文档内容
第8讲 离心率的范围问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围.............................................................................2
【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围.............................................................................3
【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围.............................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................6
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，
相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．
真题自测
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点突破
【考点一】利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
一、单选题
1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，
若使 为直角三角形的点 有8个，则 的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，
且 ，设 ，当 的范围为 时，双曲线C离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ， 为椭圆 的左、右焦点，点 为
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学科网（北京）股份有限公司椭圆上一点，且 ，下列说法正确的是（ ）
A．
B．离心率范围
C．当点 为短轴端点时， 为等腰直角三角形
D．若 ，则
4．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知双曲线 的左右顶点为 ， ，左右焦点为 ， ，直
线 与双曲线的左右两支分别交于 ， 两点，则（ ）
A．若 ，则 的面积为
B．直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点，则
C．若 的斜率的范围为 ，则 的斜率的范围为
D．存在直线 的方程为 ，使得弦 的中点坐标为
三、填空题
5．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，
焦距为 ， 是椭圆 上一点（不在坐标轴上）， 是 的平分线与 轴的交点，若 ，
则椭圆离心率的范围是 ．
6．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
过 的直线 与 的右支交于 两点，若 ，则 的离心率为 .
规律方法：
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学科网（北京）股份有限公司此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于 a，b，c的不等式或不
等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．
【考点二】利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
一、单选题
1．（2022·四川泸州·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点为 ，若椭圆C上恰好有
6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆 的焦距为 ，若直线
恒与椭圆 有两个不同的公共点，则椭圆 的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（21-22高二上·湖南永州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．过双曲线右焦点且斜率为 的直线与双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的范围为
B．直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则
C．动圆与圆 外切，与圆 内切，则动圆圆心的轨迹是某双曲线的一支
D．点 满足 ，则动点 的轨迹是一条直线
4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）已知 、 分别为双曲线 的左、右焦点，点
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学科网（北京）股份有限公司在直线l上，过点 的直线与双曲线的右支交于A、B两点，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与双曲线左右两支各一个交点，则直线l的斜率范围为 ）
B．点 到双曲线渐近线的距离为
C．若直线AB垂直于x轴，且△ABM为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为
D．记 的内切圆 的半径为r， 的内切圆 的半径为 ，若 ，则
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三、填空题
5．（21-22高二上·黑龙江绥化·期中）已知椭圆 上有一点 ， ， 是椭圆的左、
右焦点，若使得 为直角三角形的点 有8个，则椭圆的离心率的范围是 ．
6．（21-22高三上·浙江绍兴·期末）已知 是双曲线 .左，右焦点，若 上存
在一点 ，使得 成立，其中 是坐标原点，则 的离心率的取值范围是 .
规律方法：
利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，
建立不等式(不等式组)求解．
【考点三】利用几何图形的性质求离心率的范围
核心梳理：
一、单选题
1．（23-24高二上·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 ，则椭圆离
心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆和双曲线有相同的焦点 、 ，它们的离心率分别为 、 ，点 为
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学科网（北京）股份有限公司它们的一个交点，且 ，则 的范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（23-24高二上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点
B．直线 的倾斜角的范围是
C．方程 表示的曲线是双曲线
D．曲线 与曲线 恰有三条公切线，则
4．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知双曲线 的左右顶点为 ，左右焦点为 ，直线
与双曲线的左右两支分别交于 两点，则（ ）
A．若 ，则 的面积为
B．存在弦 的中点为 ，此时直线 的方程为
C．若 的斜率的范围为 ，则 的斜率的范围为
D．直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 两点，则
三、填空题
5．（2022·湖南长沙·二模）已知双曲线 的左右焦点分别为F，F，若C与直线
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有交点，且双曲线上存在不是顶点的P，使得 ，则双曲线离心率取值范围范围为
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6．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆 的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点
对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是
.
规律方法：
利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆 ， 为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为
，则离心率e的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高二·全国·课后作业）已知直线 ，若椭圆 上的点到直线 的距离的
最大值与最小值之和为 ，则椭圆 的离心率范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（21-22高二上·湖南邵阳·期末）设 为双曲线 与椭圆 的公共的左右焦点，它们在第
一象限内交于点 是以线段 为底边的等腰三角形，若椭圆 的离心率范围为 ，则双曲线
的离心率取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．（21-22高二上·辽宁葫芦岛·期末）椭圆 与双曲线 有公共的焦点 、 ，
与 在第一象限内交于点 ， 是以线段 为底边的等腰三角形，若椭圆 的离心率的范围是
，则双曲线 的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 左、右顶点为
A，B，若该双曲线上存在点P，使得 的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，
且 ，设 ，当双曲线C的离心率范围为 时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高二上·北京房山·期末）已知 是双曲线 的左、右焦点，若在右支
上存在点A，使得点 到直线 的距离为 ，则双曲线离心率e的范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
8．（2023·江西·二模）已知双曲线E: ,其左右顶点分别为 , ,P在双曲线右支上运动,若
的角平分线交x轴于D点, 关于 的对称点为 ,若仅存在2个P使直线 与E仅有一个交点,则E离
心率的范围为( )
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高三上·江苏·阶段练习）设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W经过
另外两个顶点，则W的离心率的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二下·湖北孝感·期中）设椭圆 与双曲线 （其中 ）的离心率分
别为 ， ，且直线 与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（ ）
A． 的取值范围是 B． 的取值范围是
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
11．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知 ， 是椭圆 与
双曲线 共同的焦点， ， 分别是 ， 的离心率，点M是它们的一个交点，
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学科网（北京）股份有限公司则以下判断正确的有（ ）
A． 面积为
B．若 ，则
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
三、填空题
12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线 的焦点在 轴上，则离心率 的范围为
．
13．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）设 分别为椭圆 的左、右焦点， 在
椭圆上运动时，至少有两个位置使得 ，则椭圆C的离心率范围是 ．
14．（23-24高二上·江西南昌·期中）设 ， 是椭圆 与双曲线
的公共焦点，曲线 ， 在第一象限内交于点 ， ，若椭圆的
离心率 ，则双曲线的离心率 的范围是 .
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