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模块三 三角函数（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
即 ，两边平方可得 ，
解得 .
故选：A
2．若关于 x 的方程 在 内有两个不同的解 ， ， 则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于 的方程 ，则 ，
当 ，所以 或 ，则 或 .
设 ，所以 ，则 ，故选：A.
3．已知 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
4．设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ．
故选：B.
5．已知 ， 是函数 的一条对称轴， ，则下列
说法中正确的是（ ）A． 是 的一条对称轴 B． 为 的一个对称中心
C． 与y轴的交点为 D． 在 上单调递增
【答案】B
【解析】由题意， ，
令 ， ，解得 的对称轴为 ， ，
又 是 的一条对称轴，可得 ，
所以 ，
，故A错误，B正确；
又 ，所以 与 轴交点为 ，故C错误；
当 时，则 ，由余弦函数性质， 在 上单调递减，故D错误.
故选：B.
6．如图，直线 与函数 的图象的三个相邻的交点为A，B，
C，且 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以相邻两对称轴间的距离 ，即周期 ，所以 ，
排除BD，
当 时，代入 ，可得 ，满足题意，
代入 ，可得 ，不符合题意，
故A正确C错误.
故选：A
7．已知函数 给出下列结论：
① 的周期为 ；
② 时 取最大值；
③ 的最小值是 ；
④ 在区间 内单调递增；
⑤把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号题（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③
【答案】B
【解析】因为
.①因为 ，所以①正确；
②因为 ，所以②错误；
③当 ，即 时，
取最小值，且最小值是 ，所以③正确；
④当 时，由
知 在区间 内并不单调，故④错误；
⑤把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，
可得到函数 ，故⑤错误.
故正确的是①③.
故选：B.
8．已知函数 （ ）在 上恰有2个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为： ，所以： ，
令： ，则得： .
因为： 在 上有 个零点，
所以： ，解得： .故 的取值范围为： ，故B项正确.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．关于函数 的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A． 是函数 的一条对称轴
B． 是函数 的一个对称中心
C．将曲线 向左平移 个单位可得到曲线
D．函数 在 的值域为
【答案】ABD
【解析】依题意，因为
令 ， ，当 时， ，
所以 是函数 的一条对称轴，所以 选项正确；
（另因为 ，即当 时，函数 取得最大值，所以
是函数 的一条对称轴）；
令 ， ，当 ，
所以 是函数 的一个对称中心，所以 选项正确；（另因为 ，即 是函数 的零点，所以 是函数
的一个对称中心）．
因为 ，
又将曲线 向左平移 个单位可得到曲线 ，所以 选项不
正确；
因为 ，
当 ， 有 ，则 ，
得函数 的值域为 ，所以 选项正确.
故选：ABD
10．函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．C． 的一条对称轴方程为
D． 的单调递增区间为
【答案】AD
【解析】由图像知函数 的最小值为-2，最大值为2，
所以 ，
又函数半个周期为 ，所以A正确；
又 ，
因为 ，所以 ，则B错误；
所以 ，
则对称轴为 ，
所以 不为其对称轴，即C错误；
因为 ，
所以其单调递增区间为 ，所以D正确；
故选：AD
11．已知函数 ，则（ ）
A． 为偶函数
B． 是 的一个单调递增区间C．
D．当 时，
【答案】ACD
【解析】因为 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，所以 是偶函数，故A正确；
因为 ，所以 ，
且 ，所以 不是函数的递增区间，故B不正确；
，故C正确；
因为当 时， ，所以 ，
同理，当 时， ，即 时， ，故D正确.
故选：ACD.
12．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值为1
B． 的图象关于点 对称
C． 在 上单调递增
D．存在 ，使得 对任意的 都成立
【答案】ABC【解析】A选项 ，且 ，A正确；
B选项：
，
因为 ，所以 的图象关于点 对称，B正确；
C选项：当 时， ，
，
在区间 上单调递增，C正确；
D选项：若存在 ，使得 对任意的 都成立，
取 得 ，即 ，
取 得 ，即 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，由B选项知 ，
得 ，不符合题意，所以不存在 ，
使得 对任意的 都成立，D错误．
故选：ABC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数 的图象如图，若 到 轴的距离均为 ，且点 的横坐标为 ，，则 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
， ，解得： ，
， ，
解得： ， ，
.
故答案为： .
14．已知函数 ，其中 为实数，且 ，若 对 恒成立，且
，则 的单调递增区间为 .
【答案】【解析】由 对 恒成立知， ，
得到 或 ，
因为 ，所以 或 ，
当 时， ，
此时 ， ，
，不合题意，舍，
当 时， ，
此时 ， ，
，符合题意，
所以 ，
所以由
得 ，
所以 的单调递增区间是 .
故答案为：
15．函数 的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ，且有 ，当 时，函数 的最小值为 .
故答案为：
16．已知函数 ( )在区间 上是严格增函数，且其图像关于点 对称，则 的值为
．
【答案】 或
【解析】因为 ，则 ，函数 ( )在区间 上是严格增函数，
所以 ，即 ；
又因为 的图像关于点 对称，则 （ ），则 （ ），
所以 （ ），解得 （ ），
结合 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值
【解析】（1） ，
则 ，
又 ，则有 ；（2） ，
则 ，由 ，故 、 ，
即 ，
则有 、 ，
则 .
18．（12分）
已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期和值域；
(2)若 ，求函数 的单调递增区间.
【解析】（1）因为 ，
故 的最小正周期为 ，值域为 .
（2）令 ，解得 .
又 ，则 的单调递增区间为 ， .
19．（12分）
函数 的部分图象如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不
变，得到函数 的图象，求函数 在 上的值域.
【解析】（1）观察图象可得 ，函数 的周期 ，解得 ，
即 ，由 ，得 ，
即 ， ，
而 ，则 ，
所以函数 的解析式是 .
（2）将 的图象向左平移 个单位长度，
可得到函数 的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，
得到函数 的图象，则 ，
当 时， ，则 ，
所以 ，因此 在 上的值域为 .
20．（12分）
已知向量 ， ，其中 ， ，且函数 的对称轴间
的距离最小值为 .
(1)求 的解析式；
(2)方程 在 上有且仅有两个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）
，
由于函数 的对称轴间的距离最小值为 ，
从而函数 的最小正周期为 ，所以 .，
综上， .
（2） ， ， ，
当 时， 单调递增，此时 ，
当 时， 单调递减，此时 ，
所以满足条件的 取值范围为 .21．（12分）
已知向量 ，向量 ， ．
(1)求函数 的单调增区间；
(2)若 在 上有唯一的零点，求 的取值范围．
【解析】（1）
，
令 ，解得 ，
故 的单调增区间为 ；
（2） ，
当 ， ，
因为 在 上有唯一的零点，
所以 ，解得 .
22．（12分）
已知函数 ．
(1)求 的最大值及相应 的取值集合：
(2)设函数 ，若 在区间 上有且仅有1个极值点，求 的取值范围．【解析】（1）依题意， ，
当 ，即 时， ，
此时， 的取值集合为 ．
（2）由（1）知， ，
当 时， ，由 在区间 上有且仅有1个极值点，
得 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
