2.7直线与圆、圆与圆的位置关系（解析版）(1)_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_直线和圆的方程PDF（矢量版）_单独的原卷+解析版

2.7 直线与圆、圆与圆的位置关系
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：直线与圆的位置关系....................................................... 2
考点二：直线与圆相交弦长.......................................................... 2
考点三：直线与圆相切................................................................ 3
考点四：圆上点到直线的最大（小）距离.........................................4
考点五：圆与圆的位置关系.......................................................... 4
考点六：两圆的公切线................................................................ 4
考点七：圆与圆的公共弦............................................................. 4
考点八：圆系方程及其应用技巧.................................................... 5
模块二：题型分类.........................................................................5
题型一：直线与圆的位置关系....................................................... 5
题型二：直线与圆的位置关系求参数...............................................9
题型三：圆的切线与切线长问题...................................................13
题型四：直线与圆弦长问题........................................................ 21
题型五：过定点直线的最短弦长...................................................27
题型六：直线与半圆的相交问题...................................................28
题型七：圆与圆的位置关系........................................................ 30
题型八：圆与圆位置关系求参......................................................33
题型九：圆的公切线条数及参数问题.............................................37
题型十：圆的公切线方程........................................................... 41
题型十一：公共弦与切点弦问题...................................................45
题型十二：圆中范围与最值问题...................................................52
题型十三：圆系问题................................................................. 63
模块三：综合巩固....................................................................... 66
2.7 直线与圆、圆与圆的位置关系
模块一：基础知识
考点一：直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
相交
相切
相离
2.判断直线与圆位置关系的方法
（1）几何法判断直线与圆的位置关系：
直线
0



Ax
By
C
与圆



2
2
2




x
a
y
b
r ，圆心到直线的距离
2
2
B
A
C
Bb
Aa
d




．


d
r
直线与圆相离无交点；


d
r
直线与圆相切只有一个交点；


d
r
直线与圆相交有两个交点．
（2）代数法判断直线与圆的位置关系：
联立直线方程与圆的方程，得到











0
0
2
2
F
Ey
Dx
y
x
C
By
Ax
，通过解的个数来判断：
当
0


时，直线与圆有2 个交点，，直线与圆相交；
当
0


时，直线与圆只有1 个交点，直线与圆相切；
当
0


时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．
考点二：直线与圆相交弦长
1.几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系
2
2
2
2







l
r
d
，
整理出弦长公式为：
2
2
2


l
r
d
．
C
l
C
l
C
l
2.代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
3.弦长公式法：设直线:


l y
kx
b 与圆的交点为

1
1
,
x y
，

2
2
,
x
y
，将直线方程代入圆的方程，消元后
利用根与系数的关系得到弦长



2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4











l
k
x
x
k
x
x
x x
．
考点三：直线与圆相切
1.圆的切线的条数
（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；
（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；
（3）过圆内一点，不能作圆的切线．
2.过圆上一点

0
0
,
x
y
的切线方程
法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，
若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程
0

y
y ；
若
0

k
，则结课图形可直接写出切线方程
0

x
x ；
若k 存在且
0

k
，则由垂直关系知切线的斜率为
1
k
，由点斜式写出切线方程．
法二：若k 不存在，验证是否成立；
若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．
3.过圆外一点

0
0
,
x
y
的圆的切线方程
法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为


0
0



y
y
k x
x
，即
0
0
0




kx
y
y
kx
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．
法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为


0
0



y
y
k x
x
，即
0
0
0




kx
y
y
kx
代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由
0


，求得k ，切线方程即可求出．
4.与圆的切线相关的结论
（1）过圆
2
2
2


x
y
r 上一点

0
0
,
P x
y
的圆的切线方程为
2
0
0


xx
yy
r ．
（
2
）
过




2
2
2




x
a
y
b
r
上
一
点


0
0
,
P x
y
的
圆
的
切
线
方
程
为





2
0
0






x
a
x
a
y
b
y
b
r
（3）过



2
2
2




x
a
y
b
r 外一点

0
0
,
P x
y
作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所
在直线方程为：




2
0
0






x
a
x
a
y
b
y
b
r
．
（4）过圆外一点

0
0
,
P x
y
引圆



2
2
2




x
a
y
b
r 的两条切线，则过圆外一点

0
0
,
P x
y
的切线长为




2
2
2
0
0





d
x
a
y
b
r ．
考点四：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：d
r

，最小距离为：d
r

；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：2r ，最小距离为：0 ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：d
r

，最小距离为：0 ；
考点五：圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系的判定
（1）几何法：若两圆的半径分别为1r ，2r ，两圆连心线的长为d．
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d 与1r ，2r 的关系
1
2
d
r
r


1
2
d
r
r


1
2
1
2
r
r
d
r
r




1
2
d
r
r


1
2
0
d
r
r



（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
1
2



圆
方程
圆
方程
C
C
消元，一元二次方程
Δ
0
Δ
0
Δ
0











相交
内切或外切
外离或内含
考点六：两圆的公切线
1.公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．
2.两圆的位置关系与公切线的条数的关系
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4 条
3 条
2 条
1 条
无公切线
3.两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为y
kx
b


，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，
两圆心到直线y
kx
b


的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于k 和b 的方程，解这个方程组得到k ，
b 的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
考点七：圆与圆的公共弦
1.公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦．
2.公共弦所在直线的方程
圆
1
C ：
2
2
1
1
1
0
x
y
D x
E y
F





，
圆
2
C ：
2
2
2
2
2
0
x
y
D x
E y
F





，
则





1
2
1
2
1
2
0
D
D
x
E
E
y
F
F






为两相交圆公共弦方程.
【注意】（1）若
1
C 与
2
C 相切，则表示其中一条公切线方程；
（2）若
1
C 与
2
C 相离，则表示连心线的中垂线方程.
3.公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共
弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦
的一半，进而得到公共弦长．
考点八：圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。
1.过直线
0
Ax
By
C



与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





的交点的圆系方程是：
2
2
(
)
0
x
y
Dx
Ey
F
Ax
By
C









（
1


）
2.以

,a b 为圆心的同心圆系方程是：



2
2
2(
0)
x
a
y
b







；
3.与圆
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F





同心的圆系方程是
2
2
0
x
y
Dx
Ey






；
4.过同一定点

,a b 的圆系方程是



2
2
1
2
(
)
(
)
0
x
a
y
b
x
a
y
b










．
模块二：题型分类
题型一：直线与圆的位置关系
1.直线: 2
1
0
l
x
y


与圆


2
2
:
1
5
C x
y



的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【答案】A
【解析】圆


2
2
:
1
5
C x
y



的圆心


0,1
C
，半径
5
r 
，
又圆心C 到直线l 的距离


2
2
1 1
2 5
5
5
2
1
d





，
所以直线l 与圆C 相交.
故选：A
2.直线2
4
0
x
y



与圆
2
2
2
4
0
x
y
y




的位置关系为（
）
A．相交且过圆心
B．相交且不过圆心
C．相切
D．相离
【答案】C
【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可得到结论.
【详解】圆
2
2
2
4
0
x
y
y




，即


2
2
1
5
x
y


，
其圆心坐标为

0,1 ，半径为
5
r 
，
圆心到直线2
4
0
x
y



的距离
2
2
1 4
5
2
1
d
r





，
直线与圆的位置关系为相切.
故选：C
3.直线3
4
12
0
x
y



与圆
2
2
(
1)
(
1)
9
x
y




的位置关系是（
）
A．相交且过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
【答案】D
【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得结论.
【详解】圆
2
2
(
1)
(
1)
9
x
y




的圆心为(1, 1)

，半径
3
r ，
则圆心到直线3
4
12
0
x
y



的距离
2
2
3 1
4 ( 1) 12
11
5
3
4
d





，
因为0
d
r


，所以直线与圆相交但不过圆心，
故选：D.
4.直线
(
)
0
ax
y
a
a



R 与圆

2
2
2
4
x
y



的位置关系是（
）
A．相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
【答案】B
【解析】由
0
ax
y
a



得

1
y
a x


所以直线
0
ax
y
a



恒过定点

1,0 ，
已知圆

2
2
2
4
x
y



，因为

2
2
1
2
0
4



，
所以点

1,0 在圆
2
2
(
2)
4
x
y


的内部，
所以直线
0
ax
y
a



与圆
2
2
4
0
x
x
y



相交.
故选：B
5.直线:
(
1)
1
l y
k x


和圆
2
2
2
0
x
y
y



的位置关系为（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
【答案】A
【解析】由
2
2
2
0
x
y
y



，得
2
2
(
1)
1
y
x 

，
所以圆心为(0,1)，半径为1，
而直线:
(
1)
1
l y
k x


可化为(
1)
1
0
k x
y



，
所以圆心(0,1)到直线:
(
1)
1
l y
k x


的距离为
2
2
1 1
1
1
1
k
k
d
k
k






，
则直线:
(
1)
1
l y
k x


和圆
2
2
2
0
x
y
y



相交.
故选：A
6.已知直线:
2
0
l kx
y
k



和圆
2
2
:
16
O x
y


，则下列结论错误的是（
）
A．直线l 恒过定点( 2,0)

B．存在k 使得直线l 与直线0 :
2
2
0
l
x
y



垂直
C．直线l 与圆O总相交
D．存在直线l 被圆O截得的弦长为6
【答案】D
【解析】由: (
2)
0
l k x
y



，故直线l 恒过定点
( 2,0)
A 
，A 对；
当
2
k 时: 2
4
0
l
x
y



，与直线0 :
2
2
0
l
x
y



垂直，B 对；
由
2
2
( 2)
0
4
16




，即( 2,0)

在圆O内部，故直线l 与圆O总相交，C 对；
当直线l
OA

时，直线被圆所截弦长最短为
2
2
2
|
|
4 3
6
r
OA



且r 为圆的半径，D 错；
故选：D
7.已知点


0
0
,
M
x
y
在圆
2
2
2
x
y


外，则直线
0
0
2
x x
y y


与圆的位置关系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【答案】B
【解析】因为点


0
0
,
M
x
y
为圆
2
2
2
x
y


外一点，所以
2
2
0
0
2
x
y


，
又圆
2
2
2
x
y


的圆心为

0,0 ，半径为
2
r 
，
所以圆心

0,0 到直线
0
0
2
x x
y y


的距离为
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
d
x
y






，即d
r

，
所以直线
0
0
2
x x
y y


与该圆的位置关系为相交．
故选：B．
8.如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“乌巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，
下列给定的一系列直线中（其中为参数，R ），能形成这种效果的只可能是（
）
A．
cos
sin
y
x




B．
cos
y
x



C．
sin
1
y
x



D．2 cos
2 sin
1
0
x
y




【答案】D
【解析】由题意可知：直线为以


0,0
O
为圆心的圆的切线，则


0,0
O
到直线的距离为定值.
对于选项A：因为
cos
sin
y
x




，即cos
sin
0
x
y





，
则


0,0
O
到直线的距离


2
2
2
sin
sin
cos
1
cos
1
d








不是定值，故A 错误；
对于选项B：因为
cos
y
x



，即
cos
0
x
y




，
则


0,0
O
到直线的距离


2
2
cos
2 cos
2
1
1
d





不是定值，故B 错误；
对于选项C：因为
sin
1
y
x


，即sin
1
0
x
y


，
则


0,0
O
到直线的距离


2
2
2
1
1
sin
1
sin
1
d






不是定值，故C 错误；
对于选项D：因为2 cos
2 sin
1
0
x
y




，
则


0,0
O
到直线的距离




2
2
1
1
2
2cos
2sin
d





是定值，故D 正确；
故选：D.
题型二：直线与圆的位置关系求参数
1.若直线
2
0
x
y



与圆






2
2
2
:
8
0
M
x
a
y
a
a
a





相切，则圆M 的半径为（
）
A．2
B．4
C．2 2
D．8
【答案】C
【解析】依题意，
2
2 2
2
a
a
a



，解得
1
a （负值舍），所以圆M 的半径为2 2 .故选:C.
2.若直线:l y
kx

与圆
2
2
:
(
1)
1
M x
y


只有一个公共点，则k （
）
A．1

B．1
C．0
D．2
【答案】C
【分析】
根据给定条件，可得直线l 与圆M 相切，再借助点到直线距离公式计算即得.
【详解】依题意，直线:
0
l kx
y
-
=
与圆M 相切，而圆M 的圆心
(0,1)
M
，半径为1，
因此
2
1
1
1
k


，解得
0
k 
，
所以
0
k 
.
故选：C
3.已知直线
3
y
kx

与圆

2
2
2
4
x
y



相交，则实数k 的取值范围是（
）
A．
5 ,
12





B．
5 ,
12







C．
5
,12








D．
5
,12







【答案】B
【解析】圆

2
2
2
4
x
y



的圆心为

2,0 ，半径
2
r 
，
因为直线
3
y
kx

与圆

2
2
2
4
x
y



相交，
所以圆心

2,0 到直线
3
y
kx

的距离d
r

，
即
2
2
3
2
1
k
k



，解得
5
12
k 
，
所以实数k 的取值范围是
5 ,
12







.故选：B.
4.直线2
2
0
x
y


与曲线

2
2
1
4
0
x
y
x
y





的交点个数为（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】因为曲线

2
2
1
4
0
x
y
x
y





就是
1
0
x
y


或
2
2
4
x
y


，表示一条直线与一个圆，
联立
2
2
0
1
0
x
y
x
y







，解得
1
0
x
y





，即直线2
2
0
x
y


与直线
1
0
x
y


有一个交点

1,0 ；此时，
2
2
4
x
y


没有意义.
联立
2
2
2
2
0
4
x
y
x
y








，解得
0
2
x
y





或
8
5
6
5
x
y





，所以直线2
2
0
x
y


与
2
2
4
x
y


有两个交点.
所以直线2
2
0
x
y


与曲线

2
2
1
4
0
x
y
x
y





的交点个数为2 个.
故选：B
5.已知圆C ：
2
2
(
)
1
x
y
m


，直线l ：
1
2
1
0
m
x
y
m




，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条
件是（
）
A．1
1
m


B．
1
1
2
m


C．1
0
m


D．
1
0
2
m


【答案】A
【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标为

0,m ，半径为1.
因为直线l 与圆C 有公共点，所以直线l 与圆C 相切或相交，
所以圆心


0,
C
m 到直线l 的距离
2
3
1
1
(
1)
4
m
d
m





，解得
1
1
2
m


.
其必要不充分条件是把m 的取值范围扩大，
所以选项中只有1
1
m

是
1
1
2
m


的必要不充分条件.故选：A
6.已知直线:
2
0



l x
y
与圆
2
2
:
10
O x
y


相交于A ，B 两点，则AB OA

uuur uur 的值为（
）
A．8

B．16
C．16

D．8
【答案】C
【解析】因为直线:
2
0



l x
y
与圆
2
2
:
11
O x
y


相交于A，B 两点，
所以
2
2
11
2
0
x
y
x
y







，解得：




1,3 ,
3,
1
A
B


.
所以



4, 4
4 12
16
1,3
AB OA









uuur uur
.
故选：C.
7.若直线:
2
0
l kx
y



与曲线
2
: 1 (
1)
1
C
y
x



有两个交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．4 ,2
3






B．4 ,4
3






C．
4
4
2,
,2
3
3














D．4 ,
3







【答案】A
【解析】直线:
2=0
l kx
y


恒过定点(0, 2)

，
曲线
2
: 1 (
1)
1
C
y
x



表示以点(1,1) 为圆心，半径为1，且位于直线
1
x 右侧的半圆（包括点(1,2) ，
(1,0) ）．
当直线l 经过点(1,0) 时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时
2
k 
，直线记为1l ；
当l 与半圆相切时，由
2
|
3|
1
1
k
k



，得
4
3
k 
，切线记为2l ．
分析可知当4
2
3
k


时，l 与曲线C 有两个不同的交点，
故选：A．
8.若直线l 过点

0,
A
a ，斜率为1，圆
2
2
4
x
y


上恰有3 个点到l 的距离为1，则a 的值为（
）
A．3 2
B．3 2

C．2

D．
2

【答案】D
【解析】由题意知，:
0
l x
y
a



，
又圆
2
2
4
x
y


上恰有3 个点到l 的距离为1，
所以圆心到直线的距离等于半径减去1，
则圆心(0,0) 到直线l 的距离为
2 1
2
a 
，解得
2
a 
.故选：D.
9.若圆
2
2
2
10
17
0
x
y
x
y





上到直线:3
2
0
l
x
y
t


的距离等于1 的点恰有3 个，则t （
）
A．13
2 13

B．13
2 11

C．13
2 13

D．13
2 11

【答案】A
【解析】将圆
2
2
:
2
10
17
0
C x
y
x
y




化为标准方程得
2
2
(
1)
(
5)
9
x
y




，
故圆C 的圆心坐标为( 1, 5)


，半径
3
r 
.
由圆
2
2
:
2
10
17
0
C x
y
x
y




上到直线:3
2
0
l
x
y
t


的距离等于1 的点恰有3 个，
知圆心
( 1, 5)
C 
到直线:3
2
0
l
x
y
t


的距离
2
2
| 3 10
|
3 1
2
3
2
t
d






，
解得
13
2 13
t 

.
故选：A.
10.若圆
2
2
:
4
4
10
0
C x
y
x
y





上至少有三个不同的点到直线:
0
l x
y
c



的距离为2 2 ，则c的取值
不可能是（
）
A．-2
B．0
C．1
D．3
【答案】D
【解析】圆C 的方程可化为



2
2
2
2
18
x
y




，则圆心C 为

2,2 ，半径为3 2 ，要使条件成立，设圆
心到直线的距离为d ，
则只需要


2
2
2
2
2 2
3 2
2 2
2
2
1
1
c
c
d
r










，即2
2
c


，所以c 的取值不可能是3.
故选：D.
题型三：圆的切线与切线长问题
1.已知圆
2
2
:
5
O x
y


，直线l 经过点(1,2) ，且l 与圆O相切，则l 的方程为（
）
A．
2
5
0
x
y



B．
2
3
0
x
y



C．2
0
x
y


D．2
4
0
x
y



【答案】A
【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案.
【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为


2
1
y
k x



，
圆心到直线的距离为
2
2
1
k
d
k



，因为l 与圆O相切，所以
5
d 
，
即
2
2
5
1
k
k



，解得
1
2
k 
，即l 的方程为
2
5
0
x
y



.
故选：A
2.过点

1,4
A 
作圆C ：
2
2
17
x
y


的切线l ，切线l 的方程为
．
【答案】
4
17
0
x
y



【解析】因为点

1,4
A 
在圆
2
2
17
x
y


上，所以过点A 的切线l 与AC 垂直，
又因为
4
4
1
AC
k



，故切线l 的斜率
1
4
k 
，
所以切线l 的方程为


1
4
1
4
y
x



，即
4
17
0
x
y



．
故答案为：
4
17
0
x
y



．
3.过点


2,3
P
引圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y





的切线，其方程是（
）
A．
2
x 
B．12
5
9
0
x
y



C．
2
x 
或
3
y 
D．
3
x 
或
2
y 
【答案】C
【解析】根据题意，圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y





，即



2
2
1
2
1
x
y



，
其圆心为

1,2 ，半径
1
r ；过点

2,3
P
引圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y





的切线，
若切线的斜率不存在，切线的方程为
2
x 
，符合题意；
若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有


3
2
y
k x



，即
3
2
0
kx
y
k



，
则有
2
|1
|
1
1
k
k



，解得
0
k 
，此时切线的方程为


3
0
2
y
x



，即
3
y ．
综上：切线的方程为
2
x 
和
3
y ．故选：C．
4.已知圆
2
2
:
4
2
11
0
C x
y
x
y




，过点

2,1 作圆C 的切线m ，则m 的方程为（
）
A．
2
x 
B．3
4
10
0
x
y



C．3
4
10
0
x
y



或
2
x 
D．3
4
10
0
x
y



或3
4
2
0
x
y



【答案】C
【解析】将圆
2
2
:
4
2
11
0
C x
y
x
y





化为标准方程



2
2
2
1
16
x
y




，
则圆心


2, 1
C 

，
4
r 
，
当切线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为
2
x ，
当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为


1
2
y
k x


，
即
1
2
0
kx
y
k



，由题意知，
2
2
1 1 2
4
1
k
k
k




.解得
3
4
k 
.
此时切线l 的方程为3
4
10
0
x
y



.
综上，切线l 的方程为
2
x 
或3
4
10
0
x
y



.故选：C.
5.已知圆
2
2
:
2
2
0
C x
y
x
y




，直线l 的过点(
)
1, 1
-
且与圆C 相切，则满足条件的直线l 有几条（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】先判断(
)
1, 1
-
与圆的位置关系，然后可判断出切线条数.
【详解】因为圆心为

1,1

，半径
2
r 
，
所以(
)
1, 1
-
到

1,1

的距离为


2
2
2
2
2 2
r



，
所以(
)
1, 1
-
在圆外，
过圆外一点作圆的切线有2 条，
故选：B.
6.过点


2,3
A
作圆
2
2
:
1
M x
y

的一条切线，切点为B，则AB （
）
A．3
B．2 3
C．
7
D．10
【答案】B
【分析】先求得圆M 的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得AB 的值.
【详解】因为圆
2
2
:
1
M x
y

，
所以圆M 的圆心为
(0,0)
M
，半径为
1
r ，
因为AB 与圆M 相切，切点为B，
所以AB
BM

，则
2
2
2
AB
r
AM


，
因为
2
2
2
3
13
AM 


，
所以
2
2
13 1
2 3
AB
AM
r




.
故选：B.
7.由点
( 1,4)
P 
向圆
2
2
4
6
12
0
x
y
x
y




引的切线长是（
）
A．3
B．5
C．10
D．5
【答案】A
【解析】圆
2
2
4
6
12
0
x
y
x
y




即圆(
)
(
)
2
2
2
3
1
x
y
-
+
-
= 的圆心半径分别为

2,3 ,
1
r ，
点
( 1,4)
P 
到圆心

2,3 的距离为




2
2
1 2
4
3
10
d 




，
所以点
( 1,4)
P 
向圆
2
2
4
6
12
0
x
y
x
y




引的切线长是10 1
3

.故选：A.
8.由直线y
x

上的点向圆



2
2
4
2
1
x
y




引切线，则切线长的最小值为
.
【答案】17
【解析】圆



2
2
4
2
1
x
y




的圆心为


4, 2 ,
1
C
r


，
在直线y
x

上取一点P，过P 向圆引切线，设切点为A．连接
,
PC AC ．
在Rt
PAC
△
中，
1
CA
r

．要使PA 最小，则PC 应最小．
又当PC 与直线垂直时，PC 最小，其最小值为4
2
3 2
2


．
故PA 的最小值为

2
2
3 2
1
17


．
故答案为：17 .
9.已知半径为1 的圆经过点
(2,3)
A
，过点
( 2,0)
M 
向圆作切线，则切线长的最大值为（
）
A．35
B．2 6
C．15
D．4 3
【答案】A
【分析】
根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆A ，得到圆A 上到点M 的最大距离为
6
d 
，结合圆的切线长公式，
即可求解.
【详解】设圆的圆心坐标为( , )
a b ，
因为圆的半径为1，且过点
(2,3)
A
，可得
2
2
(
2)
(
3)
1
a
b



，
即
2
2
(
2)
(
3)
1
a
b




，即圆心的轨迹表示以
(2,3)
A
为圆心，半径为1 的圆A ，
可得
2
2
(2
2)
(3
0)
5
MA 




，则圆A 上的点到点M 的最大距离为
1
6
d
MA


，
又由切线长公式，可得切线长的最大值为
2
21
35
l
d



.
故选：A.
10.已知点
(1,0)
A
，(2,0)
B
，经过B 作圆



2
2
3
2
5
x
y




的切线与y 轴交于点P，则tan
APB


．
【答案】1
3
【解析】如图所示，设圆心为C 点，则


3,2
C
，




2
2
2
3
0
2
5



，则点B 在圆上，且
2
0
2
3
2
BC
k




，
由PB 与圆相切可得：
1
1
2
PB
BC
PB
k
k
k



，则tan
2
OPB


，
2
OB 

，
则
1
OP ，故

0,1
P
，则tan
1
APO

，
从而可得


tan
tan
2 1
1
tan
tan
1
tan
tan
1 2 1
3
OPB
OPA
APD
OPB
OPA
OPB
OPA
















,
故答案为：1
3 .
11.已知点
(4,0),
(0,0),
(0, 3)
A
O
B

，则AOB

的内切圆的方程为
．
【答案】
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y




【解析】依题意，AOB

内切圆的圆心C 在第四象限，并且到x、y 轴距离相等，令此圆半径为(
)
0
r r 
，
则圆心
( ,
)
C r
r

，
直线AB 方程为：
1
4
3
x
y



，即3
4
12
0
x
y



，直线AB 是圆C 的切线，
因此
2
2
| 3
4(
) 12 |
3
( 4)
r
r
r





，解得
1
r 或
6
r 
，
显然
|
| 3
r
OB


，于是
1
r ，圆心
(1, 1)
C

，
所以AOB

内切圆的方程为
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y



.
故答案为：
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y




12.过坐标原点O作圆
:
C
2
2
4
3
0
x
y
x




的两条切线，切点分别为M ，N ，则MN （
）
A．
3
2
B．3
2
C．
3
D．2
【答案】C
【分析】
根据题意可得
MON
△
为等边三角形，可得结果.
【详解】圆
2
2
4
3
0
x
y
x




化为标准方程为

2
2
2
1
x
y


，
其圆心为


2,0
C
，半径为1，
由题意知，
1
MC
NC


,

OM
ON ,ON
CN

,
2
OC 
,
所以
1
sin
2
CN
NOC
OC



,所以
30
NOC


.
所以
2
60
MON
NOC



,且
2cos30
3
ON 

,
所以
MON
△
为等边三角形，
所以
3
MN
ON


.
故选:C．
13.过点


2,0
P 
作圆
2
2
4
1
x
y
y


的两条切线，圆心坐标为C，设切点分别为A，B，则四边形PACB的
面积为（
）
A．15
B．2 15
C．5 15
8
D．7 15
8
【答案】A
【分析】根据两点距离公式可得|
|
PC ，即可由勾股定理求解|
|
PB ，由三角形面积公式即可求解.
【详解】由
2
2
4
1
x
y
y


，得
2
2
(
2)
5
x
y



,则圆心( , ),r 
0 2
5，
则|
|
PC 


4
4
2 2 ，则
8
5
3
PB 


，
则四边形PACB的面积为S PBC 



1
2
2
5
3
15
2

.
故选：A
14.从原点向圆
2
2
27
6
0
4
x
y
x




引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（
）
A．2π
3
B．π
C．3π
2
D．4π
3
【答案】B
【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对
的圆心角，用弧长公式即得.
【详解】
由
2
2
27
6
0
4
x
y
x




配方得：
2
2
9
(
3)
4
x
y



，即圆心为
(3,0)
C
,半径为3
2 .
如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点
,
A B ,连接
,
CA CB .
设切线的方程为：y
kx

，由圆心
(3,0)
C
到切线
0
kx
y
-
=
的距离为
2
3|
|
3
2
1
k
k


，解得：
3
3
k 
，
设其中一条切线的倾斜角为，满足
3
tan
3

，解得：
π
6

，故
π
π
2π
2
2
(
)
2
6
3
ACB
ACO






,
则两条切线间圆的劣弧长为2π
3
π
3
2


.
故选：B.
15.已知点

,
P x y 是直线
2
3
y
x


上一动点，PM 与PN 是圆C：

2
2
1
1
x
y


的两条切线，M、N 为切
点，则四边形PMCN 的最小面积为（）
A．4
B．2 5
C．2
D．1
【答案】C
【解析】由题意知，圆C：

2
2
1
1
x
y


的圆心


1,0
C
,半径
1
r ，
因为PM 与PN 是圆C：

2
2
1
1
x
y


的两条切线，所以PM
PN

，
2
2
2
2
1
PM
PC
MC
PC



,则
2
1
PM
PC

，
当PC 最小时，PM 也最小,
又点

,
P x y 是直线
2
3
y
x


上一动点，
故圆心


1,0
C
到直线
2
3
y
x


的距离
2
3
5
5
d



，为PC 的最小值，此时
min
2
PM

，
则此时四边形PMCN 的面积S
PM MC
PM


也最小，最小值为
2
S 
.故选：C.
16.直线:l y
x
m


与曲线
2
:
9
0
C x
y



有两个公共点，则m 的取值范围是（
）
A．

1, 2

B．1, 2
C．3,3 2
D．

3,3 2

【答案】D
【分析】曲线
2
:
9
0
C x
y



表示的是一个以原点为圆心，3 为半径的左半圆，直线y
x
m


的斜率为1，
作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件.
【详解】方程
2
9
0
x
y



，即


2
2
9
0
x
y
x



，表示的是一个以原点为圆心，3 为半径的左半圆，
直线y
x
m


的斜率为1，连接

3,0
A 
和

0,3
B
，
要使直线l 与该半圆有两个交点，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线l 与半圆相切（不含相切），
则可求出直线l 的两个临界位置对应的m 的值.
当直线l 与AB 重合时，
3
m 
，
当直线l 与半圆相切时，圆心

0,0 到y
x
m


的距离d
r

3，即
3
2
m 
，
解得
3 2
m 
或
3 2
m 
（舍去）.
所以m 的取值范围是[3,3 2 ）.
故选：D
17.过点

0,2 与圆
2
2
4
1
0
x
y
x



相切的两条直线的夹角为，则cos（
）
A．1
4
B．15
4
C．
15
4

D．
1
4

【答案】A
【解析】因为
2
2
0
2
4 2 1 11
0



，所以点

0,2 在圆外，
设圆心为C ，点

0,2 为点D ，切点为
,
A B ，
圆
2
2
4
1
0
x
y
x



化为标准方程得

2
2
2
5
x
y



，
则圆心


2,0
C 
，半径
5
r 
，
在Rt
ACD
△
中，
2 2,
5
CD
AC


，所以
8
5
3
AD 


，
故
3
5
cos
,sin
2 2
2 2
ADC
ADC




，
由圆的切线的性质可得
ADC
BDC


，
所以
3
5
1
cos
cos
cos 2
8
8
4
ADB
ADC







.故选：A.
18.已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB


的最小值为（
）
A．16
4 2


B．12
4 2


C．12
8 2


D．16
8 2


【答案】C
【解析】如图，
设PO
d

，则
2
4
PA
PB
d



，
因为
2
sin
APO
d


，所以
2
2
2
8
cos
1 2
1
APB
d
d









，
所以


2
2
2
2
8
32
4
1
12
2 32
12
8 2
12
PA PB
d
d
d
d


















，
当且仅当
2
2
32
d
d

，即
2
4 2
4
d 

时，等号成立，
故PA PB

的最小值为8 2
12

，故选：C.
题型四：直线与圆弦长问题
1.直线
3
0
x
y



被圆
2
2
2
4
0
x
y
x
y




所截得的弦长为（
）
A．2
B．5
C．2 5
D．10
【答案】C
【解析】圆
2
2
2
4
0
x
y
x
y




即



2
2
1
2
5
x
y




，故圆心为(
)
1,2
-
，
显然圆心在直线
3
0
x
y



上，
故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为2 5 .故选：C．
2.若直线3x＋4y－8＝0 被圆(x－a)2＋y2＝4 截得的弦长为2 3 ，则a＝
．
【答案】1 或13
3
【解析】
过C 作CD
AB

，
在Rt△ADC 中，∠ADC ＝90°，
1
2,
3
2
AC
AD
AB



，
故
2
2
4
3
1
CD
AC
AD




，
因为
( ,0)
C a
，
即
2
2
3
8
1
3
4
a 


，解得a＝1 或
13
3
a 
．
故答案为：1 或13
3 .
3.过点
(0,2)
P
引一条直线l 交圆
2
2
(
1)
4
x
y


于
,
A B 两点，若
2 3
AB 
，则直线l 的方程为
．
【答案】
0
x 
或3
4
8
0
x
y



【解析】当直线l 的斜率不存在时，其方程为
0
x 
，
可求出它与圆
2
2
(
1)
4
x
y



的两交点坐标分别为


0, 3 , 0,
3 ,

所以弦长
2 3
AB 
，满足题意．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
2
y
kx


，即
2
0
kx
y



．
圆心(1,0) 到直线
2
0
kx
y



的距离
2
|
2 |
1
k
d
k



，
依题意得
2
|
| 2 4
AB
d


，即
2
2
(
2)
2 3
2 4
1
k
k




，解得
3
4
k 
，
此时，直线:3
4
8
0
l
x
y



.
综上所述：直线l 的方程为
0
x 
或3
4
8
0
x
y



.
故答案为：
0
x 
或3
4
8
0
x
y



4.直线3
4
0
x
y


与圆




2
2
2
1
16
M
x
y




：
交于A，B 两点，则
MAB
△
的面积为（
）
A．4 3
B．4 2
C．2 3
D．2 2
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式，以及弦长公式即可求解.
【详解】圆




2
2
2
1
16
M
x
y




：
的圆心为


2,1
M
，半径为4，
由题意得圆心M 到直线3
4
0
x
y


的距离
2
2
3 2
4 1
2
3
4
d




，
则
2 16
4
4 3
AB 


，
所以
MAB
△
的面积为1
4 3
2
4 3
2 


．
故选：A
5.已知圆C ：
2
2
4
2
1
0
x
y
x
y




，圆C 的弦AB 被点


2,0
P
平分，则弦AB 所在的直线方程是
．
【答案】
0
y 
【解析】因为圆C ：
2
2
4
2
1
0
x
y
x
y




，
所以化为标准方程为：



2
2
2
1
4
x
y




，所以圆心


2,1
C
.
又圆C 的弦AB 被点

2,0
P
平分，故AB
PC

，
而直线PC 斜率不存在，所以
0
AB
k

，
由于AB 过点

2,0
P
，故直线AB 的方程为：
0
y 
.
故答案为：
0
y 
.
6.已知直线
1
y
kx

与圆
2
2
4
x
y


相交于
,
M N 两点，若
14
MN 
，则k （
）
A．1
2
B．1
C．
2
D．2
【答案】B
【分析】先计算直线
1
0
kx
y


到圆心O的距离d ，然后根据勾股定理得到
2
2
1
4
4
d
MN


，从而代入条
件即可解出
2
k ，从而得到k .
【详解】如图所示：
设坐标原点O到直线
1
0
kx
y


的距离为d ，则
2
2
0
0 1
1
1
1
k
d
k
k







.
设线段MN 的中点为P ，则MN
OP

，根据勾股定理，有
2
2
2
2
2
1
4
4
OM
OP
PM
d
MN





.
由
14
MN 
，得
2
2
2
1
1
14
4
4
1
4
d
MN
k





，故
2
1
1
1
2
k


，解得
2
1
k ，故
1
k .
故选：B.
7.两平行直线1 :
0
l
kx
y


与直线2 :
2
0
l
kx
y



分别与圆M:
2
2
4
4
0
x
y
x
y




相交于点A ，B 和C ，D ，
若
4 2
AB 
，则ACD

的面积为（
）
A．2 2
B．2 3
C．4
D．3 2
【答案】B
【分析】将圆转化为一般方程，根据
4 2
AB 
知直线1l 过圆心，进而求出
1
k ，然后求出CD ，最后
求出面积.
【详解】
2
2
4
4
0
x
y
x
y




可化为
2
2
(
2)
(
2)
8
x
y



，
故圆M 的圆心M 的坐标为

2,2 ，半径为2 2 ，
因为
4 2
AB 
，所以直线1l 过圆心

2,2 ，即
1
k ，
所以1 :
0
l
x
y


，2 :
2
0
l
x
y



.
圆心M 到2l 的距离
2
2
2
d 

，
所以
2 8
2
2 6
CD 


，
所以ACD

的面积为1
2
2 6
2 3
2 


.
故选：B.
8.当圆
2
2
:
4
5
0
C x
x
y




截直线:
3
0
l x
my
m




所得的弦长最短时，实数m （
）
A．
2
B．1

C．
2

D．1
【答案】B
【分析】先判断直线l 经过定点

3,1
P
，且定点在圆内，要使弦长最短，只需使l
PC

，计算即得.
【详解】由
2
2
:
4
5
0
C x
y
x



得
2
2
(
2)
9
x
y



，圆心坐标是


2,0
C
，半径是3,
直线l ：
3
0
x
my
m




过定点

3,1
P
，且在圆内，
当l
PC

时，直线l 被圆
2
2
4
5
0
x
y
x




截得的弦长最短，
由1 1
0
1
3
2
m




解得
1
m .
故选:B.
9.已知直线




: 2
1
1
2
0
l
m
x
m y
m






与圆
2
2
:
4
O x
y


相交于A，B 两点，则| AB 的最小值为（
）
A．2 2
B．2 3
C．
2
D．
3
【答案】A
【分析】求出直线恒过的定点，由几何法可知当OM
l
时，AB 最小，用勾股定理求出AB 。
【详解】将l 的方程转化为

2
1
2
0
x
y
m
x
y






，
令
2
1
0,
2
0,
x
y
x
y








解得
1
x
y

，即l 过定点


1, 1
M 
，
当OM
l
时，圆心到直线l 的距离d 最大值为
2
OM 
，
此时AB 取得最小值,根据勾股定理：
2
2
2
2 4
2
2 2
AB
r
d





.
故选：A
10.已知直线l 与圆
2
2
:
6
0
C x
y
x



交于
,
A B 两点，则ABC

面积的最大值为（
）
A．4
B．5
C．7
2
D．9
2
【答案】D
【分析】
由圆的方程可确定半径，利用垂径定理可表示出AB ，代入三角形面积公式，利用基本不等式可求得最大
值.
【详解】
由圆C 的方程知：圆心


3,0
C 
，半径
2
1
6
3
2
r 


，
设圆心C 到直线l 的距离为d ，则
2
2
2
2
2 9
AB
r
d
d




，


2
2
2
2
2
2
1
9
9
9
9
2
2
2
ABC
d
d
S
AB d
d
d
d
d

















（当且仅当
3 2
2
d 
时取等号），
则ABC

面积的最大值为9
2 .
故选：D.
11.如图，圆
2
2
8
x
y

内有一点


0
1,1
P 
，AB 为过点
0P 的弦，若弦AB 被点
0P 平分时，则直线AB 的方程
是（
）
A．
2
0
x
y



B．
2
5
0
x
y



C．
2
0
x
y



D．
2
15
0
x
y



【答案】C
【分析】由题意，AB
OP

，则
1
AB
OP
k
k

，点斜式求直线AB 的方程，化为一般式即可.
【详解】圆
2
2
8
x
y

，圆心坐标


0,0
O
，
1
OP
k
，
弦AB 被点
0P 平分时，AB
OP

，则
1
AB
k
，
直线AB 过点
0P ，方程为
1
1
y
x

，即
2
0
x
y



.
故选：C
12.已知圆C 的方程为
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y




，若直线:3
4
5
0
l
x
y


与圆C 相交于
,
A B 两点，则ABC

的面积
为
.
【答案】12
【解析】圆C ：
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y




，得圆心为


3,4
C
，半径为
= 5
r
，
圆心到直线的距离
4
d 
，因此
2
2
2
2 25 16
6
AB
r
d





，
所以
1
1
6
4
12
2
2
ABC
S
AB d






.
故答案为：12.
13.已知圆
2
2
:
4
O x
y


，直线l 过点(1,1) 且与圆O 交于A，B 两点，当AOB

面积最大时，直线l 的方程
为
．
【答案】
2
0
y
x



【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为
1
x ，
则由
2
1
4
y


，得
3
y 
，所以



1, 3 ,
1,
3
A
B

2 3
AB 
,
1
2 3 1
3
2
AOB
S



△
当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为


1
1
y
k x


原点O到直线l 的距离为：
2
1
1
k
d
k



2
2
2
2
2 4
AB
R
d
d








2
2
2
2
2
2
4
1
4
4
2
2
2
AOB
d
d
d
d
S
d
d
d
AB


















V
当且仅当
2
2
4
d
d


，即
2
d 
时取得等号.
由
2
1
2
1
k
d
k




，解得
1
k 
由2
3

故直线l 的方程为：


1
1
y
x


，即
2
0
y
x



故答案为：
2
0
y
x



题型五：过定点直线的最短弦长
1.当圆
2
2
:
4
5
0
C x
x
y



截直线:
3
0
l x
my
m



所得的弦长最短时，实数m （
）
A．
2
B．1

C．
2

D．1
【答案】B
【解析】由
2
2
:
4
5
0
C x
y
x




得
2
2
(
2)
9
x
y



，圆心坐标是


2,0
C
，半径是3,
直线l ：
3
0
x
my
m



过定点

3,1
P
，且在圆内，
当l
PC

时，直线l 被圆
2
2
4
5
0
x
y
x




截得的弦长最短，
由1 1
0
1
3
2
m




解得
1
m .故选:B.
2.直线




: 2
1
1
8
5
0
l
m
x
m
y
m






，被圆
2
2
:(
2)
(
1)
25
C
x
y




截得最短弦的长为（
）
A．4 6
B．2 6
C．2 23
D．
23
【答案】C
【解析】直线




: 2
1
1
8
5
0
l
m
x
m
y
m






，
即

2
8
5
0
x
y
m
x
y






，由
2
8
0
5
0
x
y
x
y








，解得
3,
2
x
y


，
设


3,2
D
，由于



2
2
3
2
2 1
2
25





，所以D 在圆C 内，
圆
2
2
:(
2)
(
1)
25
C
x
y




的圆心为


2,1
C
，半径
= 5
r
，如图：
当CD
AB

时，AB 最短，
2
2
1
1
2
CD 


，
所以弦长AB 的最小值为


2
2
2 5
2
2 23


.故选：C
3.已知过点


1,
1
P a
b


的直线l 与圆
2
2
:(
)
(
)
4
M
x
a
y
b




交于
,
A B 两点，则AB 的最小值为（
）
A．2 3
B．
3
C．
2
D．2 2
【答案】D
【解析】因为
2
2
(
1
)
(
1
)
4
a
a
b
b




，所以点P 在圆M 内．
且圆
2
2
:(
)
(
)
4
M
x
a
y
b




的圆心为


,
M a b ，半径为2 ，
则
2
MP 
，当MP
l
时，AB 取得最小值，且最小值为
2
2 4
|
|
2 2
MP


．故选：D
4.过点(3,1)的直线与圆
2
2
:
4
1
0
C x
y
x


交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC

的面积为（
）
A．
6
B．2 2
C．2 3
D．2 6
【答案】A
【解析】圆
2
2
:(
2)
5
C
x
y



的圆心
(2,0)
C
，半径
5
r 
，记(3,1)为点P ，|
|
2
5
PC 

，
即点
(3,1)
P
在圆C 内，则当AB
CP

时，弦AB 长最短，
此时
2
2
2
2
|
| 2
|
|
2 ( 5)
( 2)
2 3
AB
r
PC





，
所以ABC

的面积
1
1
|
| |
|
2 3
2
6
2
2
ABC
S
AB
PC







.故选：A
题型六：直线与半圆的相交问题
1.直线y
x
b


与曲线
2
1
y
x


有两个交点，则实数b 取值范围为（
）
A．

2,
2

B．

1,
2
C．

1, 2

D．

2,
2

【答案】C
【解析】由曲线
2
1
y
x


得


2
2
1
0
x
y
y



，表示以原点为圆心，半径为1 的半圆，
当直线y
x
b


与半圆
2
1
y
x


相切时，
1
2
b ，则
2
b 
，
此时直线为
2
y
x


；
当直线y
x
b


过点

0,1 时，
1
b ，此时直线为
1
y
x

，
要使直线y
x
b


与曲线
2
1
y
x


有两个交点，则b 取值范围为

1,
2

.故选：C.
2.已如直线y
x
m


和曲线
2
1
1
y
x


只有一个公共点，则实数m 的取值范围
.
【答案】{ | 0
2
x
m


或
1
2}
m 
【解析】因为曲线
2
1
1
y
x


，所以
2
1,0
1
1
y
x


，
解得0
1, 1
1
y
x



，曲线可化为
2
1
1
y
x


，
两边同时平方有，

2
2
1
1
y
x


，即


2
2
1
1
x
y


，
所以曲线是以

0,1 为圆心，1为半径的圆的一部分，
而直线y
x
m


，所以直线的斜率为1，画图象如下：
由于直线与曲线只有一个公共点，
当直线过

1,1

时，即1
1 m

，解得
2
m 
，
当直线过

1,1 时，即1 1
m

，解得
0
m 
，由图象可知0
2
m


，
当直线与圆相切时：1
0
1
2
m


，解得
1
2
m 
或
1
2
m 
，
而m 即为y
x
m


在y 轴上的截距，由图象可知
1
2
m 
，
综上：0
2
m


或
1
2
m 
.
故答案为：{ | 0
2
x
m


或
1
2}
m 
.
3.直线:
1 3
0
l x
my
m



与曲线
2
:
2
1
C x
y



有两个交点，则m 的取值范围是（
）
A．3 ,4
4






B．1 3
,
2 4





C．
3 ,2
4






D．
3
0, 4






【答案】B
【解析】由题意得，直线:
1 3
0
l x
my
m



过定点
(1, 3)
P

，
曲线
2
:
2
1
C x
y



是以
(2,0)
M
为圆心，半径为1 的半圆（如图所示），
曲线C 的下端点为
(2, 1)
N

.
要使直线l 与曲线C 有两个交点，则直线l 应位于直线PN 和切线PQ 之间（可以与PN 重合），
此时直线l 的斜率存在，且
PQ
l
PN
k
k
k


，即
0
PN
l
k
k


且圆心
(2,0)
M
到直线l 的距离小于半径.
由
1 ( 3)
1
2
0
2 1
PN
k
m






得
1
2
m 
，由
2
1 3
1
1
m
m



得
3
0
4
m


，所以1
3
2
4
m


.故选：B.
4.若直线:
(
1)
4
l y
k x



与曲线
2
1
4
x
y


有两个交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．3
( ,
)
4 
B．3
[ ,1]
4
C．[3,
)

D．(0,3]
【答案】C
【解析】由已知直线:
(
1)
4
l y
k x



过定点
( 1, 4)
P 
，
曲线
2
1
4
x
y


是以
(1,0)
M
为圆心，2 为半径的圆的左半部分弧
ACB ，
(1,2)
B
，
作出它们的图形，如图，
直线PB 的斜率为
2
( 4)
3
1
( 1)
PB
k




，当直线l 斜率不存在时，它与该半圆相切，
由图可知，它们有两个交点时，
3
k 
，故选：C．
题型七：圆与圆的位置关系
1.圆M ：

2
2
1
4
x
y



与圆
2
2
:
4
2
0
N x
y
x
y




的位置关系为（
）
A．相交
B．内切
C．外切
D．相离
【答案】A
【解析】圆M 的圆心为


1,0
M
，半径为
2
r 
；




2
2
:
2
1
5
N
x
y




，
则圆N 的圆心为


2, 1
N 

，半径为
5
R 
.
两圆心之间的距离


2
1 2
1
10
MN 


，
且满足R
r
MN
R
r




，可知两圆相交.故选：A.
2.圆
2
2
1
x
y

与圆
2
2
(
2)
1
x
y


的位置关系是（
）
A．相交
B．外切
C．外离
D．内含
【答案】B
【解析】
2
2
1
x
y

的圆心为

0,0 ，半径为1，
2
2
(
2)
1
x
y


的圆心为

2,0 ，半径为1，
可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切.故选：B
3.圆
2
2
(
1)
1
x
y


和圆



2
2
2
4
16
x
y




的位置关系为（
）
A．相离
B．相交
C．外切
D．内切
【答案】C
【分析】利用圆心距与半径和差关系判定两圆位置关系即可.
【详解】易知圆
2
2
(
1)
1
x
y


和圆



2
2
2
4
16
x
y




的圆心与半径分别为：

1
1,0 ,
1
r

和

2
2,4 ,
4
r 
，
所以圆心距为



2
2
1 2
0
4
5




，显然1
2
5
r
r


，即两圆相外切.
故选：C
4.圆


2
2
1 :
3
9
C
x
y



与圆
2
2
2 :
8
0
C
x
y
y



（
）
A．相切
B．相交
C．外离
D．内含
【答案】B
【分析】由两圆圆心距与半径和差的关系即可求解.
【详解】圆


2
2
1 :
3
9
C
x
y



的圆心
1(3,0)
C
，半径1
3
r 
；
圆
2
2
2 :
8
0
C
x
y
y



即


2
2
4
16
x
y



的圆心
2(0, 4)
C

，半径2
4
r 
；
则
1
2
9
16
5
C C



，则
2
1
1
2
1
2
1
7
r
r
C C
r
r





，
故两圆相交.
故选：B.
5.圆C：
2
2
2
2
4
5(
0)
x
y
x
y
r
r






与圆
2
2
:
6
D x
y


的位置关系不可能（
）
A．内含
B．内切
C．相交
D．外切
【答案】D
【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.
【详解】由题可得圆C：



2
2
2
1
2
x
y
r




，则其圆心

1,2 ，半径为r ；
圆
2
2
:
6
D x
y


，则其圆心为

0,0 ，半径为
6 .
则两圆圆心距为5
6
r

，
故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.
故选：D
6.圆
2
1
2
: (x 1)
(y 3)
36
C




与圆
2
2
2 : (
2)
(
1)
1




C
x
y
的位置关系是（
）
A．相交
B．内切
C．外切
D．外离
【答案】B
【解析】由题意得圆
2
1
2
: (x 1)
(y 3)
36
C




的圆心为
1( 1,3)
C 
，半径为6，
圆
2
2
2 : (
2)
(
1)
1




C
x
y
的圆心为
2(2, 1)
C

，半径为1，
则
2
2
1
2
|
|
2 1)
( 1 3)
5
6 1
C C 





（
，
故两圆内切，
故选：B
7.若圆
1
C ：
2
2
1
x
y

与圆
2
C ：
2
2
8
6
0
x
y
x
y
m





内切，则m （
）
A．29
B．9
C．11

D．19
【答案】C
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由圆
1
C ：
2
2
1
x
y

，可得圆心


1 0,0
C
，半径1
1
r ；
圆
2
C ：
2
2
8
6
0
x
y
x
y
m





可化为



2
2
4
3
25
0
x
y
m





，
可得圆心


2 4,3
C
，半径
2
25
0
r
m



，
所以
2
2
1
2
4
3
5
C C



，
由圆
1
C 圆
2
C 内切，所以
1
2
1
2
C C
r
r


，即5
25
1
m



，
解得：
11
m 
.
故选：C.
8.若直线
1
ax
by

与圆
2
2
:
1
O x
y

相切，则圆
2
2
1
(
)
(
)
4
x
a
y
b




与圆O（
）
A．外切
B．相交
C．内切
D．没有公共点
【答案】B
【解析】直线
1
ax
by

与圆
2
2
:
1
O x
y

相切，
则圆心


0,0
O
到直线
1
ax
by

的距离等于圆O的半径1，
即
2
2
1
1
d
a
b



，得
2
2
1
a
b

.
圆
2
2
1
(
)
(
)
4
x
a
y
b




的圆心坐标为

,a b ，半径为1
2 ，
其圆心在圆O上，所以两圆相交.故选：B
题型八：圆与圆位置关系求参
1.已知圆
2
2
2
: (
1)
(
2 )
( 2
1)
M
x
y
a





与圆
2
2
2
: (
)
( 2
1)
N
x
a
y




相交，则a 的取值范围是（
）
A．

1,1

B．
7
2
,0
,1
5
3














C．
3
1, 5







D．
7
3
, 1
,1
5
5















【答案】D
【解析】圆M 的圆心为


1,2
M
a

，半径为
2
1
，圆N 的圆心为


,0
N a
，半径为
2
1
.
依题意可得


2
1
2
1
2
1
2
1
MN





，即
2
2
2
(
1)
( 2 )
2 2
a
a




，解得
7
3
, 1
,1
5
5
a















.
故选：D.
2.若两圆
1
C ：
2
2
2
0
x
y
x



与
2
C ：
2
2
4
8
0
x
y
x
y
m





外离，则实数m 的取值范围为（
）
A．
4
m 
B．
4
m 
C．0
4
m


D．4
20
m


【答案】D
【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解.
【详解】由题意
1
C ：
2
2
2
0
x
y
x



即
1
C ：

2
2
1
1
x
y


，它的圆心半径分别为


1
1
1,0 ,
1
C
r

，
2
C ：
2
2
4
8
0
x
y
x
y
m





即
2
C ：



2
2
2
4
20
x
y
m





，它的圆心半径分别为




2
2
2,4 ,
20
,
20
C
r
m
m



，
所以圆心距满足
1
2
1
2
9 16
5
1
20
C C
r
r
m







，解得
4
m 
，
所以4
20
m


.
故选：D.
3.若两圆
1
C ：
2
2
2
0
x
y
x



与
2
C ：
2
2
4
8
0
x
y
x
y
m





外离，则实数m 的取值范围为（
）
A．
4
m 
B．
4
m 
C．0
4
m


D．4
20
m


【答案】D
【解析】由题意
1
C ：
2
2
2
0
x
y
x



即
1
C ：

2
2
1
1
x
y


，
它的圆心半径分别为


1
1
1,0 ,
1
C
r

，
2
C ：
2
2
4
8
0
x
y
x
y
m





即
2
C ：



2
2
2
4
20
x
y
m





，
它的圆心半径分别为




2
2
2,4 ,
20
,
20
C
r
m
m



，
所以圆心距满足
1
2
1
2
9 16
5
1
20
C C
r
r
m







，解得
4
m 
，
所以4
20
m


.故选：D.
4.若圆
2
2
2
0
x
ax
y



与圆
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y





只有一个交点，则实数a 的值可以是（
）
A．1
B．2
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用圆和圆的位置关系求解参数即可.
【详解】易知圆
2
2
2
0
x
ax
y



的圆心为( ,0)
a
，半径
2
1
1
( 2 )
2
r
a
a



，
圆
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y





的圆心为(2,1) ，半径1
1 16 16
4
3
2
r 



，
由题意得圆
2
2
2
0
x
ax
y



与圆
2
2
4
2
4
0
x
y
x
y





只有一个交点，
可得两圆内切或外切，易得圆心距
2
(
2)
1
d
a


，半径差与和分别为
3
a 
或
3
a ，
当两圆内切时
2
(
2)
1
3
a
a




，解得
2
a 
或
2
5
a 
，
当两圆外切时

2
2
1
3
a
a



，无解，结合选项
故选：D
5.设
0
a 
，若圆

2
2
1
x
a
y


与圆
2
2
25
x
y


有公共点，则a 的取值范围为（
）
A．

0,4
B．
4
C．

4,6
D．

4,6
【答案】D
【分析】根据两圆心距离与半径和与差的关系列不等式求解.
【详解】圆

2
2
1
x
a
y


，圆心为

,0
a
，半径为1，
圆
2
2
25
x
y


，圆心为

0,0 ，半径为5，
若圆

2
2
1
x
a
y


与圆
2
2
25
x
y


有公共点，
则4
6
a


，又
0
a 
，所以4
6
a


.
故选：D
6.已知O是坐标原点，若圆
2
2
:
6
8
0
C x
y
x
y
a





上有2 个点到O的距离为2，则实数a 的取值范围为
（
）
A．

24,16

B．

24,16

C．

16,24

D．

16,24

【答案】A
【解析】将圆C 的方程化为标准方程得
2
2
(
3)
(
4)
25
x
y
a





，所以
25
a 
.
到原点O的距离为2 的轨迹方程为
2
2
4
x
y


，
因为圆C 上有2 个点到O的距离为2，所以圆C 与圆
2
2
:
4
O x
y


相交，
所以
25
2
25
2
a
OC
a






，又
2
2
( 3)
4
5
OC 



，
解得24
16
a



，即实数a 的取值范围为

24,16

.
故选：A.
7.已知点

4,
P
a ，若圆O：
2
2
4
x
y


上存在点A，使得线段PA 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是（
）
A．
3 3,3 3





B．
5
5
2
,2





C．

, 3 3
3 3,







D．

, 2 5
2 5,







【答案】B
【解析】设A 的坐标为

0
0
,
A x
y
，PA 的中点坐标为


,
Q x y ，
则有：
0
0
2
2
0
0
4
2
2
4
x
x
a
y
y
x
y













，
解得：

2
2
2
1
2
a
x
y










，
又线段PA 中点也在圆上，所以两圆有公共点，
所以


2
2
1
0
2
0
3
2
a











，
解得：
2
20
a 
，
解得：2 5
2 5
a



，
故选：B.
8.已知圆


2
2
:(
3)
4
1
C
x
y



和两点
(
,0), ( ,0)(
0)


A
a
B a
a
，圆C 上若存在点P，使得
90
APB


，则a
的最小值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【解析】
(
,0), ( ,0)(
0)
A
a
B a
a



，且存在点P，使得
90
APB


，
点P 的轨迹为
2
2
2(
0)
x
y
a a



，
点P 在圆


2
2
:(
3)
4
1
C
x
y



上，
两圆有公共点，
两圆圆心分别为(0,0) ，( 3, 4)


，圆心距为5，半径分别为,1
a
，
|
1| 5
1
a
a



，解得4
6
a


，
故选：D
9.已知圆C 的半径为1，圆心在直线:l
3
y
x
=
+ 上．点


1,0
A 
，


10
B
, ．若圆C 上存在点P ，使得
2
2
10
PA
PB


，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为（
）
A．

3, 2


B．

3,0

C．

2, 1


D．

1,0

【答案】B
【解析】依题意设圆心


,
3
C a a 
，则圆C ：



2
2
3
1
x
a
x
a




，
设


,
P x y ，由
2
2
10
PA
PB


，则



2
2
2
2
1
1
10
x
y
x
y






，
即
2
2
4
x
y


，
依题意即圆C 与圆
2
2
4
x
y


有交点，则


2
2
2 1
3
2 1
a
a




，解得3
0
a


，
即圆心C 的横坐标a 的取值范围为

3,0

.
故选：B
10.已知在圆
2
2
: (
)
(
2 )
20




C
x
a
y
a
上恰有两个点到原点的距离为5 ，则a 的取值范围是（
）
A．

1,3
B．

1,9
C．



3, 1
1,3



D．



9, 1
1,9


【答案】C
【解析】圆
2
2
: (
)
(
2 )
20




C
x
a
y
a
的圆心为


,2
C a
a ，半径为2 5 ，
依题意可知，以原点


0,0
O
为圆心，半径为5 的圆，与圆C 相交，
= 5
OC
a ，所以2 5
5
5
2 5
5
a




，
即1
3
a


，所以




3, 1
1,3
a


.
故选：C
题型九：圆的公切线条数及参数问题
1.两圆



2
2
2
1
4
x
y




与



2
2
2
1
16
x
y




的公切线有（
）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】B
【分析】通过判断两圆位置关系确定公切线条数.
【详解】圆



2
2
2
1
4
x
y




的圆心为(2, 1)

，半径为2，
圆



2
2
2
1
16
x
y




的圆心为( 2,1)

，半径为4，
∴圆心距




2
2
2
2
1 1
2 5
d 



．
由4
2
2 5
4
2



，可得两圆相交，
∴两圆公切线有2 条．
故选：B.
2.圆
2
2
1 :
8
8
0
C
x
y
x
y




与圆
2
2
2 :
8
4
12
0
C
x
y
x
y





公切线的条数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两
圆外离，即可得出答案.
【详解】根据题意：
圆
2
2
1 :
8
8
0
C
x
y
x
y




，
2
2
(
4)
(
4)
32
x
y




，
其圆心为(4,4) ，半径
4 2
r 
；
圆
2
2
2 :
8
4
12
0
C
x
y
x
y





，
2
2
(
4)
(
2)
8
x
y




，
其圆心为( 4, 2)


，半径
2 2
R 
；
两圆的圆心距
1
2
64
36
10
6 2
C C
R
r






，所以两圆外离，
所以公切线条数有4 条.
故选：D.
3.平面直角坐标系内，与点
(1,1)
A
的距离为1 且与圆
2
2
(
1)
(
4)
4
x
y




相切的直线有（
）
A．4 条
B．3 条
C．2 条
D．0 条
【答案】B
【解析】依题意，与点
(1,1)
A
的距离为1 的直线始终与以点A 为圆心，1 为半径的圆
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y



相
切，
而此直线与圆
2
2
(
1)
(
4)
4
x
y




相切，
因此该直线是圆
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y



与圆
2
2
(
1)
(
4)
4
x
y




的公切线，
又圆
2
2
(
1)
(
4)
4
x
y




的圆心
(1,4)
C
，半径为2，显然|
| 3
1
2
AC 

，
所以两圆外切，它们有3 条公切线，即所求切线条数是3.故选：B
4.已知圆
2
2
1 :
1
C
x
y

与圆






2
2
2 :
1
16
0
C
x
a
y
a





有4 条公切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．

0,2 2
B．

2 2,
C．

0,2 6
D．

2 6, 
【答案】D
【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：
1
2
d
r
r


。
【详解】根据题意可知，圆
1
2
,
C C 外离，
2
2
1
2,
1
1
4
24
d
r
r
a
a






，又
0,
2 6
a
a




．
故选：D
5.已知圆
2
2
1 :
1
C
x
y

与圆






2
2
2 :
1
16
0
C
x
a
y
a





有4 条公切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．

0,2 2
B．

2 2,
C．

0,2 6
D．

2 6,
【答案】D
【解析】根据题意可知，圆
1
2
,
C C 外离，
2
2
1
2,
1
1
4
24
d
r
r
a
a






，又
0,
2 6
a
a




．故选：D
6.已知圆
1
C ：
2
2
1
x
y

，圆
2
C ：



2
2
3
4
16
x
y




，则下列说法正确的是（
）
A．圆
1
C 与圆
2
C 公共弦所在直线的方程为3
4
5
0
x
y



B．圆
1
C 与圆
2
C 有两条公切线
C．= 1
x 是圆
2
C 与圆
2
C 的一条公切线
D．圆
1
C 与圆
2
C 上均恰有两点到直线3
4
5
0
x
y



的距离为2
【答案】C
【分析】根据两圆圆心距离等于半径和即可得两圆外切判断AB，根据直线与两圆都相切判断C，根据圆
心到直线距离等于半径判断D.
【详解】由条件可得：圆
1
C ：
2
2
1
x
y

的圆心为


1 0,0
C
，半径1
1
r ；
圆
2
C ：



2
2
3
4
16
x
y




的圆心为


2 3,4
C
，半径2
4
r 
.
因为
2
2
1
2
1
2
3
4
5
C C
r
r





，所以圆
1
C 与圆
2
C 外切，选项A，B 错误；
对于选项C，圆心


1 0,0
C
到直线= 1
x 的距离


1
1
0
1
1
d
r



；
圆心为


2 3,4
C
到直线= 1
x 的距离


2
2
3
1
4
d
r




，
所以= 1
x 是圆
1
C 与圆
2
C 的一条公切线，选项C 正确；
对于选项D，圆心


1 0,0
C
到直线3
4
5
0
x
y



的距离
3
1
2
2
5
1
3
4
d
r




，
所以圆
1
C ：
2
2
1
x
y

上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D 错误.
故选：C
7.若圆
2
2
1 :
4
3
0
C
x
y
x




与圆
2
2
2 : (
2)
(
3)
C
x
y
m




有且仅有一条公切线，则m 
.
【答案】36
【解析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，
由
2
2
1 :
4
3
0
C
x
y
x




可得

2
2
2
1
x
y


，即该圆以

2,0 为圆心，1为半径，
圆
2
2
2 : (
2)
(
3)
C
x
y
m




，圆心为

2, 3


，
故有



2
2
2
2
3
0
5
1
m





且
0
m 
，解得
36
m 
.
故答案为：36.
8.已知圆
2
2
2
1 :(
3 )
(
4
2)
1
C
x
k
y
k
k





与圆
2
2
2
2 :(
3 )
4
C
x
k
y
k



有三条公切线，则k 
．
【答案】4
7
3

或
12
39
35


【解析】圆
1
C 的圆心为( 3 , 4
2)
k
k



，半径为
2
1 k

，
圆
2
C 的圆心为( 3 ,0)
k

，半径为2 k ，
0
k 
因为圆
1
C 与圆
2
C 有三条公切线，所以两圆外切，
所以
2
2
2
1
2
( 3
3 )
(4
2)
4
2
k
k
k
k
k
k









即
2
1
4
2
2
k
k
k




当
1
2
k 
时，
2
1
2
2
k
k



，即
2
3
8
3
0
k
k



解得
4
7
3
k


或
4
7
3
k


（舍去）
当
1
0
2
k


时，
2
1
6
2
k
k



，即
2
35
24
3
0
k
k



解得
12
39
35
k



或
12
39
35
k



（舍去）
当
0
k 
时，
2
1
2
2
k
k



，即
2
3
8
3
0
k
k



解得
4
7
3
k


（舍去）
综上，
4
7
3
k


或
12
39
35
k



故答案为：4
7
3

或
12
39
35


9.平面直角坐标系内，点



1,2
6,14
A
B
､
到直线l 的距离分别为4 和9，则满足条件的直线l 有
条.
【答案】3
【解析】由已知可把直线l 看成是以(1,2)
A
为圆心，4 为半径的圆的切线，
同时是以
(6,14)
B
为圆心，9 为半径的圆的切线，
由于两圆圆心距
2
2
(6 1)
(14
2)
13=4
9
AB 





，所以两圆相外切，
根据外切的两圆的公切线有3 条可知，满足条件的直线l 有3 条．
故答案为：3．
10.已知与圆
1
C ：
2
2
1
x
y

和圆
2
C ：



2
2
2
4
x
y
a




都相切的直线有且仅有两条，则实数a 的取值范
围是
．
【答案】

5, 5

【解析】圆
1
C ：
2
2
1
x
y

的圆心


1 0,0
C
，半径1
1
r ，
圆
2
C ：



2
2
2
4
x
y
a




的圆心


2 2,
C
a ，半径2
2
r 
，
因为与圆
1
C ：
2
2
1
x
y

和圆
2
C ：



2
2
2
4
x
y
a




都相切的直线有且仅有两条，
所以两圆相交，则
1
2
1
2
1
2
r
r
C C
r
r




，
即
2
1
4
3
a



，解得
5
5
a



，
所以实数a 的取值范围是

5, 5

.
故答案为：

5, 5

.
题型十：圆的公切线方程
1.已知圆


2
2
:
1
1
C
x
y


与圆


2
2
:
3
1
E x
y



，则圆C 和圆E 的一条公切线的方程为.
【答案】
3
3
2
y
x



（写出
3
3
2
y
x



或
3
3
2
y
x



或
3
1
0
x
y


其中一条即可）
【解析】因为圆C 的圆心为


1,0
C
，半径为1
1
r ，圆E 的圆心为

0, 3
E
，半径为2
1
r ，
因为




2
2
1
2
1 0
0
3
2
CE
r
r






，所以，圆C 和圆E 外切，
故圆C 和圆E 有三条公切线，
若两圆公切线的斜率不存在，设公切线的方程为x
m

，则
1
1
0
1
m
m






，无解.
所以，两圆公切线的斜率存在，设公切线方程为y
kx
b

，即
0
kx
y
b



，
由题意可得
2
2
1
1
3
1
1
k
b
k
b
k












，可得
3
k
b
b



，所以，
3
k 
或
3
2
k
b


，
当
3
k 
时，可得
3
2
b 

；
当
3
2
k
b


，代入
2
3
1
1
b
k



可得
2
3
2 3
1
0
b
b


，解得
3
3
k
b


，
所以，两圆公切线方程为
3
3
2,
y
x



或
3
3
2
y
x



或
3
1
0
x
y


.
故答案为：
3
3
2
y
x



（写出
3
3
2
y
x



或
3
3
2
y
x



或
3
1
0
x
y


其中一条即可）
2.写出与圆
2
2
1 :
1
O
x
y

和
2
2
2 :(
3)
1
O
x
y


都相切的一条直线方程
．
【答案】
2 5
3
(
)
5
2
y
x


或
1
y 中任何一个答案均可
【解析】圆
2
2
1
x
y

的圆心为


1 0,0
C
，半径为1
1
r ，
圆
2
2
2 :(
3)
1
O
x
y


的圆心为


2 3,0
C
，半径为2
1
r ，
则
1
2
1
2
3
C C
r
r



，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在x 轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为y
kx
b

，即
0
kx
y
b



，
则有
2
2
1
1
3
1
1
b
k
k
b
k











，
解得
2 5
5
3 5
5
k
b




或
2 5
5
3 5
5
k
b





或
0
1
k
b




或
0
1
k
b




所以公切线方程为
2 5
3
(
)
5
2
y
x


或
1
y .
故答案为：
1
y .（答案不唯一，写其它三条均可）
3.已知圆




2
2
:
2
1
1
M
x
y



，圆




2
2
:
2
1
1
N
x
y



，则下列不是M ，N 两圆公切线的直线方程
为（
）
A．
0
y 
B．4
3
0
x
y


C．
2
5
0
x
y



D．
2
5
0
x
y



【答案】D
【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点O对称，则有两条
切线过原点O，另两条切线与直线MN 平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得
解
【详解】由题意，圆




2
2
:
2
1
1
M
x
y



的圆心坐标为


21
M
，，半径为1
1
r 
圆




2
2
:
2
1
1
N
x
y



的圆心坐标为


2
1
N 

，
，半径为2
1
r 
如图所示，两圆相离，有四条公切线.
两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，
设切线:l y
kx

，则圆心到直线的距离
2
2
1
1
1
k
k



，解得
0
k 
或
4
3
k 
，
当
0
k 
时，切线方程为
0
y 
，A 正确；
当
4
3
k 
时，切线方程为
4
3
y
x

，即4
3
0
x
y


，B 正确；
另两条切线与直线MN 平行且相距为1，又由
1
:
2
MN
l
y
x

，
设切线
1
:
2
l y
x
b


，则
1
1
1
4
b


，解得
5
2
b 
，
即切线方程分别为
1
5
2
2
y
x


，
1
5
2
2
y
x


；
整理可得两切线方程为
2
5
0
x
y



和
2
5
0
x
y



，
所以C 正确，D 不正确.
故选：D.
4.已知圆
2
2
2
1 :
(
0)
C
x
y
m
m



与圆
2
2
2 :
2
4
20
0
C
x
y
x
y





恰有两条公切线，则满足题意的一个m 的
取值为
；此时公切线的方程为
.
【答案】
5（答案不唯一）
2
5 5
y
x


和
2
5 5
y
x


（答案与前空的答案有关联）
【分析】根据两圆相交，求出圆半径的取值范围；再根据圆心到直线切线的距离等于半径求出切线方程.
【详解】圆
2
C 的圆心为(1,2) ，半径为5.
因为圆
2
2
2
1 :
(
0)
C
x
y
m
m



与圆
2
C 恰有两条公切线，所以圆
1
C 与圆
2
C 相交.即
1
2
| 5
|
5
m
C C
m




.
又
1
2
5
C C

，所以5
5
5
5
m




，
所以可取
5
m 
(答案不唯一.满
(5
5,5
5)
m


即可).
此时
2
2
1 :
25
C
x
y


.
因为
1
C 的圆心为(0,0) ，半径为5，
2
C 的圆心为(1,2) ，半径为5，
所以可设公切线的方程为y
kx
b

，且与两圆圆心所在的直线平行，解得
2
k 
，
又因为y
kx
b

是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即
2
5
1
2
b


，解得
5 5
b 
.
所以当
5
m 
时，公切线的方程为
2
5 5
y
x


和
2
5 5
y
x


.
故答案为: 5；
2
5 5
y
x


和
2
5 5
y
x


.
5.已知圆




2
2
:
2
1
1
M
x
y



，圆




2
2
:
2
1
1
N
x
y



，则下列是M，N 两圆公切线的直线方程为（
）
（1）y＝0
（2）3
4
0
x
y


（3）
2
5
0
x
y



（4）
2
5
0
x
y



A．（1）（3）（4）B．（2）（3）
C．（1）（2）（4）
D．（1）（2）（3）
【答案】A
【解析】圆M 的圆心为


2,1
M
，半径1
1
r ．
圆N 的圆心为


2, 1
N 

，半径2
1
r ，
圆心距
2 5
2
d 

，两圆外离，故有四条公切线．
又两圆关于原点O 对称，则有两条内公切线过原点O，设切线方程为y
kx

，
则圆心到直线的距离
2
2
1
1
1
k
k



，解得k＝0 或
4
3
k 
，
对应方程分别为y＝0，4
3
0
x
y


．
两条外公切线与直线MN 平行，而
1
:
2
MN
l
y
x

，
设切线方程为
1
2
y
x
b

，则
1
1
1
4
b


，解得
5
2
b 
，
切线方程为
2
5
0
x
y



，
2
5
0
x
y



．故选：A
6.为测量一工件的内圆弧AB 对应的半径R ，工人用三个半径均为10mm 的圆柱形量棒
1
2
3
,
,
O O O 放在与工件
圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒
2
O 顶侧面的垂直深度
6mm
h 
（如图所
示），则R 
mm .
【答案】130
3 /
1
43 3
【解析】
如图，设两圆
1
2
,
O O 外切于点M ，连接OM ，作
1
2
O N
OO

交
2
OO 于点N ，
点D 为线段
2
OO 与圆
2
O 的交点，
因为DE
h

，所以
2
10
O N
DN
h


，
因为
1
2
2
90
O NO
OMO



，
1
2
2
OO N
OO M


，
所以
1
2
2
O NO
OMO


，所以
2
1
2
2
2
O N
O O
O M
OO

，
所以
20
10
10
h
R


，解得
130
3
R 
，
故答案为：
130
3
R 
.
题型十一：公共弦与切点弦问题
1.已知圆
2
2
1 :
2
6
1
0
C
x
y
x
y




与圆
2
2
2 :
4
2
11
0
C
x
y
x
y





，则两圆的公共弦所在的直线方程
为
.
【答案】3
4
6
0
x
y



【解析】圆
2
2
1 : (
1)
(
3)
9
C
x
y



的圆心
1( 1,3)
C 
，半径1
3
r 
，
圆
2
2
2 :(
2)
(
1)
16
C
x
y




的圆心
2(2, 1)
C

，半径2
4
r 
，
于是
2
2
1
2
2
1
2
1
|
|
( 1 2)
(3 1)
5
(
,
)
C C
r
r r
r







，即圆
1
2
,
C C 相交，
由
2
2
2
2
2
6
1
0
4
2
11
0
x
y
x
y
x
y
x
y












消去二次项得6
8
12
0
x
y



，即3
4
6
0
x
y



，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为3
4
6
0
x
y



.
故答案为：3
4
6
0
x
y



2.圆
2
2
1 :
2
6
0
O
x
y
x
y




和圆
2
2
2 :
6
0
O
x
y
x



的公共弦AB 所在的直线方程是（
）
A．2
3
3
0
x
y



B．2
3
5
0
x
y



C．2
3
0
x
y


D．2
3
0
x
y


【答案】C
【解析】两个圆的方程相减，得


2
2
2
2
2
6
6
0
4
6
0
2
3
0
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y













，故选：C
3.若过点
(2,2)
P
向圆C：
2
2
1
x
y

作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为（
）
A．
1
2
x
y


B．
1
3
x
y


C．
1
4
x
y


D．
1
5
x
y


【答案】A
【解析】过点
(2,2)
P
向圆
2
2
:
1
C x
y

作两条切线，切点分别为A 、B ，则
,
CA
PA CB
PB


，
于是点A 、B 在以PC 为直径的圆上，而
(0,0)
C
，则PC 的中点为
(
)
1,1
Q
，|
|
2
CQ 
，
因此以PC 为直径的圆Q 方程为
2
2
(
1)
(
1)
2
x
y




，
圆Q 与圆C 方程相减，得公共弦AB 所在直线的方程为2
2
1
0
x
y


，
所以直线AB 的方程为
1
2
x
y


.故选：A
4.过点

2,3 作圆
2
2
4
x
y


的两条切线，切点分别为
,
A B ，则直线AB 的方程为
．
【答案】2
3
4
0
x
y



【解析】因为圆
2
2
4
x
y


的圆心为


0,0
O
，半径为2，
设

2,3 为点P，可知
2
4
3
PA
PB
OP




，
以点P 为圆心，3 为半径作圆P



2
2
2
3
9
x
y




，即
2
2
4
6
4
0
x
y
x
y




，
两圆方程作差整理得2
3
4
0
x
y


，
所以直线AB （两圆公共弦所在直线）的方程为2
3
4
0
x
y


.
故答案为：2
3
4
0
x
y


.
5.已知圆
2
2
1 :
2
10
O
x
x
y



与圆
2
2
2 :
3
4
O
x
y
x
y




交于A，B 两点，则|
|
AB （
）
A．
15
2
B．5
C．
26
D．3 3
【答案】C
【解析】圆
2
2
1 :(
1)
11
O
x
y



的圆心
1( 1,0)
O 
，半径1
11
r 
，
圆
2
2
2
1
3
13
: (
)
(
)
2
2
2
O
x
y




的圆心
2
1 3
( ,
)
2 2
O
，半径2
26
2
r 
，
1
2
1
2
1
2
3 2
|
|
(
,
)
2
O O
r
r r
r




，圆
1
O 与圆
2
O 相交，两圆方程相减得直线AB ：
2
x
y


，
显然点
2
1 3
(
,
)
2 2
O
在直线AB 上，因此线段AB 是圆
2
O 的直径，
所以|
|
26
AB 
.故选：C
6.已知圆
2
2
:
4
O x
y


与圆
2
2
:
4
3
0
C x
y
x




相交于
,
A B 两点，则OAB

的面积为（
）
A．7 15
16
B．7 15
15
C．
15
8
D．15
16
【答案】A
【解析】联立
2
2
2
2
4
4
3
0
x
y
x
y
x









,相减可得直线AB ：4
7
0
x 

，
所以


0,0
O
到直线4
7
0
x 

的距离为
7
4
d 
，
利用圆
2
2
:
4
O x
y


与直线AB 相交可得：
2
2
2
7
15
2
2 4
4
2
AB
r
d











，
所以
1
1
15
7
7 15
2
2
2
4
16
OAB
S
AB d







.故选：A.
7.圆


2
2
:
2
16
C x
y



关于直线
12
0
ax
by



对称，动点S在直线
0
y
b


上，过点S引圆C 的两条切线
,
SA SB ，切点分别为
,
A B ，则直线AB 必过定点，那么定点的坐标为
．
【答案】

0,0
【解析】因为圆C 关于直线
12
0
ax
by



对称，
所以直线
12
0
ax
by



过圆C 的圆心

0,2 ，得
6
b 
，
故动点S在直线
6
0
y 

上，
设( , 6)
S t 
，
因为CA
SA

，CB
SB

，所以, , ,
S A C B 四点共圆，该圆的圆心坐标为
, 2
2
t






，半径为
2
2
2
( 6
2)
|
|
64
2
2
2
t
SC
t




，
所以该圆的方程为


2
2
2
64
2
2
4
t
t
x
y











，即
2
2
4
12
0
x
y
tx
y





，
又圆
2
2
0
:
4
12
C x
y
y




，
所以两圆公共弦所在直线的方程为
8
0
tx
y


，
所以直线AB 过定点

0,0 .
故答案为：

0,0
8.已知圆
1
C ：
2
2
2
(
1)
x
y
r



过圆
2
C ：
2
2
(
4)
(
1)
4
x
y




的圆心，则两圆相交弦的方程为
.
【答案】5
19
0
x
y



【解析】圆
2
C ：
2
2
(
4)
(
1)
4
x
y




的圆心坐标为

4,1 ，
因为圆
1
C 过圆
2
C 的圆心，所以
2
2
2
(4 1)
1
r



，
所以
2
26
r 
，所以
1
C ：
2
2
(
1)
26
x
y



，
两圆的方程相减可得相交弦方程为5
19
0
x
y



.
故答案为：5
19
0
x
y



.
9.已知圆
1
C ：
2
2
(
4)
(
3)
16
x
y




与圆
2
C ：
2
2
2
2
9
0
x
y
x
y





，若两圆相交于A，B 两点，则AB 
【答案】2 7
【解析】圆
1
C 的方程为
2
2
(
4)
(
3)
16
x
y




，即
2
2
8
6
9
0
x
y
x
y





①，
又圆
2
C ：
2
2
2
2
9
0
x
y
x
y





②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为6
8
18
0,
x
y



圆
1
C 的圆心

4,3 到直线的距离
2
2
24
24 18
3
6
8
d





，
所以
2 16
9
2 7
AB 


．
故答案为: 2 7 .
10.从直线:
1
8
4
x
y
l

上的任意一点P 作圆
2
2
8
O
x
y


：
的两条切线，切点为A B
、，则弦AB 长度的最小值
为
．
【答案】2 3
【解析】设
(8
2 ,
)
P
m m

，易知P 的极线方程为
(8
2 )
8
my
m x


，即
(2
)
8
8
m
x
y
x



可得弦AB 必过

1 2
，，
易得圆
2
2
8
O
x
y


：
上，过

1 2
，的最短的弦长为
2
2
max
2
2 3
r
d


．
11.在平面直角坐标系xOy 中，过点


1,4
P
，向圆C：



2
2
2
5 1
6
x
m
y
m
m






引两条切线，切点分
别为
,
A B ，则直线AB 过定点
．
【答案】
3
( 1, )
2

【解析】由题意过点


1,4
P
引圆圆C：



2
2
2
5 1
6
x
m
y
m
m






的两条切线，
则圆心为( ,0)
m
，半径为
2
5
r
m


，
故切线长为
2
2
2
2
2
(1
)
4
(
5)
12
2
PC
r
m
m
m








，
切点
,
A B 在以P 为圆心，以切线长为半径的圆上，
以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为：
2
2
1
)
(
(
1
2
)
4
2
x
y
m





，
联立





2
2
2
2
2
5
1
4
12
2
x
m
y
m
x
y
m












，
可得直线AB 的方程为(2
2)
8
2
10
0
m
x
y
m





，
整理得( 2
8
10)
(2
2)
0
x
y
m
x






，
令
2
8
10
0
2
2
0
x
y
x









，解得
1
3
2
x
y




，
故直线AB 过定点
3
( 1, )
2

，
故答案为：
3
( 1, )
2

12.过点
(2,2)
P
作圆
2
2
4
x
y


的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为
．
【答案】
2


x
y
0

【解析】方法1：由题知，圆
2
2
4
x
y


的圆心为

0,0 ，半径为
2
r 
，
所以过点
(2,2)
P
作圆
2
2
4
x
y


的两条切线，切点分别为

0,2
A
、


2,0
B
，
所以
1
AB
k
，
所以直线AB 的方程为
2
y
x

，即
2
0
x
y



；
方法2：设


1
1
,
A x y
，


2
2
,
B x
y
，则由
2
2
1
1
1
1
1
1
4
2
.
1
2
x
y
y
y
x
x










，可得
1
1
2
x
y


，
同理可得
2
2
2
x
y


，
所以直线AB 的方程为
2


x
y
0

.
故答案为：
2
0
x
y



13.已知圆
2
2
:
4
2
1
0
C x
y
x
y




，点P 是直线
4
y 
上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A，
B，则AB 的最小值为
．
【答案】4 5
3
/ 4
5
3
【解析】圆
2
2
:
4
2
1
0
C x
y
x
y




，即



2
2
2
1
4
x
y




，
由于PA，PB 分别切圆C 于点A，B，则PA
PB

，
CA
PA

，CB
PB

，所以
2
ACP
APBC
S
S
CA PA


四边形
△
，
因为
2
CA
CB
r



，所以
2
APBC
S
PA

四边形
，
又PC
AB

，所以
1
2
APBC
S
AB CP

四边形
，
所以
1
4
PA
AB CP

，即
2
4
4
4 1
PA
AB
CP
CP



，
所以AB 最短时，CP 最短，
点C 到直线
4
y 
的距离即为CP 的最小值，
所以
min
3
CP

，所以AB 的最小值为
4
4 5
4 1
9
3


故答案为：4 5
3
14.过点

2, 2

作圆
2
2
2
x
y


的切线，切点为A ，B ，点P 为圆
2
2
2
x
y


上任意一点，则三角形PAB 面
积的最大值为
．
【答案】332/323
【解析】圆
2
2
2
x
y


的圆心

0,0 ，半径
2
r 
，设


2, 2
M

所以
2
OA 
，


2
2
2
2
2 2
MO 


，可得
8
2
6
MA 


，
由对称性可得：
6
MB
MA


，
所以点A ，B 在以


2, 2
M

为圆心，半径为
6 的圆上，
所以点A ，B 所在的圆


2, 2
M

的方程为：



2
2
2
2
6
x
y




，
将



2
2
2
2
6
x
y




与
2
2
2
x
y


两圆方程相减可得：
1
0
x
y


，
即直线AB 的方程为：
1
0
x
y


，
则圆心

0,0 到直线AB 的距离
1
2
2
2
d 

，
则弦长
2
2
1
2
2 2
6
2
AB
r
d





，
圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值为
max
2
3
2
2
2
2
h
d
r





，
则三角形面积的最大值为
max
1
1
3 2
3 3
6
2
2
2
2
AB
h






．
故答案为：3 3
2
.
15.已知圆C ：



2
2
1
2
4
x
y




，则过点


3,4
P
作的圆C 的切线，切点分别为A､B，则直线AB 方程为
【答案】
5
0
x
y



【解析】




2
2
2
2
3 1
4
2
4
2
PA
PC
r








，
故以P 为圆心，PA 为半径的圆为



2
2
3
4
4
x
y



，
两圆方程相减得到
5
0
x
y



即为直线AB 方程.
故答案为：
5
0
x
y



.
题型十二：圆中范围与最值问题
1.已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3) ，端点A 在圆
2
2
(
3)
4
x
y



上运动．
(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；
(2)求M 点到直线
3
1
0
x
y


距离的最大值和最小值．
【解析】（1）设



0
0
,
,
,
A x
y
M x y ，则
0
0
2
4
2
3
x
x
y
y







，
因为点A 在圆
2
2
(
3)
4
x
y



上，
所以

2
2
2
4
(2
6)
4
x
y




，即

2
2
2
(
3)
1
x
y



.
即点M 的轨迹方程为

2
2
2
(
3)
1
x
y



.
（2）由（1）知点M 的轨迹方程为

2
2
2
(
3)
1
x
y



，圆心为

2,3 ，半径为1.
因为圆心

2,3 到直线
3
1
0
x
y


的距离
2 3
3 1
3
1
3 1
d





，
所以M 点到直线
3
1
0
x
y


距离的最大值为
3
2
d
r



，最小值为
3
d
r


.
2.已知点P 为圆
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y




上的动点，求点P 到直线3
4
8
0
x
y



的距离的最小值.
【解析】把圆的方程化为标准方程得：
2
2
(
1)
(
1)
1,
x
y




所以圆心
(1,1)
A
，圆的半径
1
r ，
则圆心A 到直线3
4
8
0
x
y



的距离
2
2
| 3
4
8|
3,
3
4
d





如图，过圆心A 作AP 垂直直线3
4
8
0
x
y



，交圆A 于点P （靠近直线），
此时点P 到直线的距离最短，即动点P 到直线距离的最小值为3 1
2

.
3.已知实数,x y 满足方程
2
2
(
2)
3
x
y


，求y
x

的最大值和最小值．
【解析】设y
x
b


，即y
x
b


，
则当直线y
x
b


与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，
圆
2
2
(
2)
3
x
y


的圆心为(2,0) ，半径为
3
r 
，则
2
0
3
2
b


，解得
2
6
b 
，
所以y
x

的最大值为2
6

，最小值为2
6

.
4.（1）如果实数x，y 满足

2
2
2
3
x
y


，求y
x 的最大值和最小值；
（2）已知实数x，y 满足方程


2
2
1
1
4
x
y



，求



2
2
2
3
x
y



的取值范围．
【解析】（1）解法一：如图，当过原点的直线l 与圆

2
2
2
3
x
y


相切于上方时y
x 最大，过圆心

2,0
A
作切线l 的垂线交于B，
在Rt
ABO
△
中，
2,
3
OA
AB


．
∴切线l 的倾斜角为60，∴y
x 的最大值为
3 ．
同理可得y
x 的最小值为
3

．
解法二：令y
n
x 
，将y
nx

与

2
2
2
3
x
y



联立，消去y 得

2
2
1
4
1
0
n
x
x



，




2
2
4
4 1
0
n




，即
2
3
n 
，
∴
3
3
n



，即y
x 的最大值、最小值分别为
3,
3

．
（2）
2
2
(
2)
(
3)
x
y



可以看成圆上的点


,
P x y 到


2,3
A
的距离．
圆心


0,1
C
到


2,3
A
的距离为
2
2
(0
2)
(1 3)
2 2
d 




．
由图可知，圆上的点


,
P x y 到


2,3
A
的距离的范围是
1
1
2 2
,2 2
2
2


，
则



2
2
2
3
x
y



的取值范围是
1
1
2 2
,2 2
2
2








．
5.已知点

,
P x y 在圆
2
2
1
x
y

上运动，求
2
y
x 
的最大值与最小值.
【解析】设
2
y
k
x


，则
2
0
kx
y
k



．
点
( , )
P x y 在圆
2
2
1
x
y

上运动，
圆心(0,0) 到直线
2
0
kx
y
k



的距离小于等于1，

2
| 2 |
1
1
k
k


，
3
3
3
3



k
，

2
y
x 
的最大值为
3
3
，最小值为
3
3

．
6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科
学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （
0
k 
且
1
k ）的点的轨迹是圆，后
人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy 中的点
( 2 0),
(2 2,0)
E
F
，
，则满足|
|
2 |
|
PF
PE

的动
点P 的轨迹记为圆E .
(1)求圆E 的方程；
(2)过点
(3,3)
Q
向圆E 作切线
,
QS QT ，切点分别是,
S T ，求直线ST 的方程.
(3)若点
( 2,2), ( 2,6),
(4, 2)
A
B
C



，当P 在E 上运动时，求
2
2
2
2 |
|
|
|
|
|
PA
PB
PC


的最大值和最小值.
【解析】（1）设


,
P x y ，由|
|
2 |
|
PF
PE

得
2
2
2
PF
PE

，
即



2
2
2
2
2 2
2
2
x
y
x
y










，
整理得
2
2
4
x
y


①.
（2）
3 2
OQ 
，所以以OQ 为直径的圆的方程为
2
2
2
3
3
3 2
2
2
2
x
y























，
即
2
2
3
3
0
x
y
x
y




②，
①-②并整理得直线ST 的方程为3
3
4
0
x
y



.
（3）依题意，


,
P x y 满足
2
2
4
x
y


，












2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
2
2|
|
|
|
|
|
x
PA
PB
P
y
x
y
x
C
y




















2
2
2
2
4
4
4
16
76
4
4
19
x
y
x
y
x
y
x
y














4 4
4
19
4
4
23
x
y
x
y







，
设
2cos ,
2sin ,0
2π
x
y







，
所以


2
2
2
2|
|
|
|
|
|
4 2cos
8sin
23
PA
PB
PC











4 2 17 sin
23
8 17 sin
92
92
8 17,92
8 17




















，
所以最大值为92
8 17

，最小值为92
8 17

.
7.已知圆C ：


2
2
1
3
x
y


，直线l ：


R
y
x
m m



.
(1)若直线l 与圆C 相切，求m 的值；
(2)若
2
m ，过直线l 上一点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，求四边形PACB面积的最小值及
此时点P 的坐标，
【解析】（1）由已知，圆心


0,1
C
到直线l ：
0
x
y
m



的距离等于半径
3 ，
即
1
3
2
m
d



.
解得：
1
6
m 
或
1
6
m 
.
（2）当
2
m 时，直线l 的方程为
2
y
x


，四边形PACB的面积
2
3
PAC
S
S
PA



∵
PAC
△
为直角三角形，
2
2
3
PA
PC


当PC 最小时，切线长PA 最短，显然当PC
l
时，
min
3
2
PC

∴
min
3
2
PA

四边形PACB的面积最小值为
min
3 2
2
S

.
此时，
1
PC
k
，


0,1
C
，
∴直线PC ：


1
1
0
y
x


，即
1
y
x
.
由
1
2
y
x
y
x






，解得
3
2
1
2
x
y





，即
3
1
,
2
2
P





.
8.已知在梯形ABCD中，AD
BC

，


1, 1
A 
，


3,1
B
，
1 17
,
5
5
C 






，E 为AD 中点.
(1)求直线CD 的方程；
(2)求ABE

的外接圆的方程及该圆上一点到点C 的距离的最小值.
【解析】（1）因为梯形ABCD，AD
BC

，故AB
DC

，
所以




1
1
1
3
1
2
CD
AB
k
k





，
又直线CD 过点
1 17
,
5
5
C 






，
所以直线CD 的方程为：
17
1
1
5
2
5
y
x









，即
2
7
0
x
y



；
（2）设点


,
D m n ，则
2
7
0
m
n



①
又由AD
BC

，得



2
2
1
1
4
m
n



②
联立①②，解得
1
3
m
n




或
21
5
7
5
m
n





，
当
21
7
,
5
5
m
n


时，四边形ABCD为平行四边形，故舍去，故


1,3
D 
，
因为E 为AD 中点，
所以由中点坐标公式得


1,1
E 
，
所以得到直线BE 斜率不存在，AE 斜率为0，
所以BE
AE
⊥
，
即ABE

是以
AEB

为直角的直角三角形，
所以ABE

的外接圆圆心为AB 的中点


1,0
F
，半径
1
5
2
r
AB


，
所以ABE

外接圆方程为

2
2
1
5
x
y


，
由
2
2
1
17
1
0
13
5
5
CF


















，
得圆上一点到点C 的最小值为13
5
-
，
所以ABE

的外接圆的方程为

2
2
1
5
x
y



，该圆上一点到点C 的距离的最小值为13
5
-
.
9.已知圆




2
2
:
1
2
9
C
x
y




，直线




:
1
2
1
2
0
l
m
x
m
y
m






.
(1)求证：直线l 与圆C 恒有两个交点；
(2)若直线l 与圆C 交于点A，B，求
CAB
△
面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
【解析】（1）因为直线




:
1
2
1
2
0
l
m
x
m
y
m






可变形为


2
2
1
0
x
y
m x
y






，
所以
2
0
2
1
0
x
y
x
y







，解得
3
1
x
y





，
故直线经过的定点为


3,1
P
.
将点


3,1
P
代入圆的方程有



2
2
3 1
1
2
5
9





，
所以点


3,1
P
在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 恒有两交点.
（2）由（1）知
5
PC 
，因为
1
sin
2
ABC
S
AC BC
ACB



，
所以当
90
ACB


时，ABC

面积最大，
此时ABC

为等腰直角三角形，ABC

面积最大值为
2
1
9
2
2
ABC
S
r



，其中r 为圆的半径.
此时点C 到直线l 的距离，
5
2
3
2
d
C
r
P




，
所以
ACB

可以取到90，
所以
2
2
1
2(2
1)
2
3
2
(
1)
(2
1)
m
m
m
m
m








，解得
6
13
m 
或
0
m 
.
故所求直线l 的方程为
2
0
x
y



或7
20
0
x
y



.
10.已知圆的方程
2
2
4
x
y


；
(1)求3
4
12
x
y


的范围；
(2)已知

2, 2
A 

，


2,6
B 
，


4, 2
C

，P 为圆上的动点，求
2
2
2
PA
PB
PC


的最大值．
【解析】（1）设3
4
12
x
y
k



即3
4
12
0
x
y
k




，
由原点到直线的距离不大于圆的半径可得
2
2
12
2
3
4
k




，
解得22
2
k


，即22
3
4
12
2
x
y




.
（2）设P 点坐标为

,a b ，所以2
2
a


，2
2
b
≤≤
，
则由点与点的距离公式可得，所求的式子转化为












2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
2
3
3
4
68
a
b
a
b
a
b
a
b
b















，
又P 点在圆上，所以
2
2
4
a
b


，可得为求4
80
b


的最大值，所以最大值为88
11.（多选）已知向量, ,
a b c

满足
3,
1,
7,
2
a
b
a
b
c
c
a













.设
,
R
m
tb t




，则（
）
A．m
c



的最小值为
2
B．m
c



的最小值为2 3
2

C．m
c



的最大值为2 3
2

D．m
c



无最大值
【答案】BD
【解析】因为
7
a
b




，所以
2
2
7
a
a b
b






.
又
3,
1
a
b




，所以9
6cos
,
1
7
a b



，解得
1
cos
,
2
a b 

，
因为


,
0,π
a b 

，所以
π
,
3
a b 

.
建立如图所示的直角坐标系xOy ，
设




1
3
3,0 ,
,
,
,
2
2
a
OA
b
OB
c
OC
x y




















，
因为
2
c
c
a





，所以


2
2
2
2
2
3
x
y
x
y




，
整理得

2
2
4
4
x
y



，即C 点的轨迹是：圆心为


4,0
E
，半径为2 的圆，
设m
OM
tOB




，则点M 在直线OB 上运动，
则m
c
OM
OC
CM









，令点E 到直线OB 的距离为d ，
则
min
π
sin
2
2 3
2
3
CM
d
r
OE









，无最大值.
故选：BD
12.（多选）已知点


0
0
,
P
x
y
是圆C ：
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y




上的动点，则下面说法正确的是（
）
A．圆的半径为2
B．
0
0
y
x 的最大值为2
3

C．
2
2
0
0
0
2
3
x
y
x


的最小值为16
2

D．
0
0
x
y

的最大值为6
【答案】BD
【解析】A：




2
2
2
2
4
4
6
0
2
2
2
x
y
x
y
x
y










，
因此该圆的半径为
2 ，所以本选项不正确；
B：因为点


0
0
,
P
x
y
是圆C ：
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y




上的动点，
所以
2
2
0
0
0
0
4
4
6
0
x
y
x
y





，
设
0
0
0
0
y
k
y
kx
x 


代入
2
2
0
0
0
0
4
4
6
0
x
y
x
y





中，化简得：




2
2
0
0
1
4 1
6
0
k
x
k x





，因为该方程有实根，
所以




2
2
2
4 1
24 1
0
4
1
0
2
3
2
3
k
k
k
k
k

















，
因此
0
0
y
x 的最大值为2
3

，所以本选项正确；
C：由B 可知：
2
2
0
0
0
0
4
4
6
0
x
y
x
y





，
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3
4
2
3
6
4
3
4
6
y
x
y
x
x
x
x
y











，
由A 可知：



2
2
2
2 cos
2
2
2
2
2 sin
x
x
y
y













，
因为点


0
0
,
P
x
y
在圆上，所以
0
0
2
2 cos
2
2 sin
x
y









，于是




2
2
0
0
0
2
3
6 2
2 cos
4 2
2 sin
3
6 2 cos
4 2 sin
17
x
y
x

















2 26 sin
17





，其中
3
π
tan
0,
2
2















，
显然
2
2
0
0
0
2
3
x
y
x


的最小值为17
2 26

，所以本选项不正确；
D：由B 可知：
2
2
0
0
0
0
4
4
6
0
x
y
x
y





，
令
0
0
0
0
x
y
t
y
t
x



，代入
2
2
0
0
0
0
4
4
6
0
x
y
x
y





中，化简得：
2
2
0
0
2
2
4
6
0
x
tx
t
t





，因为该方程有实根，
所以


2
2
4
8
4
6
0
2
6
t
t
t
t







，因此
0
0
x
y

的最大值为6，
所以本选项正确，
故选：BD
13.（多选）已知点
(0,3), (1,1)
A
B
，且点P 在圆C：
2
2
(
2)
4
x
y


上运动，则下列结论正确的是（
）
A．|
|
PA 的最大值为13
2

B．|
|
|
|
PA
PB

的最小值为5
C．PA
PB

的最大值为5
D．当PAB 最大时，
3
PA 
【答案】ACD
【解析】对于选项A：|
|
PA 的最大值为圆心C 到A 的距离加上圆的半径2，又易知|
|
13
CA 
，所以|
|
PA
的最大值为13
2
，故选项A 正确；
对于选项B：当
,
,
A B P 三点不共线时，PA
PB
AB


，当P 与B 重合时，PA
PB
AB


，所以PA
PB

的最小值为
2
2
1
2
5
AB 


，故选项B 错误；
对于选项C：当
, ,
A B P 三点不共线时，PA
B
PB
A

-
，当P 为射线AB 与圆C 的交点时，
-
PA
PB 取
得最大值
5
AB 
，故选项C 正确；
对于选项D：因为点B 在圆C 内，如图，当AP 与圆C 相切时，PAB 最大，连接CP ，
2
2
4
9
4
3
PA
AC
r





，故选项D 正确，
故选：ACD．
14.（多选）若实数x 、y 满足条件
2
2
1
x
y

，则下列判断正确的是（
）
A．x
y

的范围是0,
2




B．
2
2
4
x
x
y


的范围是

3,5

C．xy 的最大值为1
D．
2
1
y
x


的范围是
3
,
4







【答案】BD
【解析】对于选项A、B、C 利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求
解对于A，


2
2
2
1 2
2
xy
x
y
xy
x
y






，故



2
2
1
2
1
2
x
y
x
y
xy




，化简得，


2
2
x
y


，所以，
2
2
x
y




，A 错
对于B，
2
2
4
1
4
x
x
y
x



，又因为实数x 、y 满足条件
2
2
1
x
y

，故1
1
x

，所以，3
1
4
5
x


，
B 对
对于C，由于
2
2
1
x
y

，所以，


2
2
2
1 2
2
xy
x
y
xy
x
y






，
故


2
1 2
4
xy
x
y
xy




，化简得，
1
2
xy 
，当且仅当
2
2
x
y
=
=
时，等号成立，故xy 的最大值为1
2 ，C
错
对于D，即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，
即= 1
x 时，直线与圆相切，
当过定点的直线的斜率存在时，令
2
1
y
k
x



，
则k 可看作圆
2
2
1
x
y

上的动点到定点( 1,2)

的连线的斜率，
可设过定点( 1,2)

的直线为：
2
(
1)
y
k x



，
该直线与圆
2
2
1
x
y

相切，圆心到直线的距离设为d ，
可求得
2
2
1
1
k
d
k




，化简得
3
4
k 
，故
3
,
4
k







，故D 对
故选：BD
题型十三：圆系问题
1.求过两圆
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y





和
2
2
4
2
2
0
x
y
x
y





的交点，且圆心在直线
2
2
0
x
y



上的圆的方
程（
）
A．
2
2
6
0
8
6
x
y
x
y





B．
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y





C．
2
2
6
0
8
6
x
y
x
y





D．
2
2
4
0
4
6
x
y
x
y





【答案】A
【解析】设所求圆的方程为


2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
0
x
y
x
y
x
y
x
y











，则








2
2
1
1
2
4
4
2
4
2
0
x
y
x
y














，
则圆心坐标为2
1 2
,
1
1














，代入直线
2
2
0
x
y



，可解得
5
2

.
故所求圆的方程为
2
2
3
3
12
9
9
0
2
2
x
y
x
y






，即
2
2
6
0
8
6
x
y
x
y




.故选：A.
2.已知圆
2
2
4
2
0
x
y
x
y



，
2
2
2
4
0
x
y
y




.
(1)求过两圆交点的直线方程及弦长；
(2)求过两圆交点，且圆心在直线2
4
1
0
x
y


上的圆的方程．
【答案】(1)
1
0
x
y

，2 3 ；(2)
2
2
3
1
0
x
y
x
y




【解析】（1）两圆方程作差可得：4
4
4
0
x
y




，即
1
0
x
y

，
由
2
2
2
4
0
x
y
y




可得
2
2
(
1)
5
x
y



，
则圆心(0,1)到直线
1
0
x
y

的距离为
2
2
| 0 1 1|
2
1
( 1)
d




，
所以弦长为
2
2 5
2 5
2
2 3
d




.
即过两圆交点直线为
1
0
x
y


，弦长为2 3 .
（2）设过两圆交点的圆的方程为



2
2
2
2
4
2
2
4
0
x
y
x
y
x
y
y









，且
1
，
则
2
2
4
2
2
4
0
1
1
1
x
y
x
y














，
1
，
由圆心
2
1
,
1
1












在直线2
4
1
0
x
y


上，
则


4 1
4
1
1
1








，解得
1
3

，
所以所求圆的方程为
2
2
3
1
0
x
y
x
y




.
3.已知圆
2
2
1 :
2
3
0
C
x
y
x




与圆
2
2
2 :
4
2
3
0
C
x
y
x
y





相交于A、B 两点．
（1）求公共弦AB 所在直线方程；
（2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．
【解析】（1）
2
2
2
3
0
x
y
x




，①
2
2
4
2
3
0
x
y
x
y





，②
①-②得2
2
6
0
x
y



即公共弦AB 所在直线方程为
3
0
x
y



．
（2）设圆的方程为


2
2
2
2
2
3
4
2
3
0
x
y
x
x
y
x
y










即
2
2
(1
)
(1
)
(2
4 )
2
3
3
0
x
y
x
y














因为圆过原点，所以3
3
0


，
1

所以圆的方程为
2
2
3
0
x
y
x
y




4.求经过圆
2
2
8
6
21
0
x
y
x
y





与直线
5
0
x
y



的交点且在y 轴上的弦长为2 33 的圆的方程．
【解析】设所求的圆的方程为



2
2
8
6
21
5
0
x
y
x
y
k x
y








，且与y 轴的交点坐标为
1
2
y
y
、
，
令
0
x 
得



2
6
21
5
0
y
y
k
y




－
－
，化简得


2
6
21 5
0
y
k
y
k




－
1
2
1
2
6,
5
21
y
y
k
y y
k






，
由
1
2
2 33
y
y

－
两边平方得
2
1
2
1
2
4
132
y
y
y y


－


2
6
4 5
21
132
k
k



－
，化简得
2
8
180
0
k
k

－
－
解得
10
k －
或
18
k 
所求圆的方程为



2
2
8
6
21
10
5
0
x
y
x
y
x
y





－
－
－
，
或



2
2
8
6
21
18
5
0
x
y
x
y
x
y






－
－
所求圆的方程为
2
2
2
4
29
0
x
y
x
y



－
－
或
2
2
26
24
111
0
x
y
x
y




－
5.已知圆
1
C ：
2
2
2
2
8
0
x
y
x
y





与
2
C ：
2
2
2
10
24
0
x
y
x
y





相交于A、B 两点．
（1）求公共弦AB 所在的直线方程；
（2）求圆心在直线y＝－x 上，且经过A、B 两点的圆的方程；
（3）求经过A、B 两点且面积最小的圆的方程．
【解析】（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
（2）设经过A、B 两点的圆的方程为


2
2
2
2
2
10
24
0
2
2
8
x
y
x
y
x
y
x
y











（为常数），
则圆心坐标为
1
1 5
,
1
1














；又圆心在直线y＝－x 上，故
1
1 5
0
1
1










，
解得
1
2

，故所求方程为
2
2
6
6
8
0
x
y
x
y





．
（3）由题意可知以线段AB 为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB 方程联立得所求圆心坐标为

2,1

，由弦长公式可知所求圆的半径为
5 ．
故面积最小的圆的方程为



2
2
2
1
5
x
y




．
6．过圆
2
2
2
4
0
x
y
y




与
2
2
4
2
0
x
y
x
y




的交点，且圆心在直线: 2
4
1
0
l
x
y


上的圆的方程是
_______．
【答案】
2
2
3
1
0
x
y
x
y




【解析】
设圆的方程为


2
2
2
2
4
2
(
1
)
2
4
0
x
y
x
y
x
y
y











，
则





2
2
1
4
1
2
2
4
0
x
x
y
y












，
即
2
2
4
2
2
4
0
1
1
1
x
y
x
y














，所以圆心坐标为
2
1
,
1
1











，
把圆心坐标
2
1
,
1
1











代入2
4
1
0
x
y


，可得
1
3

，
所以所求圆的方程为
2
2
3
1
0
x
y
x
y




．
故答案为：
2
2
3
1
0
x
y
x
y




．
7.已知圆C：


2
2
1
4
x
y



．
(1)求过点

3, 3
A

且与圆C 相切的直线方程；
(2)求圆心在直线2
0
x
y


上，并且经过圆C 与圆Q：



2
2
2
1
4
x
y




的交点的圆的方程．
【答案】(1)
3
0
y 

或12
5
21
0
x
y



；(2)
2
2
2
4
5
0
x
y
x
y




．
【解析】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为


3
3
y
k x



，即
3
3
0
kx
y
k




∵圆心


0, 1
C

到切线的距离等于半径2，
∴
2
1
3
3
2
1
k
k




，解得
0
k 
或
12
5
k 
．
因此，所求切线方程为
3
0
y 

，或12
5
21
0
x
y



．
当直线无斜率时，则
3
x 
，此时直线与圆不相切，不满足题意，
故切线方程为
3
0
y 

，或12
5
21
0
x
y



．
（2）法一：联立






2
2
2
2
1
4
2
1
4
x
y
x
y










，解得
0
1
x
y





或
2
1
x
y





．
∴圆C 与圆Q 的交点为

0,1
A
，


2, 1
B

，
线段AB 的垂直平分线为
1
0
x
y

，设所求圆的圆心为


,
M a b ，半径为r．
由
2
0
1
0
a
b
a
b






，解得
1
2
a
b




，所以圆心为


1, 2
M 
，
10
r
MA


．
因此，所求圆的方程为



2
2
1
2
10
x
y




法二：设经过圆C 与圆Q 交点的圆为：








2
2
2
2
1
4
2
1
4
0
x
y
x
y










．（
1
）
即


2
2
2
2
2
3
4
2
1
0
x
y
y
x
y
x
y









即





2
2
1
1
4
2
2
3
0
x
y
x
y














圆心
2
1
,
1
1













代入直线2
0
x
y


，得
1
3

．
因此，所求圆的方程为
2
2
2
4
5
0
x
y
x
y





．
模块三：综合巩固
1.直线l ：
2
y
x


与圆C ：


2
2
1
5
x
y



的位置关系是（
）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【答案】A
【解析】圆C ：


2
2
1
5
x
y


的圆心
(0,1)
C
，半径
5
r 
，
故圆心到直线的距离
2
2
0 1 2
2
5
2
1
( 1)
d





，
所以直线与圆相交，故选：A
2.已知圆
2
2
1 :
6
8
0
C
x
y
y




，圆
2
2
2 :
9
C
x
y


，那么两圆的位置关系是（）
A．相交
B．外离
C．外切
D．内含
【答案】A
【解析】由于点

0, 2

和

0, 4

都在圆
2
2
6
8
0
x
y
y




上，而

0, 2

在圆
2
2
9
x
y


内部，


0, 4

在圆
2
2
9
x
y


外部，故两圆一定相交.故选：A.
3.直线
1
0
x
ky


与圆
2
2
2
x
y


的位置关系是（
）
A．相交
B．相离
C．相交或相切
D．相切
【答案】A
【解析】方法一：直线
1
0
x
ky


恒过定点( 1,0)

，而

2
1
2


，
所以点( 1,0)

在圆
2
2
2
x
y


内，故直线与圆相交.选A.
方法二：因为圆心到直线的距离
2
1
2
1
d
r
k




，所以直线与圆相交.故选A.
方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x 并整理，得
2
2
1
0
(
2
)
1
k
y
ky



，
则


2
2
2
4
4 1
8
4
0
k
k
k






，所以直线与圆相交.故选A.故选：A.
4.设
0
a 
，若圆

2
2
1
x
a
y


与圆
2
2
25
x
y


有公共点，则a 的取值范围为（
）
A．

0,4
B．
4
C．

4,6
D．

4,6
【答案】D
【解析】圆

2
2
1
x
a
y


，圆心为

,0
a
，半径为1，
圆
2
2
25
x
y


，圆心为

0,0 ，半径为5，
若圆

2
2
1
x
a
y


与圆
2
2
25
x
y


有公共点，则4
6
a


，
又
0
a 
，所以4
6
a


.故选：D
5.直线:
2
l x
y


，圆
2
2
:
2
2
2
0
C x
y
x
y





．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（
）
A．2
B．4
C．2 3
D．5
【答案】B
【解析】圆C 的标准方程为



2
2
1
1
4
x
y




,直线l 过圆心


1,1
C
,
所以直线l 被圆C 所截得的弦长等于直径长度4.故选:B．
6.已知圆
2
2
: (
3)
(
4)
9
C
x
y



，直线




:
3
2
0
l
m
x
m
y
m





.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（
）
A．10
B．2 2
C．
6
D．2 7
【答案】D
【解析】直线






:
3
2
1
3
2
0
l
m
x
m
y
m
m x
y
x
y










.恒过定点

2,3
P
，
圆C 的圆心为


3,4
C
，半径为
3
r ，且



2
2
2
3
3
4
2
9





，即P 在圆内，
当CP
l
时，圆心C 到直线l 的距离最大为
2
d
CP


，
此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为
2
2
2
2 7
r
d


.故选：D.
7.两圆
2
2
1
x
y

与
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y




的公共弦长为（
）
A．
2
2
B．
2
C．1
2
D．1
【答案】B
【解析】两圆的圆心分别为


0,0 ,
1,1

,半径均为1，故圆心距离为0
2
2


,故两圆相交，
圆
2
2
1
x
y

与圆
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y




的公共弦所在的直线方程为：
2
2
2
2
(
)
(
1)
2
2
2
2
1
2
0
x
x
x
x
y
y
y
y










-
，即
1
0
x
y


，
圆
2
2
1 :
1
C
x
y

的圆心
1(0,0)
C
到公共弦
1
0
x
y


的距离：
1
1
1 1
2
d 


，圆
1
C 的半径
1
r ，
公共弦长
1
|
| 2 1
2
2
AB 


．故选：B．
8.过点


2,3
A
作圆
2
2
:
1
M x
y

的一条切线，切点为B，则AB （
）
A．3
B．2 3
C．
7
D．10
【答案】B
【解析】因为圆
2
2
:
1
M x
y

，
所以圆M 的圆心为
(0,0)
M
，半径为
1
r ，
因为AB 与圆M 相切，切点为B，
所以AB
BM

，则
2
2
2
AB
r
AM


，
因为
2
2
2
3
13
AM 


，
所以
2
2
13 1
2 3
AB
AM
r




.故选：B.
9.两个圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
y



和
2
2
2 :
2 3
6
0
C
x
y
x



的公切线有（
）条
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
y



可化为


2
2
1
1
x
y


，
圆
1
C 的圆心为


1 0,1
C
，半径1
1
r ，
圆
2
2
2 :
2 3
6
0
C
x
y
x



可化为


2
2
2 :
3
9
C
x
y



，
圆
2
C 的圆心为


2
3,0
C
，半径
2
3
r 
，
1
2
3 1
2
C C 


，
又1
2
4
r
r


，2
1
2
r
r


，
1
2
2
1
2
CC
r
r



，
圆
1
C 与
2
C 内切，即公切线有1 条.故选：A.
10.曲线
2
4
y
x


与直线


2
4
y
k x



有两个交点，则实数k 的取值范围是（
）
A．
5 ,1
12






B．
5 ,
12







C．3 ,1
4






D．3 ,
4







【答案】C
【解析】根据题意画出图形，如图所示:
由题意可得，曲线
2
4
y
x


的图象为以

0,0 为圆心，2 为半径的半圆，直线l 恒过

2,4
A
，
由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d
r

，即
2
4
2
2
1
k
k



，解得
3
4
k 
；
当直线l 过

2,0
B 
点时，直线l 的斜率


4
0
1
2
2
k




，
则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为3 ,1
4






.故选:C.
11.已知圆
1
C ：
2
2
1
x
y

与圆
2
C ：
2
2
8
6
0





x
y
x
y
m
相内切，则
1
C 与
2
C 的公切线方程为（
）
A．3
4
5
0
x
y



B．3
4
5
0
x
y



C．4
3
5
0
x
y



D．4
3
5
0
x
y



【答案】D
【解析】圆
1
C ：
2
2
1
x
y

的圆心
1
1
(0,0),
1
O
r ，
圆
2
C ：
2
2
8
6
0





x
y
x
y
m
可化为
2
2
(
4)
(
3)
25
x
y
m





，

25
m 
，
则其圆心为
2(4, 3)
O

，半径为
2
25
r
m


，
因为圆
1
C 与圆
2
C 相内切，所以2
1
2
1
r
OO

，即
2
2
2
4
3
1
6
r 


，故
11
m 
.
由
2
2
2
2
1
8
6
11
0
x
y
x
y
x
y










，可得4
3
5
0
x
y



，
即
1
C 与
2
C 的公切线方程为4
3
5
0
x
y



.故选：D
12.已知两点




3, 4 ,
1, 1
A
B



到直线l 的距离都等于2.023，则满足条件的直线l 有（
）条？
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】因点
( 3, 4)
A 

到直线l 的距离等于2.023，
则直线l 与以点A 为圆心，2.023为半径的圆A 相切，
同理直线l 与以点
(1, 1)
B

为圆心，2.023为半径的圆B 相切，
因此直线l 是圆A 与圆B 的公切线，
而
2
2
3
|
2.023
|
( 3 1)
[ 4
( 1)
2.02
]
5
AB 





，
即圆A 与圆B 外离，则圆A 与圆B 有4 条公切线，
所以满足条件的直线l 有4 条.
故选：D
13.实数,x y 满足
2
2
2
0
x
y
x



,则
1
y
x
x


的取值范围是（
）
A．
4
0, 3






B．
4
(
,0]
,
3







C．
1
1, 3







D．
1
(
, 1]
,
3







【答案】C
【解析】


2
2
2
2
2
0
1
1
x
y
x
x
y






,


1
1
1 1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
x
x










,
令
1
1
y
t
x



,化简得
1
0
tx
y
t

,
所以
1
0
tx
y
t

与圆

2
2
1
1
x
y


有交点,
即
2
1 2
1
1
t
t



,
解得
4
0
3
t


,
所以
1
1
1
1
1
3
y
x




.
故选:C.
14.点

,
P x y 在圆
2
2
1
x
y

上运动，则4
3
4
x
y


的取值范围（
）
A．

0,1
B．

0,9
C．

1,8
D．

1,9
【答案】B
【解析】令4
3
4
x
y
z



，则
0
z 
，可得该直线方程为：
1 :
l
4
3
4
0
x
y
z




或2 :
l
4
3
4
0
x
y
z





，
设(0,0) 到直线1l 和2l 的距离为
1d 和
2
d ，得
1
4
1
5
z
d


或
2
4
1
5
z
d


，解得1
9
z


或9
1
z

，又因为
0
z 
，
所以，


0,9
z 
.
故选B
15.过点

2,0

与圆
2
2
4
0
x
y
x
m




相切的两条直线垂直，则m （
）
A．4

B．2 2

C．2 2
D．4
【答案】D
【解析】圆
2
2
4
0
x
y
x
m




化为标准方程为

2
2
2
4
x
y
m




，
圆心坐标为

2,0 ，半径
4
r
m


，
过点

2,0

与圆相切的两条直线垂直，则点

2,0

到圆心

2,0 的距离为
2r ，
即4
2
4 m



，解得
4
m 
.
故选：D.
16.在,x y 轴上的截距分别为4, 3
的直线l 被圆
2
2
:
10
4
19
0
C x
y
x
y





截得的弦长为（
）
A．3
B．6
C．2 3
D．4 2
【答案】B
【解析】由题意得，直线l 的方程为
1
4
3
x
y



，即3
4
12
0
x
y



，
又由
2
2
:
10
4
19
0
C x
y
x
y





，可化为
2
2
(
5)
(
2)
10
x
y




，
可得圆C 的圆心为(5,2) ，半径为10 ，则圆心到直线l 的距离
15
8 12
1
5
d


，
所以直线l 被圆C 截得的弦长为
2
2
2 ( 10)
1
6


．
故选：B.
17.经过直线2
6
0
x
y



与圆
2
2
:
4
6
4
0
C x
y
x
y





的两个交点，且面积最小的圆的方程是（
）
A．
2
2
(
4)
(
2)
2
x
y




B．
2
2
(
4)
(
2)
2
x
y




C．
2
2
(
4)
(
2)
4
x
y




D．
2
2
(
4)
(
2)
4
x
y




【答案】C
【解析】
由题可知，当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．
圆
2
2
:
4
6
4
0
C x
y
x
y





，即圆
2
2
:(
2)
(
3)
9
C
x
y




，
所以圆心坐标为


2, 3
C

，半径为3，
弦心距
2
2
2
2
3
6
5
2
1
d






，弦长为
2
2
2 3
( 5)
4


，则所求圆的半径为2,
接下来求解所求圆的圆心位置P：
1,
CP
AB
k
k


所以
1
2
CP
k

，
过圆
2
2
:(
2)
(
3)
9
C
x
y




的圆心和直线2
6
0
x
y



垂直的直线方程为：


1
3
2
2
y
x



，即
2
8
0
x
y



．
最小圆的圆心为
2
8
0
x
y



与直线2
6
0
x
y



的交点，
解方程组可得

4, 2

，
所求面积最小的圆方程为
2
2
(
4)
(
2)
4
x
y




．
故选：C．
18.在直角坐标系内，已知
(3,5)
A
是以点C 为圆心的圆C 上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同
的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为
1
0
x
y


和
7
0
x
y



，若圆C 上存在点P ，使得
(
)
0
MP
CP
CN






，其中点
(
,0)

M
m
、
( ,0)
N m
，则m 的最大值为（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】B
【解析】由题意可得圆心在两折痕方程上，联立方程得
1
0
3
7
0
4
x
y
x
x
y
y














，
即圆心


3,4
C
，半径
1
CA ，
(
)
0
MP
CP
CN
MP NP









，即MP
NP
M
N
P


、、
三点共圆，
该圆以MN 为直径，故圆心为原点.
如图所示连接OC 交圆C 于B 点，当PB 重合时此时两圆相内切，MN 最大，
即
1
6
ON
OB
OC
m




.
故选：B
19.已知直线:
1
l y
x

，点


,0
A a
与点B 关于原点对称，若直线l 上存在点P 满足
90
APB


，则实数a 的
取值范围为（
）
A．
2 ,
2









B．
2
2
,
,
2
2















C．
2 ,
2









D．

1,
【答案】B
【解析】依题意，


,0
B
a

，设点


,
P x y ，则
(
, ),
(
, )
AP
x
a y BP
x
a y






，
由
90
APB


，得
2
(
)(
)
0
AP BP
x
a x
a
y







，即
2
2
2
x
y
a


，由已知得
0
a 
，
而点P 既在直线:
1
0
l x
y


上，又在圆
2
2
2
x
y
a


上，因此直线l 与圆
2
2
2
x
y
a


有公共点，
又圆
2
2
2
x
y
a


的圆心为原点，半径为|
|
a ，于是


2
2
1
|
|
1
1
a


，解得
2
2
a 
或
2
2
a 
，
所以实数a 的取值范围为
2
2
(
,
]
[
,
)
2
2



.
故选：B
20.（多选）若直线
2
0
kx
y
k



与圆



2
2
1
2
4
x
y




有公共点，则实数k 的取值可能是（
）
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】AB
【解析】直线
2
0
kx
y
k



恒过定点

2,0

，
圆



2
2
1
2
4
x
y




的圆心为

1,2 ，半径为2，
显然点

2,0

在圆外，直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离
2
2
2
2
1
k
k
d
k





，解得
12
0
5
k


.故选：AB
21.（多选）已知过点(3 2)
,
的直线l 和圆C ：
2
2
4
2
11
0
x
y
x
y





，则（
）
A．直线l 与圆C 相交
B．直线l 被圆C 截得最短弦长为2 14
C．直线l 与被圆C 截得的弦长为2 15 ，l 的方程为
2
y 
D．不存在这样的直线l ，使得圆C 上有3 个点到直线l 的距离为2
【答案】ABD
【解析】因为圆C ：
2
2
4
2
11
0
x
y
x
y





，所以圆C 的圆心为

2,1 ，半径为4.
选项A：因为
2
2
3
2
4 3
2
2 11
14
0





，
所以点(3 2)
,
在圆内，故直线与圆相交，选项A 正确；
选项B：设圆心到直线的距离为d ，弦长为m ，则
2
2
16
2
m
d








，
又因为圆心到直线的最长距离




2
2
3
2
2 1
2
d 




，
所以
2
min
max
2 16
2 14
m
d



，故选项B 正确；
选项C：直线l 与被圆C 截得的弦长为2 15 ，所以圆心到直线的距离为16 15
1

，
当直线l 的斜率不存在时，直线方程为
3
x 
，满足题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为


2
3
y
k x



，即
3
2
0
kx
y
k




，
故
2
2
1 3
2
1
1
k
k
k




，解得
0
k 
，故直线方程为
2
y 
，
综上满足题意的直线方程为
3
x 
或
2
y 
，故选项C 不正确；
选项D：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2 的点有4 个；
当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分，
由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线l 的距离为2，
那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2.
当圆心到直线的距离为
2 时，此时圆心到直线的距离最大，
又因为半径为4，且4
2
2


，所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2，
所以不存在，所以选项D 正确.故选：ABD.
22.（多选）已知直线l：
4
0
x
y



，圆
1
C ：

2
2
3
9
x
y


，与圆
2
C ：


2
2
1
1
x
y


．则下列结论正确
的是（）
A．直线l 与圆
1
C 的位置关系是相切
B．直线l 与圆
2
C 的位置关系是相离
C．圆
1
C 与圆
2
C 的公共弦长是3 10
5
D．圆
1
C 上的点到直线l 的距离为1 的点有3 个
【答案】BC
【解析】对于选项A: 因为圆
1
C ：

2
2
3
9
x
y



，所以圆心


1 3,0
C
，半径1
3
r 
，
所以圆心


1 3,0
C
到直线
4
0
x
y



的距离为


1
2
2
3
0
4
2
2
1
1
d




，
因为
1
1
2
2
d
r


，所以直线l 与圆
1
C 的位置关系是相交，故选项A 错误；
对于选项B: 因为圆
2
C ：


2
2
1
1
x
y


，所以圆心


2 0,1
C
，半径2
1
r ，
所以圆心


2 0,1
C
到直线
4
0
x
y



的距离为


2
2
2
0 1 4
5 2
2
1
1
d




，
因为
2
2
5 2
2
d
r


，所以直线l 与圆
2
C 的位置关系是相离，故选项B 正确；
对于选项C：联立



2
2
2
2
3
9
1
1
x
y
x
y









，相减得公共弦所在得直线方程为：3
0
x
y


，
所以圆心


1 3,0
C
到3
0
x
y


的距离为


3
2
2
3 3
0
9 10
10
3
1
d




，
所以公共弦长为
2
2
1
3
81
2
2 9 10
3 10
5
r
d




，故选项C 正确;
对于选项D：因为1
1
2
3
1
2
r
d



，且1
1
2
3
1
2
r
d



，
所以圆
1
C 上的点到直线l 的距离为1 的点有4 个（在直线l 的两侧各2 个）, 故选项D 错误;故选：
BC.
23.（多选）已知圆


2
2
1 :
3
1
C
x
y


，


2
2
2
2 :
0
C
x
y
a
a



，则下列结论正确的有（
）
A．若圆
1
C 和圆
2
C 相交，则2
4
a


B．若圆
1
C 和圆
2
C 外切，则
2
a 
C．当
5
2
a 
时，圆
1
C 和圆
2
C 有且仅有一条公切线
D．当
3
a 
时，圆
1
C 和圆
2
C 相交弦长为
35
3
【答案】ABD
【解析】由题意可知：圆


2
2
1 :
3
1
C
x
y


的圆心


1 3,0
C
，半径1
1
r ；
圆


2
2
2
2 :
0
C
x
y
a
a



的圆心


2 0,0
C
，半径2r
a

；则
1
2
3
C C 
，
对于选项A：若圆
1
C 和圆
2
C 相交，则
1
2
1
2
1
2
r
r
C C
r
r




，
即
1
3
1
a
a



，解得2
4
a


，故A 正确；
对于选项B：若
1
C 和
2
C 外切，则
1
2
1
2
C C
r
r


，即3
1
a

，解得
2
a 
，故B 正确；
对于选项C：当
5
2
a 
时，由选项A 可知：圆
1
C 和圆
2
C 相交，
所以圆
1
C 和圆
2
C 有且仅有2 条公切线，故C 错误；
对于选项D：当
3
a 
时，由选项A 可知：圆
1
C 和圆
2
C 相交，
且圆
2
2
1 :
6
8
0
C
x
y
x




，
2
2
2 :
9
C
x
y


，
两圆方程作差得
17
6
x 
，即公共弦所在直线的方程为
17
6
x 
，
圆心


2 0,0
C
到直线
17
6
x 
的距离
17
6
d 
，
所以公共弦长为
2
2
2
35
2
3
r
d


，故D 正确.故选：ABD
24.（多选）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
2
2
: (
2)
(
2)
4
C
x
y




，直线:
8
l y
kx

与圆C 相切于点T ，
直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A B
､.下列说法正确的是（
）
A．
4
3
k 
B．
24
OAB
S


C．
4
AT 
D．若P 是圆C 上的动点，则PA 的最大值是2 5
2

【答案】ABC
【解析】如图，
因为
2
2
: (
2)
(
2)
4
C
x
y




，
所以圆心

2,2 到直线:
8
0
l kx
y



的距离等于半径2，
即
2
2
2
8
2
1
k
k




，解得直线l 斜率
4
3
k 
，所以A 正确.
4
:
8
0
3
l
x
y




中，令
0
x 
，则
8
y 
，令
0
y 
，则
6
x 
，
1
24
2
OAB
S
OA
OB





△
，故B 正确.
因为点A 坐标为

6,0 ，则
2 5
CA 
，所以
2
2
20
4
4
AT
CA
CT





.
所以选项C 正确.
PA 的最大值等于
2 5
2
CA
r



，所以选项D 不正确.
故选：ABC
25.（多选）已知圆
2
2
2
1 :
2
10
0
C
x
y
mx
y
m





，圆
2
2
2 :
4
5
0
C
x
y
y




，则下列说法正确的是（
）
A．若点

1,1 在圆
1
C 的内部，则2
4
m


B．若
2
m 
，则圆
1
2
,
C C 的公共弦所在的直线方程是4
14
9
0
x
y



C．若圆
1
2
,
C C 外切，则
15
m 
D．过点

3,2 作圆
2
C 的切线l ，则l 的方程是
3
x 
或7
24
27
0
x
y



【答案】BCD
【解析】对于A，由点(1,1) 在圆
1
C 的内部，得
2
1 1
2
10
0
m
m




，解得4
2
m


，故A 错误；
对于B，若
2
m 
，则圆
2
2
1 :
4
10
4
0
C
x
y
x
y





，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4
14
9
0
x
y



，故B 正确；
对于C，圆
1
C 的标准方程为
2
2
(
)
(
5)
25
x
m
y




，圆心为


1
,5
C
m

，半径1
5
r 
，
圆
2
C 的标准方程为
2
2
(
2)
9
x
y


，圆心为


2 0, 2
C

，半径
2
3
r 
，
若圆
1
2
,
C C 外切，则
1
2
1
2
C C
r
r


，即
2
49
5
3
m 

，解得
15
m 
，故C 正确；
对于D，当l 的斜率不存在时，l 的方程是
3
x 
，圆心
2
C 到l 的距离
2
3
d
r


，满足要求，
当l 的斜率存在时，设l 的方程为


3
2
y
k x



，
圆心
2
C 到l 的距离
2
2
4
3
3
1
k
d
r
k





，解得
7
24
k 
，
所以l 的方程是7
24
27
0
x
y



，故D 正确.
故选：BCD.
26.（多选）圆
2
2
1 :
2
0
x
y
x
O



和圆
2
2
2 :
2
8
0
O
x
y
x
y




的交点为
,
A B ，则有（
）
A．公共弦AB 所在直线方程为
2
0
x
y


B．线段AB 中垂线方程为2
2
0
x
y



C．公共弦AB 的长为2 5
5
D．P 为圆
1
O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为
5
1
5 
【答案】ABD
【解析】对于A，由
2
2
2
0
x
y
x


与
2
2
2
8
0
x
y
x
y




，两式作差可得4
8
0
x
y


，即
2
0
x
y


，
∴公共弦AB 所在直线方程为
2
0
x
y


，故A 正确；
对于B，圆
2
2
1 :
2
0
x
y
x
O



的圆心为

1,0 ，
圆
2
2
2 :
2
8
0
O
x
y
x
y




的圆心

1,4

，
AB 的中点坐标

0,2 ，
1
2
AB
k

，
∴AB 的中垂线的斜率为2
，可得AB 的中垂线方程为


2
2
0
y
x



＝
，
即2
2
0
x
y


，故B 正确；
对于C，圆心
1
O 到直线
2
0
x
y


的距离
1
5
d 
，半径为
1
r ，
则
2
1
4 5
2 1
5
5
AB









，故C 错误；
对于D，P 为圆
1
O 上一动点，圆心
1
O 到直线
0
x
y


的距离为
5
5 ，半径
1
r ，
则P 到直线AB 的距离的最大值为
5
1
5

，故D 正确．
故选：ABD
27.（多选）点P 在圆
1
C ：



2
2
1
1
1
x
y



上，点Q 在圆
2
C ：
2
2
4
4
0
x
y
x
y
m





上，则（
）
A．实数m 的取值范围为

8,


B．当
4
m 时，PQ 的最小值为3 2
3
，最大值为3 2
3

C．当圆
1
C 和圆
2
C 外切时，
8
m 
D．当圆
1
C 的圆心在圆
2
C 上时，圆
1
C 和圆
2
C 的相交弦的长度为
142
6
【答案】ABD
【解析】圆
1
C 的圆心


1
1, 1
C 
，半径1
1
r ，
圆
2
C ：
2
2
4
4
0
x
y
x
y
m





，即



2
2
2
2
8
x
y
m




，
则圆
2
C 的圆心


2 2,2
C
，半径2
8
r
m


，
对于A，由题意，



2
2
4
4
4
0
m




，解得
8
m ，
所以实数m 的取值范围为

8,

，故A 正确；
当
4
m 时，圆
2
C 的半径2
2
r 
，
因为




2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3 2
3
C C
r
r







，
所以两圆外离，
所以PQ 的最小值为3 2
3
，最大值为3 2
3
，故B 正确；
对于C，当圆
1
C 和圆
2
C 外切时，
1
2
1
2
C C
r
r


，
即3 2
1
8
m


，解得
11
6 2
m 

，故C 错误；
对于D，当圆
1
C 的圆心在圆
2
C 上时，
则1 1
4
4
0
m




，解得
10
m 
，
所以圆
2
C ：
2
2
4
4
10
0
x
y
x
y





，
两圆的方程相减得6
6
11
0
x
y



，
即两圆的公共弦所在直线的方程为6
6
11
0
x
y



，
圆心


1
1, 1
C 
到直线6
6
11
0
x
y



的距离
2
2
6
6 11
1
6 2
6
6
d





，
所以公共弦长为
2
2
1
142
2
6
r
d


，故D 正确.
故选：ABD.
28.圆
2
2
25
x
y


在点


3,4
M 
处的切线方程为
．
【答案】3
4
25
0
x
y



【解析】由题意可知：圆
2
2
25
x
y


的圆心为


0,0
O
，半径
= 5
r
，
因为

2
2
3
4
25



，可知点


3,4
M 
在圆上，
又因为
4
0
4
3
0
3
OM
k




，可知切线方程的斜率
3
4
k 
，
所以切线方程为


3
4
3
4
y
x



，即3
4
25
0
x
y



.
故答案为：3
4
25
0
x
y


.
29.过圆
2
2
1
x
y

外一点
(2,
1)
P

引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是
．
【答案】2
1
0
x
y


【解析】设切点分别为



1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x y
，因为点
,
A B 在圆
2
2
1
x
y

上，
所以以
,
A B 为切点的切线方程分别为：
1
1
2
2
1,
1
x x
y y
x x
y y



，
而点


2, 1
P

在两条切线上，所以
1
1
2
2
2
1,2
1
x
y
x
y



，
即点P 满足直线2
1
2
1
0
x
y
x
y




.
故答案为：2
1
0
x
y


.
30.已知直线
1
0
x
my


与
2
2
: (
1)
4
C
x
y




交于A ，B 两点，写出满足“ ABC

面积为
3 ”的m 的一个
值
.
【答案】
3 （
3
3
3,
3,
,
3
3


中任意一个皆可以，答案不唯一）
【解析】
2
2
: (
1)
4
C
x
y




的圆心为


1,0
C
，半径
2
r 
，
设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得
2
2 4
AB
d


，
所以
2
1
2 4
3
2
ABC
S
d
d





△
，解得
1
d 或
3
d 
，
由
2
2
1 1
2
1
1
d
m
m





，所以
2
2
1
1
m


或
2
2
3
1
m


，解得
3
m 
或
3
3
m 
．
故答案为：
3 （
3
3
3,
3,
,
3
3


中任意一个皆可以，答案不唯一）．
31.已知圆
2
2
1 :(
)
2
C
x
a
y



与圆
2
2
2
2 :(
)
(
)
(
0)
C
x
a
y
a
a a





外离，则实数a 的取值范围为
.
【答案】
10
2 ,
4










【解析】由题意圆
2
2
1 :(
)
2
C
x
a
y



与圆
2
2
2
2 :(
)
(
)
(
0)
C
x
a
y
a
a a





的圆心、半径
依次分别为




1
1
2
2
,0 ,
2,
,
,
0
C
a
r
C
a a
r
a



，
因为两圆外离，
所以圆心距满足
2
2
1
2
1
2
4
5
2
C C
a
a
a
r
r
a







，解得
10
2
4
a


，
即实数a 的取值范围为
10
2 ,
4










.
故答案为：
10
2 ,
4










.
32.已知圆
1
C ：
2
2
4
x
y


和圆
2
C ：
2
2
2
4
0
x
y
x
y



，则两圆公共弦所在直线的方程为
.
【答案】
2
2
0
x
y
-
+
=
【解析】圆
1
C ：
2
2
4
x
y


和圆
2
C ：
2
2
2
4
0
x
y
x
y



，
两圆作差相减，得直线方程为
2
2
0
x
y
-
+
=
，
经检验，直线方程
2
2
0
x
y
-
+
=
满足题意.
故答案为：
2
2
0
x
y
-
+
=
.
33.写出圆M ：



2
2
2
1
5
x
y




与圆N ：



2
2
2
1
5
x
y




的一条公切线方程
．
【答案】2
0
x
y


（答案不唯一）
【解析】圆M 的圆心


2,1
M
，半径为1
5
r 
，圆N 的圆心为


2, 1
N 

，半径为
2
5
r 
，
故




2
2
2
2
1 1
2 5
MN 




，故圆M 与圆N 外切，
将



2
2
2
1
5
x
y




与



2
2
2
1
5
x
y




相减得2
0
x
y


，
即两圆内公切线方程为2
0
x
y


，
两圆圆心所在直线方程为
1
2
1 1
2
2
y
x





，即
2
0
x
y


，
由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与
2
0
x
y


平行，
设为
2
0
x
y
C



，圆心


2,1
M
到
2
0
x
y
C



的距离为2
2
5
4 1
C




，解得
5
C ，
故两圆的外公切线所在直线方程为
2
5
0
x
y



和
2
5
0
x
y


.
故答案为：2
0
x
y


（
2
5
0
x
y



或
2
5
0
x
y


之一也可以）
34.已知
( , )
P x y 是曲线
2
2
x
y


上的点，则
1
1
x
y
x



的取值范围是
.
【答案】[1
2,1
2]


【解析】
1
1
1
1
x
y
y
x
x





，
2
2
x
y


即


2
2
2
0
x
y
x


≥
，此方程表示半圆，如图所示，
设


,
P x y 为半圆上的点，则
1
y
x 表示过点




,
,
1,0
P x y
Q 
两点直线的斜率，
显然当P 位于A 处时，
1
y
x 有最大值
2
QA
k

，
显然当P 位于B 处时，
1
y
x 有最小值
2
QB
k

，
故
1
1
x
y
x



的取值范围是[1
2,1
2]


故答案为：[1
2,1
2]


35.过
( , )
P x y 作圆
2
2
1 :
2
0
C
x
y
x



与圆
2
2
2 :
6
6
14
0
C
x
y
x
y





的切线，切点分别为A ，B ，若
PA
PB

，则
2
2
x
y

的最小值为
．
【答案】49
13 / 10
313
【解析】圆


2
2
2
2
1 :
2
0
1
1
C
x
y
x
x
y






，显然


1 1,0
C
，半径为1，
圆




2
2
2
2
2 :
6
6
14
0
3
3
4
C
x
y
x
y
x
y










，显然


2 3,3
C
，半径为2，
因为
,
PA PB 是分别是圆
1
C ，圆
2
C 的切线，
所以
1
2
,
AC
PA PB
BC


，
因为|
|
PA
PB

∣，
所以有
2
2
1
2
|
|
1
4
PC
PC


，
即
2
2
2
x
y
x



2
2
6
6
14
x
y
x
y




，
化简，得
7
2
2
3
7
3
x
x
y
y





代入
2
2
x
y

中，
得
2
2
2
2
7
2
13
28
49
13
14
49
3
9
9
9
9
13
13
x
x
x
x
x




















，
所以当
14
13
x 
时，
2
2
x
y

的最小值49
13 ，
故答案为：49
13
36.求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点


A 3,5 且与圆
2
2
:
2
4
1
0
O x
y
x
y




相切的直线方程；
(2)求圆心在直线3
0
x
y


上，与x 轴相切，且被直线
0
x
y


截得的弦长为2 7 的圆的方程.
【答案】(1)
3
x 或5
12
45
0
x
y



；(2)
2
2
2
6
1
0
x
x
y
y




或
2
2
2
6
1
0
x
x
y
y




【解析】（1）据点


A 3,5 可设直线方程为




sin
3
cos
5
0
t
x
t
y




.
圆O 的方程可化为



2
2
1
2
4
x
y




，
故点

1,2 到所求直线的距离为2 ，从而
2
2
2sin
3cos
2
sin
cos
t
t
t
t




.
所以
2
2
2
2
4
2sin
3cos
9cos
4sin
12sin cos
4
5cos
12sin cos
t
t
t
t
t
t
t
t
t








，
得


cos
5cos
12sin
0
t
t
t


.
这就说明cos
0
t 
或
5
tan
12
t 
，所以所求直线的方程为
3
x 
或5
12
45
0
x
y



.
（2）设所求圆的圆心坐标为


,3
P t
t ，由于该圆与x 轴相切，故该圆的半径为3t ，
所以该圆的方程是



2
2
2
3
9
x
t
y
t
t




，即
2
2
2
2
6
0
x
tx
y
ty
t





.
而该圆被直线
0
x
y


截得的弦长为2 7 ，
故该圆圆心到直线
0
x
y


的距离为


2
2
2
3
7
9
7
d
t
t




.
所以
2
2
9
7
2
t
t



，解得
1
t .
故所求的圆的方程为
2
2
2
6
1
0
x
x
y
y




或
2
2
2
6
1
0
x
x
y
y




.
37.已知圆
2
2
:
2
7
0
C x
y
y




及内部一点
0( 1,3)
P 
，过点
0P 作倾斜角为的直线，与圆C 交于A
B
，
两点.
(1)当
135

时，求弦AB 长；
(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.
【答案】(1)
30 ；(2)
2
7
0
x
y



【解析】（1）因为
135

，则
tan135
1
AB
k



，
所以直线AB 的方程为
3
(
1)
y
x


，即
2
0
x
y



，
圆C 的标准方程为
2
2
2
7
0
x
y
y




，即
2
2
(
1)
8
x
y


，
可得圆C 的圆心
(0,1)
C
，半径为
2 2
r 
，
所以圆心
(0,1)
C
到直线
2
0
x
y



的距离为
2
2
0 1 2
2
2
1
1
d




，
可得弦长为
2
2
2
2
2
2
2 (2 2)
(
)
30
2
AB
r
d





.
（2）由圆的弦长公式，可得
2
2
2
AB
r
d


，
当圆心
(0,1)
C
到直线AB 的距离d 最大时，此时弦AB 的长度最小，
即
0
CP
AB

时，弦AB 的长度最小，
因为
0
3 1
2
1 0
CP
k




，所以
1
2
AB
k

，
所以AB 的方程为
1
3
(
1)
2
y
x



，即
2
7
0
x
y



.
38.已知圆
1
C 过点(0, 0),(1, 1),(8, 0) ，圆
2
2
2 :
(
2)
4
C
x
y



.
(1)求圆
1
C 的方程；
(2)判断圆
1
C 和圆
2
C 的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长.
【答案】(1)
2
2
(
4)
(
3)
25
x
y




；(2)
1
C 和圆
2
C 相交，理由见解析，16 17
17
【解析】（1）设圆
1
C 的一般方程为：
2
2
0
x
y
Dx
Ey
F




，把已知点代入得：
0
2
0
64
8
0
F
D
E
F
D
F













8
6
0
D
E
F








，
所以圆
1
C 的方程为：
2
2
8
6
0
x
y
x
y




（2）由（1）得圆
1
C 的标准方程为：
2
2
(
4)
(
3)
25
x
y




.
∴
1(4, 3)
C

，
2(0, 2)
C

，
2
2
1
2
|
|
(4
0)
( 3
2)
17
C C 



，
∵5
2
17
5
2




所以圆
1
C 和圆
2
C 相交，
设交点为A，B，直线AB 方程为
2
2
2
2
(
4)
(
3)
(
2)
25
4
x
y
x
y








即：4
0
x
y


，
所以
2
C 到直线AB 的距离
2
17
d 
所以
2
2
2
4
16 17
|
| 2
2 4
17
17
AB
R
d





.
两圆公共弦的长16 17
17
.
39.已知圆
2
2
1 :
2
3
0
C
x
y
x




与圆
2
2
2 :
4
2
3
0
C
x
y
x
y





相交于A、B 两点.
(1)求公共弦AB 所在直线方程；
(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程.
【答案】(1)
3
0
x
y



；(2)
2
2
3
0
x
y
x
y




【解析】（1）
2
2
2
3
0
x
y
x



，①
2
2
4
2
3
0
x
y
x
y





，②
①-②得2
2
6
0
x
y



即公共弦AB 所在直线方程为
3
0
x
y



.
（2）设圆的方程为


2
2
2
2
2
3
4
2
3
0
x
y
x
x
y
x
y










即
2
2
(1
)
(1
)
(2
4 )
2
3
3
0
x
y
x
y














因为圆过原点，所以3
3
0



，
1

所以圆的方程为
2
2
3
0
x
y
x
y




40.已知


0,3
A
，直线:
2
4
l y
x


，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线
1
y
x

上，且过点A 的直线m 与圆C 有公共点，求直线m 的斜率k 的取值范围；
(2)若圆C 上存在点M ，使
2

MA
MO ，求圆心C 的纵坐标的取值范围.
【解析】（1）由题得圆心在直线:
2
4
l y
x


和直线
1
y
x

上.
则联立
2
4
1
y
x
y
x







，解得
3
2
x
y





，即圆心C 的坐标为

3,2 。
故圆的方程为



2
2
3
2
1
x
y



.
故设过点


0,3
A
的直线方程为：
3
y
kx

，即
3
0
kx
y



由直线m 与圆C 有公共点，则圆心到直线m 的距离满足
2
3
2
3
1
1
k
d
k





解得
3
0
4
k



（2）根据圆心C 在直线:
2
4
l y
x


上，可设圆心为


2 2
4
C
a 
，
.
则圆的方程为



2
2
2
4
1
x
a
y
a




.
若圆C 上存在点M ，使
2

MA
MO ，设


,
M x y
∴


2
2
2
2
3
2
x
y
x
y




，整理可得


2
2
1
4
x
y



。
故点M 在以


0, 1
D

为圆心，2 为半径的圆上，又点M 也在圆C 上.
故圆C 和圆D 有交点. ∴2 1
2 1
CD


，即


2
2
1
2
4 1
3
a
a




，
解得
12
0
5
a


，即a 的取值范围为
12
0, 5






所以圆心C 的纵坐标2
4
a 
的取值范围为
4
4, 5







41.已知半径为4 的圆C 与直线1 :3
4
8
0
l
x
y



相切，圆心C 在y 轴的负半轴上.
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线2 :
3
0
l
kx
y



与圆C 相交于
,
A B 两点，且ABC

的面积为8，求直线2l 的方程.
【解析】（1）由已知可设圆心



0,
,0
C
b
b
，则
2
2
4
8
4
3
4
b




，解得
3
b 或
7
b 
（舍），
所以圆C 的方程为
2
2
(
3)
16
x
y



.
（2）设圆心C 到直线2l 的距离为d ，则
2
2
1
2 16
,
16
8
2
ABC
AB
d
S
AB
d
d
d








，
即
4
2
16
64
0
d
d



，解得
2 2
d 
，
又
2
3
3
1
d
k



，所以
2
7
2
k 
，解得
14
2
k 
，
所以直线2l 的方程为14
2
6
0
x
y



或14
2
6
0
x
y



.
42.已知圆C：
2
2
2
6
0
x
y
x




和定点

4,0
A 
，直线l：


6
8
y
m x



（m
R

）.
(1)当
1
m 时，求直线l 被圆C 所截得的弦长；
(2)若直线l 上存在点M，过点M 作圆C 的切线，切点为B，满足
2
MA
MB

，求m 的取值范围.
【解析】（1）圆C：

2
2
1
7
x
y



，圆心

1,0
C
，半径
7
r 
，
当
1
m 时，直线l 的方程为
2
0
x
y



，
所以圆心C 到直线l 的距离
1 0
2
2
2
2
d



，
故弦长为
2
2
2
2
2
2 7
26
2
r
d












.
（2）设


,
M x y ，则
2
2
2
2
2
6
MB
MC
r
x
y
x






，
由


4,0
A 
，
2
MA
MB

，得



2
2
2
2
4
2
2
6
x
y
x
y
x






.
化简得

2
2
6
64
x
y



，
所以点M 的轨迹是以


6,0
D
为圆心，8 为半径的圆.
又因为点M 在直线l：
6
8
0
mx
y
m




上，所以l 与圆D 有公共点，
所以
2
6
6
8
8
1
m
m
m




，
解得
12
0
5
m


，
所以m 的取值范围是
12
0, 5





.
43.已知圆
1
C ：
2
2
1
x
y

与圆
2
C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
x
y




(1)求经过圆
1
C 与圆
2
C 交点的直线方程；
(2)求圆
1
C 与圆
2
C 的公共弦长.
【解析】（1）圆
1
C ：
2
2
1
x
y

的圆心
1(0,0)
C
，半径1
1
r ，圆
2
C ：
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y



的圆心
2(1,1)
C
，半
径2
1
r ，
于是
1
2
1
2
1
2
|
|
2
(
,
)
C C
r
r r
r




，即圆
1
C 与圆
2
C 相交，令两圆的交点分别为A，B，
则A，B 的坐标是方程组
2
2
2
2
1
2
2
1
0
x
y
x
y
x
y









的解，两式相减得
1
0
x
y


，
则A，B 两点的坐标满足
1
0
x
y


，所以AB 所在直线方程为
1
0
x
y


．
（2）对于圆
1
C ：
2
2
1
x
y

，圆心
1
C 到直线
1
0
x
y


的距离为
2
2
1
2
2
1
1
d 


，
所以圆
1
C 与圆
2
C 的公共弦长为
2
2
2
1
2
2
2 1 (
)
2
2
r
d




.
44.已知m 是实数，圆C 的方程是


2
2
6
2
5
0
x
y
m
x
y
m







.
(1)若过原点O能作出直线与圆C 相切，求实数m 的取值范围；
(2)若
4
m ，圆C 与x 轴相交于点
,
M N（点M 在点N 的左侧）.过点M 任作一条直线与圆
2
2
:
4
O x
y


相
交于点
,
A B .问：是否存在实数m ，使得
ANM
BNM


？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明
理由.
【解析】（1）因为过原点O能作出直线与圆C 相切，所以原点O在圆C 上或圆外.
所以






2
2
6
2
4
5
0
5
0
m
m
m














，解得
5
m ，
所以所求实数m 的取值范围是

5,

.
（2）在


2
2
6
2
5
0
x
y
m
x
y
m







中，令
0
y 
得


2
6
5
0
x
m
x
m





，即


1
5
0
x
x
m




，
解得
1
x ，或
5
x
m

，
因为
4
m ，点M 在点N 的左侧，所以




1,0 ,
5,0
M
N m 
.
假设存在实数m ，使得
ANM
BNM


，则NA NB
､
的斜率互为相反数.
①当直线AB 与x 轴垂直时，显然
ANM
BNM


，此时m 是大于-4 的任意实数.
②当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为

1
y
k x


，代入
2
2
4
x
y


，得


2
2
2
2
1
2
4
0
k
x
k x
k





，
设




1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则







2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
4
Δ
2
4 1
4
4 3
4
0,
,
.
1
1
k
k
k
k
k
k
x
x
x x
k
k





















1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
5
1
5
5
5
5
5
NA
NB
k
x
x
m
x
x
m
y
y
k
k
x
m
x
m
x
m
x
m























，
而









1
2
2
1
1
2
1
2
1
5
1
5
2
6
2
5
x
x
m
x
x
m
x x
m
x
x
m



















2
2
2
2
2
4
2
6
2
5
1
1
k
k
m
m
k
k















2
2
2
2
2
2
4
2
6
2
5 1
2
2
1
1
k
k
m
m
k
m
k
k











，
令
2
2
2
0
1
m
k



，解得
1
m （满足
4
m ）.
所以
1
m 时，
0
NA
NB
k
k


.
综上所述，存在实数
1
m ，使得
ANM
BNM


.
45.已知圆


2
2
:
2
2
1
0
C x
x
y
y









.
(1)证明：圆C 过定点.
(2)当
2

时，求直线y
x

被圆C 截得的弦长.
(3)当
2

时，若直线:
1
l y
kx

与圆C 交于
,
M N 两点，且
2
OM ON



，其中O为坐标原点，求k 的取
值范围.
【解析】（1）由


2
2
2
2
1
0
x
x
y
y








，
得


2
2
2
1
2
1
0
x
x
y
x
y






，
令
2
1
0
x
y


，得
2
2
(
1)
0



x
y
，解得
1,
0
x
y


，
所以圆C 过定点，且定点的坐标为

1,0 .
（2）当
2

时，圆C 的标准方程为
2
2
(
2)
5
x
y


，
则圆C 的圆心

0, 2

到直线y
x

的距离
2
d 
，
所以直线y
x

被圆C 截得的弦长为
2
2 5
2 3
d


.
（3）将
1
y
kx

代入
2
2
(
2)
5
x
y


，得

2
2
1
2
4
0
k
x
kx




.
则


2
2
2
Δ
4
16 1
16
20
0
k
k
k






恒成立，
设




1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
1
2
1
2
2
2
2
4
,
1
1
k
x
x
x x
k
k







，
所以






2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
OM ON
x x
y y
x x
kx
kx
k
x x
k x
x















2
2
2
2
4 1
2
1
2
1
1
k
k
k
k







，整理得
2
1
k ，则1
1
k

，
所以k 的取值范围是

1,1

.