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专题 37 导数证明恒成立问题大题必刷 100 题
1．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在 上的最小值；
（2）若 恒成立，求实数 的值．
2．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性：
（2）若 对 恒成立，求 的取值范围．
3．已知函数 ， .
（1）若 ，证明： ；
（2）若 恒成立，求a的取值范围.
4．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设函数 ，若 时， 恒成立，求实数a的取值范围.5．已知 ， ．
（1）求 的单调区间；
（2）若 时， 恒成立，求m的取值范围．
6．已知曲线 在点 处的切线方程是 .
（1）求 的解析式；
（2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
7．已知函数 .
（1）若 ，求函数 在 上的零点个数；
（2）当 时都有 ，求实数 的取值范围.
8．已知函数 .（1）若函数在 时取极值，求 的单调区间；
（2）若当 时 ，求实数 的取值范围.
9．已知函数 在 处取得极值 ，其中 为常数.
（1）试确定 的值；
（2）讨论函数 的单调区间；
（3）若对任意 ，不等式 有解，求 的取值范围.
10．已知函数 ， ，其中 ， 为自然对数的底数.
（1）判断函数 的单调性；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围.
11．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间与极值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.12．已知函数 .
（1）若 ，讨论 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
13．己知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）当 时，若 恒成立，求a的取值范围．
14．已知函数 ，
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）若存在 ，使得 成立，求a的取值范围．15．已知函数 ( )．
（1）求函数 的单调区间；
（2）是否存在 ，使得不等式 恒成立？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说
明理由．
16．已知函数 .
（1）设函数 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）求证： ；
（3）设函数 的两个零点 、 ，求证： .
17．已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围．18．已知函数 .
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）设 ，当 时， ，求 的取值范围.
19．已知函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）若函数 的极小值点为 ，且 恒成立，求实数 的取值范围.
20．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 最大值的表达式 ；
（2）若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围：
21．已知函数 ， ，其中 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围．22．已知函数 ．
（1）若 存在极值，求实数 的取值范围；
（2）若 ，当 时， 恒成立，且 有且只有一个实数解，证明： ．
23．已知函数 .
（1）证明：当 时， ；
（2）若 ， ，证明： 有且仅有一个零点.
24．已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 ， 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
25．已知函数f（x）=ex﹣alnx（a∈R且为常数）.
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）若f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围.26．已知函数 ， ．
（1）求函数 的最值；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围．
27．已知函数 ，设 在点 处的切线为
（1）求直线 的方程；
（2）求证：除切点 之外，函数 的图像在直线 的下方；
（3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围
28．已知函数 ， ，其中 .
（1）证明：当 时， ；当 时， ；
（2）用 表示m，n中的最大值，记 .是否存在实数a，对任意的 ，
恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.29．已知函数 ， ，
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 ， ，使 成立，求m的取值范围.
（3）当 时，若关于x的方程 有两个实数根 ， ，且 ，求实数k的取值范围，并且证
明： .
30．已知函数 ， ．
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，证明： ；
（2）设 ，若对 ，均有 ，求实数 的取值范围．
31．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
32．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性．
（2）设 ，若 恒成立，求a的取值范围．33．已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 对 恒成立，求a的取值范围．
34．已知函数 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围．
35．已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求使 在区间 上恒成立的 的所有值.
36．已知函数 .（1）当时 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若对任意的 ，都有 成立，求 的取值范围.
37．已知函数 ， ， …为自然对数的底数.
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围.
38．已知函数 ，其中 .
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
39．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求f(x)的极值点；
（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.40．已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的最小值；
（2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
41．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有最大值 ，且 ，求实数 的取值范围．
42．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对 ，不等式 恒成立，求c的取值范围.
43．已知函数
（1）当 时，求 在区间 中的最大值（2）若 对 恒成立，求 的取值范围
44．已知函数 .
(1)若函数 存在两个极值点 ， ，求 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若不等式 恒成立，求 的取值范围.
45．已知函数 ，且曲线 在点 处的切线与直线 平行.
（1）求实数 的值并判断 的单调性;
（2）记 ，若 ，且当 时，不等式 恒成立，求 的最大值.
46．已知函数 .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 在 上有解，求实数 的取值范围.47．已知函数 的图象与直线 相切.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 恒成立，求实数 的最小值.
48．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的最小值.
49．设函数 .
（1）若 是 的极值点，求 的单调区间；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
50．已知函数 ．
（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；
（2）当a＝1时，关于x的不等式 在[0，）上恒成立，求k的取值范围．51．已知函数 .
（1）若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
（2）当 时，不等式 对于 恒成立，求实数 的值.
52．已知函数 ， ， .
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围.
53．已知函数 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
54．已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明： 时，当 恒成立.55．已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（2）若 ，讨论函数 的单调性；
（3）设函数 ，若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
56．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求正整数k的最大值.
57．已知函数 ， .
（1）当 时，求 的极值；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
58．已知函数 ．（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
59．已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若 ，求a的取值范围．
60．已知函数 （e是自然对数的底数， ）．
（1）讨论函数 单调性；
（2）若 ， ，求a的取值范围．
61．设函数 ， ， 是自然对数的底数.
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）当 时， ，求 的取值范围.62．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求α的取值范围.
63．已知函数 ， ，其中 .
（1）当 时，求证： ；
（2）若任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围.
64．已知函数 ， ， .
（1）求 的单调区间；
（2）若对于任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
65．已知函数 （ 为常数）
1）讨论函数 的单调性；
2）不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．66．若函数 ， ．
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围．
67．已知函数 ， ．
（1）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围．
68．已知函数 .
（1）设 ，若 ，讨论函数 的单调性；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
69．设函数 ，其中 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；（2）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（3）若 ， 成立，求 的取值范围．
70．已知函数 ，
（1）讨论函数 的导数 的单调性
（2）当 时，不等式 对 恒成立，求实数m的取值范围．
71．已知函数
（1）若 在 处取得极值，求 的值及函数 的单调区间；
（2）若 ，求 的取值范围.
72．已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.73．已知函数 为奇函数，且在 处取得极大值2.
（1）求 的解析式；
（2）若 对于任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
74．已知函数 .
（1）若 ，求 在 处的切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
75．已知函数 ， .
（1）令函数 ，
①若函数 的图象与直线 ： 相切，求实数 的值；
②若不等式 恒成立，求整数 的最大值；
（2）若函数 恰有两个极值点，求实数 的取值范围.
76．已知函数 （ ）.
（1）当 时，试求函数图像在点 处的切线方程；（2）若函数 有两个极值点 、 （ ），且不等式 恒成立，试求实数 的取值范围.
77．已知函数 ．
（1）若 在点 处的切线斜率为 ．
①求实数 的值；
②求 的单调区间和极值．
（2）若存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
78．已知函数 .
（1）如果曲线 在点 处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）设 ，求证：当 时， 恒成立.
79．已知函数 .（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设函数 ，若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
80．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，若 ，且 恒成立，求实数 的最大
值.
81．已知函数 .
（1）函数 ，求 的单调区间和极值.
（2）求证：对于 ，总有 .
82．已知 ， ，对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围.83．设函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）已知当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
84．已知 ， .
（1）对一切实数 ， ，求实数 的取值范围；
（2）求证：任意 ， .
85．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间.
（2）若 对任意 成立，求正实数 的取值范围.
（3）证明： .
86．已知函数 ， ．（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 时有 恒成立，求 的取值范围．
87．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）关于x的不等式 恒成立，求整数m的最小值．
88．已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
（1）求 ， 的值；
（2）当 时，证明： 对 恒成立.
89．已知函数 ，
（1）先证明单调性，再求函数 在 上的最小值；
（2）若对 ，使得 ，求实数 的取值范围.90．已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
91．已知函数 ，
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
92．已知函数 ， （ ， 为自然对数的底数）.
（1）若函数 在 上有零点，求 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
93．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）若 时 恒成立，求实数 的取值范围．94．已知函数 .（ ）
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若 ，证明：当 时， 恒成立.
95．已知
（1）当 时，求 的极值.
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
96．已知函数 ，在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 对定义域内 恒成立，求 的取值范围.
97．已知函数 ．
（1）若 轴是曲线 的一条切线，求 的值；（2）若当 时， ，求 的取值范围．
98．已知函数 ，
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 ，且当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
99．已知 ， .
（1）当直线 与函数 的图象相切时，求实数 关于 的关系式 ；
（2）若不等式 恒成立，求 的最大值；
（3）当 ， 时，若 恒成立，求实数 的取值范围.
100．设函数 ，已知 是函数 的极值点
（1）求 ；
（2）当 时，若 ，求实数 的取值范围.
