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大题保分练 3
1．(2022·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos C＋ccos
A＝1，B＝.
(1)求b的值；
(2)求△ABC面积的最大值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理知，
＝＝＝2R，
∵acos C＋ccos A＝1，
∴2R(sin Acos C＋cos Asin C)＝1，
即2Rsin B＝1，
∴b＝2Rsin B＝1.
(2)在△ABC中，由余弦定理得
cos B＝＝，
∴a2＋c2＝ac＋1≥2ac(当且仅当a＝c时取“＝”)，
∴(2－)ac≤1，
∴ac≤2＋，
又∵S ＝acsin B＝ac，
△ABC
∴S ≤，
△ABC
即△ABC面积的最大值为.
2．(2022·赤峰模拟)某公司有200名员工进行岗位技术比赛，根据成绩得到如下统计表：
成绩 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 10 20 50 a b 20
已知a，b，20成等差数列．
(1)计算参加岗位技术比赛的200名员工成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作代
表)与中位数(结果精确到0.1)；
(2)若从成绩在[80,90)与[90,100]内的员工中，用分层抽样的方法选取 6人进行经验分享，再
从这6人中选取3人，求这3人中至少有2人的岗位技术比赛成绩在[80,90)内的概率．
解 (1)因为a，b，20成等差数列，
所以解得
所以参加岗位技术比赛的200名员工成绩的平均值为×(45×10＋55×20＋65×50＋75×60＋
85×40＋95×20)＝73，频率分布表为：
成绩 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 10 20 50 60 40 20
频率 0.05 0.1 0.25 0.3 0.2 0.1
所以中位数位于[70,80)内，设中位数为 70＋x，则x＝0.5－(0.05＋0.1＋0.25)，解得x＝
≈3.3，所以中位数约为73.3.
(2)用分层抽样的方法从成绩在[80,90)与[90,100]内的员工中选取6人，
则需从成绩在[80,90)内的员工中抽取6×＝4(人)，记作A，B，C，D；
从成绩在[90,100]内的员工中抽取6×＝2(人)，记作E，F.
从这6人中选取3人所有可能情况有ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，
ADF，AEF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，CDE，CDF，CEF，DEF，共20种，
其中满足这3人中至少有2人的岗位技术比赛成绩在[80,90)内的情况有ABC，ABD，ABE，
ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，CDE，CDF，
共16种，
所以这3人中至少有2人的岗位技术比赛成绩在[80,90)内的概率P＝＝.
3.(2022·贵阳模拟)如图，四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，AB∥CD，
AB⊥AD，AB＝3，AD＝，AP＝CD＝2，∠PAB＝60°.M是CD的中点，N是PB上一点．
(1)若BP＝3BN，求三棱锥P－AMN的体积；
(2)是否存在点N，使得MN∥平面PAD，若存在，求PN的长；若不存在，请说明理由．
解 (1)V ＝V ，
P－AMN M－PAN
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，又DA⊥AB，DA⊂平面ABCD，
∴DA⊥平面PAB，又MD∥AB，
∴点M到平面PAB的距离是AD＝，
又BP＝3BN，则S ＝S ＝××2×3×sin 60°＝，
△APN △APB
∴三棱锥P－AMN的体积为××＝1.
(2)存在．理由如下：
∵AB∥DC，AB＝3，CD＝2，
如图连接BM并延长，与AD交于点E，连接PE，∵DM∥AB，
∴在△EAB中，＝＝，
∴在△PBE中，在PB上取点N，使得＝＝，
则MN∥PE，
又MN⊄平面PAD，PE⊂平面PAD，
∴MN∥平面PAD，
在△PAB中，PB＝＝PB＝，
∴PN＝PB＝.
4．(2022·吕梁模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(α为参数)．以坐标原点O
1
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ＝φ(ρ∈R)．
2
(1)求C 的极坐标方程；
1
(2)设C 与C 交于M，N两点，若|OM|＋|ON|＝4，求C 的直角坐标方程．
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解 (1)因为C 的参数方程为(α为参数)，所以消去参数α，可得C 的普通方程为x2＋(y－2)2
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＝9，即x2＋y2－4y－5＝0，
又所以C 的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－5＝0.
1
(2)由于C 与C 交于M，N两点，联立得ρ2－4ρsin φ－5＝0，
1 2
设M，N两点所对应的极径为ρ ，ρ ，
M N
则ρ ＋ρ ＝4sin φ，ρ ρ ＝－5，
M N M N
故|OM|＋|ON|＝|ρ －ρ |＝＝＝4，
M N
整理得sin2φ＝，则sin φ＝±，
所以C 的直角坐标方程为x±y＝0.
2
