2.9 专题：直线与圆的新定义问题
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：阿波罗尼斯圆................................................................ 2
题型二：欧拉线.........................................................................3
题型三：欧式距离......................................................................4
题型四：切比雪夫距离................................................................ 4
题型五：费马距离......................................................................6
题型六：闵可夫斯基距离............................................................. 7
题型七：曼哈顿距离................................................................... 8
2.9 专题：直线与圆的新定义问题
模块一：题型分类
题型一：阿波罗尼斯圆
1．阿波罗尼斯是古希腊数学家，与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”
是他的代表成果之一：平面内到两个定点的距离之比为常数��≠1 的点的轨迹是“阿波罗尼斯圆”.已知曲
线�是平面内到两个定点−1,0 和1,0 的距离之比等于常数
1
2的“阿波罗尼斯圆”，则下列结论中正确的是
（
）
A．曲线�关于�轴对称
B．曲线�关于�轴对称
C．曲线�关于坐标原点对称
D．曲线�经过坐标原点
2．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成
果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数��≠1 的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波
罗尼斯圆，已知点�0,0 ，�3,0 ，动点��, �满足
��
��=
1
2，则点�的轨迹与圆�: �−1 2 + �2 = 1 的公切
线的条数为
.
3．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点�，�的距离之
比为定值�（�> 0 且�≠1）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗
尼斯圆，简称阿氏圆.已知点��, �到两个定点�1,0 ，�−2,0 的距离之比为2，则
�
�−1的取值范围为
.
4．公元前3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常
数�(�> 0, �≠1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系���中，�(0,0), �(3,0)，
动点Q 满足
|��|
|��| = 2，设动点�的轨迹为曲线�．
(1)求曲线�的方程；
(2)直线�: �+ ��+ �= 0(�∈R)与曲线�交于�, �两点，若�∈{ −1,0,1}，从中任选一个�值，求此时相
应的弦长��．
题型二：欧拉线
1．欧拉于1765 年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这
条线称之为三角形的欧拉线.已知�0,2 ，�4,2 ，��, −1 ，且△���为圆�2 + �2 + ��+ ��= 0 内接三
角形，则△���的欧拉线方程为
.
2．数学家欧拉1765 年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条
直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△���的顶点�2,0 , �0,4 ，若其欧拉线的方程为�−�+ 2 = 0，
(1)求三角形���外心�的坐标；
(2)求顶点�的坐标.
3．瑞士著名数学家欧拉在1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后
人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△���满足��= ��，顶点�−1,0 、�1,2 ，且其“欧拉
线”与圆M：�+ 5 2 + �2 = �2
�> 0 相切．
(1)求△���的“欧拉线”方程；
(2)若圆�与圆�2 + �−�2 = 2 有公共点，求�的范围．
4．平面几何中有一个著名的定理：△���的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点
共圆，该圆称为△���的九点圆或欧拉圆，若�−2,1 ，�4,1 ，△���的垂心为�3,3 ，则△���的九点
圆的标准方程为
．
题型三：欧式距离
1.函数
2
2
2
5
6
10
f x
x
x
x
x
的最小值是
.
2.
2
2
2
2
4
8
f x
x
x
x
x
的最小值为
．
3.
2
2
2
2
2
2
2
2
,
1
2
4
2
f x y
x
y
x
y
x
y
x
y
，其中1
2
x
，4
0
y
，则
二元函数
,
f x y 的最小值为
4.函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最小值为
．
5.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最大值．
6.求函数
2
2
1
9
5
4
f x
x
x
的最小值．
题型四：切比雪夫距离
1.我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里
得距离是
1
1
,
A x y
与
2
2
,
B x
y
两点间的直线距离，即
2
2
1
2
1
2
AB
d
x
x
y
y
.切比雪夫距离是
1
1
,
A x y
与
2
2
,
B x
y
两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即
1
2
1
2
max
,
AB
d
x
x
y
y
.已知
P 是直线: 2
15
0
l
x
y
上的动点，当P 与O（O为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比
雪夫距离为
.
2.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
1
2
( ,
)
max
,
d P P
x
x
y
y
为两点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
的“切比雪夫距
离”．若点P 到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P 的轨迹长度之和为
．
3.在平面直角坐标系中,定义
1
2
1
2
,
max
d A B
x
x
y
y
，
为两点
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
、
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及l 上任意一点Q ,称
,
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”记作
,
d P l ，给出下列四个
命题:
①对任意三点
,
,
A B C ，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
3
d P
l
，
；
③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；
其中真命题的是（
）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
4.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , )
max{|
|,|
|}
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到
直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l ，给出下列三个命题：
①对任意三点A 、B 、C ，都有
( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
( , )
3
d P l
；
③定点
1(
,0)
F
c
、
2( ,0)
F c
，动点
( , )
P x y 满足
1
2
| ( ,
)
( ,
) | 2
d P F
d P F
a
（2
2
0
c
a
），
则点P 的轨迹与直线y
k
（k 为常数）有且仅有2 个公共点；
其中真命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
5.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
,
max |
|,|
|
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距
离”．又设点P 及l 上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作d（P，
l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有
,
,
,
d C A
d C B
d A B
；②已知点P（3，1）
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
,
3
d P l
；③到原点的“切比雪夫距离”等于1 的点的轨迹是正方形．其中正
确的序号为
．
6.在平面直角坐标系中，称d（P，Q）为点P、Q 两点间的距离，若d（P，Q）满足下列三个性质：（1）
非负性：
,
0
d P Q
；（2）对称性：
,
,
d P Q
d Q P
；（3）三角不等式：
1
2
2
3
1
3
(
)
,
,
,
d P P
d P P
d P P
．设
点
1
1
1
( ,
)
P x y
、
2
2
2
(
,
)
P x
y
、
3
3
3
(
,
)
P x y
，则下列能够作为距离公式的有
．
①
2
2
1
2
1
2
1
2
,
(
)
(
)
d P P
x
x
y
y
；
②
1
2
1
2
1
2
,
d P P
x
x
y
y
；
③
1
2
1
2
1
2
,
max
,
d P P
x
x
y
y
；
④
1
2
1
2
1
2
,
min
,
d P P
x
x
y
y
．
7.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , )
max{|
|,|
|}
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，
又设点P 及直线l 上任一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l .
（1）求证：对任意三点A 、B 、C ，都有( , )
( , )
( , )
d A C
d C B
d A B
；
（2）已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，求( , )
d P l ；
（3）定点
0
0
(
,
)
C x
y
，动点
( , )
P x y 满足
( ,
)
d C P
r
（
0
r
），请求出点P 所在的曲线所围成图形的面积.
题型五：费马距离
1.以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA，CAB，ABC，则AA，BB，CC三线共点，
该点称为ABC
的正等角中心．当ABC
的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：
（1）
120
APB
APC
BPC
Ð
= Ð
= Ð
=
°；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费
马点）．由以上性质得
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值为
2.点M 是ABC
内部或边界上的点，若M 到ABC
三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC
的费马点（该
问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若
0,2
A
，
1,0
B
，
1,0
C
时，点
0
M 是ABC
的费马点，且已
知
0
M 在y 轴上，则
0
0
0
AM
BM
CM
的大小等于
.
3.以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA，CAB，ABC，则AA，BB，CC三线共点，
该点称为ABC
的正等角中心．当ABC
的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质：
（1）
120
APB
APC
BPC
Ð
= Ð
= Ð
=
°；
（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．
由以上性质求
2
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
(
2)
x
y
x
y
x
y
的最小值．
4.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120°时，费马点与三
个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°.根据以上性质，
已知
( 2,0)
A
，(2,0)
B
，(0,4)
C
，P 为ABC
内一点，记
f P
PA
PB
PC
，则
f P 的最小值为（
）
A．2 3
B．4
2 3
C．4
3
D．2
3
题型六：闵可夫斯基距离
1.（多选）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
和
1
2
,
,
,
n
B
b b
b
，这两组数据间的闵氏距离定义为
1
1
n
q
q
AB
k
k
k
d
q
a
b
，其中q 表示阶数．下列命题
中为真命题的是（
）
A．若
1,2,3,4
A
，
0,3,4,5
B
，则
1
4
AB
d
B．若
,
1
A
a a
，
1,
B
b
b
，其中a，bR ，则
1
2
AB
AB
d
d
C．若
,
A
a b
，
,
B
c d
，其中a，b，c，d
R
，则
1
2
AB
AB
d
d
D．若
2
,
A
a a
，
,
1
B
b b
，其中a，bR ，则
2
AB
d
的最小值为3 2
8
2.闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为
1
2
,
,
,
n
A
a a
a
和
1
2
,
,
,
n
B
b b
b
，这两组数据间的闵氏距离定义为
1
1
( )
n
q
q
AB
k
k
k
d
q
a
b
，其中q 表示阶数.现有下列四
个命题：
①若
(1,2,3,4),
(0,3,4,5)
A
B
，则
(1)
4
AB
d
；
②若
( ,
1),
(
1, )
A
a a
B
b
b
，其中,a bR ，则
(1)
(2)
AB
AB
d
d
；
③若
( , ),
( , )
A
a b B
c d
，其中, , ,
a b c d R ，则
(1)
(2)
AB
AB
d
d
；
④若
2
,
,
( ,
1)
A
a a
B
b b
，其中,a bR ，则
(2)
AB
d
的最小值为3 2
8
.
其中所有真命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.在直角坐标系xOy 中，已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，记
1
2
1
2
,
p
p
p
d
A B
x
x
y
y
，其中p 为正整数，
称
,
p
d
A B 为点A ，B 间的M 距离．下列说法正确的是（
）．
A．若
1
,
1
d O A ，则点A 的轨迹是正方形
B．若
1
2
,
,
d
A B
d
A B
，则A 与B 重合
C．
1
2
2
,
,
d
A B
d
A B
D．
2
1
,
,
d
A B
d
A B
题型七：曼哈顿距离
1．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创，定义如下：在直角坐标平面上任意两点��1, �1 ，
��2, �2 的“曼哈顿距离”为��, �= |�1 −�2| + |�1 −�2|，已知动点N 在圆�2 + �2 = 16 上，定点�4,5 ，
则M，N 两点的“曼哈顿距离”的最大值为
．
2.十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
的曼哈顿距离为
1
2
1
2
,
D P Q
x
x
y
y
.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形ABC
的三个顶点坐标为
2,4
A
，
8,2
B
，
12,10
C
，则ABC
的“好点”的坐标为（
）
A．
2,4
B．
6,8
C．
0,0
D．
5,1
3.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
的曼哈顿距离
1
2
1
2
,
d A B
x
x
y
y
，则下列结论正确的是（
）
A．若点
2,4 ,
2,1
P
Q
，则
,
6
d P Q
B．若点
1,0 ,
1,0
M
N
，则在x 轴上存在点P ，使得
,
,
1
d P M
d P N
C．若点
2,1
M
，点P 在直线
2
6
0
x
y
上，则
,
d P M 的最小值是5
D．若点M 在圆
2
2
4
x
y
上，点N 在直线2
8
0
x
y
上，则
,
d M N 的值可能是4
4.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离
测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
曼哈顿距离
1
2
1
1
,
d A B
x
x
y
y
，余弦距离
,
1 cos
,
e A B
A B
，其中
cos
,
cos
,
A B
OA OB
（O
为坐标原点）．已知
2,1
M
，
,
1
d M N ，则
,
e M N 的最大值近似等于（
）
（参考数据：
2
1.41
，5
2.24
．）
A．0.052
B．0.104
C．0.896
D．0.948
5.对于平面直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.
给出下列三个命题:
①若点C 在线段AB 上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC 中，若∠C=90°，则||AC||2+||CB||2=||AB||2；
③在△ABC 上，||AC||+||CB||>||AB||.
其中的真命题为（
）
A．①③
B．①②
C．①
D．③
6.在平面直角坐标系中，定义
1
2
1
2
( , ) |
|
|
|
d A B
x
x
y
y
为两点
1
1
(
,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
的“切比雪夫距离”，又
设点P 及直线l 上任意一点Q ，称
( ,
)
d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作( , )
d P l ，给出下
列三个命题：
①对任意三点A 、B 、C ，都有( , )
( , )
( , )
d C A
d C B
d A B
；
②已知点
(3,1)
P
和直线: 2
1
0
l
x
y
，则
4
( , )
3
d P l
；
③定义
(0,0)
O
，动点
( , )
P x y 满足( , )
1
d P O ，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；
其中真命题的个数（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
7.在平面直角坐标系中，两点
1
1
1
2
2
2
,
,
,
P x y
P
x
y
间的“L-距离”定义为
1
2
1
2
1
2
| |
|
|
|.
PP
x
x
y
y
‖
则平面内与
x 轴上两个不同的定点
1
2
,
F F 的“L-距离”之和等于定值（大于
1
2
| F F ）的点的轨迹可以是（）
A．
B．
C．
D．
8．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似
度，常用测量距离的方式有3 种．设��1, �1 ，��2, �2 ，则欧几里得距离�(�, �) =
�1 −�2
2 + �1 −�2
2；
曼哈顿距离�(�, �) = �1 −�2 + �1 −�2 ，余弦距离�(�, �) = 1 −cos(�, �)，其中cos(�, �) = cos〈��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬሬ〉
（�为坐标原点）．
(1)若�( −1,2)，�
3
5 ,
4
5 ，求�，�之间的曼哈顿距离�(�, �)和余弦距离�(�, �)；
(2)若点�(2,1)，�(�, �) = 1，求�(�, �)的最大值；
(3)已知点�，�是直线�: �−1 = �(�−1)上的两动点，问是否存在直线�使得�(�, �)min = �(�, �)min，若存
在，求出所有满足条件的直线�的方程，若不存在，请说明理由．
