热点2-3函数的图象及零点问题（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年高考数学热点·重点·难点专练（新高考专用）

热点 2-3 函数的图象及零点问题 函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。 函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。 【题型1 函数图象画法与图象变换】 满分技巧 作函数图象的方法 1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线 的特征直接作出． 2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换 作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变 换单位及解析式的影响． 4、如何制定图象变换的策略 （1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换； ②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换． y f 3x1 例如： ：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤． y f x2 ：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换． （2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时 注意以下原则： ①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求； ②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化． 【例1】（2023·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：（1） ； （2） ． 【变式1-1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）要得到函数 的图象，只需将指数函数 的图象（ ） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【变式1-2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知图1对应的函数为 ，则图2对应的函数是 （ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数 定义在 上的图象如图所示，请分别画出下列 函数的图象： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） . 【题型2 由复杂函数解析式选择函数图象】 满分技巧 图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选” 1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）； 2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）； 3、找特殊值：** 错误的表达式 **对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；** 错误的表达式 **对比各 选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；4、判断单调性：可取特殊值判断单调性. 【例2】（2023·四川乐山·统考一模）函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）函数 的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数 ，则 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·模拟预测）函数 在 上的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【题型3 根据函数图象选择解析式】 满分技巧 （1）从图像的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 【例3】（2023·天津武清·高三英华国际学校校考阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则 可 能是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·山东日照·高三五莲县第一中学校考期中）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合 如图的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·天津·高三校联考期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难 入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质， 已知函数 的部分图象如图所示．则 的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【题型4 根据实际问题作函数图象】 满分技巧 根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）； （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）。 【例4】（2023·海南·嘉积中学校考三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀 速跑步，他从点 处出发，沿箭头方向经过点 、 、 返回到点 ，共用时 秒，他的同桌小陈在固定 点 位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为 （单位：秒），他与同桌小陈间的距离为 （单位： 米），若 ，则 的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【变式4-1】（2022·山西忻州·高三忻州一中统考阶段练习）青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中 国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度 与时间 的函 数图像大致是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·全国·高三对口高考）如图，点 在边长为1的正方形 上运动，设点 为 的 中点，当点 沿 运动时，点 经过的路程设为 ， 面积设为 ，则函数 的 图象只可能是下图中的（ ）A． B． C． D． 【变式4-3】（2022·北京大兴·高三统考期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度 （单位：米/分钟）与时间 （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数” 为无人机在时间段 内的最大速度与最小速度的差，则 的图像为（ ） A． B． C． D． 【题型5 函数零点所在区间问题】 满分技巧 确定 的零点所在区间的常用方法： （1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数 在区间 上的图象是否连续，再看是否有，若有，则函数 在区间 内必有零点； （2）数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断。 【例5】（2023·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数 的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习） 必存在零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）若函数 存在1个零点位于 内，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）函数 与 的图象交点为 ．若 ， ，则 ． 【题型6 确定函数的零点个数】 满分技巧 零点个数的判断方法 f x0 1、直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. a,b f a f b0 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： f x f x x （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个 f x 数就是函数 的零点个数； f x hx gx f x0hx gx （2）两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ， f x y hx y  gx 则函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数【例6】（2022·安徽·高三安庆一中校联考阶段练习）已知函数 则方程 的 解的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【变式6-1】（2023·陕西·校联考模拟预测）用 表示 中较小的数， ， 则 的解的个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-2】（2023·山东·五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，对任 意 ，都有 ，当 时， ，则 在 上的零点个数为（ ） A．10 B．15 C．20 D．21 【变式6-3】（2023·江西宜春·高三铜鼓中学校考阶段练习）（多选）已知函数 ，若关于x的方程 的实根个数可能有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-4】（2023·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数 ，若函数 有3个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型7 根据零点个数求参数范围】 满分技巧 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个 熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 【例7】（2023·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数 ，若函数 有3个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023·四川成都·校联考一模）已知函数 若 有3个实数 解，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知函数 若函数 恰有3个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2023·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实数根，则实数 的取值范围为 ． 【题型8 函数零点的大小与范围】 满分技巧 通过数形结合的思想转化为函数图象问题，常结合函数的对称性考查。 【例8】（2023·重庆·高三南开中学校考期中）已知实数a、b、c满足： ，则下列关系不 可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2023·全国·高三统考阶段练习）已知 ，则下列关系正 确的是（ ） A． B． C． D．【变式8-2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）设函数 ，关于x的方程 有三个不等实根 ，则 的取值范围是 ． 【变式8-3】（2023·四川绵阳·三台中学校考模拟预测）已知函数 ，若方程 有四个不同的解 ， ， ， ，且 ，则 的取值范围是 ． （建议用时：60分钟） 1．（2023·北京丰台·统考二模）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所 有点（ ） A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 2．（2023·天津北辰·高三校考阶段练习）函数 在 上的大致图象为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·山西临汾·高三临汾市第三中学校校联考期中）函数 的部分图象大致为（ ）A． B． C． D． 4．（2023·福建泉州·高三校考期中）同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的 函数最有可能是（ ） A． B． C． D． 5．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）函数 的零点个数为 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2023·山东济宁·高三统考期中）已知函数 ，则函数 的零点个 数是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数 在区间 上存在零点，则实数 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（2022·江西抚州·高三临川一中校考期中）若函数 在区间 上有零点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．（2023·广东深圳·高三校考期末）（多选）已知函数 ，若存在实数 ， ， ， 满足 ，则正确的有（ ）A． B． C． D． 10．（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）（多选）已知函数 ，若关于 的方程 有6个不相等的实根，则实数 的值可能为（ ） A． B． C． D． 11．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数 ，若存在实数 ，使得关于 的方程 有三个不同的根，则 的取值范围是 . 12．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数 ，函数 恰有三个不同的零点，则 的取值范围是 ． 13．（2023·全国·高三对口高考）利用函数 的图象，作出下列各函数的图象． （1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 14．（2023·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知函数 . （1）若 ，求 在 上的值域； （2）若函数 恰有两个零点，求 的取值范围. 15．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数 （其中 ）为偶函 数. （1）求实数 的值； （2）讨论函数 的零点情况.