满足
，求直线 的方程；
（3）若 ，求点 的坐标．
169.定值问题、范围问题
169.
已知椭圆 ： （ ）， ， 为其左、右焦点，离心率为 ， ．
（1）求椭圆 的标准方程．
（2）设点 （ ），点 在椭圆 上，过点 作椭圆 的切线 ，斜率为 ， ， 的斜率分别为
， ，则 是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）设点 （ ），点 在椭圆 上，点 在 的角分线上，求 的取值范围．
- 82 -解析几何
170.探究型问题 — 先猜后证
170.
已知椭圆 ： （ ）的左、右顶点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ，
，四边形 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为 上异于 ， 的动点，直线 与 轴交于点 ，过 作 ，与 轴交于点 ．试探究在 轴
上是否存在一定点 ，使得 ，若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由．
- 83 -题型精练 二轮核心二百题
模块六 数列
目标90分
171.等差数列的角标性质
171.
在等差数列 中， ，则 （ ）
A. B. C. D.
172.利用等差数列的角标性质求和
172.
设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
173.等比数列的角标性质
173.
在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
- 84 -数列
174.等比数列求和
174.
等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
175.公差与公比
175.
若等差数列 和等比数列 满足 ， ，则 为（ ）
A. B. C. D.
176.由 求通项
176.
已知数列 的首项 ，前 项和为 ，且满足 （ ），则数列 的通项公式
．
- 85 -题型精练 二轮核心二百题
177.累加法求通项
177.
已知数列 满足 ， ，求 的通项公式．
178.累乘法求通项
178.
数列 中，前 项和为 ， （ ）， ，求 的通项公式为 （ ）
A. B. C. D.
179.裂项相消法求和
179.
已知正项等比数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，当 时， ，求数列 的前 项和 ．
- 86 -数列
180.错位相减法求和
180.
已知数列 的前 项和 满足 ， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
目标120分
181.等差数列的性质
181.
已知数列 是等差数列， 为数列的前 项和，且 ，则 （ ）
，
A. B. C. D.
182.等差数列前 项和性质
182.
设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
- 87 -题型精练 二轮核心二百题
183.等比数列的性质
183.
在等比数列 中， ， ，则 值为 ．
184.等比数列前 项和性质
184.
设各项都是正数的等比数列 ， 为其前 项和，且 ， ，那么 ．
185.等差等比综合
185.
设等比数列 的前 项和为 ．若 ， ， 成等差数列，则数列 的公比为 ．
- 88 -数列
186.构造法求通项
186.
在正项数列 中， ， ，且 ，求 的通项公式．
187.特征根法求通项
187.
已知数列 满足 ， ， （ ），则 ．
188.分组求和
188.
已知等比数列 的前 项和 ，其中 为常数．
（1）求 的值．
（2）设 ，若数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，求
的值．
- 89 -题型精练 二轮核心二百题
189.错位相减
189.
已知等差数列 的公差不为零， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前 项和为 ，满足
（ ）．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， （ ），求使得 成立的所有 值．
190.裂项放缩
190.
已知正项数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求 和 ；
（ 2 ） 若 ， 数 列 的 前 项 和 为 ． 记 ，
，求证： ， ．
目标140分
191.等差数列的性质与基本不等式
191.
已知正项数列 中， ，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为 ．
- 90 -数列
192.等差数列的函数性
192.
等差数列 中，若其前 项的和 ，前 项的和 （ ， ， ），则（ ）
A. B. C. D.
193.等比数列的性质进阶
193,
从条件① ，② （ ），③ ， 中任选一个，补充到下面
问题中，并给出解答．
已知数列 的前 项和为 ， ， ．若 ， ， 成等比数列，求 的值．
194.等差等比综合进阶
194. （多选）
已知等差数列 ，其前 项的和为 ，则下列结论正确的是 （ ）
A. 数列 为等差数列 B. 数列 为等比数列
C. 若 ， （ ），则 D. 若 ， （ ），则
- 91 -题型精练 二轮核心二百题
195.二阶递推求通项
195. （多选）
已知 ，且 ，则下列结论正确的是 （ ）
A. B. C. D.
196.奇偶求通项
196.
设各项均为整数的无穷数列 满足： ，且对所有 ， 均成立．
（1）写出 的所有可能值（不需要写计算过程）；
（2）若 是公差为 的等差数列，求 的通项公式．
197.均值不等式放缩
197.
已知等差数列 的公差 为整数，且 ， 是 和 的等比中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求证： ．
- 92 -数列
198.等比放缩
198.
已知数列 的首项为 ， 是 的前 项和．
（1）若 ，求数列 的通项．
（2）若 ，证明： （ ）．
199.数列与函数
199.
已知数列 满足 ， ， ．
（1）求证：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）记 ，求证：对任意 都有 成立；
（3）设 ，若不等式 对于任意的 恒
成立，求正整数 的最大值．
- 93 -题型精练 二轮核心二百题
200.数列与导数综合
200.
已知数列 满足 ，若记数列 前 项和为 ，则对于任意的 ， ．
（1）求证： 是等比数列，并写出 的通项公式和其前 项和 的表达式；
（2）已知数列 满足 ， ），设数列 的前 项和为 .求证： ．
- 94 -函数与导数
模块⼀
参考答案与解析
函数与导数
模块⼀
1.
答案：D
解答：
故选：D．
2.
答案：C
解答：
设甲地地震震级为 ，乙地地震震级为
因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 倍
所以 ，故
又乙地地震在距震中 公里处接收到的地震波的最大振幅为
因为 ，所以
解得
甲地地震在距震中 公里处接收到的地震波的最大振幅为
故选：C．
3.
答案：D
解答：
- 95 -题型精练 二轮核心二百题
设 ， ，且
所以 ， ，
所以
所以
故选：D．
4.
答案：ACD
解答：
正数 ， ， 满足
设
则 ， ，
， ， A正确，B错误
， ， C正确
， ， D正确
故选：ACD．
5.
答案：
解答：
由题意得 ， ， 的定义域为
设 ，
则 ，在 上为增函数
当 即 时，
当 即 时，
故答案为： ．
- 96 -函数与导数
模块⼀
6.
答案：C
解答：
函数 在其定义域上单调递增
，
根据函数零点的判定定理可得函数 的零点所在的区间是
故选：C．
7.
答案：B
解答：
A、C．由函数解析式可以看出函数是偶函数
所以排除A，C选项
B．然后再代入 ，分子趋近于负无穷，分母趋近于
所以得到函数值趋近于负无穷，B选项符合
故本题正确答案为B
故选：B．
8.
答案：D
解答：
A，B． 为偶函数， 为 奇函数
图中函数为奇函数
与 均不是奇函数
故排除A，B项
C．
则 ，与图不符，故排除C项
故选：D．
- 97 -题型精练 二轮核心二百题
9.
答案：
解答：
令 ，则
故
故答案为： ．
10.
答案：B
解答：
对 ，
的周期是
当 时，
故选：B．
11.
答案：D
解答：
，
则 ，则
函数 在 处的切线方程为
由 ，得
由 ，解得 或
故选：D．
- 98 -函数与导数
模块⼀
12.
答案：B
解答：
点 到直线 ： 的 距离为：
令 ，则
由 得
所以当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
所以
所以
故选：B．
13.
答案：D
解答：
若 ，其图象如图（ ），此时 ；若 ，其图象如图（ ），此时， ，综上，
故选：D．
14.
答案：A
解答：
令
则 ，可得函数 在 上单调递增
则 ，得
又
则
则
故选：A．
- 99 -题型精练 二轮核心二百题
15.
答案：D
解答：
设 ， ，则 恒成立
函数 在 上单调递增
， ，
又
故选：D．
16.
答案：
解答：
，
当 时 ，不难得出 单调递减
当 时，
若 ， ，此时 单调递减
若 ， ，此时 单调递增
当 时，
又
函数 的最小值为
故答案为： ．
17.
解答：
（1）当 时，不等式 ，即
- 100 -函数与导数
模块⼀
则 或 或
解得 或 或
故不等式 的解集为
（2）由 ，得
设 ，
如图
要使 与 有 个不同交点，则 ，即
故实数 的 取值范围是
18.
答案：A
解答：
是定义在 上的奇函数，且在 上单调递减，
在 上单调递减，
，
，
故选：A．
19.
答案：D
解答：
因为 是偶函数，所以函数 的图象关于直线 对称，所以
因为任意的 ， 满足
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 等价于
解得
故选：D．
- 101 -题型精练 二轮核心二百题
20.
答案：A
解答：
设 ， ，可得 在 单调递减，在 单调递增
其图象如下
，
，
，
根据图象可得
故选：A．
21.
答案：C
解答：
因为
则
设 （ ）
则
设 （ ）
则
所以 单调递减
所以 ，即 ，故 单调递减
因为
所以
故选：C．
22.
答案：D
解答：
根据题意，函数 ，
其导数
- 102 -函数与导数
模块⼀
若 ，即 ，则有
在区间 上， ， 为减函数
在区间 上， ， 为增函数
则 ， 时 ，
若函数 存在零点，必有 ，则
即 的取值范围为
故选：D．
23.
答案：C
解答：
设 ，则
对任意实数 ，有
，即 在 上单调递减
为奇函数
，即
不等式 等价于 ，即
在 上单调递减，
不等式的解集是
故选：C．
24.
答案：
解答：
对于 ，不等式 恒成立
显然当 时， ，不等式转化为 恒成立
令 ，即 在 上恒成立
又 ，令 ，解得
当 时， ，则 单调递减
当 时， ，则 单调递增
又当 时， ，当 时，
- 103 -题型精练 二轮核心二百题
要使 在 上恒成立
只需 ，即 在 上恒成立
所以 ，又 ，所以
故 的最大值为
故答案为： ．
25.
答案：A
解答：
则 ， ，
，
， 单调递增
而 ，故 时 ， ， 时，
故 在 递减，在 递增
故
故 在 上 单调递增
，则
由 ，得：
故 ，即 （ ）
令 （ ），则
故 在 单调递增
时，
故 时 ， ， 时，
故 的解集是
故选：A．
26.
解答：
（1）
当 时， ，当 时，
所以函数 的单调减区间是 ，单调增区间是
（1）由（1）可得
有 ，当且仅当 时，等号成立
- 104 -函数与导数
模块⼀
所以
当且仅当 时，等号成立
设 ，
所以 在 上是增函数
又 ，
由零点存在性定理，存在唯一 ，使得
所以当 时，函数 取得最小值
27.
解答：
（1） ， 恒成立，即 恒成立
设 （ ），
当 时， ， 在 上单调递增， 满足条件
当 时，令 ，得 ，当 时， ；当 时，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
，与已知矛盾
综上所述， 的取值范围是
（2）证明：由（1）可知，当 ， 时
即 对 恒成立，故有
令 （ ），得
分别令 ， ， ，
将 个不等式相加得
故原不等式成立
28.
解答：
（1）函数 的定义域是 ．由 ，得
当 时，导数小于 ；当 时，导数大于
所以 的单调递减区间 ， 的单调增区间
（2）要证 ，即证 ，即证 ，设
则
- 105 -题型精练 二轮核心二百题
由（1）知 ，即
于是，当 时， ， 单调递增
当 时，导数小于 ， 单调递减
时，
所以当 时，
29.
解答：
（1）依题意， ，又 ，解得
，
令 ，解得 ，令 ，解得
的单调递增区间为 ，单调递增区间为
（2）要证 成立，只需证 成立
令 ，则
令 ，解得 ，令 ，解得
在 上单调递减，在 上单调递增
又由（1）可得在 上
，故不等式得证
30.
解答：
（1）由题意， ，可得 （ ）
转化为函数 与直线 在 上有两个不同交点
（ ）
所以当 时， ， 在 上单调递增
当 时， ， 在 上单调递减
所以
又
所以当 时，
- 106 -函数与导数
模块⼀
当 时，
故 的取值范围为
（2）因为 ， 是 的两个根
所以 ，
要证 ，需证 ，即证
即只需证明 ，即证
不妨设 ，则需证
令 ，则
所以
所以 在 上单调递增
所以
故 成立，即 成立
31.
解答：
（1）因为 有 唯一零点
故方程 有唯一的实数根，即 有唯一的实数根
令 ， ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得
所以 在 上 单调递增，在 上 单调递减
所以当 时， 的最大值为
又
所以 时，
又当 时，
综上可得， 的 取值范围为 或
（2）因为 恒 成立，即 对 恒成立
所以 对 恒 成立
令 ，则
令 ，则 ，故 在 上单调递减
- 107 -题型精练 二轮核心二百题
又 ，
由零点的存在性定理可知，存在唯一的零点 ，使得 ，即
两边取对数可得， ，即
由函数 为 单调函数，可得
由以上分析可知， 在 上 单调递增，在 上 单调递减
所以
故
所以 的 取值范围为
32.
解答：
（1） ，则 ，即
，令 ，得
当 时， ；当 时，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为
（2）由 ，( )，即
有 ，即
设函数 ，则 ，等价于
当 时， ，所以 单增
要使 ，即使 ，即 恒成立
令 ，
，
在 上单增
所以 的取值范围
33.
解答：
（1）因为 在 上单调递减
- 108 -函数与导数
模块⼀
所以 在 上恒成立，且 不恒为
令 ，则
易得，当 时， ，函数单调递增
当 时， ，函数单调递减
故
故 ，即
所以 的最小值
（2）由题意 在 上有两个实数根 ，
所以 ，
所以 ，
设
要证
即证
需要证
即证
即证
即证 ①
令 ， ，则 恒成立
故 在 上单调递减，且
所以 ，即
因为 ， ，
故①成立
综上：
34.
解答：
函数 的定义域为
- 109 -题型精练 二轮核心二百题
当 时，
此时函数 为增函数，无最值
当 时，令 ，得 或
①若 ，则 ，
由 ，得 ， 单调递增
由 ，得 ， 单调递减
所以函数 在定义域内有最大值 ，无最小值
②若 ，则 ，
由 ，得 ， 单调递增
由 ，得 ， 单调递减
所以 定义域内有最大值 ，无最小值
（2）证明：由（1）知，当 时，函数 在定义域内的最大值为
因为 有两个不同的零点 ， ，所以 ，解得
不妨设
由题意知 ，
所以
即 ，即
设 （ ）
则 （ ）
所以当 时， ， 单调递增
所以
即 ，所以
令 ，则上式可化为
所以
所以
即
所以
- 110 -函数与导数
模块⼀
又因为 恒成立
所以
35.
解答：
（1）当 时，
则
，
显然 递减，且
故当 时， ， 时，
故 在 递增，在 递减
（2）
由题意知 有 个不相等的实数根
即 有 个不相等的实数根 ，
则 ，令 ，则
令 ，解得：
令 ，解得：
故 在 递增，在 递减
故 ，而 时，
故 的取值范围是
由 ，得
故
令 ，则
，
故不等式只要 在 时成立
令 （ ）
（ ），
故 在 上单调递增，即
故 在 上单调递减，即
故原不等式成立
- 111 -题型精练 二轮核心二百题
36.
解答：
（1） ，则
故 ，
故切线方程是 ，即
令 ，则
令 ，解得： ，令 ，解得：
故 在 递减，在 递增
故 ，即
（2）不妨设 ，直线 与 相交于点
又由（1）知 ，则
从而 ，当且仅当 ， 时取等
下面证明：
由于 ，故 ，即证
令 ，则
令 ，解得： ，令 ，解得：
故 在 递减，在 递增
故 ，即 成立，当且仅当 ， 时取等
由于等号成立的条件不同时满足
故
37.
答案：A
解答：
由 恒 成立，
即
故
令 ， ， ，则
易得，当 时 ， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减
故当 时 ， 取 得最小值
所以， ，即
- 112 -函数与导数
模块⼀
因为
所以 ，即
前面不等式转化为 （ ）
令 ，则 （ ）
当 时 ， ，
故
所以
当 时， 在 上 单调递减，在 上单调递增，
令 ， ，则
故 在 上 单调递减
因为
当 时，
即
综上 的范围
故选：A．
38.
解答：
（1）
是 上的一个零点
当 时
，
在 上无零点
当 时，
，
，
又由复合函数的单调性 在 上单调递增
由函数的零点存在定理可得， ，使
则 在 单调递减，在 单调递增
，
由函数的零点存在定理， 使得
- 113 -题型精练 二轮核心二百题
综上所述，函数 在区间 上有 个零点
（2）证明： ，
令 ，求导可得
由（1）可得， 在 恒大于 ， 在 单调递减，在 单调递增
且在在 内存在零点
在 ， 上单调递增，在 上单调递减
不是变号零点
，
则有 ，
则 为变号零点
当 时， 恒成立
故 在 上无变号零点
综上所述， 有唯一极值点
39.
解答：
（1） 的定义域为
，即 在 上恒成立
（2） 的定义域为 ，
当 时， 恒成立
在 上单调递增
且 时， ； 时 ， 有一个零点
当 时， ，且当 时， ；当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增
①若 ，即 ，
在 上单调递增， ，
在 内有一个零点
又 在 上单调递减，且 ，
- 114 -函数与导数
模块⼀
令 ，
， 在 上单调递减，
即
， ，
在 上只有一个零点
当 时 有两个零点
②若 ，即 ， ， 无零点
③若 ，即 ， ， 有一个零点
综上所述：当 或 时， 有一个零点
当 时， 有两个零点
当 时， 无零点
40.
解答：
（1）
当 ， 时， ，所以 在 单调递增
当
由 ，得 ，所以 在 单调递减
当 时，当 时，
当 时，
所以 在 单调递减，在 单调递增
（2）不等式
即
为此先证明： （ ）
即
由（1）知，当 ， 在 单调递增，
即
令 ，则有 ，故
- 115 -题型精练 二轮核心二百题
由（1）知，当 ， 在 单调递减，
即
令 ，则有 ，故
综上，对 ， 恒成立
所以
- 116 -立体几何
模块⼆
立体几何
模块⼆
41.
答案：AD
解答：
A．根据公理 ，直线上有两个点在平面内，则这条直线在平面内，故A选项正确
B．由于 ，可能 ，故B选项错误
C． ， 两个平面可能重合，故C选项错误
D．由于 ， ， 三点不共线，根据公理 可知，过不同在一条直线上的三个点，有且仅有一个平面
所以 ， 重合，故D选项正确
故选：AD．
42.
答案：D
解答：
①若 ， ， ，则 ， ， ，可得出此 或 ，又因为 ，可得 ，故①是真命题
②若 ， ，由线面平行的性质定理可以得出在 内存在一条线 ，可得出 ，故②是真命题
③若 ， ，由图形即可得出 或 ，故③是真命题
④由 ， 可推出 或 ，又因为 ，可得出 ，故④是真命题
故选：D．
43.
答案：C
解答：
由题意可知正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心
，
外接球的半径
外接球的体积为
故选：C．
- 117 -题型精练 二轮核心二百题
44.
答案：B
解答：
设圆锥的底面圆半径为 ，因为圆锥的高为
体积为 ，解得
所以圆锥的母线长为
如图所示
所以圆锥侧面积为
侧
故选：B．
45.
答案：A
解答：
根据三视图转换为几何体的直观图
该几何体由底面半径为 ，高为 的 个圆锥
和一个底面为等腰直角三角形，高为 的三棱锥组成
故
故选：A．
46.
答案：B
解答：
设圆锥的底面半径为 ，母线长为
则该圆锥的侧面积为
侧
截得的小圆锥的底面半径为 ，母线长为
其侧面积为
侧
从而圆台的侧面积为
圆台侧 侧 侧
所以两者的面积之比为
故选：B．
- 118 -立体几何
模块⼆
47.
答案：D
解答：
如图所示，由题意知天池盆上底面半径为 寸，下底面半径为 寸，高为 寸
由积水深 寸
所以水面半径为 寸
则盆中水的体积为 （立方寸）
所以平地降雨量等于 （寸）
故选：D．
48.
答案：
解答：
如图，连接 ， ， ，可得 ， ， 互相垂直平分
由题意，该正八面体的棱长为
则该正八面体的体积
该八面体的表面积
设正八面体的内切球半径为
，即 ，解得
故答案为： ．
49.
解答：
（1）设 ， 交于点 ，连结
在边长为 的正方体 中， 为 中点
是 中点，
平面 ， 平面
平面
（2）三棱锥 的体积
- 119 -题型精练 二轮核心二百题
50.
解答：
（1）连接 ，易知 ，
又由 ，故
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
（2）如图，取棱 的中点 ，连接 ．依题意得
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
所以 平面
又 平面 ，故
又已知 ， ，所以 平面
51.
答案：C
解答：
A．如图
由题意知 ，
所以 与 可能平行
由题意知 ，
所以 与 可能相交
所以A不正确
B．如图
若 与 ， 都 不相交
由题意知 ，
所以
由题意知 ，
所以
所以
与 和 是异面直线相矛盾
所以B错误
- 120 -立体几何
模块⼆
C．由对B的分析知 至 少与 ， 中 的一条相交
所以C正确
D．如图
由题意知 ，
所以 与 可 相交
由题意知 ，
所以 与 也 可能相交
所以D不正确
故选：C．
52.
答案：C
解答：
B． ，
，则 ，且
又 ，
，则 ，且
，且
四边形 为 平面四边形，故直线 ， 一定共面，故B错误
A．若直线 与 平 行，则四边形 为 平行四边形，可得 ，与 矛盾，故A错误
C、D．由 ，且 ， ， ，可得直线 ， 一定相交，设交点为
则 ，又 平面 ，可得 平面 ，同理， 平面
而
平⾯ 平⾯
，即直线 ， 一定相交，且交点一定在直线 上 ，故C正确，D错误
故选：C．
- 121 -题型精练 二轮核心二百题
53.
答案：C
解答：
如图，把正三棱柱 中补成直三棱柱
取 ，连结 ，则有 ，故 或补角为所求
， ，
由余弦定理可得：
故选：C．
54.
答案：B
解答：
取 的中点 ，连接 ， ，则
为异面直线 与 所成角
设底面圆 的半径为
正 的面积为 ， ，解得
，
由轴截面的性质知，平面 平面
为弧 的中点，
又平面 平面 ， 平面
在 中，
故选：B．
- 122 -立体几何
模块⼆
55.
答案：A
解答：
如图，设三棱锥 的外接球的半径为
三棱锥 的外接球的表面积为
，即
又 ， 为球的直径，则 的中点 为三棱锥 的外接球的球心
在 中， ， ， ，
取 中点 ，连接 ， ，则 ， 平面
，则 到平面 的距离为
三棱锥 的体积为
故选：A．
56.
解答：
（1）由圆的性质可知
由 为圆柱的一条母线，可知 平面
又因为直线 在平面 内，所以
因为 ， ， ， ， 平面 ，所以 平面
（2）由 平面 ， 平面 ，所以
由 ，在 中，可得
在 中，
设点 到平面 的距离为
，
由 ，有 ，可得
故点 到平面 的距离为
57.
解答：
（1） 底面 ， 平面
， 底面 是长方形，
- 123 -题型精练 二轮核心二百题
又 ， 平面
平面 ，
， 为 的中点，
， 平面
，又 ，
平面
（2）由题意知 ， ， 两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系
则 ， ， ，
，
设直线 与平面 所成角为
由（1）知 是平面 的法向量
，
直线 与平面 所成角的正弦值为
（3）由（2）知， ， ，
设平面 的法向量
则 ，取 ，得
由（1）知 平面 ， 是平面 的法向量
设二面角 的平面角为 ，由图知 是锐角
二面角 的余弦值为
58.
解答：
（1） 四棱锥 的底面 是平行四边形， 平面
， ， 是棱 的中点， 是平面 与棱 的交点
- 124 -立体几何
模块⼆
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量
则 ，取 ，得
设平面 的法向量
则 ，取 ，得
， 平面 平面
（2） ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，平面 的法向量
则 ，取 ，得
，取 ，得
设二面角 的平面角为
则二面角 的余弦值为
59.
解答：
（1）连结 ， ，交于点 ，连结
四棱锥 的底面 是边长为 的菱形，点 是棱 的中点
平面 ， 平面
平面
四棱锥 的底面 是边长为 的菱形， ，点 是棱 的中点
， 平面 ， ，
- 125 -题型精练 二轮核心二百题
以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系
设当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为
， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量
则 ，取 ，得
解得 或
当 长度为 或 时，直线 与平面 所成角的正弦值为
60.
解答：
（1） 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面
平面 ，
， 四边形 是菱形，
， 平面
平面 ， 平面 平面
（2）设 ，由（1）知 平面 ，
， 与平面 所成角为
由 ，得
与平面 所成角的正弦值为 ，
， ， 为正三角形
以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系
则 ， ， ，
，
由 平面 知 为平面 的一个法向量
设平面 的法向量
则 ，取 ，得
- 126 -立体几何
模块⼆
设二面角 的平面角为
则
二面角 的余弦值为
61.
答案：ABD
解答：
如图
对于 ， ，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等
取 ， 的中点 ， ，连接 ， ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，故选项A，B正确
对于C，新几何体为三棱柱，有 个面，故选项C错误
对于D，新几何体为斜三棱柱，没有外接球，故选项D正确
故选：ABD．
62.
答案：A
解答：
如图所示，构造直三棱柱
由题意得： ， ，
在 中， ，
，
， ，
，
故选：A．
- 127 -题型精练 二轮核心二百题
63.
答案：
解答：
正方体 中， ，动点 满足
所以点 在以 为直径的球面上，画出图形，并建立空间直角坐标系，如图所示
由图形知，当点 在 正下方时， 取得最大值
此时 ， ，
所以 ，
由 ，所以
即 的最大值为
故答案为： ．
64.
答案：A
解答：
在正方体 中， 为线段 上的一个动点
为线段 上的一个动点
当 与 重合时，平面 即为平面
此时平面 与底面 所成的二面角的平面角为 ，余弦值为
当 与 重合， 与 重合时，平面 是平面
此时平面 与底面 所成的锐二面角的平面角为 ，余弦值为
平面 与底面 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是
故选：A．
- 128 -立体几何
模块⼆
65.
解答：
（1）如图
作 中点 ，连接 ，
因为 ，
所以
在菱形 中 ， 为 中点
所以
因为 ， ， 平面
所以 平面 ，又因为 平面
所以 ，所以
因为 为 中点，则 为 中点，即
（2）连接 ， 交于点 ，连接 ， 交于点
棱柱 为直棱柱，且底面 为棱形
， ， 两两垂直
以 为坐标原点， ， ， 为 ， ， 轴建立如图所空间直角坐标系
易解得 ，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设 （ ），解得
则
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为
则
取 ，则 ，取 ，则
， ，
设平面 与平面 所成锐二面角为
则
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值的取值范围为
- 129 -题型精练 二轮核心二百题
66.
解答：
（1） ， ， 为 的中点
， ， 平面
直线 与平面 所成角是
设 ，则 ，
由余弦定理得 或
若 ，则
在 中， ，
又 ，
平面
平面 平面
（2）若 ，则
，
设 是 到面 的距离， 是 到面 的距离
则
由等体积法，
解得 ，
设直线 与平面 所成角为
则
直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是
67.
解答：
（1） 正 的边长为 ，且
，
中， ，由余弦定理得
- 130 -立体几何
模块⼆
，
折叠后，仍有
二面角 成直二面角， 平面 平面
又 平面 平面 ， 平面 ，
平面
（2）假设在线段 上存在点 ，使直线 与平面 所成的角为
如图，作 于点 ，连接 ，
，
由（1）得 平面 ，而 平面
， 是平面 内的相交直线
平面
由此可得 是直线 与平面 所成的角，即
设 （ ），则 ，
在 中， ，
在 中， ，
由 ，得
解得 ，满足 符合题意
在线段 上存在点 ，使直线 与平面 所成的角为 ，此时
68.
解答：
（1）在正六边形 中，连接 ，与 交于点 ，则
，且
，因此
、 平面 ，且
平面
又 平面 ， 平面 平面
（2）建立如图所示空间直角坐标系
则 ， ，
设 （ ）
设平面 的一个法向量为
， ，
- 131 -题型精练 二轮核心二百题
则 ，取 ，得
又 ，
设平面 的一个法向量为
则 ，取 ，得
设二面角 的平面角为
则 ，解得
故在线段 上存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，
69.
解答：
（1）因为 是半圆 的直径， 在半圆 上，所以
因为 平面 ， 平面 ，所以
又因为 ，所以 平面
因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以
所以 平面 ，又因为 平面
所以平面 平面
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直
建立如图所示的空间直角坐标系
因为 为半圆弧的中点，所以
， ，
设平面 和平面 的法向量分别为 ，
，令 ，
，令 ，
设二面角 的大小为
，
故二面角 的正弦值为
- 132 -立体几何
模块⼆
70.
解答：
（1）在三棱柱 中
‐
， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点
所以
又
所以四边形 为平行四边形
所以 ，又
所以
由侧面 是矩形，得
因为
所以
又 为正三角形， 为 的中点
所以
因为 ， 平面 ， 平面
所以 平面
又 平面
所以平面 平面
即平面 平面
（2）连接
因为 平面 ，平面 平面
所以
由
所以四边形 为平行四边形，
设 ，由题意易得 ，
，
由（1）知， 在平面 内的投影即为
在直角梯形 中，
设直线 与平面 所成角为
所以
- 133 -题型精练 二轮核心二百题
三角函数与解三角形
模块三
71.
答案：D
解答：
故选：D．
72.
答案：A
解答：
令 ，
解得 ，
结合选项，可知， ，
故选：A．
73.
答案：C
解答：
A．由于函数 不 是周期函数，故排除A
B．由于 不是周期函数，故排除B
C．由于 为奇函数，且是周期函数，最小正周期为 ，故C满足条件
D．由于 是 奇函数，且最小正周期为 ，故D错误
- 134 -三角函数与解三角形
模块三
故选：C．
74.
答案：A
解答：
A．将函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，即可得到 的图象；再把所得图象向右平移 个单
位，可得函数 的图象，故A符合题意
B．将函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，即可得到 的图象；再把所得图象向右平移 个单
位，可得函数 的图象，故B不符合题意
C．将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，即可得到 的图象；再把所得图象向右平移 个单
位，可得函数 的 图象，故C不符合题意
D．将函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，即可得到 的图象；再把所得图象向右平移 个单
位，可得函数 的 图象，故D不符合题意
故选：A．
75.
答案：C
解答：
最小正周期
最大值为
故选：C．
76.
答案：D
解答：
因为
定义域为 ，关于原点对称
所以该函数为偶函数
令 ，则
- 135 -题型精练 二轮核心二百题
则 是开口向下的一元二次函数
所以当 时
取得最大值
故选：D．
77.
解答：
由正弦定理，得
所以
因为 ，故 或
若 ，则 ，
若 ，则 ，
综上可得： ， ；或 ，
78.
答案：C
解答：
在 中 ，由余弦定理得
所以
解得 或
当 时， ，此时 为钝角，不合题意
当 时， 为 锐角三角形， 的面积
故选：C．
79.
解答：
①选
由正弦定理得，
- 136 -三角函数与解三角形
模块三
故 ，
因为
故
所以 ，
故 （ 舍 去）
从而 为 等腰三角形， ，
此时三角形的周长为
②选
所以 ，
故
由正弦定理得， ，则
从而
从而 为 等腰三角形， ，
此时三角形的周长
80.
答案：B
大招解法1：
因为在 中， ， ， 是 的中点，
由中线定理可知：
所以
故选：B．
解答2：
延长 使得 ，连接 ， ，则形成平行四边形
由题意，设 ，则
利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得
所以
故选：B．
81.
答案：
解答：
- 137 -题型精练 二轮核心二百题
设函数 的最小正周期为
由图象可知 ，则
又 过点
，
，
再结合图象，由五点法作图可知 是 的图象在 轴右侧的第一个对称中心点
，
故答案为： ．
82.
答案：B
解答：
逆向：
左移
横坐标变为原来的 倍
故选：B．
83.
答案：D
解答：
①因为
所以此函数的周期 ，为非奇非偶函数
②因为
所以此函数的周期 ，满足 ，为奇函数
③因为
所以此函数的周期 ，满足 ，为奇函数
综上可得，周期是 且 为奇函数的函数的序号有②③
故选：D．
- 138 -三角函数与解三角形
模块三
84.
答案：ABD
解答：
A．因为
其图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象
所以 的最小正周期为 ， A正 确
B．当 时 ，
此时函数取得最大值， 的 图象关于直线 对称， B正 确
C．当 时，
在区间 上 单调递增是不正确的， C错 误
D．当 时 ，
函数 的图象关于点 对 称， D正 确
故选：ABD．
85.
解答：
因为
由正弦定理可得
因为
所以
即 ，
因为
所以
所以
所以
因为
整理得
所以
因为
所以
所以
- 139 -题型精练 二轮核心二百题
所以 ，
若选条件①
因为 ，
所以
所以 ，而
所以
若选条件②
因为
所以
由正弦定理 ，可得
若选条件③
因为 ，
所以
所以 ，解得
所以
所以
86.
解答：
（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
所以， 为锐角，则
因此，
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角
由余弦定理可得
解得 ，则
由三角形三边关系可得 ，可得
，故
- 140 -三角函数与解三角形
模块三
87.
答案： ；
解答：
由正弦定理知，
因为
所以
因为
所以 ，即
因为
所以
因为
所以
所以
因为
所以
所以当 ，即 时
取得最大值，且最大值为
故答案为： ； ．
88.
解答：
（1）设内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
由正弦定理可得
又
为 的内角
- 141 -题型精练 二轮核心二百题
（2）由正弦定理得
，
的周长为
（当 时取等号）
周长的最大值为
89.
解答：
（1）由题意知，
由正弦定理得：
由 得
则
又 ，则
化简得， ，即
又
所以
（2）在 中， 得
则
- 142 -三角函数与解三角形
模块三
由正弦定理得，
设 ，
在 中，由余弦定理得
解得
则 ，
所以 的 面积
90.
答案：D
解答：
设 的中点为 ，连接 延长至点 ，使得 ，连接 ，
则四边形 为平行四边形
由题意可得
由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和
可得
又 ，可得
由
当 时， 取得最大值
故选：D．
91.
答案：C
解答：
已知
所以
所以 ，即
解得 或 （舍去）
则
由于
- 143 -题型精练 二轮核心二百题
所以
则当 ，即 时 ，函数 取得最大值
故选：C．
92.
答案：
解答：
（ ， ）
由题意 ，即
要使 在 上恰好有 个零点，则 与 恰有 个交点
当 ， ，此时
则 ，即
故答案为： ．
93.
答案：C
解答：
函数 （ ， ）图象过 ，故有
，
在区间 上 为单调函数，
把 的图象向右平移 个 单位长度后与原来的图象重合
，
或
当 时 ，
设 ， 且 ，则 ，
- 144 -三角函数与解三角形
模块三
若 ，则
则
当 ，
设 ， 且 ，则 ，
不一定满足
故选：C．
94.
答案：
解答：
记 的 最小正周期为
当 时，
，
，
则
从而
由 ，得
①当 时，得 ，即
解得 ，
此时最小正整数 为
②当 时，得 ，即
解得 ， ，此时最小正整数为
综上①②满足题意的最小正整数 为
- 145 -题型精练 二轮核心二百题
故答案为： ．
95.
答案：ABD
解答：
函数
A． 满足
所以 为周期函数的周期，故 A正确
B．函数满足
所以函数关于 对称，故函数的图象必有对称轴，故 B正 确
C．由 A知 ，函数的周期为
所以：对于 C 中的关系，当 时 ，函数的单调递增区间为 ，显然错误，故 C错 误
D．当 时， ，当 时， ，故 D正 确
故选： ABD．
96.
解答：
（1） ，有
所以 ，故有 或
又因为 ，故 舍去
则
所以
（2）根据上一问，可得
所以 是等腰三角形
所以
可得
当选①时，不符合题目条件 ，故该三角形不存在
当选②时，
所以 ， ，故该 唯一
由中线定理可知，取 边中点 ，有
求得 ，即 边中线长度为
- 146 -三角函数与解三角形
模块三
当选③时，设 ，则 ，故
解得 ，即 ，
设 中点为 ，则在 中
由余弦定理可得
解得
97.
答案：
解答：
， ， 三 点共线
可设 （ ）
，即
若 且 ，又 ， ， 三点共线
，即
，
， ，
设 ， ，则 ，
根据余弦定理可得
，解得 或 （舍去）
的长度为
- 147 -题型精练 二轮核心二百题
故答案为： ．
98.
解答：
（1）由题意及余弦定理得，
所以
化简为 ，解得
故
所以 的面积为
（2）因为
由正弦定理，得
又
所以 ，解得
因为
所以
所以 必为锐角
所以
由余弦定理得，
即 ，解得
当 时， 的周长为
当 时， 的周长为
综上， 的 周长为 或
99.
解答：
（1）选择①：由
可得
即 ，即
- 148 -三角函数与解三角形
模块三
因为
所以 ，故
所以
选择②：由于
由正弦定理可得
由余弦定理，可得
因为
所以
选择③
因为
由正弦定理可得
又
由 ，可得
因为 ，
所以
因为
所以
（2）在 中，由（1）及
故 ，
所以
，其中
因为 ，且 为 锐角
所以存在角 ， ，使得
- 149 -题型精练 二轮核心二百题
所以 的最大值为
100.
答案：C
解答：
由
得
所以
即
所以
所以
又因为
所以 ，即
设中线与 边交于点 ，则
在 中，
化简得
又因为
所以
当且仅当 时取等号
故 面积的最大值为
故选：C．
- 150 -概率统计
模块四
概率统计
模块四
101.
答案：D
解答：
共有 户，需要抽取 户 ，故抽取的比例为
由统计图可知，衣帽类有 户 ，果蔬类有 户
则衣帽类抽样 户 ，果蔬类抽取 户
故选：D．
102.
答案：AC
解答：
对于 ，甲班五项得分的极差为 ，选项 正确
对于 ，计算甲班五项得分的平均数为
甲
乙班五项得分的平均数为
⼄
所以甲班五项得分的平均数等于乙班五项得分的平均数，选项 错误
对于 ，甲班五项得分的中位数是 ，乙班五项得分的中位数是
所以甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数，选项 正确
对于 ，计算甲班五项得分的方差为
甲
乙班五项得分的方差为
⼄
所以甲班五项得分的方差大于乙班五项得分的方差，选项 错误
故选：AC．
103.
解答：
（1）由频率分布直方图得 的频率为
得分在 ， 的频数分别为 ，
，
， ，
- 151 -题型精练 二轮核心二百题
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：
的频率为：
的频率为：
中位数为：
各组的频率依次为： ， ， ， ，
各组的中点横坐标依次为： ， ， ， ，
平均数为：
故本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数分别为 ， ，
104.
答案：C
解答：
由题意可知，
又因为
则
故
令 ，又 为 整数
所以 ， 为整数
故选：C．
105.
答案：A
解答：
由题意可得
根据临界值表知有 的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系
故选：A．
- 152 -概率统计
模块四
106.
答案：36
解答：
由题设可得满足要求的不同方案共有 种
故答案为： ．
107.
答案：B
解答：
假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游
基本事件总数
恰有一个地方未被选中包含的基本事件个数
则恰有一个地方未被选中的概率为
故选：B．
108.
答案：B
解答：
由已知得
故选：B．
109.
答案：A
解答：
由题意可得随机变量服从二项分布 ，则最多 人被感染的概率为
故选：A．
- 153 -题型精练 二轮核心二百题
110.
答案：A
解答：
由题意可得， ，对称轴为
故
成绩小于 分 的样本个数为 个
故选：A．
111.
解答：
①设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 和
则 （小时）
（小时）
据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为 小时和 小时
因 ，据此可判断培训方式一比方式二效率更高
②从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 人
则这 人中来自甲组的人数为
来自乙组的人数为：
记来自甲组的 人为： ，来自乙组的 人为：
， ， ， ，
则从这 人中随机抽取 人的不同方法数有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15
种
其中至少有 人来自甲组的有： ， ， ， ， ， ， ， ， 共9种
故这 人中至少有 人来自甲组的概率
112.
答案：A
解答：
由折线图得 的平均成绩高于 的平均成绩，且 的成绩比 的成绩更稳定
则 ，
故选：A．
- 154 -概率统计
模块四
113.
解答：
（1）由题意得： ，
关于 的 回归方程为
（2）当 时 ，
故 ，又
疫苗的有效率为：
114.
解答：
（1）由题意知
解得
样本平均数为
（2）由题意，从 中抽取 人，从 中 抽取 人，随机变量 的所有可能取值有： ， ， ，
（ ， ， ， ）
所以随机变量 的 分布列为
随机变量 的 数学期望
（3）由题可知，样本中男生 人 ，女生 人 ，属于“高消费群”的 人，其中女生 人 ；得出以下 列联表
“ ” “ ”
属于 ⾼消费群 不属于 ⾼消费群 合计
男⽣
⼥⽣
合计
所以有 的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关
- 155 -题型精练 二轮核心二百题
115.
答案：C
解答：
根据题意，分 种情况讨论
①若甲选择牛，此时乙的选择有 种，丙的选择有 种，此时有 种不同的选法
②若甲选择马或猴，此时甲的选法有 种，乙的选择有 种，丙的选择有 种，此时有 种不同的选法
则一共有 种选法
故选：C．
116.
答案：A
解答：
根据题意，分 步进行分析
①将方形、五角形看成一个整体，与除圆和方形、五角形之外的 个图形全排列，有 种情况
②将圆形安排在第一个或最后一个，有 种情况
则有 种不同的排法
故选：A．
117.
答案：288
解答：
根据题意，先计算 盒 类 药中只有 盒在相邻两天被检测的检测方案数目
分 步分析：先将 盒 类 药， 盒 类 药全排列，有 种 情况，排好后有 个空位可选
再从 盒 类药中任选 盒 ，安排在相邻 天检测，有 种情况
最后和另外 盒 类 药，安排 盒 类 药， 盒 类药的 个空位中，有 种 情况
则有 种检测方案
其中 类药物安排在第 天或第 天的检测方案有 种
故有 种 不同的检测方案
故答案为： ．
- 156 -概率统计
模块四
118.
答案：
解答：
由已知 取值为 ， ， ， ， ，且 ， ， ， ，
则
故答案为： ．
119.
答案：AD
解答：
从袋子中有放回地随机取球 次，则每次取球互不影响
并且每次取到白球的概率相等, 又取到白球记 分
取 次球的总分数，即为取到白球的个数
对于A，每次取球取到白球的概率为
随机变量 服从二项分布 ，故A正确
对于B， ，即 次取到 次白球
概率 ，故B错误
对于C，因为
所以 的期望 ，故C错误
对于D，因为
所以 的方差 ，故D正确
故选：AD．
120.
答案：AC
解答：
A．由正态分布密度曲线函数为
，
得 ，
该地水稻的平均株高为 ，故A正确
- 157 -题型精练 二轮核心二百题
B．该地水稻株高的标准差 ，方差为 ，故B错误
C．根据正态分布的对称性知
，故C正确
D． ，故D错误
故选：AC．
121.
答案：
解答：
从甲、乙、丙三个大人中任取 人“捆”在一起，共有 种不同排法
则 必须在捆绑的两人与另一个大人之间，此时共有 种排法
最后在排好的三个元素所形成的 个空中插入
共有 种不同排法
故答案为： ．
122.
答案：C
解答：
根据题意，分 步进行分析
①将 名干部（ 男 女）分为人数分别为 ， 或 ， 的 组，要求 名女干部不能单独成一组
有 种 分组方法
②将分好的 组全排列，安排到甲、乙两个县去督查扶贫工作，有 种安排方法
则有 种 派遣方法
故选：C．
123.
解答：
（1）把夫妻两人看成一个人，并与其他 人全排列，考虑夫妻之间的顺序
有 种方法
（2）先排其他 人
个元素安排好之后，有 个空位可选，在 个空位中任选 个，安排夫妻
共有 种方法
- 158 -概率统计
模块四
124.
解答：
设 为 个不同元素的错排方案的个数
第一部分：第 个元素位置不动，将前 个元素错排
前 个元素错排的不同的方案为 种
然后第 个元素再和前 个元素交换的方案有 种
则总的不同的方案有 种
第二部分：第 个元素的位置与前 个元素位置之一交换，有 种不同的方案
然后剩余的 个元素错排， 个元素错排的不同的方案为 种
则一共有 种不同的方案
所以 ，
又因为 种， 种
所以 种， 种， 种
故一共有 种不同的方法
125.
答案：C
解答：
（ ）
而 的展开式的通项公式为
故 的展开式中 的系数为
则
故选：C．
126.
答案：BCD
解答：
A．由题意，
所以 （负值舍去）
又展开式中各项系数之和为
所以
所以 ，故A错误
- 159 -题型精练 二轮核心二百题
B．偶数项的二项式系数和为 ，故B正确
C． 展开式的二项式系数与对应项的系数相同
所以展开式中第 项的系数最大，故C正确
D． 的展开式的通项
令 ，解得
所以常数项为 ，故D正确
故选：BCD．
127.
解答：
（1）比赛进行了 场，甲晋级，则甲必须有 场获胜，但一定不是第 场失败
若第 场甲胜，①第 场若没有甲，则第 场必有甲且获胜
概率为
②第 场有甲，则甲必须失败，且第 场甲获胜
概率为
③若第 场甲失败，则第 ， 两场必须有甲且甲获胜
概率为
所以比赛进行了 场且甲晋级的概率为
（2）根据题意， 的可能取值为 ， ， ，
当比赛进行了 场后结束，甲获胜的场数为 时，分两种情况
当 场比赛中甲参加了一场，输了，概率为
场比赛中甲参加了 场，都输了，概率为
三场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到 场
由（1）可知，
所以 的分布列为：
- 160 -概率统计
模块四
所以 的数学期望
128.
解答：
（1）设赌博再继续进行 局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行 局，甲、乙必然有人赢得全
部赌注
当 时，甲以 赢，所以
当 时，甲以 赢，所以
当 时，甲以 赢，所以
所以，甲赢的概率为
所以，甲应分得的赌注为 元
（2）设赌博继续进行 局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢
当 时，乙以 赢，
当 时，乙以 赢，
所以，乙赢得全部赌注的概率为
于是甲赢得全部赌注的概率
求导，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增
于是
故乙赢的概率为
故事件 是小概率事件
129.
答案：BD
解答：
A．散点从左下到右上分布
所以当月在售二手房均价 与 月份代码 呈正相关关系，故 A不 正确
B．令 ，由 可得，
所以可以预测 年 月在售二手房均价约为 万元 平方米 ，故 B正 确
C．非线性回归曲线不一定经过 ，故 C错 误
D． 越 大，拟合效果越好，由 ，故 D正 确
故选： BD ．
- 161 -题型精练 二轮核心二百题
130.
解答：
（1）由题意可得列联表如下
不太了解 ⽐较了解 总计
男性
⼥性
总计
所以有 的把握认为“学生对“ ”的了解程度”与“性别”有关
（2）由题意抽取的 名学生中“比较了解”的频率为
故抽取该校 名学生对“ ”“比较了解”的概率为
所以 ， ， ， ， ，
即 的 分布列如下
所以
- 162 -解析几何
模块五
解析几何
模块五
131.
答案：A
解答：
设直线 的方程为 （ ， ），则 的面积为
①
因为直线 过点
所以
②
联立 ，解得 ，
①②
故直线 的方程为 ，即
故选：A．
132.
答案：C
解答：
由 ， ， 成 等差数列，得
所以
设点 到 直线 的 距离是
则
由 ，即
所以
当且仅当 时 取等号
所以
即点 到 直线 的 最大距离是
故选：C．
133.
答案：ABD
解答：
A．圆心 到直线 的距离
若点 在圆 上，则
- 163 -题型精练 二轮核心二百题
所以
则直线 与圆 相切，故A正确
B．若点 在圆 内，则
所以
则直线 与圆 相离，故B正确
C．若点 在圆 外，则
所以
则直线 与圆 相交，故C错误
D．若点 在直线 上，则 即
所以 ，直线 与圆 相切，故D正确
故选：ABD．
134.
答案：
解答：
因为圆的方程为
所以 ，圆心为
因为直线的斜率为
所以
故答案为： ．
135.
答案：
解答：
由双曲线离心率公式可得 ，再由渐近线方程即可得解
因为双曲线 （ ， ）的离心率为
所以
所以
所以该双曲线的渐近线方程为
故答案为： ．
- 164 -解析几何
模块五
136.
答案：B
解答：
抛物线的焦点坐标为
其到直线 的距离：
解得： （ 舍去）
故选：B．
137.
答案：5
解答：
因为 为抛物线 的焦点
所以
因为 ，点 在 上，可设 （ ）
所以
化简可得 且
所以
故答案为： ．
138.
答案：A
解答：
由已知设抛物线焦点为 ，准线为
双曲线的渐近线是
所以联立得到交点坐标
不妨设 ，
，
，
再由 ，解得
所以离心率为
- 165 -题型精练 二轮核心二百题
故选：A．
139.
答案：
解答：
且 与 均被坐标原点 平分
四边形 为 矩形
不妨设 在第一象限， 在 第三象限
设 ，
则
四边形 的 面积
故答案为： ．
140.
答案：B
大招解法1：
由于 ， 关于原点对称，且
所以由第三定义可知，
所以 ，即
故选：B．
解答2：
由题意，可设点 ， ，
则 ，
两式相减可得
由斜率公式得：
即
双曲线 的离心率为
故选：B．
- 166 -解析几何
模块五
141.
答案：
解答：
设 与 椭圆的交点为 ，
由中点坐标公式可知： ，
则： ，两式相减得：
即：
直线 的 方程为 ，即
故答案为： ．
142.
答案：C
解答：
由抛物线的方程可得：
则可得直线 的方程为： ，由题可知 ，代入抛物线方程消去 可得： ，
设 ，
则 ，
所以
①
所以 ，
由 可 得： ，则
②
联立 可 得： ，
①②
代入抛物线方程可得： ，解得
故选：C．
- 167 -题型精练 二轮核心二百题
143.
答案： ；
解答：
由抛物线的方程可得焦点 的 坐标 ，准线方程为
设 ， ，由题意设直线 的 方程：
联立 ，消 得
可得 ，
所以
所以
故答案为： ； ．
144.
解答：
（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为
所以抛物线的焦点为
所以
所以抛物线的标准方程为
（2）抛物线 的 准线方程为
设
设过点 的 直线方程为
与抛物线方程 联立，消去 得 ：
其判别式 ，令 ，得
由韦达定理知 ，
故 （ 定值）
（3）设 ， ，由 ，得
故
所以 ，代入抛物线方程得
- 168 -解析几何
模块五
所以 ，
因为 ，
所以
当且仅当 时取等号
故 的最小值为
145.
解答：
（1）由已知得，抛物线 的 焦点坐标为
若直线 过 点 ，则直线 的斜率一定不为
不妨设直线 的 方程为
代入抛物线方程 ，可得
设 ，
则 ，
所以
所以当 时 ， 取 得最小值为
所以
所以抛物线 的 方程为
（2）设直线 的方程为 （ ）， ，
联立 ，得
由题意
所以 ，
因为
所以
- 169 -题型精练 二轮核心二百题
所以 （ 不符合题意，舍去）
所以直线 的 方程为
所以直线 恒 过定点
146.
答案： ；
解答：
直线 ： 恒过定点 ，直线 与直线 关于点 对称
故点 关 于点 对称的点为 一定在直线 上，故直线 恒过定点
根据对称性知两条直线 ， 平 行或重合，
当两直线平行，且平行线垂直于直线 时 ，两平行线距离最大，即
故答案为： ； ．
147.
解答：
（1）联立方程组 ，解得
则 恒满足方程 （ ）
故直线 恒 过定点 ，且定点 的 坐标为
（2）当直线 过 原点时， ，则
此时直线 的 方程为：
当直线 不 过原点时，直线 方 程可化为
若直线 在 两坐标轴上的截距相等，则 ，解得
此时所求直线 的 方程为：
综上，所求直线 方 程为： 或
（3）设 ， （ ， ）
则直线 的 方程可设为
又直线 过 点 ，则
且 ，
- 170 -解析几何
模块五
当且仅当 时等号成立
即当 时， 取得最小值，此时直线 方 程为
148.
答案：A
解答：
为圆的切线
以 为圆心， 为半径的圆的方程为
为两圆的公共弦
弦 所在的直线方程为
整理得：
故选：A．
149.
答案：C
解答：
为直线在 轴上的截距
根据数形结合可得
故选：C．
150.
答案：
解答：
由线段 的 垂直平分线恰好过点 ，可得
由直线 与 以坐标原点 为 圆心、 为半径的圆相切于点 ，可得
设 的中点为 ，连接 ，则
又由题知，
所以
因为 为 的 中点
- 171 -题型精练 二轮核心二百题
所以 为 的中点
由中位线定理可得
在 中 ，可得
所以
由双曲线的定义可得
即
则
即有
则
整理得
所以 ，解得 或 （舍去）
故答案为： ．
151.
答案：D
解答：
设 与 的高分别 ， ，则
由抛物线的性质可得 ，
，则
设 的 倾斜角为 ，
， （抛物线焦点弦推论）
所以 ，解得
所以
所以
当 ，这时
故选：D．
- 172 -解析几何
模块五
152.
答案：ABC
解答：
A．设直线 的方程为 ，代入 ，可得
所以 ， ，选项A正确
B．因为 是过抛物线 的焦点的弦
所以由抛物线定义可得
由选项A知， ，
所以
即 ，解得
当 时，
所以
当 时，
所以
又当 时， 也适合上式
所以 ，选项B正确
C．分别过 ， 作准线的出现，过 作 轴的垂线，连接 ， ，如图所示
所以 ，同理可得
所以 ，选项C正确
D．由抛物线的定义可知， ，则
因为
所以 ，则 ，同理可得
因为
所以
所以 为直角三角形，选项D错误
故选：ABC．
153.
答案：
解答：
方法一：设 ， ，直线 的 斜率为
- 173 -题型精练 二轮核心二百题
则 ，
，且
方法二：如图
，
由
即
故答案为： ．
154.
答案：BD
解答：
A．双曲线的渐近线方程为 ，由图象可以看出，当直线 斜率 或 时，点 ， 同在双曲线的右
支，A错误
B．双曲线的实半轴长为 ，双曲线的半焦距为
设双曲线左焦点为 ，连接
则 ，即
又
所以 ，B正确
C．当直线 斜率为 时，不妨取 ， ，则 ，C错误
D．设 ，当直线 斜率不存在，即 时，此时
即当 ， 都在右支时，
即当 时，点 和点 可以都在双曲线的右支上，也可以在双曲线的双支上
根据双曲线的对称性可知，满足 的直线有 条，D正确
故选：BD．
- 174 -解析几何
模块五
155.
解答：
（1）由题意可得： 且
所以 ， ，则
所以椭圆的标准方程为
（2）由题意可知，直线 的 斜率存在且不为
则可设直线 的 方程为： ， ，
联立方程 ，消去 整理可得：
所以 ，
所以
，解得
所以直线 的 方程为： ，直线 过 定点
此时 ，
所以
当且仅当 时 取等号
此时 的最小值为
156.
解答：
（1）由题意，可知抛物线的焦点为
点 与 圆 ： 上 点的最短距离为
- 175 -题型精练 二轮核心二百题
所以
（2）由第一问，可知抛物线方程为
设 ， ， ， ，则
：
同理可得 ：
， 都 过点 ，则
故 ： ，即
联立 ，得 ，
所以
设点 到直线 的距离为 ，则
所以
又因为点 在圆 上
所以
所以，上式
而 ，故当 时， 达到最大，最大值为
157.
解答：
（1）由题意可知， ，
所以焦点坐标为
故
所以
又
所以 ，
所以椭圆 的 方程为
- 176 -解析几何
模块五
（2）当直线 的斜率存在时，设方程为
代入椭圆的方程消去 ，得
设点 ，
则 ，
①
设直线 的斜率与直线 的斜率分别为 ，
根据 ，
则
所以
将 代入，整理化简得
①
即
因为 不 在直线 上
所以
所以
要使 方 程判别式大于 ，需
于是直线 的方程为 ，
所以直线过定点
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
则由 ，解得 ，不合题意
综上所述，直线 过定点
158.
解答：
（1）因为椭圆 ： （ ）过点
所以
又因为以四个顶点围成的四边形面积为
所以
代入
解得
所以椭圆 的标准方程为
（2）根据题意可设直线 的方程为 ，即
当 时，直线 与椭圆 没有交点
而直线 交椭圆 于不同的两点 ，
- 177 -题型精练 二轮核心二百题
所以
设 ，
联立
得
所以
所以
所以
由韦达定理可得
则
直线 的方程为 ，即
直线 的方程为 ，即
因为直线 交 于点
所以在 中令
则 ，即
因为直线 交 于点
所以在 中令
则 ，即
注意到
所以 ， 同号
因为 ，
所以 ， 同号
所以
所以
- 178 -解析几何
模块五
所以
因为
所以
所以
综上所述 ，即实数 的取值范围是
159.
答案：ACD
解答：
由题意得直线 的 方程为
如图所示
A． 到 的距离最大值为 ，A正确
B． 到 的 距离最小值为 ，B错误
C．当 在 时， 最小，此时
D．当 在 时 ， 最大，此时，
故选： ACD．
160.
答案： ；2
解答：
（1）易知，圆 ： 的圆心 ，半径
由已知得： ，且
所以 ， ， ， 四 点共圆，故 点为该圆的圆心
要使 最 小，只需 最小，显然当 ， ， 三点共线时 最小
此时
所以
- 179 -题型精练 二轮核心二百题
（2）由（1）可知，
所以，以 为 圆心，半径为 的圆 的 方程为：
因为
所以 ，
因为
所以圆 上到 的 距离等于 的点有 个
故答案为： ； ．
161.
答案： ；
解答：
如图所示， ，
由勾股定理得： ，
（1）
（2）方法一：显然 ，则
所以
方法二：利用（1）的结论：
所以，
方法三：利用定义：
所以 ，故
故答案为： ； ．
- 180 -解析几何
模块五
162.
答案：
解答：
如图
设 ，
，得
则
设 ，则
，解得
故答案为： ．
163.
解答：
（1）由题意，椭圆半焦距 且
所以
又
所以椭圆方程为
（2）由上一问得，曲线为 （ ）
当直线 的斜率不存在时，直线 ： ，不合题意
当直线 的斜率存在时，设 ，
必要性
若 ， ， 三点共线，可设直线 ： 即
由直线 与曲线 （ ）相切可得 ，解得
- 181 -题型精练 二轮核心二百题
联立 可得
所以 ，
所以
所以必要性成立
充分性：设直线 ： （ ）即
由直线 与曲线 （ ）相切可得
所以
联立 可得
所以 ，
所以
化简得
所以
所以 或
所以直线 ： 或
所以直线 过点 ， ， ， 三点共线，充分性成立
所以 ， ， 三点共线的充要条件是
164.
解答：
（1）证明：设 ， ， 三 点共线，且 在椭圆 上
所以 ， 关 于原点对称，设 ， ，则
所以 ，
即 ，
所以
（2）设 方 程为： ，即
- 182 -解析几何
模块五
联立 ，消 可 得
所以
所以
所以
所以
所以
令 ，则
，当且仅当 ， 时 取等
所以 的 最小值为
（3）证明：因为
所以 或
不妨设 ，
设 ：
联立 ，消 可 得
所以
所以
- 183 -题型精练 二轮核心二百题
所以
165.
解答：
（1）设 ，
可得 ，
两式相减可得
将 ， 代入上式
可得
即
而 ，即有
又 ，即有
解得 ，
则椭圆 的 方程为
（2）由（1）可得 ，直线 的 方程为
联立 解得 或
可设 ，
设 ， ，且直线 的斜率存在，设为 ，方程为 （ ）
联立 ，整理可得 ，则
所以 （ ， 分 别表示 ， 到直线 的 距离）
四边形
四边形
- 184 -解析几何
模块五
令 ， ，则
故
四边形
当且仅当 ，即 ， 时 ，四边形 的面积取得最大值
166.
解答：
（1）由已知可得 ，又直径为 的圆过点 ， ，
所以 ，即
又 ，联立解得 ，
所以椭圆 的 标准方程为
（2）由题意可知，直线 的斜率存在
设其方程为： ， ，
联立方程 ，消去 整理可得：
所以 ，解得
且 ，
因为 ，
所以直线 的 方程为
直线 的方程为 ，联立方程
消去 整 理可得： ，解得
所以
所以 ，即点 在 直线 上
167.
解答：
（1）设椭圆的半焦距为
因为
所以
- 185 -题型精练 二轮核心二百题
则 ，又
所以 ，
故椭圆 的方程为
（2）由题意可得直线 的斜率存在，
设直线 的 方程为 ，设 ，
由 可得
则
且 ，
设直线 ， 的倾斜角分别为 ，
则 ， ，代入 ，
所以
即有
化简可得
则直线 的 方程为
故直线 过 定点
168.
解答：
如图所示
（1）双曲线 ： 的 ， ，
设 ， ， 的内切圆与边 切 于 ，与边 切于 ，与边 切 于
可得 ， ，
由双曲线的定义可得 ，即有
又 ，解得 ，则 的横坐标为
由 与 的 横坐标相同，可得 的 横坐标为
（2）由 ， ，设直线 的方程为
与双曲线的方程 联 立，可得
设 ， ，可得 ，
- 186 -解析几何
模块五
解得
所以直线 的 方程为
（3）设 （ ， ）
则
设 的内切圆的半径为 ，则
于是 ，可得
由
知得
即
又 ，解得
因此 ，解得 ，
即点 的坐标为
169.
解答：
（1）由题设知 ，解得
椭圆 的 标准方程为：
（2） 点 （ ），过点 作椭圆 的切线 ，斜率为
： 且
与 ： 联 立消 得
由题设得
即
点 在椭圆 上
，代入上式得
又由题意得 ，
（定值）
是定值
- 187 -题型精练 二轮核心二百题
（3）由题设知， ，
点 （ ）
的方程为： ，即
的方程为： ，即
点 在 的 角分线上
点 到直线 和直线 的 距离相等
点 在椭圆 上
故得
，
得
的取值范围是
170.
解答：
（1）由已知可得 ，且
则四边形 的 周长为
所以
所以 的方程为：
（2）设点 ，则有
则
所以直线 的 方程为：
令 ，解得 ，即
所以直线 的 方程为：
- 188 -解析几何
模块五
令 ，解得 ，即直线 与 轴交点
所以
设点 ，则 ，
所以
所以
所以
故存在点 满 足题意，此时点 的 坐标为 或
- 189 -题型精练 二轮核心二百题
数列
模块六
171.
答案：B
解答：
由等差数列的性质可得：
所以 ，即 ，
故
故选：B．
172.
答案：C
解答：
因为等差数列 中 ，
所以
即
则
故选：C．
173.
答案：A
解答：
因为数列 是等比数列，且 ，
所以
故选：A．
174.
答案：A
解答：
，
数列 是递增数列
又由题设可得： ，
易得： ，
- 190 -数列
模块六
，
故选：A．
175.
答案：A
解答：
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为
由题意可得 ，
，
故选：A．
176.
答案：
解答：
（ ）
当 时 ，
所以
当 时 ， （ ）
两式相减可得 ，即
所以 ，
又 ，满足上式
所以 （ ）
所以数列 是 首项为 ，公比为 的等比数列
所以
故答案为： ．
177.
解答：
（1）由 ，
- 191 -题型精练 二轮核心二百题
可得 时，
可得
即 ，
178.
答案：B
解答：
当 时 ，
当 时 ，
即
则 ，即
即
所以
当 时 ， 也符合此公式
故选：B．
179.
解答：
（1）设正项等比数列 的 公比为 （ ）
由题设可得： ，解得：
（2）由（1）可得：当 时 ，
当 时 ，
又当 时 ， 也 适合
181.
答案：A
- 192 -数列
模块六
解答：
，
∴ ，即
即 ，故选项A正确
又可知： 且 ，故选项B错误
不一定为
选项C错误
又 ，故选项D错误
故选：A．
182.
答案：A
解答：
得
又 根据等差数列的性质知
， ， ， 成等差数列
，
故选：A．
183.
答案：6
解答：
在等比数列 中， ，
则
故答案为： ．
184.
答案：
- 193 -题型精练 二轮核心二百题
解答：
数列 ， ， ， 成等比数列
因此有 ，即
故 或
又 ，因此 ， ，
故 ，
故答案为： ．
185.
答案：
或
解答：
设数列 的 公比为
①当 时 ， ， ，
此时， ， ， 不能构成等差数列，不符合题意
②当 时
， ， 成等差数列
，又数列 为等比数列
，整理得：
又
，解得： 或
综上可得， 或
故答案为： 或 ．
186.
解答：
由 （ ）
可得
则数列 是首项为 ，公差为 的等差数列
所以
- 194 -数列
模块六
由于 ，可得
187.
答案：
解答：
解法1
（ ）
（ ）
，
数列 是 以 为首项， 为公比的等比数列
等式两边同乘以 ，则
数列 是以 为 首项， 为公差的等差数列
当 时 ，
当 时 ， 符合题意
数列 的 通项公式为
故答案为： ．
解法2
其特征方程为
特征根为
令
则
解得 ，
故答案为： ．
- 195 -题型精练 二轮核心二百题
188.
解答：
（1）因为
所以当 时 ，
当 时 ， ，故
当 时 ， ，故
因为 是 等比数列
所以 ，化简得 ，解得
此时
当 时 ，
当 时 ， ，
所以 满 足题意
（2）因为
所以
因为 ， ， ， ， ，
， ，
所以
189.
解答：
（1）设等差数列 的公差为 （ ），由题意得
即 ，整理得 ，解得
所以
因为 ，所以
当 时，由 ，得 ，即
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以
（2）由 ，得
所以
设
- 196 -数列
模块六
则
两式相减得
所以 ，所以
因为 ，所以
当 时，不满足题意
当 时，满足题意
当 时， ，解得
所以满足题意的所有 的值为 ， ， ．
190.
解答：
（1） ，
，得
当 时 ，有
数列 的 奇数项是以 为首项，以 为公差的等差数列，偶数项是以 为首项，以 为公差的等差数列
则 ，
（2）
时， ， ，
当 时 ，
综上， ，
- 197 -题型精练 二轮核心二百题
191.
答案：
解答：
令 ， ，则 ，即
又
．（当且仅当 时，取“ ”）
故答案为： ．
192.
答案：B
解答：
因为等差数列的前 项和公式是关于 的二次函数
故可设：
所以
①
②
：
① ②
又因为 ，上式取不到等号
故选：B．
193．
解答：
选择① ，
相减可得： ，
，可得：
- 198 -数列
模块六
， ， 成等比数列
， ，解得
选择②
变形得： ，
化为：
数列 是等差数列，首项为 ，公差为
，解得
时，
， ， 成等比数列
， ， ，解得
选择③ ， ，
相减可得：
化为：
可得：
数列 是首项与公差都为1的等差数列
， ， 成等比数列
，
解得
194.
答案：ABC
解答：
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
其前 项和为
A． ，则 （常数）
所以数列 为等差数列，故A正确
B． ，且 （常数）
所以数列 为等比数列，故B正确
- 199 -题型精练 二轮核心二百题
C．由 ， ，得 ，解得 ，
所以 ，故C正确
D．由 ， ，则 ，
将以上两式相减可得：
，又
所以 ，即
所以D不正确
故选：ABC．
195.
答案：BD
解答：
由 ，得
又 ，得 ； ；
所以选项 错误.
猜想
证明：当 时， ，等式成立，假设当 时， 成立
则当 时
有
即当 时等式也成立，所以选项B正确
由题意知 ，所以选项B错误
由 ，所以选项D正确
故选：BD．
196.
解答：
（1） ， ， ， ， ， ，
（2） 是公差为 的等差数列
数列 的所有奇数项为公差为 的等差数列
当 ， 时，
- 200 -数列
模块六
当 ， 时，由 可知： ，即
解得：
197.
解答：
（1）由 ，得 ，
因为 是 和 的等比中项
所以
即 ，即
化简、整理得 ，解得 或
又公差 为整数
所以
所以
所以数列 的通项公式为
（2）由（1）可知
①
当 时，
②
，得 ，
① ②
易知
所以
当且仅当 ，即 时，等号成立
当 时， ， ，不等式也成立
综上，对任意的 ，都有
198.
解答：
（1）由 得 ：当 时 ，
- 201 -题型精练 二轮核心二百题
，即
时，
又 ，
当 时 ，
数列 的通项公式为
（2）证明：若 得： （ ）
， ， ， ，
各式相加得： （ ）
又
（ ）
199.
解答：
（1） ， ，
可得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以 ，
则 ，
（2）当 时，
所以
又
所以 ，
综上可得，对任意 都有 成立
（3）
不等式
即
设 ，易知
- 202 -数列
模块六
所以 ，即当 增大时， 也增大
所以只需 即可
因为
所以 ，即
所以正整数 的最大值为
200.
解答：
（1）由 ①
可得 ②
①②两式相减可得
则 是首项为 ，公比为 的等比数列
则 ，
（2）令
对 求和，
，
令 ，则
令 ，则
所以 在 递减
可得
即 ，则 在 ， 递增
所以
- 203 -
