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大题12 振动与波动
振动与波动时高中力学的拓展内容，在历年高考中都有体现，多以选择题的形式出现偶尔也会以计算题的
形式出现。其中以波动形成与传播，振动方程、波动方程，波的叠加与干涉等为命题载体，当然也会与动
力学相结合，借助经典圆周模型考察单摆等。
简谐运动的证明及方程
【例1】（2024·江苏泰州·一模）如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕有几圈铁丝，竖直浮在一个较大的
盛水容器中，以木筷静止时下端所在位置为坐标原点O 建立直线坐标系，把木筷往下压一段距离
后放手，木筷就在水中上下振动。已知水的密度为
，重力加速度为g，不计水的阻力。
（1）试证明木筷的振动是简谐运动；
（2）观测发现筷子每10 秒上下振动20 次，从释放筷子开始计时，写出筷子振动过程位移随时间变化的关
系式。
1.简谐运动的两种运动学描述
(1)简谐运动图像即x－t 图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x 随时间t 变化的规
律。
(2)
是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
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2.简谐运动的动力学描述：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总
是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
（2024·重庆·一模）如图，光滑圆槽的半径L 远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可视为质
点）同时由静止释放，开始时乙球的位置B 低于甲球位置A，甲球与圆偿圆心连线和竖直方向夹角为θ，
丙球释放位置C 为圆槽的圆心，Q 为圆槽最低点；重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
（1）求甲球运动到O 点速度大小；
（2）通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达O 点；
（3）若单独释放甲球从降放到第15 次经过O 点所经历的时间。
波形图的综合应用
【例2】（2024 高三·全国·专题练习）如图所示，一列水平向右传播的简谐横波，波速大小为v=0.6 m/s，P
质点的平衡位置坐标为x=0.96 m。从图中状态开始计时（此时该波刚好传到距O 点0.24 m 的位置），求：
（1）经过多长时间，P 质点第一次到达波峰？
（2）经过多长时间，P 质点第二次到达波谷？P 质点第二次到达波谷时，P 质点通过的路程及该时刻的位
移为多少？
波动图像和振动图像的综合分析
1.两种图像的比较
2
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振动图像
波的图像
不同点
物理意义
表示一质点各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
研究对象
一振动质点
沿波传播方向的所有质点
研究内容
一质点位移随时间的变化规
律
某时刻所有质点的空间分
布规律
图像
图线随
时间变
化情况
图线随时间延伸，原有部分
图形不变
整个波形沿波的传播方向
平移，不同时刻波形不同
比喻
单人舞的录像
抓拍的集体舞照片
相同点
图像形状
正弦曲线
可获得
的信息
质点振动的振幅、位移、速度、加速度的方向及变化
2.两种图像的联系
由振动图像可读出质点的振动周期T，而质点振动的周期与波源的振动周期及波的传播周期
是相同的；由波的图像可读出波长λ，据v＝可求波速。
由振动图像可画波的图像，由波的图像也可画出质点的振动图像。
（23-24 高三上·江西赣州·期末）一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，t1=0 时刻恰好传播到x=-2m 处，此时
波形如图所示。a、b 两质点的坐标分别为（3m，0）和（7m，0），已知t2=3s 时，质点a 第一次出现在波
峰位置。
（1）求这列波的传播速度和周期；
（2）当质点b 第二次出现在波谷位置时，求质点a 通过的路程。
波的干涉
【例3】（2024·四川成都·二模）一均匀介质中有振源N，位于x 轴上的（10m，0）处，产生的机械波向左
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传播，N 开始振动经过1s 后波形如图所示。求：
（1）机械波在该介质中的波速；
（2）若在（-11m，0）有一振源M 与N 同时振动且起振方向相同，则稳定以后M、N 之间振动加强点的个
数。
1.发生干涉的条件：(1)两列波的频率相同；(2)相位差恒定。
2.干涉图样的特点
(1)加强区和减弱区的位置固定不变。
(2)加强区始终加强，减弱区始终减弱(加强区与减弱区不随时间变化)。
(3)加强区与减弱区互相间隔。
3.振动加强点和振动减弱点
(1)振动加强点：振动的振幅等于两列波振幅之和，即A＝A1＋A2。
(2)振动减弱点：振动的振幅等于两列波振幅之差，即A＝|A1－A2|。
(3)振动加强点和振动减弱点的判断
①条件判断法：振动频率相同、振动情况完全相同的两波叠加时，设点到两波源的路程差为Δx，当Δx＝|
x2－x1|＝kλ(k＝0，1，2，…)时为振动加强点；当Δx＝|x2－x1|＝(2k＋1)(k＝0，1，2，…)时为振动减弱点。
若两波源振动步调相反，则上述结论相反。
②现象判断法：若某点总是波峰与波峰或波谷与波谷相遇，该点为振动加强点，若某点总是波峰与波谷相
遇，则为振动减弱点。
（23-24 高三下·陕西延安·开学考试）位于坐标原点的波源
在
时刻开始沿
轴负方向做简谐运动，形
成一列沿
轴正方向传播的机械波，
时，
至
区域内第二次出现如图所示波形。
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（1）求该列波的波速大小：
（2）若在波源
起振的同时，位于
处的另外一波源
同时起振，振动频率与
相同，起振方向与
起振方向相反，求在
轴上
至
之间（不含波源处）振动加强点位置的横坐标。
1．（2024·四川德阳·二模）如图（a）所示，同种均匀介质中的两波源S1、S2分别位于x 轴上x1=-4m 和
x2=12m 处，t=0 时刻两波源同时开始持续振动并相向传播，其振动图像如图（b）和图（c）所示，t=0.75s
时平衡位置位于x3=2m 处的质点P 刚刚开始振动。求：
（1）波长的大小；
（2）质点P 起振后的振动方程和起振后1s 内振动的路程。
2．（2024·江苏南通·一模）某同学用手握住绳子的一端，上下抖动绳子使绳子振动起来，手抖动的频率为
2Hz。以手的平衡位置为坐标原点，抖动绳子过程中某时刻的波形图如图所示，求：
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（1）该波的波速大小；
（2）从图示时刻起，x＝5m 处的质点再经过
s 时间内的路程。
3．（23-24 高三下·江苏无锡·开学考试）如图甲，O 点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O 点之
间。现将摆球拉到A 点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C 之间来回摆动，其中B 点为运动中的最低
位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F 随时间t 变化的曲线，图中t=0 为摆球从A 点开始运动的时刻，g
取10m/s2。
（1）求单摆的振动周期和摆长；
（2）求摆球运动过程中的最大速度。
4．（2024·四川成都·二模）一列简谐横波在介质中沿
轴正方向传播，
和A 是介质中平衡位置分别位于
和
处的两个质点。
时刻的波形图如图所示，
时，质点
第一次回到平衡位置。求：
（1）该简谐横波的周期、波速和波长；
（2）质点A 的位移随时间变化的关系式。
5．（22-23 高三上·河南·阶段练习）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，某时刻的波形如图，此时x 轴上P、
Q 与原点O 的距离分别为3m、7m，此时质点P 刚好振动了0.4s，质点Q 刚好开始起振。求：
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（1）波在介质中的传播速度；
（2）从图示时刻起，14s 内x=30m 处的质点M 的位移和运动的路程。
6．（22-23 高三上·河南·阶段练习）一列简谐横波沿x 轴传播，
时刻的波形图如图所示，质点A 平衡
位置的横坐标为
，此时沿y 轴负方向运动，经过3s，质点A 运动的路程为56cm，求：
（1）该波的传播方向和波速的大小；
（2）从
时刻起，再经过多长时间，质点A 第一次到达平衡位置向y 轴正方向运动。
7．（23-24 高三下·江苏·开学考试）有一列振幅为4.0cm 的简谐横波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻位于0
点的波源开始振动。t = 0.4s 时的波形如图所示，此时波传播到x = 4.4m 处，波源的坐标为y = 2.0cm，试
求：
（1）该简谐波传播的速度v；
（2）该简谐波的波长λ。
8．（23-24 高三下·山东·开学考试）一列沿x 轴传播的简谐横波在
时刻的波形如图甲所示，位于坐标
原点O 处的质点恰好位于平衡位置，O 处质点的振动情况如图乙所示，求
（1）该波的传播速度大小和方向；
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（2）0.5s~1.0s 内O 处质点的路程
。
9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，
时，位于原点O 处的波源，从平衡位置（在x 轴上）开始沿y
轴正方向做周期
，振幅
的简谐振动，该波产生的简谐横波沿x 轴正方向传播，当平衡位置
坐标为
的质点P 刚开始振动时，波源刚好位于波谷，求：
（1）质点P 在开始振动后的
内通过的路程是多少？
（2）该简谐横波的最大波速是多少？
（3）若该简谐横波的波速为
，Q 质点的平衡位置坐标为
（在图中未画出）。请写出以
时刻为新的计时起点的Q 质点的振动方程。
10．（23-24 高三上·山东威海·期末）如图所示，t=0 时刻，位于x=0 处的质点A 从平衡位置开始向下运动，
经1.4s 第一次形成如图所示的波形。质点B 是平衡位置为x=2.2m 处的质点。求：
（1）该波的波速；
（2）从t=0 到质点B 第一次到达波峰，质点A 通过的路程。
11．（23-24 高三上·海南·期末）如图1 所示为一列在均匀介质中传播的简谐横波在
时刻的波形图，图
2 为平衡位置在
处的质点M 的振动图像。
（1）判断该列横波的传播方向；
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（2）求波上各质点振动时的频率与振幅；
（3）求质点M 在哪些时刻处于波峰。
12．（23-24 高三上·贵州贵阳·期末）一简谐横波沿水平直线传播，两质点P、Q 平衡位置相距0.4m，如图
所示。
时，P、Q 两质点的位移为正的最大值，而且P、Q 间只有一个波谷。
时，P、Q 两质
点刚好在平衡位置，且P、Q 之间只有一个波峰一个波谷，波峰对应的平衡位置到О 点的距离为四分之一
波长。求：
（1）若波从Q 向P 传播，周期、波速各为多少？
（2）若波速为35m/s，请确定波的传播方向；若振幅为A，则以
时刻为计时起点，请写出质点Q 的振动
方程。
13．（23-24 高三上·江苏苏州·期末）“战绳”是一种近年流行的健身器材，健身者把两根相同绳子的一端
固定在一点，用双手分别握住绳子的另一端，上下抖动绳端，使绳子振动起来（图甲），以手的平衡位置
为坐标原点，图乙是健身者右手在抖动绳子过程中某时刻的波形，若右手抖动的频率是0.5Hz。求：
（1）绳波的波速v 的大小；
（2）P 点从图示时刻开始第一次回到平衡位置的时间
。
14．（23-24 高三上·江苏无锡·期末）如图，一质量为0.05kg 的小球（可视为质点）通过细线悬在O 点，
将小球拉至A 点后由静止释放并在竖直平面内做简谐运动。已知摆长
，摆角
，
。 重力加速度g 取10m/s2。求：
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（1）小球从A 点第一次运动到B 的时间（π 取3.14）；
（2）小球在最低点B 处绳中拉力大小（结果保留1 位有效数字）。
15．（2023·江苏南京·一模）在同一水平面、同一种介质中有两个波源O1和O2，振动频率均为f，振动振
幅均为A。现两波源同时开始沿垂直纸面方向振动，且起振方向相反。经半个周期后波形示意图如图所示，
其中实线表示波峰，虚线表示波谷，波源振动一个周期后停止振动。已知O1a=ab=bc=cd=de=eO2=L，求：
（1）波源O1产生的波的波速；
（2）质点c 振动经过的总路程。
16．（23-24 高三上·四川绵阳·阶段练习）图为t=0 时刻某简谐横波的波形图。波源位于
处，且波源的
位移随时间变化关系为
。求：
（1）此波的波长、周期和波速；
（2）写出
处质点的位移随时间变化关系。
17．（23-24 高三上·广东·阶段练习）一列简谐横波在水平绳上沿x 轴负方向传播，在
时刻的波形如图
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所示，绳上三个质点M、N、P 的平衡位置分别为
，
，
，从该时刻开始计时，P
点的振动位移随时间变化关系为
。求：
（1）该简谐横波的波速v；
（2）再经过多长时间，质点M、N 振动的速度相同。
1．（2023·全国·高考真题）分别沿x 轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q 的振动方向相同,振幅均为
5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。
时刻，P 波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置向下
振动；Q 波刚好传到
处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
（1）在答题卡给出的坐标图上分别画出P、Q 两列波在
时刻的波形图（P 波用虚线，Q 波用实线）；
（2）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
2．（2011·江苏·高考真题）将一劲度系数为k 的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m 的物块，将物块向
下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的
单摆周期。请由单摆周期公式推算出物块做简谐运动的周期T。
3．（2021·海南·高考真题）一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，其波源的平衡位置在坐标原点，波源在0
~ 4s 内的振动图像如图（a）所示，已知波的传播速度为0.5m/s。
（1）求这列横波的波长；
（2）求波源在4s 内通过的路程；
（3）在图（b）中画出t = 4s 时刻的波形图。
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4．（2021·全国·高考真题）均匀介质中质点A、B 的平衡位置位于x 轴上，坐标分别为0 和xB=16cm。某简
谐横波沿x 轴正方向传播，波速为v=20cm/s，波长大于20cm，振幅为A=1cm，且传播时无衰减。t=0 时刻
A、B 偏离平衡位置的位移大小相等、方向相同，运动方向相反，此后每隔△t=0.6s 两者偏离平衡位置的位
移大小相等、方向相同。已知在t1时刻（t1>0），质点A 位于波峰。求
（1）从t1时刻开始，质点B 最少要经过多长时间位于波峰；
（2）t1时刻质点B 偏离平衡位置的位移。
5．（2020·全国·高考真题）一振动片以频率f 做简谐振动时，固定在振动片上的两根细杆同步周期性地触
动水面上a、b 两点，两波源发出的波在水面上形成稳定的干涉图样。c 是水面上的一点，a、b、c 间的距
离均为l，如图所示。已知除c 点外，在ac 连线上还有其他振幅极大的点，其中距c 最近的点到c 的距离为
。求：
（i）波的波长；
（ii）波的传播速度。
6．（2018·全国·高考真题）一列简谐横波在
时的波形图如图(a)所示，P、Q 是介质中的两个质点。
图(b)是质点Q 的振动图象。求：
（1）波速及波的传播方向；
（2）质点Q 的平衡位置的x 坐标。
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