圆锥曲线大题综合（学生版）_2024-2026高三（6-6月题库）_2025年12月高三试卷_251219圆锥曲线大题综合（解析版）

圆锥曲线大题综合 冲刺秘籍 1. 利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤： (1)设直线方程，设交点坐标为x 1 ,y 1 1  、x 2 ,y 2  ； (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ； (3)列出韦达定理； (4)将所求问题或题中的关系转化为x +x 、x x (或y +y 、y y )的形式； 1 2 1 2 1 2 1 2 (5)代入韦达定理求解 2. 若直线l:y=kx+b与圆雉曲线相交于A(x ,y )，B(x ,y )两点， 1 1 2 2 由直线与圆锥曲线联立，消元得到Ax2+Bx+C=0(Δ>0) B C 则：x +x =- ,x x = 1 2 A 1 2 A 则：弦长 AB  = x 1 -x 2  2+y 1 -y 2  2= x 1 -x 2  2+kx 1 -kx 2  2 = 1+k2x -x 1 2  = 1+k2 x 1 +x 2  2-4x x 1 2 = 1+k2  B - A   2 4C  -  A  = 1+k2  B2-4AC  A2  1+k2 =  ⋅Δ A  1 或|AB|= 1+ k2 ⋅ y 1 -y 2  1 2= 1+ ⋅y -y k2 1 2  3. 处理定点问题的思路： (1)确定题目中的核心变量(此处设为k)， (2)利用条件找到k与过定点的曲线Fx,y  =0的联系，得到有关k与x,y的等式， (3)所谓定点，是指存在一个特殊的点x 0 ,y 0  ，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于 k与x,y的等式进行变形，直至找到x 0 ,y 0  ， ①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，变形为“k⋅  ”的形式，让括号中式子等于0， 求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变 为常数. 4. 处理定值问题的思路： 联立方程，用韦达定理得到x +x 、x x (或y +y 、y y )的形式，代入方程和原式化简即可. 1 2 1 2 1 2 1 2冲刺训练 一、解答题 6 4 1 已知点A(2,0)，B- ,- 5 5 2  x2 y2 在椭圆M: + =1(a>b>0) 上. a2 b2 (1)求椭圆M的方程； (2)直线l与椭圆M交于C,D两个不同的点(异于A,B)，过C作x轴的垂线分别交直线AB,AD于点 P,Q，当P是CQ中点时，证明．直线l过定点. x2 y2 2 2 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ，且点4,1 a2 b2 2  在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)若经过定点0,-1  的直线l与椭圆C交于P,Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化 时，求△MPQ面积的最大值.x2 y2 3 已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2 3  2 的短轴长为2 2，离心率为 ． 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P4,1  的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足AP  ⋅QB  =AQ  ⋅PB  ，证明：点Q总在某定直线上． 4 已知抛物线E：y2=4x，过点P(1,1)作斜率互为相反数的直线m,n，分别交抛物线E于A,B及 C,D两点．   (1)若PA=3BP，求直线AB的方程； (2)求证：∠CAP=∠BDP．y2 5 已知双曲线M:x2- =1，在双曲线M的右支上存在不同于点A(2,3)的两点P，Q，记直线 3 AP,AQ,PQ的斜率分别为k ,k ,k，且k ，k，k 成等差数列． 1 2 1 2 (1)求k的取值范围； (2)若△OPQ的面积为 6(O为坐标原点)，求直线PQ的方程． 6 已知O为坐标原点，定点F 1-1,0 4  ，F 21,0  ，圆O:x2+y2=2，M是圆内或圆上一动点，圆O与 以线段FM为直径的圆O 内切. 2 1 (1)求动点M的轨迹方程； (2)设M的轨迹为曲线E，若直线l与曲线E相切，过点F 作直线l的垂线，垂足为N，证明：ON 2  为定 值.x2 7 已知双曲线 3 -y2=1,F 1 ,F 2 为其左右焦点，点Px 0 ,y 0 5  为其右支上一点，在P处作双曲线的 切线l. (1)若P的坐标为3, 2  ，求证：l为∠FPF 的角平分线； 1 2 (2)过F,F 分别作l的平行线l ,l ，其中l 交双曲线于A､B两点，l 交双曲线于C､D两点，求△PAB 1 2 1 2 1 2 和△PCD的面积之积S ⋅S 的最小值. △PAB △PCD 8 已知圆E：x+1  2+y2=16，点F1,0  ，G是圆E上任意一点，线段GF的垂直平分线和半径 GE相交于H (1)求动点H的轨迹Γ的方程； (2)经过点F和T7,0  的圆与直线l：x=4交于P，Q，已知点A2,0  ，且AP、AQ分别与Γ交于M、 N.试探究直线MN是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.9 已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A ，A ，动直线l：y=kx+m与圆x2+y2=1相切， 1 2 且与双曲线左、右两支的交点分别为P(x ，y )，P(x ，y )． 1 1 1 2 2 2 (1)求k的取值范围； (2)记直线PA 的斜率为k ，直线PA 的斜率为k ，那么k k 是定值吗？证明你的结论． 1 1 1 2 2 2 1 2 BD⋅BE 1 10 △ABC中，D,E是边BC上的点，∠BAD=∠CAE，且 = ． CD⋅CE 3 (1)若BC=3，求△ABC面积的最大值； (2)若AB=1,BC=2,△ABC内是否存在点P，使得∠ABP=∠BCP=∠CAP？若存在，求 sin∠ABP；若不存在，说明理由． 6x2 y2 11 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，过右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF a2 b2 =3． (1)求△APQ的内心坐标；     (2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR⋅ND=MD⋅RN？若 存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由． x2 y2 12 椭圆E的方程为 + =1，左、右顶点分别为A-2,0 4 8 7  ，B2,0  ，点P为椭圆E上的点，且 在第一象限，直线l过点P (1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若PD=2，求PC的长； (2)若直线l过点-1,0  ，且交椭圆E于另一点Q(异于点A，B)，记直线AP与直线BQ交于点M，试 问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．13 已知R是圆M：x+ 3 8  2+y2=8上的动点，点N 3,0  ，直线NR与圆M的另一个交点为 S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点P-2,0  的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存 在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. x2 y2 14 已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的离心率是 3，实轴长是2，O为坐标原点.设点 a2 b2 Px 0 ,y 0  为双曲线C上任意一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于M，N两点， △OMN的面积为S. x x y y (1)当l的方程为 0 - 0 =1时，求S的值； a2 b2   1+λ (2)设MP=λPN，求证：  2 λ  为定值. ⋅Sx2 y2 15 已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 3 9  的左、右顶点分别为M 、M ，T为椭圆上异于M 、M 的 1 2 1 2 3 动点，设直线TM 、TM 的斜率分别为k 、k ，且k ⋅k =- . 1 2 1 2 1 2 4 (1)求椭圆C的标准方程；   (2)设动直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⋅OB=0，△OAB的面积是否存在最 小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由. x2 y2 16 已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  1 的离心率e= ，短轴长为2 3． 2 (1)求椭圆C的方程； (2)已知经过定点P1,1   3 的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线y=- x相交于点Q，如果AQ 4    =λAP，QB=μPB，那么λ+μ是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．17 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，M-1,0 10  ，N1,0  ，Q为线段MN上异于M,N的一 PM 动点，点P满足  QM  PN =  QN  =2. (1)求点P的轨迹E的方程； (2)点A,C是曲线E上两点，且在x轴上方，满足AM⎳NC，求四边形AMNC面积的最大值. x2 y2 18 已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的离心率为2. (1)求双曲线C的渐近线方程； a (2)若双曲线C的右焦点为F，若直线EF与C的左，右两支分别交于E,D两点，过E作l:x= 的垂 2 线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.19 已知点P4,3 11  x2 y2 为双曲线E: - =1(a>0,b>0)上一点，E的左焦点F 到一条渐近线的 a2 b2 1 距离为 3. (1)求双曲线E的标准方程； (2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y =kx+t过定点，并求该定点的坐标. x2 y2 20 已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b  ，AF  =1，点 M在线段AB上，且满足BM  = 3MA  ，直线OM的斜率为1，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程. (2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的定点E，使得 EP  ⋅FQ  =EQ  ⋅FP  恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.21 已知P为圆C：x2+y2-2x-15=0上一动点，点N-1,0 12  ，线段PN的垂直平分线交线段 PC于点Q． (1)求点Q的轨迹方程； (2)点M在圆x2+y2=3上，且M在第一象限，过点M作圆x2+y2=3的切线交Q点轨迹于A，B两 点，问△ABC的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. x2 y2 22 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0 a2 b2 6 的对称点落在直线x=a2上，且椭圆C过点M1, 2  . (1)求椭圆C的方程； 1 (2)P,Q为椭圆C上两个动点，且直线AP与AQ的斜率之积为- ,MD⊥PQ,D为垂足，求AD 6  的 最大值.23 如图，在平面直角坐标系xOy中，F为x轴正半轴上的一个动点．以F为焦点、O为顶点作抛 物线C:y2=2px(p>0)．设P为第一象限内抛物线C上的一点，Q为x轴负半轴上一点，设 Q-a,0 13  ，使得PQ为拋物线C的切线，且PQ  =2．圆C 、C 均与直线OP切于点P，且均与x轴相 1 2 切． (1)试求出a,p之间的关系； (2)是否存在点F，使圆C 与C 的面积之和取到最小值．若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明 1 2 理由．x2 y2 24 已知O为坐标原点，椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 14  3 的离心率为 ，椭圆的上顶点到右顶点的 2 距离为 5． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点D(-2,2)作直线与椭圆交于A、B两点，且A、B位于第一 象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线EB、EC的斜率分别记为 k 、k ，求k ⋅k 的值． 1 2 1 2 x2 y2 25 已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  3 3 的离心率为 ，且经过点A1, 2 2  ． (1)求椭圆C的方程； (2)过点B4,0  PB 的直线与C交于M，N两点，直线AM,AN分别与直线x=4交于点P，Q，求  QB  的值．x2 y2 26 已知椭圆C: + =1(a>b>0)与直线l:y=kx相交于A,B两点，椭圆上一动点M，满足 a2 b2 1 k ⋅k =- (其中k表示两点连线的斜率)，且F,F 为椭圆C的左、右焦点，△MFF 面积的最大值 MA MB 4 1 2 1 2 为 3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F 的直线l交椭圆C于P,Q两点，求△FPQ的内切圆面积的最大值． 2 1 x2 y2 27 已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2 15  的左、右焦点分别为F，F，A，B分别是C的右、上顶点， 1 2 且AB  = 7，D是C上一点，△BFD周长的最大值为8. 2 (1)求C的方程； (2)C的弦DE过F，直线AE，AD分别交直线x=-4于M，N两点，P是线段MN的中点，证明：以 1 PD为直径的圆过定点.28 如图，已知抛物线C：y2=2pxp>0 16  ，F为其焦点，点A2,y 0  在C上，△OAF的面积为4． (1)求抛物线C的方程； (2)过点Pm,0  m>0  作斜率为-1的直线l 交抛物线C于点M，N，直线MF交抛物线C于点Q， 1 以Q为切点作抛物线C的切线l ，且l ⎳l ，求△MNQ的面积． 2 2 1 29 已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y=x垂直，A为垂足且位于第三 象限；直线MB与直线y=-x垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2， 记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)点E2 2,0  ，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k ，k ，k . 1 2 3 1 1 若 + k k 1 2  ⋅k =-6，求△PQE周长的取值范围. 330 在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-6,0)、F(6,0)，△MFF 的内切圆与直线FF 相切于点 1 2 1 2 1 2 D(4,0)，记点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设点T在直线x=2上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BP，AQ.若直 线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较cos∠BAQ与cos∠BPQ的大小. 17