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班级 姓名 学号 分数
第三章 圆锥曲线的方程 （B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知双曲线 的一个焦点 到 的一条渐近线的距离为 ， 则 的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线C经过点 ，且对称轴都在坐标轴上，其渐近线方程为 ，测双曲线C的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 是双曲线 的左右焦点，直线 过 与抛物线 的焦点且与双曲线的
一条渐近线平行，则 （ ）
A． B． C．4 D．
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为30°的直线交抛物线于点 （
在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．6．已知点A是抛物线C： 上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以 的长为半
径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且 ，则 的值是（ ）
A． B．6 C． D．7
7．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，过双曲线 右焦点 的直线
与双曲线 相交于 ， 两点，弦 的中点为 ，点 是双曲线 右支上的动点，点 是以点
为圆心， 为半径的圆上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线 与直线 交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB
的斜率分别为 ，曲线C的左、右焦点分别为 ．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．双曲线C的渐近线方程为
C．若 ，则 的面积为
D．曲线 的离心率为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为 为 上一点，则（ ）
A．双曲线 的实轴长为2
B．双曲线 的一条渐近线方程为C．
D．双曲线 的焦距为4
10．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，下列说法正确的是（ ）
A． 的准线方程为
B．直线 与 相切
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则 的周长的最小值为11
11．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，若方程 所表示的
直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B． 的最大值为4
C． 的面积可能为2 D． 的最小值为
12．我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 ， 为顶点，
为焦点， 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆”的有（ ）
A． 为等比数列
B．
C． 轴，且D．四边形 的内切圆过焦点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ，则 的离心
率为______.
14．从抛物线 在第一象限内的一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设抛物线的焦
点为 ，则直线 的斜率为___________.
15．已知双曲线 的右顶点为 ， 若以点 为圆心， 以 为半径的圆与双曲
线 的一条渐近线交于 两点， 点 为坐标原点， 且 ， 则双曲线 的离心率为
_______．
16．已知抛物线 的焦点F，过F分别作直线 与C交于A，B两点，作直线 与C交于D，E两
点，若直线 与 的斜率的平方和为1，则 的最小值为_________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知抛物线C： 的焦点与椭圆： 的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l： 交抛物线C于 ， 两点，O为原点，求证： ．
18．（12分）
已知A、B、C是我方三个炮兵阵地，A地在B地的正东方向，相距 ；C地在B地的北偏西 方向，
相距 ．P为敌方炮兵阵地．某时刻A地发现P地产生的某种信号． 后B地也发现该信号（该信号传播速度为 ）．
(1)请建立适当的平面直角坐标系，判断敌方炮兵阵地P可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；
(2)若C地与B地同时发现该信号，现从A地炮击P地，求准确炮击的方位角．
19．（12分）
已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)经过点 的直线 交 于 两点，且 为线段 的中点，求 的方程.
20．（12分）
已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭圆 相交于A，B两点， 与椭圆 相
交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐标．
21．（12分）
设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若 的周长为8， 面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．
22．（12分）
已知抛物线 的焦点为F，点M是抛物线的准线 上的动点．
(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且 ，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
