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模块二 函数与导数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 .当 时， ，
故该曲线在 处的切线方程为 .
故选：D
2．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司
的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在
一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了
对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计
划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿
元的年份是（ ）参考数据： ， ， .
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
【答案】D
【解析】设2020年后第 年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，
由 得 ，
两边同取常用对数，得 ，所以 ，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
故选：D．
3．已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从图象可知函数 的图象关于原点对称，所以函数 是奇函数．
因为 ， 是偶函数， 是奇函数，
所以 都是偶函数，可排除A，D．
对于 ，对于C， ，
结合题图可知选B．
故选：B
4．已知函数 ，若对任意 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】设 ，
，
等价于 ，即 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
则不等式 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立，令 ，
则 ，令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，且 ，
所以 ，解得 ，
即实数a的取值范围为 .
故选：D.
5．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设函数 ，
因为 上 ， 上 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立．
令 ，则 ．
设函数 ，
因为 上 ， 上 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，所以 ，即 ，所以 ．
综上可得： ．
故选：A.
6．定义在 上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵定义在 上的偶函数 在 上单调递增，且 ，
∴ 在 上单调递减，且 ，
∴当 或 时， ；当 时， ，
∵ ，∴ 或 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，即 ，则不等式 的解集是 .
故选：A.
7．设定义在R上的函数 满足 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在R上单调递减 B． 在R上单调递增
C． 在R上有最大值 D． 在R上有最小值
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
可得 ，
可得 （ 为常数），
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递增，当 时， 且 ，当 时， ，
所以 在 时有极大值即最大值 ，无最小值.
故选：C.
8．已知正数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，故 ，
当且仅当 ，即 时取等号；
设 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ，
当且仅当 时取等号，
又 ，则 ，
此时 ，则 .
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 是 上的单调函数，则a的值可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数 是 上的单调函数，
所以 ，解得 ，
故选:BC．10．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．函数图像关于直线 对称
C．函数的值域为 D．若函数 有四个零点，则实数 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A选项， ，A正确；
B选项， ，
由于 ，故函数图像不关于直线 对称，B错误；
C选项，画出 的图象，如下：
数形结合可知函数的值域为 ，C正确；
D选项，若函数 有四个零点，则 与 有4个交点，故实数 的取值范围是 ，D正确.
故选：ACD
11．已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 为奇函数， 为偶函数，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若 为奇函数，则 ，则 的图象关于点 对称，且 ，故A错误；
因为 为偶函数，所以 ，即 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
故 的周期为8，所以 ， ，在 中，令 ，得
，所以 ，故B正确；
对 两边同时求导，得 ，所以导函数 的周期为8，所以 ，故C正确；
由 周期 ，得 ， ，对 两边同时求导，得
，令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
12．已知函数 和 分别为R上的奇函数和偶函数，满足 ， ， 分别为
函数 和 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当 时， 的值域为
C．当 时，若 恒成立，则a的取值范围为
D．当 时，满足
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 和 分别为R上的奇函数和偶函数，满足 ，
即可得 ，
所以可得 ， ，故A正确；
对于B， ，
当且仅当 时，等号成立，又因为 ，所以 的值域为 ，故B错误．
对于C，分两种情况．① ，令 ，当 时，则 ， 单调递增，
所以 ，即 ；
② ，方程 的正根为 ，
若 ，则 ， 单调递减，
，即 ，与题设 矛盾．
综上，a的取值范围是 ，故C正确．
对于D， ，
则 ，
，
…
，
累乘得
，
故 ，故D正确．
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若一个偶函数的值域为 ，则这个函数的解析式可以是 .
【答案】 （答案不唯一）【解析】取 ，函数的定义域关于坐标原点对称，
且 ，即函数为偶函数，
当 时， ，满足题意.
故答案为： （答案不唯一）
14．已知函数 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】因为函数 ，
则
.
故答案为：
15．已知点 在函数 上，若满足到直线 的距离为 的点 有且仅有两个，则实数 的
取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数 ，可得 ，
设切点 ，令 ，即 ，解得 ，即切点
所以点 到直线 的距离为 时， ，解得 或 ，
当 时，函数 图象与直线 不相交（如图所示），
从而函数 的图象上只有一点到直线 的距离为 ；当 时，函数 图象与直线 相交（如图所示），
从而函数 的图象上有且仅有三个点到直线 的距离为 ，
综上，要满足点 到直线 的距离为 的点有且仅有两个时，满足 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
16．函数 的定义域为 ，对任意 ，恒有 ，若 ，
.
【答案】
【解析】设 ，可得 ，
因为 ，即 ，
若 ，令 ，则 ，所以 ；
令 ，则 ，即 所以 ；
令 ，则 ，即 所以 ；令 ，则 ，即 所以 ；
令 ，则 ，即 所以 ；
令 ，则 ，即 所以 ；
令 ，则 ，即 所以 ；
令 ，则 ，即 所以 ，
由此可得 的值有周期性，最小正周期为 ，
且 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【解析】（1） ，
由已知 ，
∴ 得
又
∴曲线 在点 处的切线方程为化简得：
（2） 定义域为R，
，令 得 或
①当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
②当 即 时， 恒成立，
故 在R上单调递增；
③当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上，当 时， 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
18．（12分）
2023年7月31日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时洪流交汇，
数日内，涿州市成为洪水重灾区，截至8月1日10时，涿州受灾人数133913人，受灾村居146个，面积
225.38平方千米，灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必要的生活物资.某企业生
产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5千
元，每生产 吨物资另需流动成本 千元，当生产量小于20吨时， ，当生产量
不小于20吨时， .该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25千元，已知生产的物资能全
部售出.
(1)写出总利润 （千元）关于生产量 （吨）的函数解析式（注：总利润＝总收入-流动成本-固定成
本）；
(2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据： ）
【解析】（1）由已知可得 .又 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
故
（2）当 时， ， ．
当 时， ，所以 ，
所以当 时， 单调递增，
故 ．
因为 ，
所以当生产量为12吨时，总利润最小，此时总利润为56千元．
19．（12分）
设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ．当 时， ．
(1)求证： 是周期函数；
(2)当 时，求 的解析式；
(3)计算 ．【解析】（1）证明：因为 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ， ，
则 ，所以函数 是周期为 的周期函数.
（2）当 时， ，
此时， .
（3）因为当 时， ；当 时， ，
所以， ， ， ， ，
因为 ，
所以，
.
20．（12分）
已知函数 为奇函数．
(1)解不等式 ；
(2)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求
实数 的取值范围．
【解析】（1）由已知函数需满足 ，
当 时，函数的定义域为 ，
又函数 为奇函数，所以 ，即 在 上恒成立，即
， （舍），
当 时， ，函数的定义域为 ，又函数 为奇函数，所以 ， ，
此时 ，满足 ，为奇函数，成立，
所以 ，
所以函数 在 和 上单调递减，
且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ；
（2）由（1）得 在 的值域 ，
又 ，
设 ， ，则 ，
当 时，取最小值为 ，当 时，取最大值为 ，
即 在 上的值域 ，
又对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
即 ，
所以 ，
解得 .
21．（12分）
已知函数 .
(1)若 求曲线f (x)在 处的切线方程；
(2)当 时，不等式 恒成立，求a 的取值范围.【解析】（1）当 时， ， ，
，
则 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）不等式 可整理为 ，
令 ， ，
所以当 ， 单调递增，当 ， 单调递减，所以
，
又 ，所以令 ，
则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 单调递减， ，所以 ，
单调递减， ，所以 ，所以 ， ，
所以 单调递减， ，
所以 .
22．（12分）
已知函数 ．
(1)求 的最值；
(2)若方程 有两个不同的解，求实数a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得： ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
所以 的最小值为 ，无最大值．
（2）令 ，
则 ，
若方程 有两个不同的解，则 有两个不同的零点．
（ⅰ）若 ，则 ，由 得 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．①当 时， ，即 ，故 没有零点，不满足题意；
②当 时， ， 只有一个零点，不满足题意；
③当 时， ，即 ，
当 时， ， ，
又因为 ，故 ，所以 ，
又 ，
故 在 上有一个零点．
设 ，
则 ， 单调递增，所以 ，
故当 时， ，
又 ，所以 ，因此 在 上有一个零点，
所以当 时， 有两个不同的零点，满足题意；
（ⅱ）若 ，则由 得 ， ．
①当 时， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
又 ，
所以 至多有一个零点，不满足题意；
②当 时， ，则 ，所以 单调递减，至多有一个零点，不满足题意；
③当 时， ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ．
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 至多有一个零点，不满足题意；
综上，实数a的取值范围为 ．
