2.6 圆的方程
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：圆的定义......................................................................2
考点二：圆的标准方程................................................................ 2
考点三：圆的一般方程................................................................ 3
考点四：点与圆的位置关系.......................................................... 3
考点五：圆上的点到定点的最大、最小距离......................................4
考点六：轨迹与轨迹方程............................................................. 4
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：圆的标准方程................................................................ 5
题型二：圆的一般方程................................................................ 7
题型三：二元二次曲线与圆的关系..................................................8
题型四：圆的一般方程与标准方程转化............................................8
题型五：点与圆的位置关系.......................................................... 9
题型六：圆过定点问题.............................................................. 10
题型七：定点到圆上点的最值（范围）..........................................10
题型八：圆的轨迹问题.............................................................. 11
题型九：圆的对称问题.............................................................. 14
题型十：与圆有关的实际问题......................................................14
模块三：综合巩固....................................................................... 15
2.6 圆的方程
模块一：基础知识
考点一：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．
如图，在平面直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为( , )
a b ，半径为r ，
( , )
M x y 为圆上任意一点，⊙A
就是集合
P
M MA
r
．定义中，定点指的是圆心，定长指的是圆的半径．
考点二：圆的标准方程
1.圆的标准方程：我们把
2
2
2
x
a
y
b
r 称为圆心为
,
A a b ，半径长为r 的圆的标准方程．
【注意】（1）所谓标准方程，是指方程的形式．圆的标准方程体现了圆的集合性质，突出了圆的几何意义：
圆心位置和半径．
（2）圆的标准方程的右端
2
0
r
，当方程右端小于或等于0 时，对应方程不是圆的标准方程．
2.圆的标准方程的推导过程
（1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为A 是定点，设
,
A a b ，
半径为r ，且设圆上任意一点M 的坐标为( , )
x y ．
（2）写点集：根据定义，圆就是集合
P
M MA
r
．
（3）列方程：由两点间的距离公式得
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
．
（4）化简方程：将上式两边平方得
2
2
2
(
)
(
)
x
a
y
b
r
．
3.几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程的标准形式
圆心在原点
2
2
2
0
r
x
y
r
圆过原点
2
2
2
2
2
2
0
x
a
y
b
a
b
a
b
圆心在x 轴
2
2
2
0
x
a
y
r
r
圆心在y 轴
2
2
2
0
x
y
b
r
r
圆心在x 轴上且过原点
2
2
2
0
x
a
y
a
a
圆心在y 轴上且过原点
2
2
2
0
x
y
b
b
b
圆与x 轴相切
2
2
2
0
y
b
b
b
x
a
圆与y 轴相切
2
2
2
0
y
b
a
a
x
a
圆与两坐标轴都相切
2
2
2
0
y
b
a
a
b
x
a
考点三：圆的一般方程
1.圆的一般方程：当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
叫做圆的一般方程．
其中
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2
D
E
F
为半径．
2.圆的一般方程的形式特点
（1）
2
2
,
x
y 项的系数相同且不等于0（
2x 和
2y 的系数如果是不为1 的非零常数，只需在方程两边同时除
以这个常数即可）；
（2）不含xy 项；
（3）
2
2
4
0
D
E
F
．
3.一般方程与标准方程关系：
对方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
的左边配方，并将常数移项到右边，得
2
2
2
2
4
2
2
4
D
E
D
E
F
x
y
，根据圆的标准方程可知：
（1）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程只有实数解
,
2
2
D
E
x
y
.它表示一个点
,
2
2
D
E
．
（2）当
2
2
4
0
D
E
F
时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
（3）当
2
2
4
0
D
E
F
时，可以看出方程表示以
,
2
2
D
E
为圆心，
2
2
1
4
2 D
E
F
为半径的圆．
考点四：点与圆的位置关系
1.几何法：点
0
0
,
M x
y
，圆心
,
A a b ，圆的半径r ，设M 与点A 间的距离MA
d
，
d
r
点M 在圆A 外；
d
r
点M 在圆A 内；
d
r
点M 在圆A 上．
2.代数法：将点
0
0
,
M x
y
直接代入圆的标准方程
2
2
2
x
a
y
b
r 进行判断，即
若点
0
0
,
M x
y
在圆外，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r ；
若点
0
0
,
M x
y
在圆内，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
；
若点
0
0
,
M x
y
在圆上，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
．
3.圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点
0
0
,
M x
y
，和圆的一般方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
（
2
2
4
0
D
E
F
）则
位置关系
代数关系
点M 在圆A 上
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
点M 在圆A 内
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
点M 在圆A 外
2
2
0
0
0
0
0
x
y
Dx
Ey
F
考点五：圆上的点到定点的最大、最小距离
设圆心A 到定点C 的距离为d ，圆的半径为r ，圆上的动点为点P ．
（1）若点C 在圆外时，
max
PC
d
r
，
min
PC
d
r
；
（2）若点C 在圆上时，
max
2
PC
r
，
min
0
PC
；
（2）若点C 在圆内时，
max
PC
d
r
，
min
PC
r
d
．
综上：
max
PC
d
r
，
min
PC
d
r
．
考点六：轨迹与轨迹方程
1.轨迹方程和轨迹的定义
已知平面上一动点
( , )
M x y ，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标( , )
x y 满足的关系式。轨迹是指点在运动
变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.
2.“轨迹”与“轨迹方程”有区别：
（1）“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；
（2）“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．
3.坐标法求轨迹方程的步骤
（1）建系：建立适当的平面直角坐标系；
（2）设点：用( , )
x y 表示轨迹（曲线）上任意一点的M 的坐标；
（3）列式：列出关于.x y 的方程；
（4）化简：把方程化为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
模块二：题型分类
题型一：圆的标准方程
1.已知圆的圆心在( 3,4)
，半径为5，则它的方程为（
）
A．
2
2
3
4
5
x
y
B．
2
2
3
4
25
x
y
C．
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y
D．
2
2
3
4
5
x
y
2.以
1
2
，
为圆心，
2 为半径的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
2
2
x
y
+
B．
2
2
1
2
2
x
y
C．
2
2
1
2
2
x
y
D．
2
2
1
2
2
x
y
3.圆心在y 轴上，半径为2 ，且过点
2,4 的圆的方程为（
）．
A．
2
2
1
1
x
y
B．
2
2
2
4
x
y
C．
2
2
2
4
4
x
y
D．
2
2
4
4
x
y
4.已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为
4,1
，
2,3 ，则圆C 的方程是
.
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知
1 0,2
P
、
2 4,4
P
两点，若圆M 以
1
2
PP 为直径，则圆M 的标准方程为（
）
A．
2
2
2
3
5
x
y
B．
2
2
2
3
5
x
y
C．
2
2
1
4
5
x
y
D．
2
2
1
4
5
x
y
6.已知圆M 过点
0,0 ,
2,0 ,
2, 2
O
A
B
，则圆M 的标准方程是（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
C．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
D．
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
7.已知
0,5 ,
0,1 ,
3,4
A
B
C
，则ABC
外接圆的半径为（
）
A．5
B．2
C．10
D．5
8.已知
4,0
A
，
1, 3
B
，圆M 经过A，B 两点，且圆的周长被x 轴平分，则圆M 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
3
3
2
2
x
y
B．
2
2
2
4
x
y
C．
2
2
4
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
9.已知圆C 的圆心在直线2x－y－7＝0 上，且圆C 与y 轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C 的标准
方程为（
）
A．(x－2)2＋(y－3)2＝5
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5
10.求经过点( 2,0),( 2,2)
且圆心在直线:
0
l x
y
上的圆的标准方程为
.
11.若圆C 经过点
(2,5)
A
，
(4,3)
B
，且圆心在直线
7
: 2
0
x
y
l
上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
(
3)
(
6)
2
x
y
B．
2
2
(
2)
(
3)
4
x
y
C．
2
2
(
2)
(
3)
8
x
y
D．
2
2
(
3)
(
6)
10
x
y
12.设圆C 的圆心M 在y 轴上，且圆C 与x 轴相切于原点O，若
4
OM
，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
4)
4
x
y
B．
2
2
(
4)
16
x
y
C．
2
2
(
4)
16
x
y
D．
2
2
(
4)
16
x
y
或
2
2
(
4)
16
x
y
13.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5 的奇数都是三个素数之和，如7
2
2
3
，17
3
7
7
.若从2,3,7
中任取2 个不同的素数,a b 组成点
,
a b ，其中a
b
，且组成的所有点都在圆E 上，则圆E 的标准方程为（
）
A．
2
2
5
2
4
2
x
y
B．
2
2
5
2
16
2
x
y
C．
2
2
5
5
17
2
x
y
D．
2
2
5
17
5
2
4
x
y
14.已知圆C 的圆心为
,t t
，且圆C 与y 轴的交点分别为
0,4 ,
0, 2
A
B
，则圆C 的标准方程
为（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
C．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
D．
2
2
(
1)
(
1)
10
x
y
15.已知圆C 的圆心在直线y
x
上，且与y 轴相切于点
0,5 ，则圆C 的标准方程是（
）
A．
2
2
5
5
25
x
y
B．
2
2
5
5
25
x
y
C．
2
2
5
5
5
x
y
D．
2
2
5
5
5
x
y
16.已知圆C 的圆心C 在直线y
x
上，且与x 轴正半轴相切，点C 与坐标原点O的距离为
2 ，则圆C 的标
准方程为（
）
A．
2
2
1
1
1
x
y
B．
2
2
1
1
2
x
y
C．
2
2
1
1
1
x
y
D．
2
2
1
1
2
x
y
17.已知半径为3 的圆C 的圆心与点
2,1
P
关于直线
1
0
x
y
对称，则圆C 的标准方程为（
）
A．
2
2
(
1)
(
1)
9
x
y
B．
2
2
(
1)
(
1)
81
x
y
C．
2
2
(
1)
9
x
y
D．
2
2
9
x
y
题型二：圆的一般方程
1.已知
0,2
A
，
10
B ,
，
3,0
C
，则过A，B，C 三点圆的一般方程
．
2.过三点(0,0),(4,0),(4,2)的圆的方程为
．
3.已知点
0,5
A
，
1, 2
B
，
3, 4
C
，
2,
D
a 四点共圆，则
a
.
4.在平面直角坐标系中，过
2,4 ,
2,6 ,
1, 3 ,
2, 4
A
B
C
D
四点的圆的方程为
.
5.已知圆C 经过点
1,1
和点
1,3
B
，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
2
2
x
y
B．
2
2
2
10
x
y
C．
2
2
2
2
x
y
D．
2
2
2
10
x
y
6.过直线2
1
0
x
y
和圆
2
2
2
15
0
x
y
x
的交点且过原点的圆的方程是
．
7.经过点
1,1
P
以及圆
2
2
4
0
x
y
与
2
2
4
4
12
0
x
y
x
y
交点的圆的方程为
．
8.已知在ABC
中，AB 边所在直线的方程为
3
6
0
x
y
，AC 边所在直线的方程为
2
0
x
y
，AC 边上
的中线所在直线的方程为
2
0
x
y
．
(1)求C 点的坐标；
(2)求ABC
的外接圆方程．
题型三：二元二次曲线与圆的关系
1.若方程
2
2
2
1
0
R
x
y
mx
y
m
表示半径为1 的圆，则m （
）
A．1
B．2
C．1
或1
D．2
或2
2.若方程
2
2
0
x
y
x
y
m
表示圆，则实数m 的取值范围是
.
3.已知直线l ：
2
1
0
x
y
经过圆C ：
2
2
2
3
0
x
y
Dx
y
的圆心，则D =（
）
A．6
B．2
C．2
D．6
4.曲线
2
2
2
6
0
x
y
x
y
所围成平面区域的面积为
．
5.若
3
2, 1,0,
,1
4
a
，则方程
2
2
2
2
2
1
0
x
y
ax
ay
a
a
表示的圆的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6.方程
2
2
4
2
5
0
x
y
mx
y
m
表示圆的充要条件是（
）
A．1
1
4
m
B．
1
m
C．
1
4
m
D．
1
4
m
或
1
m
7.若
2
2
2
2
2
0
x
m
m y
mx
m
表示圆，则实数m 的值为
.
8.若方程
2
2
5
3
0
2
x
y
kx
y
k
表示圆，则k 的取值范围是
．
9.已知关于x，y 的二元二次方程
2
2
2
4
2
3
2 1 4
16
9
0
x
y
t
x
t
y
t
，当t 为
时，方程表
示的圆的半径最大．
题型四：圆的一般方程与标准方程转化
1.圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
的圆心和半径分别为（
）
A．
1,2 ,3
B．
1,2 ,3
C．
1, 2 ,2
D．
1, 2 ,3
2.圆
2
2
:
8
2
8
0
C x
y
x
y
的面积为
．
3.已知圆
2
2
2
4
0
x
y
x
ay
的半径为3，则a 的值为
.
4.已知圆C 的方程为
2
2
2
2
2 3
3
0
x
y
ax
ay
a
，则圆C 的半径为
.
题型五：点与圆的位置关系
1．已知圆C 的方程为
2
2
(
1)
(
3)
12
x
y
，则点
(1,6)
A
在（
）
A．圆内
B．圆上
C．圆外
D．不确定
2.（多选）已知
1 4,9
P
，
2 6,3
P
两点，以线段
1
2
PP 为直径的圆为圆P，则（
）
A．
6,9
M
在圆P 上
B．
3,3
N
在圆P 内
C．
5,3
Q
在圆P 内
D．
2,7
R
在圆P 外
3.点
( ,3)
P m
与圆
2
2
2
1
2
x
y
的位置关系为（
）
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．与m 的值无关
4.点
( ,10)
P a
与圆
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y
的位置关系是（
）
A．在圆外
B．在圆上
C．在圆内
D．与a 的值有关
5.若点
2,1
A
在圆
2
2
2
2
5
0
x
y
mx
y
（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
2,
C．
, 2
D．
2,
6.对于圆C ：
2
2
4
1
0
x
y
x
，下列说法正确的为（
）
A．点
1, 1
A
圆C 的内部
B．圆C 的圆心为
2,0
C．圆C 的半径为3
D．圆C 与直线
3
y 相切
7.若点
,3
A a
在圆
2
2
:
1
5
C x
y
外，则实数a 的取值范围是（
）
A．
, 1
B．
,1
C．
, 1
1,
D．
1,1
8.若点
1,
1
a
a
在圆
2
2
2
4
0
x
y
ay
的内部，则a 的取值范围是（
）.
A．
1
a
B．0
1
a
C．
1
1
5
a
D．
1
a
9.已知点
1, 2
P
在圆C：
2
2
2
4
1
0
x
y
kx
y
k
的外部，则k 的取值范围是（
）
A．2
1
k
B．1
2
k
C．
2
k
D．2< <2
k
题型六：圆过定点问题
1.圆
2
2
:
2
5
0
C x
y
ax
ay
恒过的定点为（
）
A．
2,1 , 2, 1
B．
1, 2 , 2,1
C．
1, 2 , 1,2
D．
2, 1 , 2,1
2.对任意实数m ，圆
2
2
2
4
6
2
0
x
y
mx
my
m
恒过定点，则其坐标为
.
3.圆
2
2
2
0
x
y
mx
y
m
恒过的定点是
.
4.对任意实数m ，圆
2
2
3
6
9
2
0
x
y
mx
my
m
恒过定点，则定点坐标为
．
5.点
,
P x y 是直线2
5
0
x
y
上任意一点，O是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（
）
A．
0,0 和
1,1
B．
0,0 和
2,2
C．
0,0 和
1,2
D．
0,0 和
2,1
6. 已知方程
2
2
2
2(
2)
2
0
x
y
ax
a
y
表示圆，其中a R ，且a≠1，则不论a 取不为1 的任何实数，
上述圆恒过的定点的坐标是
.
题型七：定点到圆上点的最值（范围）
1.已知半径为2 的圆经过点
3,4 ，则其圆心到原点的距离的最大值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
2.若点
,
P x y 是圆C :
2
2
8
6
16
0
x
y
x
y
上一点,则
2
2
x
y
的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
3.已知圆C 的半径为1，以点(3, )
b 为圆心，若圆C 上的点到原点的距离的最大值为7，则实数b 的值是（
）
A．3 3
B．2 10
C．5
D．4
4.直线:
2
2
0(
R)
l kx
y
k
k
过定点Q，若P 为圆
2
2
:(
2)
(
3)
4
C
x
y
上任意一点，则|
|
PQ 的最大值为
（
）
A．1
B．3
C．4
D．2
5.若实数x
y
，满足
2
2
1
x
y
，则
2
2
3
4
x
y
的最大值是（
）
A．5
B．6
C．25
D．36
6.已知P 为圆
2
2
(
3)
(
4)
4
x
y
上一点，Q 为圆
2
2
1
x
y
上一点，则点Q 到点P 的距离的最大值
为
.
7.已知圆C :
2
2
1
2
4
x
y
，点
2,0
A
，
2,0
B
.设P 是圆C 上的动点，令
2
2
d
PA
PB
，则d 的
最小值为
．
8.若实数,x y 满足
2
2
1
x
y
，则
2
2
(
1)
(
1)
x
y
的最大值是
．
9.若点
,
P x y 在圆
2
2
4
1
0
x
y
y
上，则
2
2
(
1)
x
y
的最小值为
.
10.已知点P 为圆
2
2
1
x
y
上一点，记d 为点P 到直线
2
0
x
my
的距离.当m 变化时，d 的最大值
为
.
题型八：圆的轨迹问题
1.已知点
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，若点P 满足
1
2
PA
PB
，则P 的轨迹方程为
．
2.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x＋1)2＋y2＝4 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方
程．
3.已知点
(2,0)
B
和点
(2,4)
C
，直角ABC
以BC 为斜边，求直角顶点A 的轨迹方程
.
4.已知
1,1
A
、
2,0
B
两定点．若动点M 满足
2
MA MB
，求动点M 的轨迹方程．
5.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4 上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程．
6.已知两点
( 5,0)
A
，
(5,0)
B
，动点P 到点A 的距离是它到点B 的距离的3 倍，则点P 的轨迹方程
是
．
7.（多选）已知A ，B 是平面内两个定点，且|
| 6
AB
，则满足下列条件的动点P 的轨迹为圆的是（
）
A．|
|
|
| 6
PA
PB
B．
1
PA PB
C．|
| 2|
|
PA
PB
D．
2
2
|
|
|
|
18
PA
PB
8.已知点
(6,0)
A
，O 为坐标原点，若动点
( , )
P x y 满足2 OP
PA
．
(1)试求动点P 的轨迹方程；
(2)过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．
9.已知圆
2
2
:
3
C x
y
，直线l 过点
2,0
A
.
(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的斜率；
(2)线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
10.由动点P 向圆
2
2
1
x
y
引两条切线PA ，PB ，切点分别为A，B，
π
3
APB
，求动点P 的轨迹方程.
11.已知两定点
1
1,0
P
和
2 3,0
P
，求到点
1P 和
2P 的距离的平方和是16 的点的轨迹方程.
12.从定点
3, 5
A
向圆
2
2
:
6
6
14
0
C x
y
x
y
任意引一割线交圆于P，Q 两点，求弦PQ 的中点M 的
轨迹方程.
13.已知一曲线是与两个定点
0,0
O
，
3,0
A
的距离之比为1
2 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出该
曲线.
14. ABC
的顶点B，C 的坐标分别是
3, 1
，
2,1 ，顶点A 在圆
2
2
4
8
16
0
x
y
x
y
上运动，求ABC
的重心G 的轨迹方程.
15.已知直线
2
1
0
x
y
与圆
2
2
:
4
2
0
C x
y
x
y
a
交于A，B 两点，CA
CB
.
(1)求实数a 的值；
(2)若点P 在圆C 上运动，O 为坐标原点，动点M 满足
2
OP
CM
，求动点M 的轨迹方程.
题型九：圆的对称问题
1.已知圆M ：
2
2
1
1
x
y
与圆N ：(
)
(
)
2
2
2
3
1
x
y
-
+
-
= 关于直线l 对称，则l 的方程为（
）
A．
2
1
0
x
y
B．
2
1
0
x
y
C．
2
3
0
x
y
D．2
3
0
x
y
2.圆
2
2
: (
2)
(
1)
1
M
x
y
与圆N 关于直线
0
x
y
对称，则圆N 的方程为（
）
A．
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
B．
2
2
(
2)
(
1)
1
x
y
C．
2
2
(
2)
(
1)
1
x
y
D．
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
3.圆
2
2
:
1
1
2
C
x
y
关于直线:
1
l y
x
对称后的方程为（
）
A．
2
2
2
2
x
y
B．
2
2
2
2
x
y
C．
2
2
2
2
x
y
D．
2
2
1
2
x
y
4.若曲线
2
2
1
2
4
x
y
上相异两点P、Q 关于直线
2
0
kx
y
对称，则k 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5.已知圆
2
2
1
2
4
x
y
关于直线
1
0
ax
by
（
0
a
，
0
b
）对称，则1
2
a
b
的最小值为（
）
A．5
2
B．9
C．4
D．8
题型十：与圆有关的实际问题
1.赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1400多年的历史，是保存最完整的
古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023
年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，
该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽10m，水面以上高3m ，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.( 3
1.732)
2.如图，一座圆拱桥，当拱顶离水面2 米时，水面宽12 米，则当水面下降1 米后，水面宽为（
）
A．19 米
B．
51米
C．2 19 米
D．2 51 米
3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度
20
AB
米，拱高
4
OP
米，建适时每间隔4 米需要用
一根支柱支撑，则支柱
2
2
A P 的高度为
米．（精确到0.01 米，参考数据：
33
5.744
）
模块三：综合巩固
1.圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
的圆心和半径分别为（
）
A．
1,2 ,3
B．
1,2 ,3
C．
1, 2 ,2
D．
1, 2 ,3
2.在平面直角坐标系中，圆心为
1,0 ，半径为2 的圆的方程是（
）
A．
2
2
1
2
x
y
B．
2
2
1
2
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
4
x
y
3.过三点
4, 2 ,
1, 1 ,
14
A
B
C
,
的圆的一般方程为（
）
A．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
B．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
C．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
D．
2
2
7
3
2
0
x
y
x
y
4.已知圆M 经过点
0,2
0,4
,
，且圆心M 在直线2
1
0
x
y
上，则圆M 的面积为（
）
A．2π
B．
5π
C．4π
D．5π
5.若点
2,1
A
在圆
2
2
2
2
5
0
x
y
mx
y
（m 为常数）外，则实数m 的取值范围为（
）
A．
,2
B．
2,
C．
, 2
D．
2,
6.已知半径为2 的圆经过点
3,4 ，则其圆心到原点的距离最小值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7.“
4
k
”是“方程
2
2
(
2)
5
0
x
y
kx
k
y
表示圆的方程”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8.在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点
2, 1
；乙：该圆的圆心为
2, 3
；
丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点
5,1 ．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
9.已知圆
2
2
2
2
4
5
9
0
x
y
ax
ay
a
上所有点都在第二象限，则a 的取值范围（
）
A．
, 3
B．
, 3
C．
3
3,
2
D．
3
3,
2
10.两定点A，B 的距离为3，动点M 满足
2
MA
MB
，则M 点的轨迹长为（
）
A．4π
B．2 3π
C．2 2π
D．2π
11.方程
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F
表示的曲线是以
2,3
为圆心，4 为半径的圆，则
,
,
D E F 的值分别为（
）
A．4, 6,3
B．4,6,3
C．4,6, 3
D．4, 6, 3
12.阿波罗尼斯（公元前262 年~公元前190 年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大
数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平
面上两点A，B，则所有满足
PA
PB
（
0
，且
1
）的点P 的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异
定点
(1,0)
P
，
( 1,0)
Q
，动点M 满足
2
MP
MQ
，记M 的轨迹为C，则轨迹C 围成图形的面积是（
）
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π
13.已知圆O：
2
2
1
x
y
和点
1 ,0
2
P
，点
2,1
B
，M 为圆O 上的动点，则2 MP
MB
的最小值为（
）
A．15
B．1
10
C．17
D．3
2
14.已知点
( ,
1),
R
P t t
t
，点O是坐标原点，点Q 是圆
2
2
(
3)
(
1)
1
x
y
上的动点，则PQ
PO
的最大
值为（
）
A．2
B．5
2
C．3
D．4
15.点
1,0
P
，点Q 是圆
2
2
4
x
y
上的一个动点，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
4
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
4
2
x
y
16.若圆
2
2
2
1
0
x
y
ax
y
与圆
2
2
1
x
y
关于直线
1
y
x
对称，且过点C（－a，a）的圆P 与y 轴相
切，则圆心P 的轨迹方程为（
）
A．
2
2
2
8
0
y
x
y
B．
2
2
2
8
0
y
x
y
C．
2
4
4
8
0
y
x
y
D．
2
4
4
8
0
y
x
y
17.(多选)已知圆C 经过点
0,0
A
、
2,0
B
，ABC
为直角三角形，则圆C 的方程为（
）
A．
2
2
1
1
4
x
y
B．
2
2
1
1
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
2
5
x
y
18.(多选)若有一组圆
k
C ：
2
2
4
R
x
k
y
k
k
，下列命题正确的是（
）
A．所有圆
k
C 的半径均为2
B．所有的圆
k
C 的圆心恒在直线y
x
上
C．当
2
k
时，点
3,0 在圆
k
C 上
D．经过点
2,2 的圆
k
C 有且只有一个
19.(多选)若
2,1 ，
4,2 ，
3,4 ，
1,m 四点共圆，则m 的值为（
）
A．2
B．
2
1
2
C．
2
1
2
D．3
20.(多选)已知曲线
2
2
2
:
2
4
0
C ax
ay
x
a y
，下列结论正确的是（
）
A．当
0
a
时，曲线C 是一条直线
B．当
0
a
时，曲线C 是一个圆
C．当曲线C 是圆时，它的面积的最小值为2π
D．当曲线C 是面积为5π 的圆时，
1
a
21.(多选)已知方程
2
2
4
8
2
0
x
y
x
y
a
，则下列说法正确的是（
）
A．当
10
a
时，表示圆心为(2, 4)
的圆
B．当
10
a
时，表示圆心为(2, 4)
的圆
C．当
0
a
时，表示的圆的半径为2 5
D．当
8
a
时，表示的圆与y 轴相切
22.(多选)已知直线l ：
1
2
1
3
3
0
R
x
y
，圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
a
，下列说
法正确的是（
）
A．圆C 的圆心为
2, 1
C
，半径r
a
B．直线l 与圆相交且平分圆C 的面积与周长
C．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则
0
D．若直线l 的倾斜角为π
2 ，则
1
23.(多选)设有一组圆
k
C ：
2
2
(
)
(
)
4
x
k
y
k
(
R)
k
，下列命题正确的是（
）
A．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上
B．所有圆
k
C 均不经过点(3 0)
，
C．经过点(2 2)
，的圆
k
C 有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
24.(多选)已知曲线
2
2
:
0
C Ax
By
Dx
Ey
F
（
）
A．若
1
A
B
，则C 是圆
B．若
0
A
B
，
2
2
4
0
D
E
AF
，则C 是圆
C．若
0
A
B
，
2
2
0
D
E
，则C 是直线
D．若
0
A
，
0
B
，则C 是直线
25.与圆
2
2
2
4
3
0
x
y
x
y
有相同圆心，且过点
4, 2
的圆的标准方程是
.
26.已知,x y 满足
2
2
(
1)
(
2)
16
x
y
，则
2
2
x
y
的取值范围是
.
27.已知圆
2
2
6
4
12
0
x
y
x
y
与圆
2
2
14
2
14
0
x
y
x
y
，则两圆心之间的距离为
.
28.若圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
mx
y
被直线2
1
0
x
y
平分，则圆C 的半径为
．
29.由曲线
2
2
4
4
x
y
x
y
围成的图形的面积为
.
30.对平面上两点A、B，满足
1
PA
PB
的点P 的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼
斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B 是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于此
圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆
外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知
(
)
1,0
A
，
4,0
B
，
0,3
D
，若动点P 满足
1
2
PA
PB
，
则2 PD
PB
的最小值是
．
31.已知圆的方程是
2
2
2
2(
2)
2
0
x
y
ax
a
y
，则圆心的轨迹方程为
.
32.已知
A
关于直线y
x
对称，点
0,0
O
，
4,0
N
都在
A
上.
(1)求线段ON 垂直平分线的方程；
(2)求
A
的标准方程
33.已知圆心为C 的圆经过
0,0
O
，
0,2 3
A
两点，且圆心C 在直线:
3
l y
x
上．
(1)求圆C 的标准方程；
(2)点P 在圆C 上运动，求
2
2
PO
PA
的取值范围．
34.已知曲线C ：
2
2
1
1
4
8
0
a x
a y
x
ay
．
(1)当a 取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．
35.已知直线1
2
:
2
0,
:
0
l
x
y
l
x
y
，直线l 过点
10, 4
且与1l 垂直.
(1)求直线l 的方程；
(2)设l 分别与1
2
,
l l 交于点A，B，O 为坐标原点，求过三点A，B，O 的圆的方程.
36.在平面直角坐标系中，已知点
2, 3
A
，
1, 2
B
．
(1)求以AB 为直径的圆的方程；
(2)若直线l 经过点A，且点B 到直线l 的距离为3，求直线l 的一般式方程．
37.已知某圆经过
2,2
A
，
6,0
B
两点，圆心M 在直线2
1
x
y
上，求该圆的方程．
38.如图所示，设圆C 的圆心C 在直线l ：2
7
8
0
x
y
上，且
6,0
A
，
1,5
B
都是圆C 上的点，求圆的标
准方程.
39.瑞士数学家欧拉（Euler）1765 年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､
垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC
的三个顶点为
4,3
A
，
5,2
B
，
1,0
C
.
(1)求ABC
外接圆的方程；
(2)求ABC
欧拉线的方程.
40.已知圆心为C 的圆经过点
1,1
A
和
2, 2
B
，且圆心C 在直线l ：
1
0
x
y
上.
(1)求圆心为C 的圆的一般方程；
(2)已知
2,1
P
，Q 为圆C 上的点，求PQ 的最大值和最小值.
41.已知直线l 过点
1,2
P
，且l 与,x y 轴分别交于点
,
A B ，OAB
为等腰直角三角形．
(1)求l 的方程；
(2)设O为坐标原点，点A 在x 轴负半轴，求过O，A ，P 三点的圆的一般方程．
