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大题02 力与曲线运动
抛体运动与圆周运动是曲线运动两个基本运动，在历年高考中都有考察，近几年多以计算题的形式出现。
其中抛体运动在全国卷与各地方卷都曾单独命制计算题，圆周运动借助水平面内圆周运动的临界问题以多
次考察，直线圆周平抛组合模型更是经典多过程运动模型在每年高考中都会以大题的形式呈现。
抛体运动规律的综合应用
（2024·江西·校联考一模）如下图所示，将扁平的石子快速抛向水面，石子遇水后不断地在水面上连续向
前多次跳跃，直至最后落入水中，俗称“打水漂”，假设小明在离水面高度
处，将一质量
的小石片以水平初速度
抛出，玩“打水漂”，小石片在水面上滑行时受到的水平方向
的阻力恒为
，竖直方向分力未知．在水面上弹跳数次后沿水面滑行（水平方向）的速度减为零后
沉入水底。假设小石片每次均接触水面
后跳起，跳起时竖直方向的速度与此时沿水面滑行的速度
之比为常数
，取重力加速度
，不计空气阻力，求小石片：
（1）第一次与水面接触前水平方向的位移x；
（2）第一次与水面接触过程中在竖直方向上的分加速度ay的大小；
（3）最后一次弹起在空中飞行的时间t。（该问结果保留2 位有效数字）
1.处理平抛(类平抛)运动的四条注意点
(1)处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动
1
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规律列式，再用运动的合成求合运动。
(2)如图甲所示，对于从斜面上水平抛出又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的
正切值，即＝tan θ，速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
(3)如图乙所示，对平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比
等于斜面倾角的正切值，即＝tan θ。
(4)如图丙所示，做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同，它们之间的关系tan φ＝2tan θ。
2.斜抛运动(类斜抛运动)的处理方法
(1)斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例(如图所示)
速度：vx＝v0cos θ，
vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2
(2)当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
（2024 下·山东德州·高三统考开学考试）投石运动是中国最古老的投掷运动，是伴随着中国先民的狩猎活
动一起产生的一项古老体育项目。某同学自制投石机模型，如图所示。在某次投石过程中，质量为
的石
块（可视为质点）装在长杆末端的篮子中，开始时篮子位于水平面并处于静止状态。现对长杆的另一侧施
加外力，当杆转到与水平方向夹角为
时立即停止转动，石块从A 点沿垂直于杆方向以
被抛出后，经过
点时的速度大小为
，与水平方向之间的夹角仍为
。已知
连线与水平面
间的夹角也为
，石块在运动过程中的空气阻力忽略不计，重力加速度
，求：
（1）石块被抛出后，经多长时间离
连线最远；
2
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（2）
两点之间的距离
。
水平面内圆周运动与生产生活
（2024·湖北·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）生产流水线可以提高劳动效率，下图是某工厂生产流
水线的水平传输装置的俯视图，它由同一水平面的传送带和转盘组成，每间隔0.2 秒在A 处无初速放一个
物品到传送带上，物品（可视为质点）运动到B 处后进入匀速转动的转盘表面，随其做半径R=2.0m 的圆
运动（与转盘无相对滑动），到C 处被取走装箱，已知A、B 的距离L=6.4m，物品与传送带间的动摩擦因
数μ1=0.5，传送带的传输速度和转盘上与转轴O 相距为R 处的线速度均为v=2.0m/s，取g=10m/s2，问：
（1）物品从A 处运动到B 处的时间t 多大？
（2）若物品在转盘上的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，则物品与转盘间的动摩擦因数μ2至少为多大？
1.解答水平面内的圆周运动的基本思路
2.常见模型
水平面内
动力学方程
临界情况示例
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
恰好滑动
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圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
恰好离开接触面
（2024·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）在某次自动驾驶测试中，测试车辆在平直、双车道公路
（如图）上右侧车道正中间以54km/h 的速度匀速行驶，某时刻探测到前方有一大型动物从左向右横穿公
路，然后停在右侧车道上，恰好占据整个车道，此时车辆离动物x=36m 左侧车道无来车。车载电脑经过
0.4s 的分析和模拟计算，开始执行应对措施。设车身宽度d=2.5m，车道宽度D=3.5m，车身在地面投影为
矩形，路面与车胎间动摩擦因数
可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略车身各部分间运动情
况的差异，
求：
（1）若测试车辆采取减速措施，在离动物5m 以外刹停，刹车加速度至少为多大；
（2）若测试车辆不减速而是通过圆弧、直线、圆弧的轨迹进入左侧车道来避让前方的动物，为防止侧滑，
转向过程中车辆做圆周运动半径R 的最小值；
（3）在情况（2）下，为防止车辆失控，每次转向角度要尽量小，而且经过动物时留有最大距离，求左转
向过程中速度方向变化量θ（这一过程中动物没有移动，结果可用函数式表示）。
直线+圆周+平抛组合模型中的多过程问题
（2024 下·新疆·高三校联考阶段练习）如图所示，水平地面上固定有一个半径为
的竖直圆弧轨
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道
点为圆弧轨道的圆心，C 点为轨道的最低点，O、D 等高，
连线与竖直方向的夹角为
，圆
弧的
段光滑，其他部分粗糙。质量
的物块b 静止在C 点，质量
的物块a 从圆弧轨道左
边的平台右边缘A 点以初速度
水平抛出，物块a 恰好可以无碰撞地从B 点进入圆弧轨道，在C 点
物块a 与物块b 发生弹性正碰，碰撞时间极短，碰后立即撤去物块a，物块a、b 均可视为质点，不计空气
阻力，重力加速度g 取
，
，
，求：
（1）A 点与B 点的高度差h；
（2）物块a、b 碰后瞬间物块b 的速度大小；
（3）若物块a 与b 碰撞后物块b 恰好不脱离轨道
，求物块b 第一次沿圆弧轨道
上升过程中摩擦力
所做的功。
解决竖直面内圆周运动的三点注意
1．竖直面内的圆周运动通常为变速圆周运动，合外力沿半径方向的分力提供向心力，在轨迹上某点对物
体进行受力分析，根据牛顿第二定律列出向心力方程。
2．注意临界问题：物体与轨道脱离的临界条件是FN＝0 或FT＝0。
3．求物体在某一位置的速度，可根据动能定理或机械能守恒定律，将初、末状态的速度联系起来。
（2024·广东·统考模拟预测）游客在动物园里常看到猴子在荡秋千和滑滑板，其运动可以简化为如图所示
的模型，猴子需要借助悬挂在高处的秋千绳飞跃到对面的滑板上，质量为
的猴子在竖直平面内绕
圆心
做圆周运动。若猴子某次运动到
点的正下方时松手，猴子飞行水平距离
后跃到对面的滑
板上，
点离平台高度也为
，猴子与
点之间的绳长
，重力加速度大小
，不考虑空气
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阻力，秋千绳视为轻绳，猴子可视为质点，求：
（1）猴子落到滑板时的速度大小；
（2）猴子运动到
点的正下方时绳对猴子拉力的大小。
1．（2024·山西临汾·统考一模）如图所示，排球比赛中运动员将排球从M 点以
的速度水平击出，
当球飞到P 点时被对方运动员击出，球又斜向上飞出后经过M 点正下方的N 点，N、P 两点等高且水平距
离为10m。球斜向上飞出后轨迹最高点与M 点等高。不计空气阻力，重力加速度取
。求：
（1）M、N 两点间的高度差h；
（2）在P 点排球被击出时排球速度的大小。
2．（2024 上·山东日照·高三日照一中校联考期末）几位同学在空旷的草地上进行投掷飞镖比赛，飞镖投出
点的高度h 均为
。甲同学站在A 点投掷飞镖，初速度的大小
，与水平方向的夹角
，
最终在P 点插入地面。乙同学站在B 点投掷飞镖，初速度水平，最终也在P 点插入地面，且插入地面的方
向与甲同学的飞镖方向相同。飞镖的飞行轨迹如图所示，不计空气阻力，重力加速度
，求：
（1）甲同学投掷的飞镖飞行过程中离地面的最大高度H；
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（2）乙同学投掷飞镖的初速度v 的大小：
（3）A、B 两点间的距离。
3．（2024·云南曲靖·校联考一模）掷铅球是一个需要力量和灵活性的运动，今年的学校运动会，高三
（5）班学生周红要参加掷铅球比赛，傍晚来到运动场训练，热身后（不计空气阻力，重力加速度取
10m/s2，
）
（1）她在第一次投掷中把铅球水平推出，高度为h=1.5m，速度为v0=8m/s，则铅球被推出的水平距离是多
少米？
（2）第一次投掷后体育老师给了建议，让她投掷时出手点高一点，斜向上推出铅球。于是，第二次她从
离地高为H=1.65m 处推出铅球，出手点刚好在边界线上方，速度方向与水平方向成53°，如图所示，此次
推出铅球时铅球的速度大小仍为8m/s，则这次投掷的成绩为多少米？
4．（2024 下·江苏无锡·高三校联考开学考试）如图所示的装置中，光滑水平杆固定在竖直转轴上，小圆环
A 和轻弹簧套在杆上，弹簧两端分别固定于竖直转轴和环A，细线穿过小孔O，两端分别与环A 和小球B
连接，线与水平杆平行，环A 的质量为m=0.1kg，小球B 的质量为2m。现使整个装置绕竖直轴以角速度
ω=5
rad/s 匀速转动，细线与竖直方向的夹角为37°。缓慢加速后使整个装置以角速度2ω 匀速转动，细
线与竖直方向的夹角为53°，此时弹簧弹力与角速度为ω 时大小相等，已知重力加速度g=10m/s2，
sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）装置转动的角速度为ω 时，细线OB 的长度s；
（2）装置转动的角速度为2ω 时，弹簧的弹力大小F；
（3）装置转动的角速度由ω 增至2ω 过程中，细线对小球B 做的功W。
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5．（2024·辽宁沈阳·统考一模）如图甲，水平面内有一条双线等宽光滑轨道，它由直轨道和两端半圆形轨
道组成。在直轨道上放置一质量
的小圆柱体，如图乙。小圆柱体两侧与轨道相切处和小圆柱体截
面的圆心O 连线的夹角
，如图丙，初始时小圆柱体位于轨道上A 点。现使之获得沿直轨道AB 方
向的初速度
，小圆柱体运动过程中所受阻力忽略不计，小圆柱体尺寸和轨道间距相对轨道长度也忽略不
计，两端半圆形轨道半径
，g 取
。
（1）当
时，小圆柱体可以安全通过半圆形轨道，求小圆柱体在直轨道和半圆形轨道上运动时，
内侧轨道对小圆柱体的支持力
、
的大小；
（2）为确保小圆柱体沿半圆形轨道运动不脱轨，初速度
不能超过多少?（结果可以保留根式）
6.（2024 下·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）玩滑板是一项青少年酷爱的运动。一滑板训练场
地如图所示，斜坡
与
光滑竖直圆轨道相切于
点，圆轨道半径
，圆心为
，圆弧最低点与
水平地面相切，斜坡倾角为37°，圆轨道左侧有一高出地面
的平台，平台右端到光滑圆轨道最高点
的水平距离为4m。一运动员连同滑板的总质量为80kg，从右侧斜坡
上距
点12.5m 处的
点无初速度
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滑下，其运动可简化为滑块在轨道上的匀加速直线运动，其通过光滑圆弧轨道
的
点后落在了左侧平
台上，滑板和人可视为质点，不计空气阻力，滑板与倾斜轨道间的动摩擦因数
，重力加速度
取
，
。求：
（1）滑板和人通过圆弧轨道最低点时，对
点的压力大小；
（2）平台上的落点到
点的距离。
7．（2023 下·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m 的小球（视为质点），用长为5d 的轻质细
线悬挂在天花板的左边缘O 点，现把小球拿到A 点，细线伸直与水平方向的夹角为
，让小球从A 点由
静止释放，当小球运动到C 点时，细线再次伸直，然后沿圆弧CD 运动到D 点，当小球运动到D 点时，细
线突然断裂，小球接着做平抛运动落到地面，已知D 点与地面之间的高度差为
，重力加速度为g，
、
，求：
（1）小球到C 点时，系统生成的热量；
（2）小球离开D 点做平抛运动的水平位移。
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8．（2023 上·河南·高三校联考阶段练习）如图所示，水平面上固定放置一四分之一圆弧轨道PA，轨道的
内壁光滑，P 点的切线竖直，A 点在水平面的右边缘且切线水平。在水平面的右下方固定放置一半径为r 的
圆管轨道，D 是轨道上圆心O 的等高点，EC 是竖直直径，B、E 是管口，管的内壁光滑。现让质量为m 的
小球（视为质点）从P 点由静止释放，圆管的内径略大于小球的直径，小球从A 点离开后，正好从管口B
（与管口无碰撞）进入圆管，然后沿着管壁运动到E 点，离开E 点后又刚好落到B 点。已知
，
重力加速度为g，忽略空气阻力，求：
（1）小球在E 点以及在B 点的速度大小；
（2）小球在D 点时的加速度大小以及四分之一圆弧轨道PA 的半径；
（3）小球从E 点到达B 点时在B 点重力的瞬时功率与小球从A 点到达B 点时在B 点重力的瞬时功率之差。
9．（2023 上·全国·高三校联考阶段练习）如图所示，质量为m 的小球（视为质点）从A 点以初速
开始
做平抛运动，到达B 点无碰撞进入内壁光滑的细管道BC（形状按抛物线AB 制造而成，管口的直径略大于
小球的直径），竖直固定放置的半圆弧轨道CD 与BC 在C 点平滑对接，且C 点的切线水平，D 是圆弧的
最高点且切线水平，已知小球从A 到B 沿水平方向的分位移为
，重力加速度为g，忽略空气的阻力，
求：
（1）小球在B 点的速度与水平方向夹角的正切值以及小球从A 到C 合力的冲量；
（2）若小球能到达D 点，求圆弧轨道半径的取值范围。
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10．（2024 上·四川成都·高三成都七中校考期末）如图所示，半径
的四分之一圆弧形光滑轨道竖
直放置，圆弧最低点B 与长为
的水平面BC 相切于B 点，BC 离地面高
，C 点与一倾角为
的光滑斜面连接，质量
的小滑块从圆弧上某点由静止释放，到达圆弧B 点时小滑块对圆
弧的压力刚好等于其重力的2 倍，当小滑块运动到C 点时与一个质量
的小球正碰，碰后返回恰
好停在B 点，已知滑块与水平面间的动摩擦因数
。（
，
，g 取
）求：
（1）小滑块应从圆弧上离地面多高处释放；
（2）小球第一落点到C 点的距离。
11．（2024·河北邢台·高三河北巨鹿中学校考阶段练习）如图所示长方形光滑水平台面WXYZ，WX 边长为
1.0m，XY 边长为1.5m，距离地面h=0.8m。一质量m=1kg 的小球从W 静止出发，在CD 区域之间受到沿着
WZ 方向恒力F1的作用，F1=25N，CD 区域沿WZ 方向间距为d，d=0.5m。当小球到达D 点时撤去F1，并立
即对小球施加变力F2，使得小球开始做半径R=1m 的匀速圆周运动，最终小球从Y 点离开光滑水平台面开
始做平抛运动。取g=10m/s2：
（1）求F2的大小；
（2）求小球在光滑水平台面运动的总时间；
（3）求小球平抛的水平位移。
12.（2023 上·湖北·高三校联考阶段练习）如图，在竖直平面内有半径为R 的四分之一圆弧AB 和直径为R
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的一半圆弧BC 在最低点B 平滑连接组成光滑固定轨道。一小球（可视为质点）在A 点正上方某处由静止
自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动。小球运动到C 后脱离轨道在D 点与圆弧AB 相撞，装在C 处的压力传
感器测得小球运动到C 处时对圆轨道的压力恰为小球重力的一半。重力加速度大小为g，求
（1）小球开始下落处离A 点的距离h；
（2）小球从C 点运动到D 点的时间t。
13．（2024·全国·校联考模拟预测）如图所示，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一光滑水平轨道通
过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段抛物线形轨道。以O 点为原点建立如图所示坐标系
xOy，轨道的抛物线方程为
，水平轨道末端的坐标为（0，0.8m）。小物块B 从倾斜轨道上的某一
位置由静止释放，沿着轨道下滑后与静止在水平轨道末端的小物块A 发生碰撞，碰后两物块粘在一起水平
抛出。已知小物块A、B 的质量均为
，物块B 的释放点距离轨道末端的竖直高度为
，取重
力加速度
。
（1）求两物块碰撞过程中损失的机械能
；
（2）调节小物块B 的释放点距离水平轨道的高度，使小物块B 与小物块A 碰撞后落到抛物线形轨道上时
的动能最小，求小物块A 动能最小值。
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1.（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作
要领。
短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前
用时
。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加
速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为
的匀速圆周运动，速度大小为
。已知武大靖的
质量为
，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，
如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角
的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小
取
，
、
、
、
）
2．（2023·全国·统考高考真题）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，
俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能
大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h 处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？
（不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g）
3．（2023·全国·统考高考真题）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m 的
小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为
。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与
弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；
垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的
。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度
大小为g，忽略空气阻力。求
（1）小球离开桌面时的速度大小；
（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
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4．（2022·重庆·高考真题）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在
竖直平面内运动。
虫可以从水平x 轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为
（g 为重力
加速度），方向均与x 轴负方向成
斜向上（x 轴向右为正）。蛙位于y 轴上M 点处，
，能以不
同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取
。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在
的高度捉住虫时，蛙与虫的水
平位移大小之比为
，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求
虫在x 轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为
；
蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为
。求满足上述条件的虫
飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。
5．（2022·湖北·统考高考真题）如图所示，水族馆训练员在训练海豚时，将一发光小球高举在水面上方的
A 位置，海豚的眼睛在B 位置，A 位置和B 位置的水平距离为d，A 位置离水面的高度为
d。训练员将小
球向左水平抛出，入水点在B 位置的正上方，入水前瞬间速度方向与水面夹角为θ。小球在A 位置发出的
一束光线经水面折射后到达B 位置，折射光线与水平方向的夹角也为θ。
已知水的折射率
，求:
（1）tanθ 的值；
（2）B 位置到水面的距离H。
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6．（2022·全国·统考高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪
每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图
中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度
和
之比为3：7。重力加速度大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
7．（2023·福建·统考高考真题）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴
上的O 点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O 点，另一端与套在杆上的圆
环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。
已知细杆长度
，杆与竖直转轴的夹角a 始终为
，弹簧原长
，弹簧劲度系数
，圆环质量
；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取
，摩擦力可忽略不计
（1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O 点的距离；
（2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
（3）求圆环处于细杆末端P 时，细杆匀速转动的角速度大小。
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8.（2022·辽宁·高考真题）2022 年北京冬奥会短道速滑混合团体2000 米接力决赛中，我国短道速滑队夺得
中国队在本届冬奥会的首金。
（1）如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动，若运动员加速到速度
时，滑过的距离
，求加速度的大小；
（2）如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨道为半圆的匀速圆周运动，如图所示，若甲、乙两名运动员
同时进入弯道，滑行半径分别为
，滑行速率分别为
，求甲、乙
过弯道时的向心加速度大小之比，并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
9．（2018·浙江·高考真题）如图所示，一轨道由半径为2m 的四分之一竖直圆弧轨道AB 和长度可以调节的
水平直轨道BC 在B 点平滑连接而成．现有一质量为0.2kg 的小球从A 点无初速度释放，经过圆弧上的B 点
时，传感器测得轨道所受压力大小为3.6N，小球经过BC 段所受阻力为其重力的0.2 倍，然后从C 点水平
飞离轨道，落到水平面上的P 点，P、C 两点间的高度差为3.2m．小球运动过程中可以视为质点，且不计
空气阻力．
（1）求小球运动至B 点的速度大小以及小球在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功；
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（2）为使小球落点P 与B 点的水平距离最大，求BC 段的长度；
（3）小球落到P 点后弹起，与地面多次碰撞后静止．假设小球每次碰撞机械能损失75%，碰撞前后速度
方向与地面的夹角相等．求小球从C 点飞出后静止所需的时间．
10．（2018·全国·高考真题）如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A
点相切。BC 为圆弧轨道的直径。O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，
，一质量为m 的小球沿水
平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力
外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的
压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小；
（2）小球到达A 点时动量的大小；
（3）小球从C 点落至水平轨道所用的时间。
11．（2015·海南·高考真题）如图，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab 和抛物线bc 组成，圆
弧半径Oa 水平，b 点为抛物线顶点。已知h=2m，
。取重力加速度大小
。
（1）一小环套在轨道上从a 点由静止滑下，当其在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧
轨道的半径；
（2）若环从b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c 点时速度的水平分量的大小。
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12．（2016·全国·高考真题）如图，在竖直平面内有由
圆弧AB 和
圆弧BC 组成的光滑固定轨道，两者
在最低点B 平滑连接。AB 弧的半径为R，BC 弧的半径为
。一小球在A 点正上方与A 相距
处由静止开
始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A 两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点。
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