文档内容
七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.1 认识有理数
2.1.1 相反数和绝对值
相反数
知识点一
★1、相反数的定义： 像 2和﹣2，3和﹣3 这样只有符号不同的两个数叫做相反数.（代数意义）
一般地，a 和 -a 互为相反数.
★2、相反数的性质：
任何一个数都有相反数，而且只有一个，正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数.
★3、求一个相反数的方法：
（1）求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数.
（2）求一个字母或一个式子相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号.
【注意】
（1）任何一个数都有唯一的相反数，
（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.
多重符号的化简
知识点二
◆1、多重符号化简的依据：相反数的定义是多重符号化简的依据．例如：﹣（﹣5）表示﹣5的相反数，
所以﹣（﹣5）=5.
★2、多重符号的化简
化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果
为负.简称“奇负偶正”.绝对值
知识点三
★1、绝对值的定义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，如3和-3的绝对值都等于3，0的绝对值
等于0.如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”.
【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0.
★2、绝对值的性质：
（1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0.
a {a a 0 { a a 0
| |=¿ ( > )¿ − ( < )¿¿¿¿
（2）字母 a 表示一个有理数，则
（3）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
（4）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0.
有理数的大小比较
知识点四
★1、正数都大于0，负数都小于0， 正数大于一切负数；
★2、两个负数，绝对值大的其值反而小．
★3、利用绝对值比较两个负数大小的步骤:
①求:求两个负数的绝对值;
②比:比较这两个负数绝对值的大小;
③判:根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行判断.题型一 相反数的定义
解题技巧提炼
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，一般地，a 和 -a 互为相反数.
1．（2024•甘孜州）﹣24的相反数为（ ）
1 1
A．24 B．﹣24 C． D．−
24 24
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：﹣24的相反数是24．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（2023•张家界三模）﹣2023的相反数是（ ）
1 1
A．− B．﹣2023 C． D．2023
2023 2023【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：﹣2023的相反数为2023．
故选：D．
【点评】本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
3．（2022•常州）2022的相反数是（ ）
1 1
A．2022 B．﹣2022 C． D．−
2022 2022
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2022的相反数是﹣2022，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
1
4．（2024•绥化）实数− 的相反数是（ ）
2025
1 1
A．2025 B．﹣2025 C．− D．
2025 2025
【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
1 1
【解答】解：− 的相反数是 ，
2025 2025
故选：D．
【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（2024•睢宁县校级模拟）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
1 1 1 1
A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D． 和﹣2
2 2 3 2
【分析】根据相反数定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数，
且互为相反数两个数相加得0，
1
﹣0.5+ =0．
2
故选：B．
【点评】题目考查了相反数的定义，解决题目的关键是掌握相反数的定义，并且了解互为相反数的两个
数相加得0．
6．（2023秋•蚌埠期末）下列两个数中，互为相反数的是（ ）1
A．+3和﹣（﹣3） B．3和
3
1
C．﹣2和− D．+（﹣4）和﹣（﹣4）
2
【分析】根据相反数的性质解答即可．
【解答】解：A、﹣（﹣3）＝3，故不是相反数，不合题意；
1
B、3和 不是相反数，不合题意；
3
1
C、﹣2和− 不是相反数，不合题意；
2
D、+（﹣4）＝﹣4，﹣（﹣4）＝4，是相反数，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是根据相反数的性质化简多重符号．
7．（2024•河口区校级模拟）下列各数中，表示3的相反数的是（ ）
A．﹣（﹣3） B．|+3| C．|﹣3| D．+（﹣3）
【分析】根据相反数、绝对值的意义化简各数，然后判断即可．
【解答】解：A、﹣（﹣3）＝3，故此选项不符合题意；
B、|+3|＝3，故此选项不符合题意；
C、|﹣3|＝3，故此选项不符合题意；
D、+（﹣3）＝﹣3，﹣3是3的相反数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值、相反数，熟知这两个定义是解题的关键．
8．（2023秋•科左中旗期中）下面说法：① 的相反数是﹣ ；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣
3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相π 反数可能相等π；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（
）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据相反数的定义可对5个选项进行一一分析进而得出答案即可．
【解答】解：①根据 的相反数是﹣ ；故此选项正确；
②只有符号不同的两个π数是互为相反π数，故此选项错误；
③﹣（﹣3.8）＝3.8，3.8的相反数是﹣3.8；故此选项正确；
④一个数和它的相反数可能相等，如0的相反数等于0，故此选项正确；
⑤正数与负数不一定是互为相反数，如+3和﹣1，故此选项错误；故正确的有3个．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的
相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数是关键．
题型二 利用相反数的概念求值
解题技巧提炼
求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，即可得到这个数的相反数.
1．（2024•盐城二模）如果a与1互为相反数，那么a＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：因为a与1互为相反数，﹣1与1互为相反数，
所以a＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数．解题的关键是掌握相反数的定义，明确在一个数的前面加上负号就是这个
数的相反数．
2．（2024•东莞市校级二模）如果a与﹣3互为相反数，则a等于（ ）
1 1
A． B．3 C．− D．﹣3
3 3
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：由题意，得
a＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反
数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
3．（2024•广水市一模）如果a与﹣2024互为相反数，那么a的值是（ ）
1 1
A．﹣2024 B． C．− D．2024
2024 2024
【分析】符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此即可求得答案．
【解答】解：∵a与﹣2024互为相反数，∴a+（﹣2024）＝0，
∴a＝2024．
故选：D．
【点评】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．若a＝﹣a，则a＝ ．
【分析】相反数等于本身的数只有0，依此即可求解．
【解答】解：∵a＝﹣a，
∴a＝0．
故答案为：0．
【点评】考查了相反数等于本身的数的了解．
5．（2024•崂山区校级三模）已知﹣3的相反数是a，则a的值为（ ）
1 1
A．3 B．− C． D．﹣3
3 3
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
∴a＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负
数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
6．（2024春•宝山区期末）如果a+5的相反数是﹣3，那么a＝ ．
【分析】利用相反数的定义即可求解．
【解答】解：由相反数的定义得：a+5﹣3＝0，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了求一个数的相反数，利用相反数的定义求解是解题的关键．
7．已知a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，b比最小的正整数大4，c是相反数等于它本身的数，则3a+2b+c的
值是 ．
【分析】根据正整数、相反数的概念求出a，b，c的值，代入3a+2b+c即可得到结果．
【解答】解：因为a是﹣[﹣（﹣5）]的相反数，所以a＝5；
因为最小的正整数是1，且 b 比最小的正整数大 4，所以 b＝5；
因为相反数等于它本身的数是0，所以 c＝0，所以 3a+2b+c＝3×5+2×5+0＝25．
故答案为：25．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．
7
8．（2023秋•惠民县校级月考）已知+（− ）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，求
3
x+y+z的相反数．
【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果．
7
【解答】解：∵+（− ）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z相反数是z，
3
7
∴x= ，y＝3，z＝0，
3
7 16
∴x+y+z= +3+0= ，
3 3
16
∴x+y+z的相反数是− ．
3
【点评】本题考查了相反数的定义，熟记相反数的概念是解题的关键．
题型三 多重符号的化简
解题技巧提炼
多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个
“﹣”号，结果为正．
1．（2024•湖南）计算：﹣（﹣2024）＝ ．
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣（﹣2024）＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查的是相反数，多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有
偶数个“﹣”号，结果为正．
1
2．（2024春•南岗区校级月考）化简−[−(− )]= ．
4
【分析】根据相反数的定义即可得到答案．1 1 1
【解答】解：−[−(− )]=−( )=− ；
4 4 4
1
故答案为：− ．
4
【点评】本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
3．下列表示﹣5的“相反数”的是（ ）
A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）]
【分析】利用有理数的符号化简，相反数的定义判断即可．
【解答】解：A、﹣（﹣5）＝5，是﹣5的相反数，所以此选项正确；
B、﹣（+5）＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误；
C、﹣[﹣（﹣5）]＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误；
D、﹣[+（+5）]＝﹣5，不是﹣5的相反数，所以此选项错误
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的符号化简，相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．
4．（2023秋•城关区校级期中）化简
−(−(−(−⋯(−1)⋯)))的结果的相反数为（
）
¿
A．﹣1 B．1 C．±1 D．2022
【分析】根据相反数的定义进行化简即可．
【解答】解：原式＝1，∴其相反数为﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相反数，正确用式子表示出：“一个数的相反数”是解题的关键．
5．（2023秋•彭山区校级月考）填空：
（1）+（﹣2）＝ ；﹣（﹣2）＝ ．
（2）﹣[+（﹣2）]＝ ；﹣{+[﹣（﹣2）]}＝ ．
【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：（1）+（﹣2）＝﹣2；
﹣（﹣2）＝2；
故答案为：﹣2，2；
（2）﹣[+（﹣2）]＝2；
﹣{+[﹣（﹣2）]}＝﹣2．
故答案为：2，﹣2．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
6．（2023秋•静海区校级月考）化简下列各数：
（1）﹣（﹣68）＝ ；
（2）﹣（+0.75）＝ ；
2
（3）−[−(− )]= ．
3
【分析】根据相反数的定义分别化简即可．
【解答】解：（1）﹣（﹣68）＝68，
故答案为：68；
（2）﹣（+0.75）＝﹣0.75，
故答案为：﹣0.75；
2 2
（3）﹣[﹣（− ）]=− ，
3 3
2
故答案为：− ．
3
【点评】此题考查的是相反数，熟记概念进行多重符号的化简是解题的关键．
7．（2023秋•德化县校级月考）化简下列各数：
①﹣（﹣8）＝ ；
②﹣（+0.75）＝ ；
3
③−[−(− )]= ；
5
④﹣[+（﹣3.8）]＝ ．
【分析】利用化简多重符号的方法即可求解．
【解答】解：①﹣（﹣8）＝8；
②﹣（+0.75）＝﹣0.75；
3 3
③−[−(− )]=− ；
5 5
④﹣[+（﹣3.8）]＝3.8．
3
故答案为：①8；②﹣0.75；③− ；④3.8．
5
【点评】本题考查了相反数的意义，熟练掌握化简多重符号的方法是解题的关键．
8．化简下列各数：①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）；
④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]．化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？
【分析】根据已知数据结合去括号法则化简各数，进而得出结果的符号与原式中的“﹣”号的个数关系．
【解答】解：①+（﹣3）＝﹣3；
②﹣（+5）＝﹣5；
③﹣（﹣3.4）＝3.4；
④﹣[+（﹣8）]＝8；
⑤﹣[﹣（﹣9）]＝﹣9．
最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的
个数是偶数，最后结果为正数．
【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确发现数字变化规律是解题关键．
题型四 求一个数的绝对值
解题技巧提炼
利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝
对值是正数； 0 的绝对值是 0.
7
1．（2023•宛城区校级四模）− 绝对值是（ ）
2
7 7 2 2
A．− B． C．− D．
2 2 7 7
【分析】本题依据有理数绝对值的计算即可得到答案．
7 7
【解答】解：负数的绝对值等于这个数的相反数，− 绝对值等于 ．
2 2
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质．
2．（2024•西双版纳一模）﹣2024的绝对值是（ ）
1 1
A．2024 B．﹣2024 C． D．−
2024 2024
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．{ a(a＞0)
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握 |a|= 0(a=0) ．
−a(a＜0)
3．（2024•临川区一模）3的相反数的绝对值是（ ）
1 1
A．3 B． C．﹣3 D．−
3 3
【分析】先求出3的相反数，再求出相反数的绝对值，即可得出答案．
【解答】解：3的相反数是﹣3，
﹣3的绝对值是3；
则3的相反数的绝对值是3；
故选：A．
【点评】此题考查了相反数、绝对值，用到的知识点是相反数、绝对值的定义，是一道基础题．
4． 化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．
【分析】根据绝对值的意义解答即可.
【解答】解：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.
【点评】根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a.
5．（2023春•龙凤区期末）﹣|﹣6|的相反数是（ ）
1 1
A．﹣6 B． C．− D．6
6 6
【分析】根据相反数的概念解答即可，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣|﹣6|＝﹣6，
﹣6的相反数是6，
∴﹣|﹣6|的相反数是6．
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是
﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
1
6．（2024•惠州二模）|− |的相反数是（ ）
2024
1 1
A．− B． C．2024 D．﹣2024
2024 2024
【分析】根据绝对值，相反数的定义进行计算即可．1 1 1 1
【解答】解：∵|− |= ，而 的相反数是− ，
2024 2024 2024 2024
1 1
∴|− |的相反数是− ，
2024 2024
故选：A．
【点评】本题考查绝对值，相反数，理解绝对值，相反数的定义是正确解答的关键．
9
7．（2023•睢阳区模拟）一个数的绝对值等于 ，则这个数是（ ）
16
9 9 9 3
A． B．− C．± D．±
16 16 16 4
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
9
【解答】解：∵一个数的绝对值等于 ，
16
9
∴这个数是：± ．
16
故选：C．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
8．（2023秋•宁津县校级月考）写出下列各数的绝对值．
8 8
（1）﹣1.5； （2） ； （3）﹣6； （4）− ； （5）3．
3 3
【分析】根据绝对值的定义逐个进行计算即可．
【解答】解：（1）|﹣1.5|＝1.5；
8 8
（2）| |= ；
3 3
（3）|﹣6|＝6；
8 8
（4）|− |= ；
3 3
（5）|3|＝3．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
题型五 比较有理数的大小解题技巧提炼
有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
1．（2024•温州模拟）某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是 5℃，0℃，﹣
22℃，﹣10℃，其中最低气温是（ ）
A．5℃ B．0℃ C．﹣22℃ D．﹣10℃
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小即可得出答案．
【解答】解：∵﹣22＜﹣10＜0＜5，
∴最低气温是﹣22°C，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．
2．（2024•广州）四个数﹣10，﹣1，0，10中，最小的数是（ ）
A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都
大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小
绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣10＜﹣1＜0＜10，
∴最小的数是：﹣10．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数
比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
3．（2024春•沙坪坝区期末）下列数中，最大的数是（ ）
3
A．﹣1 B．0 C． D．1
2
【分析】根据实数比较大小的法则进行解答即可．
3
【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜ ，
2
故选：C．【点评】本题考查的是实数的大小比较及算术平方根，熟知实数比较大小的法则是解题的关键．
4．（2024•南通二模）在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1四个数中，比﹣2大的数是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个
负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣4|＞|﹣3|＞|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣4＜﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1四个数中，比﹣2大的数是﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键掌握有理数大小比较法则．
5．（2024•南明区校级二模）在﹣3、2、0、﹣1这四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，
绝对值大的反而小；容易得出结果．
【解答】解：在﹣3、2、0、﹣1这四个数中，最小的数是﹣3；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则；主要考查学生对基础知识的掌握情况．
6．（2023•姑苏区三模）在10，﹣3，0，﹣12这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．10 B．﹣3 C．0 D．﹣12
【分析】根据绝对值的定义求出每个数的绝对值，再比较大小即可．
【解答】解：∵|10|＝10，|﹣3|＝3，|0|＝0，|﹣12|＝12，
∴0＜3＜10＜12，
∴绝对值最大的数是﹣12．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值以及有理数大小比较，解决本题的关键是明确绝对值的定义．
7 6
7．（2024春•杨浦区期末）比较大小：− ﹣|− |．
6 5
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都
大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小
绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．7 1 6 1
【解答】解：− =− −1，− =− −1，
6 6 5 5
1 1
、 分子相同、分母不同，且5＜6，
6 5
1 1
∴ ＞ ，
5 6
1 1
∴− ＜− ，
5 6
6 6
∵−|− |=− ，
5 5
7 6
∴− ＞−|− |．
6 5
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数
比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
8．比较下列各对数的大小：
（1）3和﹣7．
（2）﹣5.3和﹣（+5.4）．
4 2
（3）− 和− ．
5 3
（4）﹣（﹣7）和|﹣1|．
【分析】（1）正数大于负数；
（2）根据相反数的定义化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可；
（3）根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可；
（4）根据相反数和绝对值的性质化简后，再比较大小即可．
【解答】解：（1）3＞﹣7；
（2）﹣（+5.4）＝﹣5.4，
∵|﹣5.3|＝5.3，|﹣5.4|＝5.4，5.3＜5.4，
∴﹣5.3＞﹣（+5.4）；
4 4 2 2 4 2
（3）∵|− |= ，|− |= ， ＞ ，
5 5 3 3 5 3
4 2
∴− ＜− ；
5 3
（4）﹣（﹣7）＝7，|﹣1|＝1，∴﹣（﹣7）＞|﹣1|．
【点评】本题考查了有理数大小比较、相反数以及绝对值，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关
键．
题型六 绝对值的非负性
解题技巧提炼
1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0.
2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0.
1．（2023秋•江阴市期中）对于任意有理数a，下列结论正确的是（ ）
A．|a|是正数 B．﹣a是负数
C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数
【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a＝0时|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
B、a是负数时，﹣a是正数，故本选项错误；
C、a＝0时，﹣|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误；
D、﹣|a|不是正数，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便．
2．（2023秋•薛城区校级月考）已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则xy＝ ．
【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|x﹣2|+|y﹣6|＝0，而|x﹣2|≥0，|y﹣6|≥0，
∴x﹣2＝0，y﹣6＝0，
∴x＝2，y＝6，
∴xy＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的非负性，是解决问题的关键．
3．（2022秋•让胡路区校级期中）如果|a﹣2|+|b|＝0，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可．
【解答】解：∵|a﹣2|+|b|＝0，∴a﹣2＝0，b＝0，
解得，a＝2，b＝0．
故选：C．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个
非负数都为0．
4．（2023秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（ ）
A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2
【分析】根据绝对值的非负性，可以得知等式成立的条件为a﹣5＝0，b+6＝0，由此得到a＝5，b＝﹣
6，继而得到﹣b+a﹣1的值．
【解答】解：因为|a﹣5|+|b+6|＝0，
所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6，
所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的非负性求代数式的值，掌握绝对值的非负性是本题解题的关键．
5．（2024春•南岗区校级期中）已知a为有理数，则|a﹣2|+4的最小值为 ．
【分析】根据绝对值都是非负数，可得答案．
【解答】解：∵|a﹣2|≥0，
∴当a＝2时，|a﹣2|+4的最小值是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，利用非负数最小时和最小．
6．如果x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，这个最大值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2019 D．2021
【分析】直接利用绝对值的性质得出|x﹣2|的最小值为0．进而得出答案．
【解答】解：∵x为有理数，式子2019﹣|x﹣2|存在最大值，
∴|x﹣2|＝0时，2019﹣|x﹣2|最大为2019，
故选：C．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质是解题关键．
7．（2023秋•花垣县月考）若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝ ．
【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案．
【解答】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0，
∴a﹣20＝0，b+19＝0，∴a＝20，b＝﹣19，
∴|a|﹣|b|
＝|20|﹣|﹣19|
＝20﹣19
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是关键．
8．（2023秋•江宁区校级月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．
计算：（1）x，y，z的值．
（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．
【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方
程组，即可解出x、y、z的值；
（2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加
法法则计算即可．
{x−2=0
【解答】解：（1）由题意，得 y+3=0，
z−5=0
{
x=2
解得 y=−3．
z=5
即x＝2，y＝﹣3，z＝5；
（2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时，
|x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0，
即|x|+|y|﹣|z|的值是0．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．
初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
题型七 利用绝对值解决实际问题解题技巧提炼
本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意
义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际
问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小.
1．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．
下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（ ）
A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1
【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的．
【解答】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1，
∵1＜2＜3＜4，
∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具
有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．（2023秋•沈丘县校级月考）太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标
准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中
最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出各数绝对值，比较大小即可．
【解答】解：|+2.1|＝2.1，|﹣3.4|＝3.4，|+0.8|＝0.8，|﹣0.7|＝0.7，
∴|﹣0.7|＜|+0.8|＜|+2.1|＜|﹣3.4|，
则实际质量最接近标准质量的是﹣0.7g，
故选：D．
【点评】此题考查了正数与负数，正确理解正负数的意义是解题关键．
3．（2023秋•红桥区期中）小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500，﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（ ）
A．800 m B．200 m C．2400 m D．﹣200 m
【分析】求出各个数的绝对值的和即可．
【解答】解：小明同学跑步的总路程为|500|+|﹣400|+|﹣700|+|800|＝2400（m）
故选：C．
【点评】本题考查正负数、绝对值等正数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题
型．
4．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克
数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球
－0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个
乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
【分析】由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准
质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．
【解答】解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08
克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．
(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四
号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球
|－0.15|＝0.15，合格品．
【点评】判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．
5．已知零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量（毫米）记作正数，不足规定直径长度的数
量（毫米）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下：
序号 1 2 3 4 5
直径 +0.1 ﹣0.15 ﹣0.2 ﹣0.05 +0.25
长度/mm
（1）试指出哪件样品的大小最符合要求？
（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品．误差的绝对值在0.18mm～0.22mm之间是次品，误差
的绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？
【分析】（1）找出表格中数字绝对值最小的即为最符合要求的；（2）求出表格中每个数字的绝对值，根据误差的绝对值在0.18mm之内是正品．误差的绝对值在0.18mm
～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm的是废品，即可做出判断．
【解答】解：（1）∵|﹣0.05|＜|+0.1|＜|﹣0.15|＜|﹣0.2|＜|+0.25|，
∴第4个样品最符合要求；
（2）∵|﹣0.05|＝0.05＜0.18，|+0.1|＝0.1＜0.18，|﹣0.05|＝0.05＜0.18，
∴第1、2、4件样品是正品，
∵|﹣0.2|＝0.2，且0.18＜0.2＜0.22，
∴第3个样品是次品；
∵|+0.25|＝0.25＞0.22，
∴第5件样品是废品．
【点评】此题考查了正数与负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键．
6．（2023秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的
公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣
4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．
（1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？
（2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？
【分析】（1）根据绝对值的定义求出总路程，再计算耗油量；
（3）油费＝汽油单价×耗油量．
【解答】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km），
共耗油87÷100×10＝8.7（升）．
故这天上午汽车共耗油8.7升；
（2）7×8.7＝60.9（元）．
故出租车司机今天上午的油费是60.9元．
【点评】本题考查了正数和负数的意义；解题关键是理解“正”和“负”的相对性；在一对具有相反意
义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
