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4.曲线运动-高中物理二级结论 “点对点”专练
一、小船过河问题
小船过河
(1)当船速大于水速时
①船头的方向垂直于水流的方向则小船过河所用时间最短，t＝.
②合速度垂直于河岸时，航程s 最短，s＝d.
(2)当船速小于水速时
①船头的方向垂直于水流的方向时，所用时间最短，t＝.
②合速度不可能垂直于河岸，最短航程s＝d×.
例题1. 如图所示，河的宽度为
，船渡河时船头始终垂直河岸。船在静水中的速度大小为
，河水流速的大小为
，则下列说法正确的是（ ）
A．小船的渡河时间大于
B．小船渡河的位移大小等于
C．小船沿河道方向的位移大小等于
D．若水流速度方向不变，但大小不稳定，则小船渡河时间将发生变化
【答案】B
【解析】ABC．渡河时间为
则沿河岸方向的位移为
则船渡河通过的位移为
1
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故AC 错误，B 正确。
D．小船渡河时间与水流速度无关，若水流速度方向不变，但大小不稳定，小船渡河时间
不会发生变化，故D 错误；
故选B。
练1. 在静水中速度为
的小船，为垂直渡过宽度为d 的河流，船头与河岸成θ 角斜向上游，
如图甲所示。航行中发现河水流速
与河岸间距离x 的关系如图乙所示，为使小船仍能到
达正对岸，下列措施中可行的是（ ）
A．保持船头方向不变，
先增大后变小
B．保持船头方向不变，
先变小后增大
C．保持船速
大小不变，θ 先增大后减小
D．保持船速
大小不变，θ 一直减小
【答案】A
【解析】AB．航行中发现河水流速先增大后减小，为使小船仍能到达正对岸，即合速度方
向指向正对岸，根据平行四边形定则，如图
2
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可以保持船头方向不变，
先增大后变小，故A 正确，B 错误；
CD．为使小船仍能到达正对岸，即船在水平方向的分速度和水的速度大小相同，即船与河
岸的夹角可以先变小后变大，故CD 错误。
故选A。
二、斜牵引问题
绳端物体速度分解: 分解不沿绳那个速度为沿绳和垂直于绳
例题2. 如图所示，一质量为2m 的小球（视为质点）套在光滑水平杆上，通过不可伸长的
轻绳跨过光滑定滑轮连接质量为m 的物块，设轻绳与杆的夹角为
，现从图示位置将小球
静止释放，当小球到达图中竖直虚线位置时速率为v，物块尚未落地。重力加速度大小为
g，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，物块的速率也为v
B．当
时，物块处于失重状态
C．小球到达虚线位置之前，小球向右先加速后减速
3
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D．小球到达虚线位置之前，轻绳的拉力先小于mg 后大于mg
【答案】D
【解析】ABD．设物块和小球的速度大小分别为
和
，将物块的速度沿绳方向与垂直于
绳方向分解，则有
故当
时，物块的速率为零，可知小球到达虚线位置之前，物块向下先做加速运动后
做减速运动，轻绳的拉力先小于mg 后大于mg，当
时，物块处于超重状态，故AB
错误，D 正确；
C．小球到达虚线位置之前，，只有轻绳对小球做功且一直做正功，根据动能定理可知，小
球的速度一直增大，小球一直向右做加速运动，故C 错误。
故选D。
练2. 如图所示，倾角θ=60°的固定木板上端有一轻小定滑轮B，绕过滑轮的轻绳一端与大
球相连，另一端与物块相连。现让大球从球心O 与B 等高处释放，大球沿木板下滑过程中
B 左侧轻绳的延长线始终经过大球球心O，当B 左侧轻绳与水平方向夹角α=30°时，大球、
物块的速度大小分别为v1、v2，则（ ）
A．v1=
v2
B．v1=
v2
C．v2=
v1
D．v2=
v1
【答案】D
【解析】将大球的速度沿轻绳方向和与轻绳垂直方向进行分解，如图：
由几何关系得
4
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β=θ–α=30°
则物块的速度大小
v2=v1cosβ=
v1
故选D。
三、水平面内的圆周运动
1．水平面内的圆周运动，F＝mgtan θ，方向水平，指向圆心．
例题3. 如图所示，光滑杆固定在
点，套在杆上的轻弹簧一端也固定在
点，杆上可视
为质点的小球A 固定在轻弹簧的另一端。现使整个装置环绕竖直轴
匀速转动，当角速
度为
时轻弹簧处于原长状态。则下列说法正确的是（ ）
A．
与小球的质量大小有关
B．仅增加小球的质量，小球沿杆向上移动
C．角速度由
逐渐增大，小球沿杆向上移动
D．角速度大于
时，杆与小球间的作用力大小可能不变
5
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【答案】C
【解析】A．当角速度为
时，对小球受力分析如图所示
假设杆与竖直方向的夹角为
，弹簧的原长为
，则
解得
故A 错误；
B．仅增加小球的质量，角速度不变，则弹簧仍处于原长，故B 错误；
CD．角速度由
逐渐增大过程中，假设弹簧仍处于原长状态，由
可知小球所需
的向心力增大，杆对小球的支持力增大，竖直方向不再平衡，因此小球一定沿杆向上运动，
弹簧伸长产生一沿杆向下的弹力，稳定后小球竖直方向受力再次平衡，故C 正确，D 错误。
故选C。
练3. 货车司机常说的“饿死不拉卷”是因为钢卷的重量很大，如果车速过快，急刹车时，
驾驶舱后的钢卷容易发生滚动，从而与驾驶舱相撞造成交通事故。有人在高速路上拍下卡
车运载钢卷的情景如图甲所示，半径为R 的圆形钢卷没有采用其他的固定方式，只在钢卷
的前、后各用一块三角尖楔顶在钢卷下端，三角尖楔与钢卷接触点距离水平车面高度为
h，如图乙所示。若尖楔相对车面不滑动，重力加速度为g，钢卷与尖楔的摩擦力不计，在
突发情况下，为了保证钢卷不离开车面，则卡车的刹车加速度大小不能超过（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设钢卷的质量为m，三角尖楔对钢卷弹力N 的方向与竖直方向的夹角为
，钢卷
不向前滚出的临界条件是后面一块尖楔对钢卷的弹力恰好为零且车面对钢卷的支持力也为
零，对钢卷受力分析如图所示
即
又由几何关系可知
解得
7
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所以卡车的刹车加速度大小不能超过
。
故选A。
四、竖直平面内圆周运动-绳球模型
(1)绳，内轨，水流星最高点最小速度为，最低点最小速度为，上下两点拉压力之差
为6mg.
(2)离心轨道，小球在圆轨道过最高点vmin＝，
如图所示，小球要通过最高点，小球最小下滑高度为2.5R.
绳端系小球，从水平位置无初速度释放下摆到最低点：绳上拉力FT＝3mg，向心加
速度a＝2g，与绳长无关．
例题4. 如图所示，质量为
、半径为
、内壁光滑的圆形轨道竖直放置在水平地面上，
轨道圆心为
是轨道上与圆心
等高的两点。一质量为
的小球沿轨道做圆周运动
且刚好能通过轨道最高点，运动过程中轨道始终保持静止状态。已知重力加速度为
，下
列说法正确的是（ ）
A．小球经过轨道最高点时，轨道对地面的压力最小
B．小球经过轨道最低点时，轨道对地面的压力最大
C．小球经过
点时，轨道对地面的压力为
D．小球经过
点时，轨道对地面的摩擦力沿水平面向左
【答案】B
8
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【解析】A．小球经过轨道最高点时，重力提供向心力，小球处于完全失重状态，轨道对
地面的压力等于轨道的重力，小球在下半轨道运动时，小球对轨道的压力有向下的分力，
则轨道对地面的压力大于轨道的重力，小球在上半轨道运动（除最高点外）时，小球对轨
道的压力有向上的分力，则轨道对地面的压力小于轨道的重力，故小球经过轨道最高点时，
轨道对地面的压力不是最小，故A 错误；
B．由A 分析可知，轨道对地面的压力最大位置在下半轨道，设小球、轨道圆心连线与竖直
方向的夹角为
，根据牛顿第二定律
小球经过轨道最低点时，速度最大，
，则在轨道最低点，小球受到轨道的支持力最大，
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力最大，轨道对地面的压力最大，故B 正确；
C．小球经过
点时，轨道的支持力提供向心力，小球处于完全失重状态，轨道对地面的压
力等于轨道的重力，为
故C 错误；
D．小球经过
点时，轨道向左的支持力提供向心力，根据牛顿第三定律，小球对轨道的
压力向右，轨道静止，根据平衡条件可知地面对轨道的摩擦力沿水平面向左，根据牛顿第
三定律，轨道对地面的摩擦力沿水平面向右，故D 错误。
故选B。
练4. 如图所示，长度为
的粗糙水平轨道MN 与竖直平面内固定的光滑半圆轨道PN
在N 处相切，P、N 分别为半圆轨道的最高点和最低点。一个质量为
的小滑块
（可视为质点）以
的初速度水平向左滑过M 点，进入粗糙水平轨道，然后从N
点进入半圆轨道。已知小滑块恰好能够通过半圆轨道的最高点P，并且从P 点飞出后恰好
落在水平轨道上的M 点，不计空气阻力，重力加速度取
。则（ ）
9
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A．小滑块从P 点飞出半圆轨道时的速度大小为
B．半圆轨道的半径为
C．小滑块经过半圆轨道的N 点时，对轨道的压力大小为12N
D．小滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为0.25
【答案】C
【解析】AB．已知小滑块恰好能过最高点P，则有
小滑块由P 点运动到M 点的过程做平抛运动，有
，
联立解得
，
故AB 错误；
C．小滑块由N 点运动到P 点的过程机械能守恒，有
小滑块过N 点，利用牛顿第二定律有
联立解得
，
由牛顿第三定律有
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故C 正确；
D．对小滑块由M 点运动到N 点的过程，利用动能定理，有
解得
故D 错误。
故选C。
五、竖直平面内圆周运动-杆球模型
小球在“杆”模型最高点vmin＝0，v 临＝，v＞v 临，杆对小球有向下的拉力．
v＝v 临，杆对小球的作用力为零．
v＜v 临，杆对小球有向上的支持力．
例题6. 如图，一半径为R=0.2m 的圆环固定在竖直平面内，其上穿有一个可视为质点的质
量m=0.2kg 的小球，小球静止在最高点处，由于受到某种微扰使小球开始向一侧滑动，当
小球运动至A 点瞬间，圆环与小球之间无作用力，A 点与圆环圆心的连线与竖直方向夹角
为θ=60°，g 取10m/s2，则小球从开始运动到到达A 点的过程中，克服阻力做功为（ ）
A．0.05J
B．0.1J
C．0.15J
D．0.2J
【答案】B
【解析】在A 点，只受重力，重力沿半径方向的分力提供此时做圆周运动的向心力
从最高点到A 点，由动能定理有
代入数据解得
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故选B。
练6. 如图所示，有一半径为R，内壁光滑的细圆管固定在竖直面内，管内有一小球，小球
直径略小于管径，现给小球一初速度让它在管内做完整的圆周运动，重力加速度为g。当
小球运动到最高点时，速度大小为v，受到圆管的弹力大小为F，则（ ）
A．v 一定大于
B．F 一定小于小球的重力
C．F 的方向一定竖直向下
D．F 的瞬时功率一定为零
【答案】D
【解析】A．小球在最高点时，圆管内侧可以提供向上的支持力，当
时，小球在最
高点时的速度v 为零，故A 错误；
B．当速度很大，管外侧对小球有向下压力，由牛顿第二定律
若
时
即F 可以大于小球的重力，B 错误；
C．由于速度大小不确定，则弹力大小可能为0，方向可能向上，也可能向下，C 错误；
D．在最高点时，由于F 的方向与v 的方向垂直，则F 的瞬时功率为零，故D 正确。
故选D。
六、平抛运动的两个推论
12
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1.速度偏向角
的正切值等于位移偏向角
正切值的2 倍。
2.速度的反向延长线过水平位移的中点。
例题5. 如图所示的半圆形凹槽，半径为R．从左侧圆周上与圆心O 点等高的A 处平抛一小
球．若小球初速度为
，
为小球击中凹槽位置与圆心O 连线与竖直方向的夹角，
则（ ）．
A．
B．
C．
D．若小球的初速度可以任意选择，则小球有可能垂直击中凹槽
【答案】A
【解析】ABC．几何关系有
平抛运动
代入解得
故A 正确，BC 错误；
D．速度反向延长线必然均分水平位移，所以小球不可能垂直击中凹槽，故D 错误。
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故选A。
练5. 某同学玩飞镖时，先后两次飞镖的抛出点在同一竖直线上的A、B 两点，将飞镖沿水
平方向抛出后，飞镖均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图中曲线1、2 所示，飞镖扎在靶上
瞬间的速度与水平方向的夹角分别为
。已知AB、BO 的竖直高度相同，飞镖可视为质
点，空气阻力忽略不计。则下列说法正确的是（ ）
A．先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为
B．先后两次飞镖在空中的运动时间之比为2：1
C．
D．
【答案】A
【解析】AB．由题意，假设2 下落的高度为h，则1 下落的高度为2h，竖直方向做自由落
体运动，则由公式
得
即
、
所以1、2 在空中运动的时间之比为
：1；
水平方向有
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则先后两次飞镖抛出时的初速度大小之比为
，故A 正确，B 错误；
CD．两飞镖落在O 点的竖直速度分别为
又有
由以上整理得
则
故CD 错误。
故选A。
七、斜面上的平抛问题
从斜面抛出又落回斜面，末速度方向平行，可以找出相似三角形用比例关系求解:物体离斜
面最远时其速度方向与斜面平行。
例题7. 如图所示，从斜面上A 点斜向上抛出一个可视为质点小球，水平击中斜面上B 点，
现将另一相同小球从AB 中点C 点抛出，仍水平击中B 点。不计空气阻力，下列说法正确
的是（ ）
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A．两个小球的初速度大小之比为2∶1
B．从C 点抛出的小球初速度方向与水平方向夹角更大
C．两个小球离斜面的最大距离之比为2∶1
D．调整两个小球抛出的时间，可以使两个小球在空中相遇
【答案】C
【解析】AB．反向看是平抛运动，设斜面倾角为
，根据
解得
则两次小球时间之比为
，由
可知，两次竖直速度之比
，根据
可知水平速度之比为
，所以两次击中
点速度之比为
，根据
两次抛出时速度的大小之比为
，且到达
点时速度方向相同，根据平抛运动推论可知，
位移偏转角正切值是速度偏转角正切值的一半，则
可知两次抛出时速度方向相同，故AB 错误；
C．沿斜面建系，设初速度方向与斜面的夹角为
，则小球离斜面的最大距离为
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可知，两小球离斜面的最大距离为
，故C 正确；
D．两小球的轨迹相切于
点，故不可能在空中相遇，故D 错误。
故选C。
练7. 如图所示，从倾角为θ 的足够长的斜面上P 点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面
上某处Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速度变为2v0，
则下列说法正确的是（ ）
A．夹角α 将变大
B．夹角α 将变小
C．小球在空中的运动时间变为原来的2 倍
D．小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2 倍
【答案】C
【解析】AB．小球从P 点抛出后做平抛运动，则
所以
即
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斜面足够长，所以落在斜面上小球的位移与水平方向夹角为
不变，夹角α 也不变，故AB
错误；
C．根据
得
所以水平抛出的初速度变为2v0时小球在空中的运动时间变为原来的2 倍，故C 正确；
D．由
可知小球在空中运动的水平距离一定变为原来的4 倍，故D 错误。
故选C。
八、斜抛运动问题
斜抛到达最高点可以“逆向思维”看作平抛运动。)斜抛运动可以看成是水平方向匀速直线
运动和竖直方向匀变速运动的合成。粒子在电场中做类平抛运动时的分析方法与此类似。
例题8. 如图甲所示为某排球运动员发球时将排球击出时的情形，球从击出到直接落到对方
场地的整个运动过程速率随时间变化的规律如图乙所示，图中所标物理量均已知，重力加
速度大小为g，不计空气阻力，则下列判断正确的是（ ）
A．排球从击出运动到最高点的时间为
B．排球运动过程中离地的最大高度为
C．排球从击出点到落地点的位移为
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D．排球从击出到落地过程中的速度变化量大小为
【答案】B
【解析】A．设球运动到最高点对应时刻为
，水平方向速度为
，由速度的分解可知
在竖直方向
解得
故A 错误；
B．排球从最高点到落地，根据机械能守恒有
解得最大高度
故B 正确；
C．排球从击出点到落地点的水平位移为
故C 错误；
D．排球从击出到落地过程中的速度变化量大小为
故D 错误。
故选B。
练8. 如图所示为某同学投篮的示意图。出手瞬间篮球中心与篮筐中心的高度差为h（篮球
中心低于篮筐中心），水平距离为2h，篮球出手时速度与水平方向夹角为37°，不计空气
阻力，重力加速度为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8；篮球中心恰好直接经过篮筐中心，则篮球
19
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出手时速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设向上为正方向，初速度大小为
，由于篮球做斜抛运动，速度与水平方向夹角
为37°，由篮球水平方向做匀速直线运动得
篮球竖直方向做匀减速直线运动得
联立解得篮球出手时速度的大小为
故选B。
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．如图所示，甲、乙两船同时从河岸的A 点开始渡河，两船头与河岸夹角分别为
和
角（
），最终两船到达河对岸的同一点，则（ ）
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A．甲船航行的位移小于乙船
B．甲船的合速度小于乙船的合速度
C．甲、乙两船同时到达河对岸
D．甲船在静水中的航行速度一定小于乙船
【答案】B
【解析】ABC．甲乙两船均做匀速直线运动，合速度也均为匀速直线运动，因初末位置相
同，可知位移大小及方向均相同，由图可知，乙船的合速度大于甲船，则乙船先到达河对
岸，故AC 错误，B 正确；
D．D．由题中条件不能判断甲乙两船的静水速度关系，故D 错误。
故选B。
2．调整跑步机使跑带水平，将一标尺垂直两侧踏板放置，处于静止状态。跑步机模式选择
“慢跑”，跑带以
运行。将一玩具小车的速率调至
，然后将玩具小车的车头与
水平线成
角放到跑带的一侧，如图所示。若玩具小车始终能平行于标尺前进，则下列判
断正确的是（ ）
A．
，
B．
，
21
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C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】如图所示，若玩具小车始终能平行于标尺前进
则
平行于标尺，由平行四边形定则知
代入选项数据，D 选项符合题意；
故选D。
3．第十一届全国杂技展演于2023 年3 月在山东省举办，如图所示，水平固定的细长杆上
套有一遥控电动小车P，跨过悬挂于O 点的轻小光滑圆环的细线一端连接P，另一端悬挂一
杂技演员Q。设初始时细线的右边部分与水平方向的夹角为θ，现在遥控作用下使电动小
车P 开始向左匀速运动，电动小车和演员均可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的
是（ ）
A．当
时，杂技演员Q 速度为零，处于平衡状态
B．当
时，P、Q 的速度大小之比是2∶1
C．在θ 向90°增大的过程中，绳子的拉力始终等于演员的重力
D．在θ 向90°增大的过程中，演员Q 一直处于失重状态
【答案】B
【解析】A．当
时，即为电动小车P 到达O 点正下方时，此时演员Q 的速度为零，
但Q 的合外力向上，处于向下减速的末端，此时
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故A 错误；
B．由题可知，P、Q 用同一根细线连接，则电动小车P 沿细线方向的速度与演员Q 的速度
相等，则当
时有
解得
故B 正确；
CD．演员Q 从开始运动到最低点的过程中，向下做减速运动，加速度向上，处于超重状态，
绳子的拉力始终大于演员的重力，故CD 错误。
故选B。
4．如图所示，水平地面上做匀加速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体。若
某一时刻汽车的速度大小为
，汽车与定滑轮之间的绳子与水平方向的夹角为
，则（
）
A．物体做匀速运动
B．物体做减速运动
C．物体此时的速度大小
D．物体此时的速度大小
【答案】C
【解析】绳子末端的速度可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个速度，而物体的速度大
小与沿着绳子方向的分速度大小相等，由几何关系有
2
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因汽车做匀加速直线运动，
均匀增大，汽车向左运动的过程中，θ 逐渐减小，cosθ 增大，
逐渐增大，即物体做加速运动。
故选C。
5．2022 年3 月19 日在世界乒乓球职业大联盟大满贯女双决赛中，中国组合王曼昱/孙颖莎
战胜日本组合夺得冠军。如图所示，运动员在某次发球时，将乒乓球由球台边缘正上方的
A 位置以垂直于网的水平速度发出，乒乓球在B 点与球台碰撞，刚好以水平方向的速度经
过网的最高点C；假设乒乓球与球台碰后，竖直分速度变为碰前的
，水平分速度不变；
已知球网高为h，球台边缘到球网的距离为x，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说
法正确的是（ ）
A．A 点到球台的高度为
B．B 点到网的水平距离为
C．乒乓球的初速度大小为
D．乒乓球从发出到第一次落到对方球台的时间为
【答案】D
【解析】A．对乒乓球由B 到C 的过程，乒乓球做平抛运动的逆运动，则由平抛运动的规
律可知，乒乓球由B 到C 的时间
碰后小球的竖直分速度大小为
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由题意可知碰前乒乓球的竖直分速度大小为
乒乓球由A 到B 的时间
A 点到球台的高度
故A 错误；
B．由
又
可知B 到C 的水平距离
故B 错误；
C．乒乓球在水平方向做匀速直线运动，则乒乓球的初速度大小为
故C 错误；
D．由斜抛运动的对称性可知乒乓球由C 落到对方球台的时间为
所以乒乓球由发出到第一次落到对方球台的时间
25
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故D 正确。
故选D。
6．如图所示竖直截面为半圆形的容器，O 为圆心，且AB 为沿水平方向的直径。一物体在
A 点以向右的水平初速度vA抛出，与此同时另一物体在B 点以向左的水平初速度vB抛出，
两物体都落到容器的同一点P。已知
，不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．B 比A 先到达P 点
B．两物体一定同时到达P 点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为
D．抛出时，两物体的速度大小之比为
【答案】B
【解析】AB．两物体同时抛出，都落到P 点，由平抛运动规律可知两物体下落了相同的竖
直高度，由
可得
故两物体同时到达P 点，故A 错误，B 正确；
CD．在水平方向，抛出的水平距离之比等于抛出速度之比，设圆的半径为R，连接BP，由
几何关系可知
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由直角三角形可得A 点和B 点平抛的物体的水平位移分别为
物体平抛的水平分运动是匀速直线运动
故
故CD 错误。
故选B。
7．在校运动会中，某同学投铅球投出了
的成绩。铅球的运动可简化为如图模型：
铅球抛出时离地的高度
，铅球抛出时的速度
和水平方向的夹角为
，
，
已知铅球的质量为
，不计空气阻力，
，则（ ）
A．铅球运动到最高点时速度为零
B．铅球从抛出到落地过程机械能不守恒
C．从抛出到落地过程中铅球速度的变化量为
D．铅球落地时重力的功率为
【答案】C
【解析】A．铅球做斜抛运动，铅球运动到最高点时仍具有水平方向速度，故速度不为零，
A 错误；
B．铅球从抛出到落地过程，只有重力做功，故机械能守恒，故B 错误；
C．设铅球运动的时间为t，水平方向有
规定竖直向上为正方向，竖直方向有
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联立可得
所以从抛出到落地过程中铅球速度的变化量为
故C 正确；
D．铅球落地时的速度大小为
其中
解得
所以铅球落地时重力的功率为
故D 错误。
故选C。
8．如图所示，A、B 两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮管，落入篮筐时的速度方向
相同，下列判断正确的是（ ）
A．A 可能比B 先落入篮管
B．A、B 运动的最大高度可能相同
C．A 在最高点的速度一定比B 在最高点的速度大
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D．A、B 上升过程中不可能出现高度相同时且速度方向相同的情况
【答案】C
【解析】AB．若研究两个过程的逆过程，可看做是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落
到同一高度上的A、B 两点，则A 球上升的高度较大，高度决定时间，可知A 球运动时间
较长，即B 球先落入篮筐中，故AB 错误；
C．两个过程的逆过程，可看做是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，因为两球抛射角相同，
有
A 球的射程较远，则A 球的水平速度较大，即在最高点的速度比B 球在最高点的速度大，
故C 项正确；
D．由斜抛运动的对称性可知，当A、B 两球上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故
D 项错误。
故选C。
9．如图所示，内壁光滑的半球形碗中，一小球从球心O 等高的A 点处静止释放，经过最
低点B 可继续上滑。若忽略空气阻力，半球形碗相对桌面始终静止，则下列说法正确的是
（ ）
A．经过最低点B 时，小球处于平衡状态
B．小球从A 点释放后瞬间，小球的加速度为零
C．小球上滑的过程中，碗对小球的支持力逐渐减小
D．小球下滑的过程中，小球所受合力的方向都指向圆心
【答案】C
【解析】A．经过最低点B 时，小球有向上的向心加速度，加速度不为零，处于不平衡状
态，故A 错误；
B．小球从A 点释放后瞬间，小球受到的合力等于重力，小球的加速度不为零，故B 错误；
C．设碗对小球的支持力与竖直方向的夹角为
，小球上滑的过程中，根据牛顿第二定律可
得
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小球上滑的过程中，
逐渐减小，小球速度逐渐减小，碗对小球的支持力逐渐减小，故C
正确；
D．小球下滑的过程中，根据机械能守恒，小球速度逐渐增大，则小球有切向加速度，小
球所受合力的方向不指向圆心，故D 错误。
故选C。
10．如图甲所示，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针方向的匀
速圆周运动，可简化为图乙所示的模型。可视为质点的衣物经过的最高位置和最低位置分
别为A、B，已知此时滚筒转动的周期为T，滚筒半径为R，衣物的质量为m，重力加速度
大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．衣物的线速度大小为
B．衣物的向心加速度大小为
C．衣物在位置A 受到的合力大小为
D．衣物在位置B 时处于失重状态
【答案】B
【解析】A．衣物的角速度大小为
，A 错误；
B．衣物的向心加速度大小为
B 正确；
C．衣物在位置A 受到的合力提供向心力，大小为
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C 错误；
D．衣物在位置B 时加速度向上，所以处于超重状态，D 错误；
故选B。
二、多选题
11．某物理实验兴趣小组探究竖直面内小球做圆周运动对轨道压力的变化规律。如图所示，
在竖直面内固定一个圆周轨道，轨道半径R=0.3m，分别在距离最低点A 高度为0、0.1m、
0.2m、0.3m、0.4m、0.5m、0.6m 处安置压力传感器，一质量为m 的小球从A 点以速度v0
开始沿内轨道向右运动，已知小球在最低点A 点和最高点B 点压力传感器示数差为6N，在
C 点（与O 点等高的位置）压力传感器示数为10N。小球可视为质点，小球与圆轨道的摩
擦力可忽略不计，g 取10m/s2。由此可判定（ ）
A．m=0.2kg
B．v0=6m/s
C．小球在0.2m 处时压力传感器示数为12N
D．小球在各位置压力传感器示数F 与高度h 的关系
【答案】BD
【解析】AB．小球从A 点到B 点，根据动能定理有
在B 点，根据牛顿第二定律有
在A 点，根据牛顿第二定律有
根据题意可知
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联立解得
m=0.1kg，v0=6m/s
故A 错误，B 正确；
C．设小球在0. 2m 处时与圆心的连线与竖直方向的夹角为
，根据几何关系有
小球从A 点到0. 2m 处，根据动能定理有
在0. 2m 处，根据牛顿第二定律有
解得
所以压力传感器示数为11N，故C 错误；
D．设在任意高度h 处小球的速度为v，由动能定理有
在右侧轨道上，设小球在h 处和圆心的连线与竖直方向的夹角为
，当h≤R 时，由牛顿运
动定律有
在最低点有
可得
当R＜h≤2R 时该式仍成立，故D 正确。
故选BD。
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12．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m 的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一
切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其
图像如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．轻质绳长为
B．当
时，轻质绳的拉力大小为
C．小球在最低点受到的最小拉力为5a
D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过
的过程中杆始终对小球产生支持力
【答案】AB
【解析】A．小球在最高点时，由牛顿第二定律
由图像可知
mg=a
解得
选项A 正确；
B．当
时，轻质绳的拉力大小为
选项B 正确；
C．小球在最高点时最小速度为
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则由
解得最低点受到的最小拉力为
T2=6a
选项C 错误；
D．若把轻绳换成轻杆，则从最高点由静止转过90°的过程中开始时杆对小球的作用力为支
持力；转到水平位置时由杆的拉力提供向心力，即此时杆对球的作用力是拉力，所以在小
球从最高点由静止转过90°的过程中，杆对小球的作用力开始时是支持力，然后是拉力。故
D 错误。
故选AB。
13．有一种叫“飞椅”的游乐项目。如图所示，长为
的钢绳一端系着座椅，另一端固定
在半径为的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度
匀速
转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为
，不计钢绳的重力。以下
说法正确的是（ ）
A．钢绳的拉力大小为
B．钢绳的拉力大小为
C．如果角速度足够大，可以使钢绳成水平拉直
D．两个体重不同的人，摆开的夹角
一样大
【答案】AD
【解析】AB．对座椅受力分析，如图所示
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竖直方向
解得
水平方向根据牛顿第二定律
故钢绳的拉力大小为
故A 正确，B 错误；
C．因钢绳拉力的竖直分量等于人的重力，则即使角速度足够大，也不可以使钢绳成水平拉
直，故C 错误；
D．根据AB 项分析知
两边可消掉m，即两个体重不同的人，摆开的夹角θ 一样大，故D 正确。
故选AD。
14．如图所示，质量忽略不计、长度分别为l1和l2的不可伸长的轻绳，分别系质量为5m 和
m 的小球，它们以相同的转速中心轴线做匀速圆周运动，稳定时绳子与竖直方向夹角的正
切值分别为
及
，圆周运动半径分别为r1和r2，两绳子中的张力分别为T1和T2，则（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】B．设绳子与竖直方向夹角分别为α、β，对下面小球受力分析，竖直方向有
对两个球整体分析，竖直方向上有
联立解得
故B 正确；
A．对下面小球受力分析，水平方向有
对上面小球受力分析，水平方向有
联立解得
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故A 正确；
CD．根据几何关系有
联立解得
故C 错误，D 正确。
故选ABD。
15．2022 年7 月13 日至17 日，郑州大学代表中国在第十一届世界运动会荷球项目中表现
出色，如图甲的荷球运动是唯一一项男女同场竞技的运动，已被许多学校作为“阳光体
育”的运动项目。图乙中A、B、C 是某运动员一次荷球投篮命中得分轨迹中的三个点，A
为荷球抛出点，B 为荷球运动最高点，C 为篮框落入点，AB 的连线垂直于BC 的连线，AB
的连线与水平方向的夹角
，荷球可视为质点，不计空气阻力，则（ ）
A．荷球从A 到B 和从B 到C 的运动过程中速度的变化率相同
B．荷球在B 点时速度为零
C．荷球从A 到B 和从B 到C 的运动时间之比为3∶1
D．荷球从A 到B 和从B 到C 的水平方向的位移之比为
【答案】AC
【解析】A．荷球从A 到B 和从B 到C 的运动过程中速度的变化率即加速度相同，均竖直
向下，大小为g，故A 正确；
B．荷球在B 点时，竖直方向上速度为零，仍有水平速度，速度不为零，故B 错误；
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CD．把AB 和BC 分别看作两个平抛运动，由平抛运动规律可知，AB 过程有
BC 过程有
联立可得，荷球从A 到B 和从B 到C 的运动时间之比为
由于
，则荷球从A 到B 和从B 到C 的水平方向的位移之比为
故C 正确，D 错误。
故选AC。
16．如图所示，在竖直面内固定一半圆形容器，圆心为
，半径为
。在圆心
处分别水
平向左和向右抛出一个可视为质点的小球，两小球落在圆弧时速度方向相互垂直。已知重
力加速度为
，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．两小球的初速度大小可能都为
B．两小球的初速度大小可能都为
C．从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间可能不相等
D．从抛出到落在圆弧上，两小球的运动时间一定相等
【答案】AC
【解析】AB．若两小球的初速度大小相等，如图
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根据平抛运动推论：速度偏转角的正切值等于位移偏转角正切值的两倍，两小球落在圆弧
时速度方向相互垂直，有
联立得
故A 正确，B 错误；
CD．当
、
不相等，速度偏转角不相等，但总能有两小球落在圆弧时速度方向相互垂直
的速度值，故C 正确，D 错误。
故选AC。
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