文档内容
人教版初中数学八年级下册
17.1.2 勾股定理在实际生活中的应用 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．已知点 ， ，则 ， 两点间的距离是（ ）
A． 个单位长度 B． 个单位长度 C． 个单位长度 D． 个单位长度
【答案】B
【分析】根据题意画出图形即可由图直接求出A、B两点之间的距离．
【详解】解：如图，可知A、B间的距离为3个单位长度．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合是解题的关键．
2．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是：（ ）
A．8m B．5m C．9m D．7m
【答案】A
【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【详解】由题意可知：BC=3m，AC=4m，
∴在 中，
m
∴这棵树原来的高度 m．
故答案选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．如图，高速公路上有 两点相距10km，为两村庄，已知 于 ，
于 ,现要在 上建一个服务站 ，使得 两村庄到 站的距离相等，则 的长是（ ）
km．
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】A
【分析】根据题意设出EB的长为 ，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】设EB=x，则AE=10-x，
由勾股定理得：
在Rt ADE中，
△
，
在Rt BCE中，
△ ，
由题意可知：DE=CE，
所以： = ，
解得： (km)．
所以，EB的长为4km．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的运用，主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，运
用方程思想求解．
4．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树
的树梢，问小鸟至少飞行（）．
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】B
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，设大树高为 米，
小树高为米，
过 点作 于 ，则 是矩形，
连接 ，
米， 米， 米，
在 中， 米，
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
5．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴
岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺 ）意思为：如图，有一个边长为1丈
的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的
顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺
【答案】D
【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即
可列出方程，进而得到答案．
【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，
依题意，由勾股定理，得： ，
解得 ，
所以芦苇的长度为13尺．
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键．
6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m
处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m
【答案】D
【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在
Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
【详解】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，
解得：x=17，即旗杆的高度为17米．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就
是作垂线．
7．如图，一根长5米的竹竿 斜靠在竖直的墙上，这时 为4米，若竹竿的顶端 沿墙下滑2米至
处，则竹竿底端 外移的距离 （ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对
【答案】A
【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的长，即可得出BD的长，再根据无理数的估算，估算出BD的长
即可得答案．
【详解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，
∴OB= =3，OD= = ，
∴BD= -3，
∵16＜21＜25，
∴4＜ ＜5，
∴1＜ -3＜2，即BD的长小于2米，
故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用及无理数的估算，灵活运用勾股定理、熟练运用“夹逼法”估算无理数
是解题关键．
二、填空题：
8．在平面直角坐标系内，点 到原点O的距离是______．
【答案】
【分析】根据两点间的距离公式，即可求解．
【详解】解：根据两点间的距离公式可得：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握勾股定理是解题的关键．
9．如图，一根长 的吸管置于底面直径为 高为 的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度
最短是___________ ．
【答案】5
【分析】当杯子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的吸管与圆柱形水杯的底面直径
和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出吸管在水杯中的长度，吸管总长度减去杯子里面的长度即露在
外面的长度．
【详解】设杯子底面直径为a，高为b，吸管在杯中的长度为c，
根据勾股定理，得：c2＝a2＋b2，
解得：c＝15，
∴吸管露在外面最短为20－15＝5（cm），
故答案为：5．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，牢记公式稍加分析即可．10．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，
踩伤了花草．则他们仅仅少走了 _____步路．（假设2步为1米）
【答案】8
【分析】在Rt ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数．
【详解】解：∵△∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，
∴ ，
则（8+6﹣10）×2＝8，
∴他们仅仅少走了8步，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．熟练掌握勾股定理
是解题的关键．
11．如图，点 在正方形 的边 上，若 ， ，那么正方形 的面积为_．
【答案】 ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得， ，
正方形 的面积 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．12．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，此时绳子末端距离地面
2m，则绳子的总长度为 ___m．
【答案】10
【分析】设绳子的长度为xm，则AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m，再利用勾股定理得到
即 ，解方程即可．
【详解】解：设绳子的长度为xm，则AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m，
在Rt△ABC中 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够根据题意构造直角三角形进行求解．
13．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的
池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵
树高__米．【答案】15
【详解】试题解析：如图，
设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202=[30-（x-10）]2，解得x=15m．
故这棵树高15m．
【点睛】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．
三、解答题：
14．如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口
外的最短长度是7厘米，求茶杯的高度．
【答案】茶杯的高度为12厘米【分析】由题意得当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短，据此利用勾股定
理求解即可．
【详解】解：由题意得当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短，此时CD=7
厘米，AB=5厘米
∴AC=20-7=13厘米，
∴ 厘米，
∴茶杯的高度为12厘米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意确定当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，
筷子露在外面的长度最短是解题的关键．
15．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢
离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时
间才能赶回巢中？
【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．
过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，
∴在Rt AEC中，
AC2=CE△2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．16．如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于
点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．
【答案】4km
【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4．
所以，EB的长是4km．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
17．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小
汽车在城市道路 上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达
B处（ ），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离 为100米，请问这辆小汽车是否超速？
【答案】小汽车已超速行驶．
【分析】根据题意得出由勾股定理得出 的长，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．【详解】解：根据题意，得 米， 米， ，
在 中，根据勾股定理， (米)，
80米 千米，
4秒 小时，
，
所以小汽车已超速行驶．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出 的长是解题关键．
18．为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注： ）；②放出的风筝
线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)风筝的高度CE为16.6米
(2)他应该往回收线7米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
（1）
在Rt△CDB中，
由勾股定理得，
∴ ，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）
如图，设风筝沿CD方向下降9米至点 ，则 ，，
，
，
∴他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
19．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，
踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索 悬挂于O点，
静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（ 尺）．将它往前推进两步（ 于
点E，且 尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（ 尺， ），则秋千绳索长
多少尺？
【答案】
【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：设OB＝OA＝x（尺），
∵四边形BECD是矩形，
∴BD＝EC＝5（尺），
在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x−4，BE＝10，
∴x2＝102＋（x−4）2，∴x＝ ．
∴OA的长度为 （尺）．
【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中
考常考题型．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的木棒最长为（ ）
A．19m B．24m C．13m D．15m
【答案】C
【分析】连接AC，AG，由题意可知∠ACG=∠ABC=90°，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接AC，AG，
由长方体的性质可以知∠ACG=∠ABC=90°，
∴ ( m)，
∴ ( m),
∴能放进木箱中的木棒最长为13m，
故选C．
.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．
2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两
个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（ ）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm
【答案】B
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最
短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
【详解】解：展开图为：
则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，
在Rt ABC中，AC=100cm，∴AB= =125cm．
△
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．
3．如上图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 ，底面周长为10 ，在容器内壁离容器
底部3 的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 的点 处，则蚂蚁吃到饭
粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13 B．12 C．15 D．16
【答案】A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：由题意可得：此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3 与饭粒相对的点 处，
， ，
将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，
连接 ，则 即为最短距离，
.
故选A.
【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解
题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
二、填空题：
4．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的
方向航行12海里，这时两轮船相距_____海里．
【答案】13
【分析】根据题意可得，∠AOB=180°-25°-65°=90°，OA=5，OB=12，再根据勾股定理可得AB的长，即可
得两轮船的距离．
【详解】解：如图，根据题意可知：
∠AOB=180°-25°-65°=90°，
OA=5，OB=12，
∴AB= =13(海里)．
所以两轮船相距13海里．
故答案为：13
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
5．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠
绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm．
【答案】10
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：将长方体展开，连接A、B′，
∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm，
根据两点之间线段最短，AB′= =10cm．
故答案为：10三、解答题：
6．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机
行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到
噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
【答案】会受到影响，24s
【分析】过点A作AB⊥PN于点B，则可得AB=80m，从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学
到影响，点F结束，则易得AE=AF，从而BE=BF，由勾股定理可求得BE的长，从而得EF的长，由路程、
速度与时间的关系即可求得学校受影响的时间．
【详解】如图，过点A作AB⊥PN于点B，
∵∠QPN=30°，AP=160m，
∴ ，
∵80m<100m，
∴学校会受到噪音的影响；
设从点E开始学校学到影响，点F结束，则AE=AF=100m，
∵AB=AB，
∴Rt△ABE≌Rt△ABF，
∴BE=BF，
由勾股定理得： ，
∴EF=2BF=120m=0.12km，
则受影响的时间为： （s）．【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性
质，勾股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点．
7．如图，草原上，一牧童在A处放马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC，BD的长分别为500m
和700m，且CD=500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，牧童将马牵到河边什么地
方饮水，才能使走过的路程最短？牧童最少要走多少m？
【答案】AE为牧童要走的最短路程为1300米
【分析】首先作点B关于CD的对称点E，根据对称的性质得出 MDE≌△MDB，从而得出AE为牧童要走
的最短路程，然后根据Rt ANE的勾股定理得出答案． △
【详解】解：作点B关于△CD的对称点E，由对称的性质可知，BD=ED，∠EDM=∠MDB，DM=DM，
∴△MDE≌△MDB，
∴BM=ME，BM+AM=ME+AM=AE，即AE为牧童要走的最短路程．
∵EN=CD=500米，AN=NC+AC=700+500=1200米，∴在Rt ANE中， 米．
△
故牧童至少要走1300米．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，正确构造出
直角三角形．
