文档内容
模块七 圆锥曲线（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线 是双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，所以 .
故选：D.
2．若拋物线 上一点 到焦点的距离为1，则点 的横坐标是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【解析】 化为标准形式为 ，故焦点坐标为 ，准线方程为 ，
由焦半径可得 ，解得 .
故选：A
3．若动点 在 上移动，则点 与点 连线的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】设PQ的中点为 ，
则 ，解得 ，
即 ，又点P在曲线 上，
所以 ，即 ，
所以PQ的中点的轨迹方程为 .
故选：A
4．已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，若 ，则直线 的斜率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
因为 ，所以 为 的中点，
所以 ，
故直线 的斜率 .
故选：D5．已知 是椭圆 和双曲线 的公共焦点，P是它们的一个公共
点，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
， ，
由 ，
解得 ，而 ，所以双曲线 的离心率 ．
故选：A．
6．已知 是 ： 上一点，过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为A，B，
则当直线AB与 平行时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为以 为直径的圆的方程为 ，
又圆 ： ，两圆方程相减可得两切点所在直线AB的方程为 ，
由 ，可得 ，即得直线AB的方程为 .
故选：C.7．已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，P为双曲线在第一象限上的一点，若 ，
则 （ ）
A． B． C．14 D．15
【答案】C
【解析】依题意，椭圆长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，则 ，
在 中， ，
即有 ，解得 ，则 ，即 是等腰三角形，
.
故选：C
8．椭圆 任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆： ，这个圆称
为椭圆的蒙日圆．在圆 上总存在点 ，使得过点 能作椭圆 的两条
相互垂直的切线，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知椭圆 的蒙日圆方程为 ，圆心为原点，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
则圆 与 必有交点才符合题意，
即两圆圆心距 ，
则 .
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知双曲线 的两个焦点分别为 ，且满足条件 ，可以解得双曲线 的方程为
，则条件 可以是（ ）
A．实轴长为4 B．双曲线 为等轴双曲线
C．离心率为 D．渐近线方程为
【答案】ABD
【解析】设该双曲线标准方程为 ，则 .
对于A选项，若实轴长为4，则 ， ，符合题意；
对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则 ，又 ， ，
可解得 ，符合题意；
对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为 ，则 ，结合 ，可解得 ，符合题意，
故选：ABD.
10．已知圆 ， ，则（ ）
A．直线 的方程为
B．过点 作圆 的切线有且仅有 条
C．两圆相交，且公共弦长为
D．圆 上到直线 的距离为 的点共有 个
【答案】AB
【解析】由题知， ，
则直线 的方程为 ，所以A正确；
因为 ，圆 半径为 ，
过点 作圆 的切线有 两条，所以B正确；
又 ，
公共弦所在直线 为 ，
圆心 到 的距离为 ，
所以公共弦长为 ，所以C错误；
圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆 上到直线 距离为 的点有 个，所以D错误．故选：AB
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 且斜率为 的直线 与抛
物线 交于两个不同的点 ，则下列说法正确的有（ ）
A．当 时，
B．
C．若直线 的倾斜角分别为 ，则
D．若点 关于 轴的对称点为点 ，则直线 必恒过定点
【答案】ACD
【解析】设 ， .
对于选项A：当 时，抛物线方程为 ，准线方程为： ，点 .
当 时，过点 的直线 方程为 .
联立方程组 ，整理得： ，
则 .
所以由抛物线的定义可得： ，故选项A正确；
对于选项B：当 时，直线 为 轴，此时直线 和抛物线只有一个交点，故选项B不正确；
对于选项C：由 可得：点 ，准线方程为 ，点 .
则直线 .联立方程组 ，整理得： ，
则 .
因为 ，
所以
所以 ，故选项C正确；
对于选项D：因为点 关于 轴的对称点为点 ，
，
所以直线 与 的倾斜角相同，即 三点共线.
所以直线 必恒过定点 ，故选项D正确.
故选：ACD.
12．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长
线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知
分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点 作双曲线的切线交 轴
于点 ，交 轴于点 ，则（ ）
A．平面上点 的最小值为
B．直线 的方程为C．过点 作 ，垂足为 ，则 （ 为坐标原点）
D．四边形 面积的最小值为4
【答案】ABD
【解析】对于A，由双曲线定义得 ，且 ，
则 ，
所以 的最小值为 .故A正确；
对于B，设直线 的方程为 ， ，
联立方程组 ，消去 整理得， ，
，化简整理得 ，解得 ，
可得直线 的方程为 ，即 ，故B正确；
对于C，由双曲线的光学性质可知， 平分 ，延长 与 的延长线交于点 ，
则 垂直平分 ，即 ， 为 的中点，
又 是 中点，所以 ，故C错误；
对于D，由直线 的方程为 ，令 ，得 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以四边形 面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ABD.
.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆 ，过 作圆 的切线 ，则直线 的倾斜角为 ．
【答案】 （或写为 ）
【解析】因为 ，所以，点 在圆 上，直线 的斜率为 ，
由圆的几何性质可知， ，则直线 的斜率为 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，故 .
即直线 的倾斜角为 （或 ）.
故答案为： （或写为 ）.
14．已知椭圆 的右顶点、上顶点分别为A，B，直线 与直线 相交于点
D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为 .
【答案】 /
【解析】设直线 与x轴的交点为E，如下图所示：则 ， ， ，即 , ，
易知 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 .
故答案为： .
15．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，过左焦点 作直线 与双曲线交于
A，B两点（B在第一象限），若线段 的中垂线经过点 ，且点 到直线 的距离为 ，则双曲线的
离心率为 .
【答案】
【解析】
设双曲线 的半焦距为c， ， ，根据题意得 ，
又 ， ，设 的中点为 ，
在 中， ， ， ，则 ， ，根据 ，
可知 ， .
故答案为： .
16．已知双曲线 ： 的焦距为 ，过双曲线 上任意一点 作直线 ， 分别平行
于两条渐近线，且与两条渐近线分别交于点 ， ．若四边形 的面积为 ，则双曲线 的方程为
．
【答案】
【解析】因为双曲线 的焦距为 ，所以 ．
双曲线渐近线方程为 ，即 ，
设 ， 分别为点 到 和 的距离，
则 到两条渐近线的距离之积
，
又 ，
，
所以 ，
又所以 ．
所以 ．
所以 ．
因为 ，所以 ， ．
所以双曲线 的方程为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知点 ,直线 及圆 ．
(1)若直线 与圆 相切,求 的值．
(2)求过 点的圆 的切线方程．
【解析】（1）圆心坐标 ,半径 ,
若直线 与圆 相切,
则圆心到直线的距离 ,解得 或 .
所以 或 .
（2）圆心坐标 ,半径 ,
当直线的斜率不存在时,直线方程为 ,
由圆心 到直线 的距离 知,直线与圆相切．当直线的斜率存在时,设方程 ,即 .
由题意知 ,解得 ,
即直线方程为 ,即 .
综上所述,过 点的圆的切线方程为 或 ．
18．（12分）
设椭圆 经过点 ，且其左焦点坐标为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形 的四个顶点都在 上，且两条对角线均过 的右焦点，求 的
最小值.
【解析】（1）因为椭圆 的左焦点坐标为 ，
所以右焦点坐标为 .
又椭圆 经过点 ，
所以 .
所以椭圆的方程为 .
（2）①当直线 中有一条直线的斜率不存在时， .
②当直线 的斜率存在且不为0时，
设直线 的方程 ，
由 ，得 ，则 ，
.
设直线 的方程为 ，同理得 ，
所以 ，
设 ，则 ，
则 ，
所以 时， 有最小值 .
综上， 的最小值是 .
19．（12分）
已知F是抛物线E： 的焦点， 是抛物线E上一点， 与点F不重合，点F关
于点M的对称点为P，且 ．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过点 的直线与抛物线E交于A，B两点，求 的最大值．【解析】（1）∵ ，点N与点F不重合，∴ ，∴ ．
∵点F关于点M的对称点为P，
∴ ，（中点坐标公式）．
∴ ，得 ，
∴抛物线E的标准方程为 ．
（2）由（1）知 ，
易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为 ，代入 ，整理得， ，
，
设 ，则 ．
∵ ，
∴
，
当 时， 取得最大值，为 ．
20．（12分）
在直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于 两点．
(1)若 点的横坐标为4，求抛物线在 点处的切线方程；
(2)探究 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知，得 ，因为 ，所以 ，斜率 ，
因此，切线方程为 ，即 ．
（2）存在符合题意的点 ，理由如下：
设点 为符合题意的点， ，直线 的斜率分别为 ．
联立方程 ，得 ，
因为 ，则 ，可得 ，
从而
，
因为 不恒为0，可知当且仅当 时，恒有 ，
则直线 与直线 的倾斜角互补，故 ，
所以点 符合题意．
21．（12分）
已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，且 ， 的一条渐近线与直线 ：垂直.
(1)求 的标准方程；
(2)点 为 上一动点，直线 ， 分别交 于不同的两点 ， （均异于点 ），且 ，
，问： 是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为双曲线 的渐近线与直线 ： 垂直，
所以 ，②
又 ，③
解得 ， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）设 ，则 ， ，
设 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得 ，所以 ，
直线 的方程为 ，
联立双曲线的方程可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，即 ，所以
同理 ，
，
所以 是定值，定值为 .
22．（12分）
设抛物线 ，过焦点 的直线与抛物线 交于点 、 .当直线 垂直于
轴时， .
(1)求抛物线 的标准方程.
(2)已知点 ，直线 、 分别与抛物线 交于点 、 .求证：直线 过定点.
【解析】（1）由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 的方程为 ，联立 可得 ，则 ，所以 ，即 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）证明：若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线 也不与 轴重合，
设 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 得 ， ，
因此 ， .
设直线 的方程为 ，联立 得 ，
则 ，因此 ， ，则 ，同理可得 .
所以 .
因此直线 的方程为 ，
由对称性知，定点在 轴上，
令 得，，
所以，直线 过定点 .
