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4.曲线运动-高中物理二级结论 “点对点”专练
一、小船过河问题
小船过河
(1)当船速大于水速时
①船头的方向垂直于水流的方向则小船过河所用时间最短，t＝.
②合速度垂直于河岸时，航程s 最短，s＝d.
(2)当船速小于水速时
①船头的方向垂直于水流的方向时，所用时间最短，t＝.
②合速度不可能垂直于河岸，最短航程s＝d×.
例题1. 如图所示，河的宽度为
，船渡河时船头始终垂直河岸。船在静水中的速度大小为
，河水流速的大小为
，则下列说法正确的是（ ）
A．小船的渡河时间大于
B．小船渡河的位移大小等于
C．小船沿河道方向的位移大小等于
D．若水流速度方向不变，但大小不稳定，则小船渡河时间将发生变化
练1. 在静水中速度为
的小船，为垂直渡过宽度为d 的河流，船头与河岸成θ 角斜向上游，
如图甲所示。航行中发现河水流速
与河岸间距离x 的关系如图乙所示，为使小船仍能到
达正对岸，下列措施中可行的是（ ）
1
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A．保持船头方向不变，
先增大后变小
B．保持船头方向不变，
先变小后增大
C．保持船速
大小不变，θ 先增大后减小
D．保持船速
大小不变，θ 一直减小
二、斜牵引问题
绳端物体速度分解: 分解不沿绳那个速度为沿绳和垂直于绳
例题2. 如图所示，一质量为2m 的小球（视为质点）套在光滑水平杆上，通过不可伸长的
轻绳跨过光滑定滑轮连接质量为m 的物块，设轻绳与杆的夹角为
，现从图示位置将小球
静止释放，当小球到达图中竖直虚线位置时速率为v，物块尚未落地。重力加速度大小为
g，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，物块的速率也为v
B．当
时，物块处于失重状态
C．小球到达虚线位置之前，小球向右先加速后减速
2
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D．小球到达虚线位置之前，轻绳的拉力先小于mg 后大于mg
练2. 如图所示，倾角θ=60°的固定木板上端有一轻小定滑轮B，绕过滑轮的轻绳一端与大
球相连，另一端与物块相连。现让大球从球心O 与B 等高处释放，大球沿木板下滑过程中
B 左侧轻绳的延长线始终经过大球球心O，当B 左侧轻绳与水平方向夹角α=30°时，大球、
物块的速度大小分别为v1、v2，则（ ）
A．v1=
v2
B．v1=
v2
C．v2=
v1
D．v2=
v1
三、水平面内的圆周运动
1．水平面内的圆周运动，F＝mgtan θ，方向水平，指向圆心．
例题3. 如图所示，光滑杆固定在
点，套在杆上的轻弹簧一端也固定在
点，杆上可视
为质点的小球A 固定在轻弹簧的另一端。现使整个装置环绕竖直轴
匀速转动，当角速
度为
时轻弹簧处于原长状态。则下列说法正确的是（ ）
3
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A．
与小球的质量大小有关
B．仅增加小球的质量，小球沿杆向上移动
C．角速度由
逐渐增大，小球沿杆向上移动
D．角速度大于
时，杆与小球间的作用力大小可能不变
练3. 货车司机常说的“饿死不拉卷”是因为钢卷的重量很大，如果车速过快，急刹车时，
驾驶舱后的钢卷容易发生滚动，从而与驾驶舱相撞造成交通事故。有人在高速路上拍下卡
车运载钢卷的情景如图甲所示，半径为R 的圆形钢卷没有采用其他的固定方式，只在钢卷
的前、后各用一块三角尖楔顶在钢卷下端，三角尖楔与钢卷接触点距离水平车面高度为
h，如图乙所示。若尖楔相对车面不滑动，重力加速度为g，钢卷与尖楔的摩擦力不计，在
突发情况下，为了保证钢卷不离开车面，则卡车的刹车加速度大小不能超过（ ）
A．
B．
C．
D．
四、竖直平面内圆周运动-绳球模型
4
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(1)绳，内轨，水流星最高点最小速度为，最低点最小速度为，上下两点拉压力之差
为6mg.
(2)离心轨道，小球在圆轨道过最高点vmin＝，
如图所示，小球要通过最高点，小球最小下滑高度为2.5R.
绳端系小球，从水平位置无初速度释放下摆到最低点：绳上拉力FT＝3mg，向心加
速度a＝2g，与绳长无关．
例题4. 如图所示，质量为
、半径为
、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，
轨道圆心为
是轨道上与圆心
等高的两点。一质量为
的小球沿轨道做圆周运动
且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为
，下
列说法正确的是（ ）
A．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小
B．小球经过轨道最低点时，轨道对地面的压力最大
C．小球经过
点时，轨道对地面的压力为
D．小球经过
点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向左
练4. 如图所示，长度为
的粗糙水平轨道MN 与竖直平面内固定的光滑半圆轨道PN
在N 处相切，P、N 分别为半圆轨道的最高点和最低点。一个质量为
的小滑块
（可视为质点）以
的初速度水平向左滑过M 点，进入粗糙水平轨道，然后从N
5
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点进入半圆轨道。已知小滑块恰好能够通过半圆轨道的最高点P，并且从P 点飞出后恰好
落在水平轨道上的M 点，不计空气阻力，重力加速度取
。则（ ）
A．小滑块从P 点飞出半圆轨道时的速度大小为
B．半圆轨道的半径为
C．小滑块经过半圆轨道的N 点时，对轨道的压力大小为12N
D．小滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为0.25
五、竖直平面内圆周运动-杆球模型
小球在“杆”模型最高点vmin＝0，v 临＝，v＞v 临，杆对小球有向下的拉力．
v＝v 临，杆对小球的作用力为零．
v＜v 临，杆对小球有向上的支持力．
例题6. 如图，一半径为R=0.2m 的圆环固定在竖直平面内，其上穿有一个可视为质点的质
量m=0.2kg 的小球，小球静止在最高点处，由于受到某种微扰使小球开始向一侧滑动，当
小球运动至A 点瞬间，圆环与小球之间无作用力，A 点与圆环圆心的连线与竖直方向夹角
为θ=60°，g 取10m/s2，则小球从开始运动到到达A 点的过程中，克服阻力做功为（ ）
A．0.05J
B．0.1J
C．0.15J
D．0.2J
练6. 如图所示，有一半径为R，内壁光滑的细圆管固定在竖直面内，管内有一小球，小球
6
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直径略小于管径，现给小球一初速度让它在管内做完整的圆周运动，重力加速度为g。当
小球运动到最高点时，速度大小为v，受到圆管的弹力大小为F，则（ ）
A．v 一定大于
B．F 一定小于小球的重力
C．F 的方向一定竖直向下
D．F 的瞬时功率一定为零
六、平抛运动的两个推论
1.速度偏向角
的正切值等于位移偏向角
正切值的2 倍。
2.速度的反向延长线过水平位移的中点。
例题5. 如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O 点等高的A 处平抛一小
球．若小球初速度为
，
为小球击中凹槽位置与圆心O 连线与竖直方向的夹角，
则（ ）．
A．
B．
C．
D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽
练5. 某同学玩飞镖时，先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的A、B 两点，将飞镖沿水
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平方向抛出后，飞镖均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图中曲线1、2 所示，飞镖扎在靶上
瞬间的速度与水平方向的夹角分别为
。已知AB、BO 的竖直高度相同，飞镖可视为
质点，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（ ）
A．先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为
B．先后两次飞镖在空中的运动时间之比为2：1
C．
D．
七、斜面上的平抛问题
从斜面抛出又落回斜面，末速度方向平行，可以找出相似三角形用比例关系求解:物体离斜
面最远时其速度方向与斜面平行。
例题7. 如图所示，从斜面上A 点斜向上抛出一个可视为质点小球，水平击中斜面上B 点，
现将另一相同小球从AB 中点C 点抛出，仍水平击中B 点。不计空气阻力，下列说法正确
的是（ ）
A．两个小球的初速度大小之比为2∶1
B．从C 点抛出的小球初速度方向与水平方向夹角更大
C．两个小球离斜面的最大距离之比为2∶1
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D．调整两个小球抛出的时间，可以使两个小球在空中相遇
练7. 如图所示，从倾角为θ 的足够长的斜面上P 点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面
上某处Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速度变为2v0，
则下列说法正确的是（ ）
A．夹角α 将变大
B．夹角α 将变小
C．小球在空中的运动时间变为原来的2 倍
D．小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2 倍
八、斜抛运动问题
斜抛到达最高点可以“逆向思维”看作平抛运动。)斜抛运动可以看成是水平方向匀速直线
运动和竖直方向匀变速运动的合成。粒子在电场中做类平抛运动时的分析方法与此类似。
例题8. 如图甲所示为某排球运动员发球时将排球击出时的情形，球从击出到直接落到对方
场地的整个运动过程速率随时间变化的规律如图乙所示，图中所标物理量均已知，重力加
速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．排球从击出运动到最高点的时间为
B．排球运动过程中离地的最大高度为
C．排球从击出点到落地点的位移为
D．排球从击出到落地过程中的速度变化量大小为
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练8. 如图所示为某同学投篮的示意图。出手瞬间篮球中心与篮筐中心的高度差为h（篮球
中心低于篮筐中心），水平距离为2h，篮球出手时速度与水平方向夹角为37°，不计空气
阻力，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8；篮球中心恰好直接经过篮筐中心，则篮球
出手时速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．如图所示，甲、乙两船同时从河岸的A 点开始渡河，两船头与河岸夹角分别为
和
角（
），最终两船到达河对岸的同一点，则（ ）
A．甲船航行的位移小于乙船
B．甲船的合速度小于乙船的合速度
C．甲、乙两船同时到达河对岸
D．甲船在静水中的航行速度一定小于乙船
2．调整跑步机使跑带水平，将一标尺垂直两侧踏板放置，处于静止状态。跑步机模式选择
“慢跑”，跑带以
运行。将一玩具小车的速率调至
，然后将玩具小车的车头与
水平线成
角放到跑带的一侧，如图所示。若玩具小车始终能平行于标尺前进，则下列判
断正确的是（ ）
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．第十一届全国杂技展演于2023 年3 月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上
套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O 点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一
杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小
车P 开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的
是（ ）
A．当
时，杂技演员Q 速度为零，处于平衡状态
B．当
时，P、Q 的速度大小之比是2∶1
C．在θ 向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力
D．在θ 向90°增大的过程中，演员Q 一直处于失重状态
4．如图所示，水平地面上做匀加速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体。若
某一时刻汽车的速度大小为
，汽车与定滑轮之间的绳子与水平方向的夹角为
，则（
）
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A．物体做匀速运动
B．物体做减速运动
C．物体此时的速度大小
D．物体此时的速度大小
5．2022 年3 月19 日在世界乒乓球职业大联盟大满贯女双决赛中，中国组合王曼昱/孙颖莎
战胜日本组合夺得冠军。如图所示，运动员在某次发球时，将乒乓球由球台边缘正上方的
A 位置以垂直于网的水平速度发出，乒乓球在B 点与球台碰撞，刚好以水平方向的速度经
过网的最高点C；假设乒乓球与球台碰后，竖直分速度变为碰前的
，水平分速度不变；
已知球网高为h，球台边缘到球网的距离为x，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说
法正确的是（ ）
A．A 点到球台的高度为
B．B 点到网的水平距离为
C．乒乓球的初速度大小为
D．乒乓球从发出到第一次落到对方球台的时间为
6．如图所示竖直截面为半圆形的容器，O 为圆心，且AB 为沿水平方向的直径。一物体在
A 点以向右的水平初速度vA抛出，与此同时另一物体在B 点以向左的水平初速度vB抛出，
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两物体都落到容器的同一点P。已知
，不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．B 比A 先到达P 点
B．两物体一定同时到达P 点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为
D．抛出时，两物体的速度大小之比为
7．在校运动会中，某同学投铅球投出了
的成绩。铅球的运动可简化为如图模型：
铅球抛出时离地的高度
，铅球抛出时的速度
和水平方向的夹角为
，
，
已知铅球的质量为
，不计空气阻力，
，则（ ）
A．铅球运动到最高点时速度为零
B．铅球从抛出到落地过程机械能不守恒
C．从抛出到落地过程中铅球速度的变化量为
D．铅球落地时重力的功率为
8．如图所示，A、B 两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮管，落入篮筐时的速度方向
相同，下列判断正确的是（ ）
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A．A 可能比B 先落入篮管
B．A、B 运动的最大高度可能相同
C．A 在最高点的速度一定比B 在最高点的速度大
D．A、B 上升过程中不可能出现高度相同时且速度方向相同的情况
9．如图所示，内壁光滑的半球形碗中，一小球从球心O 等高的A 点处静止释放，经过最
低点B 可继续上滑。若忽略空气阻力，半球形碗相对桌面始终静止，则下列说法正确的是
（ ）
A．经过最低点B 时，小球处于平衡状态
B．小球从A 点释放后瞬间，小球的加速度为零
C．小球上滑的过程中，碗对小球的支持力逐渐减小
D．小球下滑的过程中，小球所受合力的方向都指向圆心
10．如图甲所示，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针方向的匀
速圆周运动，可简化为图乙所示的模型。可视为质点的衣物经过的最高位置和最低位置分
别为A、B，已知此时滚筒转动的周期为T，滚筒半径为R，衣物的质量为m，重力加速度
大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．衣物的线速度大小为
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B．衣物的向心加速度大小为
C．衣物在位置A 受到的合力大小为
D．衣物在位置B 时处于失重状态
二、多选题
11．某物理实验兴趣小组探究竖直面内小球做圆周运动对轨道压力的变化规律。如图所示，
在竖直面内固定一个圆周轨道，轨道半径R=0.3m，分别在距离最低点A 高度为0、0.1m、
0.2m、0.3m、0.4m、0.5m、0.6m 处安置压力传感器，一质量为m 的小球从A 点以速度v0
开始沿内轨道向右运动，已知小球在最低点A 点和最高点B 点压力传感器示数差为6N，在
C 点（与O 点等高的位置）压力传感器示数为10N。小球可视为质点，小球与圆轨道的摩
擦力可忽略不计，g 取10m/s2。由此可判定（ ）
A．m=0.2kg
B．v0=6m/s
C．小球在0.2m 处时压力传感器示数为12N
D．小球在各位置压力传感器示数F 与高度h 的关系
12．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一
切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其
图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
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A．轻质绳长为
B．当
时，轻质绳的拉力大小为
C．小球在最低点受到的最小拉力为5a
D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过
的过程中杆始终对小球产生支持力
13．有一种叫“飞椅”的游乐项目。如图所示，长为
的钢绳一端系着座椅，另一端固定
在半径为的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度
匀速
转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为
，不计钢绳的重力。以下
说法正确的是（ ）
A．钢绳的拉力大小为
B．钢绳的拉力大小为
C．如果角速度足够大，可以使钢绳成水平拉直
D．两个体重不同的人，摆开的夹角
一样大
14．如图所示，质量忽略不计、长度分别为l1和l2的不可伸长的轻绳，分别系质量为5m 和
m 的小球，它们以相同的转速中心轴线做匀速圆周运动，稳定时绳子与竖直方向夹角的正
切值分别为
及
，圆周运动半径分别为r1和r2，两绳子中的张力分别为T1和T2，则（
）
16
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A．
B．
C．
D．
15．2022 年7 月13 日至17 日，郑州大学代表中国在第十一届世界运动会荷球项目中表现
出色，如图甲的荷球运动是唯一一项男女同场竞技的运动，已被许多学校作为“阳光体
育”的运动项目。图乙中A、B、C 是某运动员一次荷球投篮命中得分轨迹中的三个点，A
为荷球抛出点，B 为荷球运动最高点，C 为篮框落入点，AB 的连线垂直于BC 的连线，AB
的连线与水平方向的夹角
，荷球可视为质点，不计空气阻力，则（ ）
A．荷球从A 到B 和从B 到C 的运动过程中速度的变化率相同
B．荷球在B 点时速度为零
C．荷球从A 到B 和从B 到C 的运动时间之比为3∶1
D．荷球从A 到B 和从B 到C 的水平方向的位移之比为
16．如图所示，在竖直面内固定一半圆形容器，圆心为
，半径为
。在圆心
处分别水
平向左和向右抛出一个可视为质点的小球，两小球落在圆弧时速度方向相互垂直。已知重
力加速度为
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．两小球的初速度大小可能都为
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B．两小球的初速度大小可能都为
C．从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间可能不相等
D．从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间一定相等
18
