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大题11 机械波与光的折射和全反射的综合应用
机械波与光的综合题常以选择题为主，偶有计算题出现。考生应熟练运用折射定律结合几何关系（如
三角形、圆形的对称性），通过典型模型（如平行玻璃砖、半圆形介质）训练光路作图能力。专题突破临
界角问题，强化全反射条件的逻辑推导（如光密到光疏介质的判断）。
题型一 机械振动与机械波
【例1】（2024·黑龙江·三模）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，波源位于坐标原点处，
t=0 时波源沿y 轴负方向起振，
时的波形如图所示。求：
（1）该横波的周期及波速大小；
（2）平衡位置坐标为x=30cm 的质点第二次到达波峰时，波源运动的路程。
【答案】（1）2s，0.1m/s；（2）26cm
【解析】（1）根据波形可知，
内，波向前传播了
，即波源振动的时间关系有
1
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解得
根据图像，波长为20cm，根据
解得
（2）波传播到平衡位置坐标为x=30cm 质点位置的时间
由于质点起振方向均y 轴负方向，可知之后该质点第二次到达波峰时间
则波源振动的时间
则波源运动的路程
解得
振动图像与波的图像的比较
振动图像
波的图像
物理意义
表示某质点在各个时刻的位移
表示某时刻各个质点的位移
研究对象
一个振动质点
所有质点
研究内容
某质点位移随时间变化的规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图像
横轴
时间轴，对应周期T
空间轴，对应波长λ
比喻
单人舞的录像
抓拍的集体舞照片
质点位置判断
已知某质点平衡位置坐标，根据波动方程求解该质点位移；已知振动时间，代入振动
方程求解质点位移
2
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1．（2025·江苏·二模）手持细绳，使绳上A 点从t=0 时刻开始带动细绳上各点上下做简谐运动，振幅为
0.2m，t=0.4s 时B 点刚开始振动，A 点回到平衡位置，绳上形成的波形如图所示，规定向上为质点振动位
移的正方向。
（1）写出A 点的振动方程；
（2）求0~3s 内质点B 的路程s。
【答案】（1）
（2）5.2m
【解析】（1）振动周期
振动方程
t=0 时刻A 点向下振动，
解得
（2）由题知，质点B 振动时间
，
，
解得
2．（24-25 高二上·辽宁·期末）诗词“洞庭波涌连天雪”，描述的正是机械波传播的场景。一列沿x 轴正
方向传播的简谐横波在
时刻的波形如图中实线所示，在
时的波形如图中虚线所示。
3
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（1）求这列波的传播速度大小；
（2）若该波的周期
，则从
时刻开始计时，求质点M 在0~8s 内运动的路程。
【答案】（1）
（2）20cm
【解析】（1）由题图可知，波长
，
，
因波沿x 轴正方向传播，则
解得
根据波速
解得
（2）由题意可知
则n 只能取0 时满足条件，即
因
则0~8s 内质点M 运动的路程为
3．（24-25 高二上·辽宁抚顺·期末）一列简谐横波在某介质中传播，
时的波形图如图甲所示。质点
P 的平衡位置为
，质点Q 的平衡位置为
，质点Q 的振动图像如图乙所示。
4
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（1）求该列波在介质中的传播速度大小v；
（2）从
开始计时，求质点P 第一次出现在波谷所需的时间
。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）根据题图甲有
根据题图乙有
该列波在介质中的传播速度大小
解得
（2）根据图甲和图乙，利用同侧法可知，该列波沿
轴正方向传播；
时在质点
左侧离质点
最近
的波谷的平衡位置的坐标为
波的传播过程也是振动形式传播的过程，则
解得
4．（22-23 高二上·江苏镇江·期中）弹簧振子以O 点为平衡位置在B、C 两点之间做简谐运动，B、C 相距
20 cm，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s，振子首次到达C 点，求：
（1）振子振动的振幅；
（2）振子在5 s 内通过的路程及位移的大小；
5
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（3）振子在B 点的加速度大小跟它距O 点4 cm 处P 点的加速度大小的比值。
【答案】（1）10 cm （2）2 m，0 （3）
【解析】（1）弹簧振子以O 点为平衡位置在B、C 两点之间做简谐运动，则振幅为
解得
（2）由于某时刻振子处于B 点，经过0.5 s，振子首次到达C 点，则有
解得
由于
可知，振子在5 s 内通过的路程
结合上述解得
振子运动时间等于周期的整数倍，即振子回到了出发点，可知，振子的位移为0。
（3）根据简谐运动的特征，其回复力大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，则有
，
解得
题型二 光的折射定律、全反射的综合应用
【例1】（2024·黑龙江·三模）某广场有一个喷泉，喷泉底部装有五颜六色的彩灯，如
图所示。如果彩灯为一个直径MN=a 的圆形水平灯盘，放置在水池底部，灯盘到水面的距离为 h，水池面
6
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积足够大。已知灯盘发出的红光在水中的折射率为
，真空中的光速为c，求：
（1）灯盘发出的红光能射出水面的最短时间；
（2）灯盘发出红光时，能直接射出水面的面积。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）从灯盘发出的竖直向上的光垂直穿出水面时，所用路程最短，即用时最短。红光在水中的
传播速度为
则最短时间为
（2）设N 端红光在水面上的A 点恰好发生全反射，光路如图所示，则
解得
由几何关系，有
则总面积为
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【例2】（2024·辽宁朝阳·三模）如图所示，在注满水的游泳池的池底有一点光源A，水深
。从点
光源A 射向池边B 点的光线AB 与竖直方向的夹角恰好等于全反射的临界角，水的折射率为
。
（1）求光源到池边B 点的水平距离；
（2）一救生员坐在离池边不远处的高凳上，他的眼睛所接收的光线与竖直方向的夹角恰好为45°，求此时
点光源A 发出光线的入射角的正弦值。
【答案】（1）l=3m；（2）
【解析】（1）设到达池边B 点的光线的入射角为i，由折射定律有
由几何关系有
解得光源到池边B 点的水平距离
（2）设此时救生员的眼睛到池边B 点的距离为x，救生员的视线与竖直方向的夹角
由折射定律有
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式中i'是光线在水面的入射角，解得
光的折射定律、全反射的综合应用
1、光的折射、全反射问题的解题思路
（1）确定光是由光密介质进入光疏介质，还是由光疏介质进入光密介质，并根据
确定临界
角。判断是否发生全反射。
（2）画出光线发生折射、反射的光路图（全反射问题中关键要画出入射角等于临界角的“临界光路
图”）。
（3）结合光的反射定律、折射定律、临界角C 及几何关系进行分析与计算。
2、全反射的临界状态分析
类型
图示
题干信息
临界状态分析
平行玻璃
砖
光线未射出光
纤
光线在光纤内表面传播时，入射角大于全反射
角C 时，发生全反射
三角形玻
璃砖
折射光不从BC
面射出
i≥C 时发生全反射，几何关系为
，即
半
圆
（球）形
玻璃砖
光线沿半径方
向射入
光线沿半径方向从圆（球）面射入，必经过圆
（球）心，在直径面的入射角大于全反射临界
角C 时发生全反射
光线从玻璃砖
圆面射出
由圆的几何特性和光路可逆可知，无论入射角
多大，光线不可能在圆（球）面发生全反射
光线垂直半圆
（球）形直径
面射入
由于入射点不同，在球面上入射角度大于全反
射临界角C 时发生全反射，法线为此点与球心
的连线
入射光线过半
圆（球）形直
径中点
由圆的几何特性可知，折射光线必沿半圆
（球）体半径方向出射，且不会发生全反射
1．（2024·四川泸州·二模）如图所示，光源S 位于装有某液体的容器底部，容器右侧的内壁固定一平面镜
，平面镜上端与容器顶端平齐、下端与液面平齐。光源S 沿
方向发射一束红光，经O 点折射后照
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到平面镜上的P 点，反射光线刚好过容器左侧上端点Q。已知入射角
，容器宽度
为
，反
射点P 分别到平面镜上端点M、下端点N 的距离为
、
，液体深度为
，光在真空中的传播
速度
，
，
。求：
（1）红光在该液体中的折射率n；
（2）这束红光在液体中的传播时间。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）根据几何关系可知在MN 平面发生的反射，入射角
符合
则
则光从液体中射出时的折射角
根据折射定律可知
（2）传播距离
红光在液体中的传播速度
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这束红光在液体中的传播时间
2．（2024·黑龙江牡丹江·一模）随着监控技术的不断发展，现在大街小巷、家家户户都安装了监控摄像等
设备，如图所示为一监控设备上取下的半径为R 的半球形透明材料，球心为O 点，A 点为半球面的顶点，
且满足AO 与镀有反射膜的底面垂直。一束单色光平行于AO 射向半球面的B 点，折射光线通过底面D 点，
经D 点反射后射向半球面上的E 点（图中未画出），光在真空中传播的速度为c。已知B 点到OA 连线的
距离为
，OD 长为
。求：
（1）此材料的折射率；
（2）该单色光在半球形透明材料中从B 点到E 点的传播时间t。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）根据题意，画出光路图，如图所示
由几何关系可得
解得
又有
，
则有
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可得
即
则有
故此材料的折射率为
（2）由几何关系，结合（1）分析可知
，连接AD，则有
解得
即E 点和A 点重合，则反射光DE 在圆弧上的入射角为30°，又有
即光线在A 点射出，由几何关系可得
则该单色光在该材料中的传播路径总长为
根据
，
联立解得
3．（2024·河南安阳·一模）如图所示为用某种特殊透明材料制作的半径为R 的半圆形砖，在圆心O 点处垂
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直于砖直径MN 边射入一束由红绿双色光混合的激光，当激光束缓慢向左平移到距O 点
位置时发现半圆
形曲面恰好只有单色光射出，射出光线与入射方向夹角为
，不考虑反射。求：
（1）该透明材料分别对两种单色光的折射率；
（2）在直径MN 的范围内垂直射入的光束中，求从弧面射出的总宽度。
【答案】（1）
；2 （2）
【解析】（1）红光的折射率小于绿光的折射率，所以半圆形曲面恰好只有单色光射出时红光发生折射，
绿光恰好发生全反射，如图所示，
由几何知识可知曲面上光束的入射角满足
解得
折射角为
。
根据折射率的定义式，可得
，
（2）当红光恰好发生全反射时有
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所以总长度为
1．（2024·青海海南·二模）如图所示，A、B、C 是水面上直角三角形的三个顶点，
，
，
。某时刻起，A 点开始在竖直方向做周期为T 的简谐运动（起振方向向下），产生的波在水面传播，
当波刚传到C 点时，B 点第一次到达波峰。求：
（1）该波的波长
；
（2）该波的传播速度v。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）当波刚传到C 点时，B 点振动的时间
B 点的振动形式向前传播
，则
解得
（2）根据波速、波长、周期间的关系有
，解得
2．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两列简谐横波在同种介质中分别沿
轴正方向和负方向传播，两波源分
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别位于
和
处，两波源的振幅均为
，持续振动。甲波源振动
后的波形如图所示，此刻
和
处的P、Q 两质点刚开始振动，质点M 的平衡位置在
处。从图示时刻起，求：
（1）两列波经多长时间相遇；
（2）
内质点
运动的路程。
【答案】（1）1.25s （2）2.8m
【解析】（1）根据题意与波形可知
，
则波传播速度
解得
两列波相遇时有
其中
解得
（2）结合上述可知，乙波传到
所用时间
解得
甲波传到
所用时间
解得
只有乙波引起
质点振动，此时间内
解得
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甲、乙两波引起
质点的振动相互加强，则有
解得
则
内质点
运动的路程
解得
3．（2025·广西·一模）北海市因美丽的银滩和丰富的海洋资源而闻名。一条小船（视为质点）停泊在海岸
边，有人测得小船在1min 内完成了30 次全振动，t
0 时刻海浪的波形如图所示，此时小船处于平衡位置，
沿y 轴正方向运动，求：
（1）海浪传播的速度大小；
（2）1min 内小船通过的路程：
（3）
s 时小船偏离平衡位置的位移大小。
【答案】（1）v
10m/s （2）s
12m （3）y
0.05m
【解析】（1）小船在1min 内完成了30 次全振动，可知小船的振动周期
由题图可知，海浪的波长
海浪传播的速度大小
（2）1min 内小船通过的路程
（3）由题意可知，小船的振动方程为
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故
s
时小船偏离平衡位置的位移大小
4．（2025·福建福州·二模）如图甲所示，a、b 为沿x 轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为s=1m。
a、b 的振动图像分别如图乙、丙所示。
（1）若波在介质中传播的速度为v=4m/s，求波长；
（2）若波沿x 轴负方向传播，且波长大于0.7m，求可能的波速值。
【答案】（1）
（2）
或5m/s
【解析】（1）由振动图像可知，波的振动周期
波长
（2）若波沿着
轴负方向传播，则
间距离
由于
，
可以取0，1，对应波长
或
则波速为
或
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5．（2024·陕西渭南·二模）如图所示，在xOy 平面内有两个点波源
、
分别位于x 轴上
、
m 处，它们在同一均匀介质中均从
开始沿y 轴正方向做简谐运动，波源
开始的振动方程为
cm，波源
开始的振动方程为
cm，质点P 位于x 轴上
m 处，已知质点P
在
s 时开始振动，求：
（1）这两列波在介质中的波长；
（2）在
至
s 内质点P 通过的路程。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意知
rad/s，周期
s
波速为
m/s
波长为
m
（2）P 点到两波源的路程差
所以P 点是振动加强点。
0~0.1s 内，P 不振动；
0.1s~0.9s 内，P 只参与由波源
产生的振动，故
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cm
0.9s~1.3s 内，P 同时参与由波源
和
产生的振动且振动加强，故
cm
综上所述，在
至
s 内质点P 通过的路程
cm
6．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，海面上有A、B 两个导航浮标，两个浮标间距为30m，一列水波
（看做简谐横波）沿海面从A 浮标向B 浮标传播，B 浮标比A 浮标振动落后30s。两个浮标随波上下振动，
每分钟完成20 次全振动，振动最高点和最低点间的距离为20cm，A、B 浮标均看做质点，求：
（1）水波的波长；
（2）当A 位于波峰时，以此时为计时零点，在0~1.5s 内，浮标B 通过的路程为多少？
【答案】（1）3m；（2）
【解析】（1）浮标随波上下振动，每分钟完成20 次全振动，可知周期为
B 浮标比A 浮标振动落后30s，则波速为
水波的波长为
（2）由于
当A 位于波峰时，B 也位于波峰，振动最高点和最低点间距20cm，可知振幅为
在0~1.5s 内，由于
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浮标B 在0~1.5s 内，通过的路程为
7．（2025·河北·一模）如图所示，矩形
为一透明光学元件的横截面，
边长为
，
为
边的
中点。一细束单色光从
点射入光学元件，入射角
，光在
、
边恰好能发生全反射，最后从
边的中点射出该光学元件，且从
边射出的光刚好与
边的入射光平行，已知光在真空中的传播速
度为，求：
（1）光学元件对该单色光的折射率；
（2）该单色光在光学元件内传播的时间。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）作出光路图如图所示
光在
边发生折射，由折射定律可知
光在
边刚好发生全反射，有
由几何关系可知
联立解得
（2）设
边长为
，由几何关系可知
光在光学元件内传播的距离可能为
光在光学元件内传播的速度大小
20
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所以光在光学元件内传播的时间
解得
8．（2025·河北·一模）如图所示，直角玻璃三棱镜
置于空气中，一单色细光束从
的中点
垂直于
面入射。棱镜的折射率
，
，
求：
（1）光第一次从棱镜内射出时的折射角
；
（2）出射点到
点的距离
。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）光路图如图所示
设该玻璃的临界角为
，有
解得
由几何关系知
，则光在
面发生全反射，又
由折射定律有
解得
（2）设光线分别经过
面、
面的
、
点，由几何关系有
，
解得
21
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9．（2024·广东茂名·二模）如图所示为一半径为
的透明半球体，PQ 为半球体的直径，O 为半球体
的球心．现有一束激光垂直半球的平面射入半球体，入射点从P 点沿直径PQ 方向缓慢向Q 点移动，发现
当入射点移动2cm 后，才开始有光线从下方球冠射出，不考虑光线在半球体内多次反射，求：
（1）该半球体的折射率为多少？
（2）当该束激光入射点移动至距离球心为3cm 位置入射，则其光线射出半球体的折射角的正弦值为多少？
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意作出光路图
如图所示设射点移动2cm，该入射点位置为A，此时入射角为C，由几何关系可知
则由全反射规律，可知
得
（2）当该束激光入射点移动至距离球心为3cm 的B 点入射时，设此时入射角为r，
22
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由几何关系可知，则
得
入射角小于临界角，光线能直接从球冠射出。设从球冠射出时折射角为i，由折射定律
可得
10．（2024·广西来宾·模拟预测）如图为一半径为R 的半圆柱体玻璃砖的截面图，O 为圆柱截面的圆心，
AB 为直径，现将一束垂直于直径AB 的光从M 点射入，OM 长度为
，光线射到玻璃砖的圆弧面恰好
发生全反射。
（1）先完成光路图并求玻璃砖的折射率；
（2）求光线在玻璃砖中的传播时间（光在真空中的速度用c 表示）。
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】（1）光路图如图所示，
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根据几何关系，可知
又
解得
（2）由几何关系，可知光线在玻璃砖中的传播路程为
根据
可得
11．（2024·全国甲卷·高考真题）一玻璃柱的折射率
，其横截面为四分之一圆，圆的半径为R，如
图所示。截面所在平面内，一束与AB 边平行的光线从圆弧入射。入射光线与AB 边的距离由小变大，距离
为h 时，光线进入柱体后射到BC 边恰好发生全反射。求此时h 与R 的比值。
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【答案】
【解析】如图，画出光路图
可知
设临界角为C，得
，
根据
可得
解得
故可得
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故可知
12．（2022·河北·高考真题）如图，一个半径为R 的玻璃球，O 点为球心。球面内侧单色点光源S 发出的
一束光在A 点射出，出射光线AB 与球直径SC 平行，θ = 30°。光在真空中的传播速度为c。求：
（i）玻璃的折射率；
（ii）从S 发出的光线经多次全反射回到S 点的最短时间。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（i）根据题意将光路图补充完整，如下图所示
根据几何关系可知
i1 = θ = 30°，i2 = 60°
根据折射定律有
nsini1 = sini2
解得
（ii）设全反射的临界角为C，则
光在玻璃球内的传播速度有
26
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根据几何关系可知当θ = 45°时，即光路为圆的内接正方形，从S 发出的光线经多次全反射回到S 点的时间
最短，则正方形的边长
则最短时间为
13．（2024·山东·高考真题）某光学组件横截面如图所示，半圆形玻璃砖圆心为O 点，半径为R；直角三
棱镜FG 边的延长线过O 点，EG 边平行于AB 边且长度等于R，∠FEG=30°。横截面所在平面内，单色光
线以θ 角入射到EF 边发生折射，折射光线垂直EG 边射出。已知玻璃砖和三棱镜对该单色光的折射率均为
1.5。
（1）求sinθ；
（2）以θ 角入射的单色光线，若第一次到达半圆弧AMB 可以发生全反射，求光线在EF 上入射点D（图中
未标出）到E 点距离的范围。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）由题意设光在三棱镜中的折射角为
，则根据折射定律有
由于折射光线垂直EG 边射出，根据几何关系可知
代入数据解得
（2）根据题意作出单色光第一次到达半圆弧AMB 恰好发生全反射的光路图如图
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则根据几何关系可知FE 上从P 点到E 点以
角入射的单色光线第一次到达半圆弧AMB 都可以发生全反射，
根据全反射临界角公式有
设P 点到FG 的距离为l，则根据几何关系有
又因为
联立解得
所以光线在EF 上的入射点D 到E 点的距离范围为
14．（2023·全国甲卷·高考真题）分别沿x 轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q 的振动方向相同,振幅
均为5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。
时刻，P 波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置
向下振动；Q 波刚好传到
处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
（1）在答题卡给出的坐标图上分别画出P、Q 两列波在
时刻的波形图（P 波用虚线，Q 波用实线）；
（2）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
【答案】（1）见解析 ；（2）见解析
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【解析】（1）根据
得
可知
时P 波刚好传播到
处，Q 波刚好传播到
处，根据上坡下坡法可得波形图如图所示
（2）两列波在图示范围内任一位置的波程差为
根据题意可知，P、Q 两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的
距离差
解得振幅最大的平衡位置有
、
振动减弱的条件为
解得振幅最小的平衡位置有
、
、
15．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，一折射率为
的棱镜的横截面为等腰直角三角形
，
，BC 边所在底面上镀有一层反射膜。一细光束沿垂直于BC 方向经AB 边上的M 点射入棱镜，
若这束光被BC 边反射后恰好射向顶点A，求M 点到A 点的距离。
【答案】
【解析】由题意可知做出光路图如图所示
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光线垂直于BC 方向射入，根据几何关系可知入射角为45°；由于棱镜折射率为
，根据
有
则折射角为30°；
，因为
，所以光在BC 面的入射角为
根据反射定律可知
根据几何关系可知
，即
为等腰三角形，则
又因为
与
相似，故有
由题知
联立可得
所以M 到A 点的距离为
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