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大题13 振动、波动与几何光学
2025 年高考对“振动、波动和几何光学”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”
的命题导向，突出物理观念的系统性与实际问题的模型转化能力。备考需以“振动-波动-
光学”逻辑链为核心，强化图像分析与数学工具应用，同时关注量子科技与精密光学前沿，
做到“以波为媒，以光为眼”。建议多关注：如引力波探测的波动原理简化、光刻机中的
精密光学系统；
三角函数描述简谐运动、几何相似三角形解光路问题、波动方程的图像解析；量子通
信中的光子波动特性简化模型；超声波测距与光学折射结合的水质检测分析； 超表面光
学（如超材料透镜的成像原理）。
题型1 波的图像与振动图像的综合应用
例1.(2023 广东茂名二模)一列简谐横波沿着x 的正方向传播，t＝0 时刻波源从坐
标原点处开始振动。如图甲所示是波在t＝0.6 s 时的部分波动图像，如图乙所示是这列波上x＝1.4 m 处
的质点的振动图像(t＝0.7 s 开始振动)，求：
1
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(1)波的振动周期以及波源的振动方程；
(2)t＝1.5 s 时间内，x＝0.6 m 处的质点的路程。
答案 (1)0.4 s y＝－30sin 5πt(cm) (2)360 cm
解析 (1)x＝1.4 m 处的质点t＝0.7 s 开始振动，可知波速为v＝＝2 m/s，由图甲可得λ＝0.6 m，
解得λ＝0.8 m，波的振动周期为T＝＝0.4 s，由图乙可知波源起振方向向下，振幅为30 cm，所以波
源振动方程为
y＝－30sint(cm)＝－30sin 5πt(cm)。
例2．毛主席的诗词“洞庭波涌连天雪”，描述的正是机械波传播的场景。一列沿
x 轴正方向传播的简谐横波在
时刻的波形如图中实线所示，在
时的波形如图中的虚线所示。
（1）求这列波可能的传播速度大小；
（2）若波的周期
，则从
时刻开始计时，求质点M 在0~1.6s 内运动的路程。
答案（1）
，
；（2）
解析（1）由题图可知，波长
因波沿
轴正方向传播，则
，
2
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解得
波速为
解得
，
（2）由题意知，
则
只能取0 时满足条件，对应
因
,
则
内质点
运动的路程为
1.一列简谐横波沿
轴传播，某时刻其波形如图中实线所示，此时平衡位置位于
处的质点向
轴负方向运动。
后，其波形如图中虚线所示。
振动图像与波的图像综合问题的分析方法
3
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（1）判断该波的传播方向；
（2）求该波的最小频率；
（3）若
大于该波周期的2 倍、小于该波周期的3 倍，求该波的波速。
答案（1）沿
轴负方向传播；（2）
；（3）
解析（1）波形为实线时
处的质点向
轴负方向运动，则该波沿
轴负方向传播
（2）由题图知该波的波长为
波在
时间内传播的距离
（
，1，2，…）
则传播时间
（
，1，2，…）
周期T 为
（
，1，2，…）
波的频率
（
，1，2，…）
当
时
（3）
4
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即
解得
即
解得
故
，
波的传播速度
解得
题型二 波传播的周期性和多解性问题
例3. 如图为一列简谐横波的波形图，实线是某时刻的波形图，虚线是经过1 s 后
的波形图，已知波的周期T>0.5 s。
(1)若波沿x 轴负方向传播，求该列波1 s 传播的距离；
(2)若波沿x 轴正方向传播，求波速。
答案 (1)3 m 或7 m (2)1 m/s 或5 m/s
解析 (1)若波沿x 轴负方向传播，由图可知λ＝4 m
周期关系为nT＋T＝Δt
而T>0.5 s，所以n 只能取n＝0 或n＝1
所以当n＝0 时，Δt1＝T
5
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波传播的距离Δx1＝λ＝3 m
当n＝1 时，Δt2＝T
波传播的距离Δx2＝λ＝7 m。
(2)若波沿x 轴正方向传播，周期关系则有
nT＋T＝Δt
结合T>0.5 s，有T1＝4 s 或T2＝ s
根据v＝
当T1＝4 s 时，波速为v1＝1 m/s
当T2＝ s 时，波速为v2＝5 m/s。
例4.(2023 广东潮州市教学质检)一列横波在x 轴上传播，a、b 是x 轴上相距sab＝
6 m 的两质点，t＝0 时，b 点正好到达最高点，且b 点到x 轴的距离为4 cm，而此时a 点恰好经过平衡
位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。
(1)求经过时间1 s，a 质点运动的路程；
(2)若a、b 在x 轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。
答案 (1)4 m (2)若波由a 传向b， m/s(n＝1，2，3，…)；若波由b 传向a， m/s(n＝1，2，3，…)
解析 (1)由题意知A＝0.04 m，T＝＝0.04 s
a 点一个周期运动的路程为s0＝4A＝0.16 m
1 s 内的周期数为N＝＝25
1 s 内运动的路程s＝Ns0＝4 m。
(2)若波由a 传向b，有sab＝(n＋)λ
波速为v＝λf＝ m/s(n＝1，2，3…)
若波由b 传向a，有sab＝(n＋)λ
波速为v＝λf＝ m/s(n＝1，2，3…)。
2．一列沿x 轴传播的简谐横波，在t＝0.2 s 时刻的波形如图12 实线所示，在t1＝
0.4 s 时刻的波形如图虚线所示。在t 到t1时间内，x＝2 m 处的P 质点运动的路程为s，且0.2 m＜s＜
0.4 m。试求：
6
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(1)波的传播的方向和传播速度的大小；
(2)P 质点第二次出现波谷的时刻。
答案 (1)沿x 轴负方向传播，v＝10 m/s
(2)0.525 s
解析 (1)由题图可知，波长λ＝3 m，振幅A＝0.1 m
由t＝0.2 s 时刻到t1＝0.4 s 时刻的时间内，
0．2 m<s<0.4 m 知2A<s<4A
故T<Δt<T
Δt 时间内波传播的距离为Δx
则λ<Δx<λ，即 m<Δx<3 m
根据图像可知，若沿x 轴正方向传播，则
Δx1＝(nλ＋1) m(n＝0、1、2、3、…)，n 无解
若沿x 轴负方向传播，则
Δx2＝(nλ＋2) m(n＝0、1、2、3、…)，n＝0 符合
由上述可知，这列波一定沿x 轴负方向传播且
Δx2＝2 m
又Δt＝t1－t＝0.2 s，由Δx＝v·Δt
得v＝10 m/s。
(2)根据实线图像可知，P 质点第二次出现波谷时，波向负方向传播了Δx＝3.25 m
由Δx＝v·Δt，得Δt＝0.325 s
故P 质点第二次出现波谷的时刻为0.525 s。
题型三 光的折射和全反射
例5.(2023 广东重点中学联考)如图所示为一个玻璃砖的截面图，AB 是半圆的
直径，O 是圆心，也是AB 与ED 的交点，ABGF 是直角梯形，ED⊥BC，∠F＝∠G＝90°，∠ABC＝30°，
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半圆的半径为R，AF＝2R.有一束细光束从半圆面的E 点处入射，入射角是θ＝60°，已知该玻璃砖的
折射率n＝，光在真空中的速度为c.
(1) 光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角是多少？
(2) 光从入射到第一次射出玻璃砖，在玻璃砖中传播的时间是多少？
答案 (1) 30° (2)
解析 (1) 作出光线经过玻璃砖的折射和反射光路图如图所示
设折射角为θ1，已知θ＝60°，n＝，根据折射定律
n＝
得sin θ1＝，θ1＝30°
由几何关系可得出射光线与法线的夹角θ2＝60°
光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角θ3＝30°
(2) 由几何关系可得
CD＝＝R
CF＝AF－AC＝R
则EC＝R，CH＝R
光从入射到第一次出射，在玻璃砖中传播的路程
s＝EC＋CH＝R
光在玻璃砖中传播的速度v＝＝c
光从入射到第一次出射，在玻璃砖中传播的时间
t＝＝
例6．（2025 广东模拟预测）图甲为发光二极管（
）其原理结构如图乙所示，
管芯的圆形发光面紧贴半球形透明介质，人们能从半球形表面看到发出的光。已知半球球心O 点与发
光面AB 的中心重合，半球和发光面的半径分别为R 和r，真空中的光速为c。
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(1)若介质的折射率
，求光从O 点沿直线传播到P 点的时间
(2)若半球形表面（弧面）的任意位置都有整个发光面的光射出，则介质的折射率应满足什么条件?
答案(1)
(2)折射率应小于
解析（1）光在该介质中的传播速度
则光从O 点沿直线传播到P 点的时间
解得
（2）从发光面的两端点A 或B 沿垂直AB 方向射出的光线有最大的入射角，如果此时不发生全反射，
那么任意位置都有整个发光面的光射出，可得
，
则有
介质的折射率应小于
备注证明：若A 点发出的光能从透明介质球面任意位置射出，则光线在介质内的入射角
的最大值小
于临界角C，
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由几何关系可知
，而当
，即
时，
有最大值，
最大，
时，即A
点沿垂直底面方向发出的光能够射出，则其他任意位置均可射出。
3.如图甲所示，某汽车大灯距水平地面的高度为92.8 cm；图乙为该大灯结构的简化
图，由左侧旋转抛物面和右侧半径为R 的半球透镜组成，对称轴以下装有挡光片，光源位于抛物面的
焦点F 处，已知点光源发出的光经旋转抛物面反射后，均垂直半球透镜的竖直直径MN 进入透镜(只考虑
纸面内的光)，光在半球透镜中的折射率n＝4
3 ，已知透镜直径远小于大灯离地面的高度，忽略在半球
透镜内表面反射后的光，求：(已知sin 48°＝0.75，sin 37°＝0.6，tan 16°＝0.29)
(1)所有垂直MN 进入的光在透镜球面上透光部分的长度；
(2)若某束光从A 点射入半球透镜，MA＝1
5MN，这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离。
答案(1) 4
15πR (2)320 cm
解析(1)光路图如图1 所示
求解光的折射和全反射问题的思路
(1)根据题意画出正确的光路图，特别注意全反射的临界光线。
(2)利用几何关系确定光路中的边、角关系。
(3)利用折射定律等公式求解。
(4)注意折射现象中光路的可逆性。
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设此光线恰好发生全反射，此时透镜内的临界角为C，由全反射临界条件得sin C＝1
n＝0.75，即C＝
48°，此角对应的弧长为l＝48° π
180° R＝4
15πR。
(2)若某束光从A 点射入半球透镜，光路图如图2 所示
根据题意MA＝1
5MN，则OA＝R－MA＝3
5R，则sin α＝
3
5 R
R
＝3
5
由折射率可知n＝sin β
sin α ，解得sin β＝4
5 ，即β＝53°
由几何关系可知θ＝16°
这束光照射到这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离s＝92.8cm
tanθ
＝320 cm。
1．(2023 广东新高考模拟)如图，直角三棱镜ABC 由某种透明物质制成，AC 外表面镀有水银。一束与BC 边
平行的光线从AB 边的D 点射入棱镜。已知AB＝2 m，AD＝0.5 m，∠B＝30°，棱镜对该光的折射率n
＝。求光线第一次到达BC 面时在BC 面发生折射的入射角及入射点与C 点的距离。
答案 60° m
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解析 如图所示，由几何关系可知光线在AB 边的入射角为i1＝60°
由折射定律可得n＝
解得r＝30°
所以△ADF 为等边三角形，则F 为AC 边的中点，可知θ＋60°＝90°
又θ＋i2＝90°
可得光线在BC 边的入射角i2＝60°
EF 与AB 平行，则E 为BC 的中点，故入射点E 与C 点的距离为EC＝＝ m。
2．（2025 广东汕头一模）如图，渔民弯腰捕鱼时，发现湖面上有一片圆形浮萍，眼睛在
点处恰好通过
浮萍边缘
点看到湖底
点处有一条鱼。
点离水面高度为
，离
点水平距离为
，
湖水深度
。鱼受到惊吓后躲在浮萍中心的正下方湖底处，渔民无论在湖面上哪个角度都没有
发现鱼的踪影，已知湖水的折射率
。求：
(1)B 距离
点的水平距离
；
(2)浮萍的最小半径
。
答案(1)
(2)
解析（1）鱼在
点反射出的光在
点发射折射在
点进入人眼，如图所示
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由折射定律
由几何关系得
，
解得
（2）鱼反射出的光在刚好水面上浮萍边缘发生全反射，人在湖面上观察不到鱼的踪迹，如图所示
由
由几何关系可得，设浮萍的最小半径为R，则
解得
3．（2025 广东惠州模拟预测）小妍同学为了制作“消失的钉子小创意”，先利用长方体容器测量水的折
射率，矩形
为容器的一个横截面，如图（a）所示，固定激光笔从容器口A 射向
，测得
；当装满水后，激光照射到容器底部
点，测得
。接着将长为
的钉子垂直固定在轻薄不透明的圆形泡沫的圆心，倒扣在另一较大容器水面上，如图（b），
通过调节圆形泡沫半径，使得在水面上方任何位置都完全看不见钉子，“消失的钉子小创意”即制作
完成。求：
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(1)水的折射率
；
(2)圆形泡沫的最小半径
。（结果可用根式表示）
答案(1)
(2)
解析（1）测量水折射率实验中，入射角的正弦值
折射角的正弦值
根据折射定律
联立解得水的折射率为
（2）要在水面上方任何位置都完全看不见钉子，则要求从钉子射出的光到达泡沫以外水面时发生全反
射，根据全反射规律和几何关系有
其中
代入数据解得圆形泡沫的最小半径
4．（2025 广东广州一模）为了观察门外情况，在门上开一小圆孔，将一块圆柱形玻璃嵌入其中，圆柱体
轴线与门面垂直。从圆柱底面中心看出去，可以看到的门外入射光线与轴线间的最大夹角称做视场角。
如图，ABCD 为玻璃的截面，AD 长为3cm，AB 长为2cm，若用一束激光从A 点与竖直方向成37°射入
玻璃，恰好从BC 边中点射出，已知：
，
。求：
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(1)玻璃的折射率。
(2)视场角的度数。
答案(1)
(2)
解析（1）画出光路图如图所示
根据几何关系可得
根据折射定律
（2）根据（1）分析可知视场角的度数
6．（2024 广东茂名模拟预测）如图所示，手机防窥膜的原理可以解释为“超微细百叶窗技术”，某种防
窥屏由透明介质和对光完全吸收的屏障构成，其中屏障垂直于屏幕平行排列，可实现对每一个像素单
元的可视角度
的控制。发光像素单元紧贴手机屏幕，可视为点光源，位于相邻两屏障的正中间。若屏
障的高度为
，相邻屏障的间隙为
。求：
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(1)点光源在透明介质中对应的最大入射角；
(2)若要使最大入射角的光线能从透明介质射入空气中，透明介质的折射率应该满足什么条件？
答案(1)
(2)
解析（1）当光线沿着屏障上边缘射向透明介质与空气的分界面时入射角最大
由几何关系可得，入射角满足
故最大入射角为
（2）当光线在透明介质与空气的分界面发生全反射时，则有
解得
若要使最大入射角的光线能出射到空气中，则透明介质的折射率
7．（2024 广东东莞模拟预测）单反相机取景器的取景范围和实际拍摄范围基本上一致，十分有利于摄影，
让我们能够直观地取景构图。如图是单反照相机取景器的光路示意图，其核心部件为屋脊五棱镜。图
为屋脊五棱镜的横截面，部分角度如图中所示。光线垂直AB 射入，依次经过CD、DE 和EA 反射，最
后光线从BC 射出，若光恰好能够在CD 上发生全反射。求：
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（1）五棱镜的折射率；
（2）请画出光路图（标出入射角的具体角度），结合光路图判断光线是否能在AE 发生全反射（已知
多边形的内角和为：180°×（N-2），N 为边数）
答案（1）
；（2）
，能
解析（1）如下图所示，恰好在CD 面发生全反射，由几何关系可得入射角
刚好全反射时
解得折射率
（2）分析光路图可知
根据多边形的内角和关系，由内部光路围成的内部五边形，再结合几何关系可知光在AE 上入射角也为
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30°，可判断可以刚好在AE 发生全反射。
8．（2025 全国模拟预测）在平面直角坐标系中
轴上有一振源，产生的简谐波沿
轴传播，
、
是
轴
上的两个质点，从质点
第一次达到波峰开始计时，
、
两质点的振动图像分别如图甲、乙所示，
已知
、
平衡位置间距离为
且
在
的右侧，
的横坐标为
，该简谐波的波长
大于
时波源位于平衡位置，波源起振方向竖直向上。
(1)求该简谐波的波速；
(2)若波源在质点
的左侧，求
内，平衡位置在
处的质点
通过的路程。
答案(1)
或
(2)
或
解析（1）由振动图像可知，该简谐波的周期为
；由于
、
两质点间的距离小于波长。
①当波源在
的左侧时，
时刻
、
间的波动图像如图1 所示
可知该情况下波的波长为
波速为
②当波源在
的右侧时，
时刻
、
间的波动图像如图2 所示
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可知此情况该波的波长为
波速为
③当波源在
、
之间时，
时刻
、
间的波动图像如图3 所示
可知此情况该波的波长为
波速为
（2）当波源在
的左侧时，
时刻该波恰传播到
处，则该波从
传播到
点所用时间为
可知
时刻到
时刻质点
振动了
，经过的路程为
当波源在
、
之间时，
时刻波恰传播到
处则该波从
传播到
所用时间为
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可知
时刻到
时刻质点
振动了
，经过的路程为
9．一列简谐横波在某均匀介质中沿直线由质点
向质点
传播，
、
两质点的平衡位置相距0.5m。如图
所示，实线表示质点
的振动图像，虚线表示
质点的振动图像，求：
（1）质点
的振动方程；
（2）此波的传播速度大小。
答案（1）
；（2）
（n=0，1，2，3…）
解析（1）由图可知，振幅为2cm，周期为0.2s，t=0 时质点a 的为
得
则质点a 的振动方程为
（2）经分析可知，a、b 两质点间距为
（n=0，1，2，3…）
波的传播速度为
（n=0，1，2，3…）
10．如图，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b 两点相距L＝12.0m，b 点在a 点的右方。一列简谐横波沿此
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长绳向右传播。在t＝0 时刻，a 点的位移
cm（4cm 为质点振动的振幅），b 点的位移
，且
向下运动，T＝2s。
（1）求质点a 的振动方程；
（2）若这一列简谐波的波长
，求波可能的传播速度。
答案（1）见解析；（2）见解析
解析（1）设质点a 的振动方程为
依题意，A=4cm，T=2s，可得
由t＝0 时刻，a 点的位移
cm，可知
解得
可得
（2）依题意，设该波的波长为，则有
又
解得
根据
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联立，解得
11．毛主席的诗词“洞庭波涌连天雪”，描述的正是机械波传播的场景。一列沿x 轴正方向传播的简谐横
波在
时刻的波形如图中实线所示，在
时的波形如图中的虚线所示。
（1）求这列波可能的传播速度大小；
（2）若波的周期
，则从
时刻开始计时，求质点M 在0~1.6s 内运动的路程。
答案（1）
，
；（2）
解析（1）由题图可知，波长
因波沿
轴正方向传播，则
，
解得
波速为
解得
，
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（2）由题意知，
则
只能取0 时满足条件，对应
因
,
则
内质点
运动的路程为
1． (2022 广东卷)一个水平放置的圆柱形罐体内装了一半的透明液体，液体上方是空气，其截面如图所示．
一激光器从罐体底部P 点沿着罐体的内壁向上移动，它所发出的光束始终指向圆心O 点．当光束与竖直
方向成45°角时，恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束．已知光在空气中的传播速度为c，
求液体的折射率n 和激光在液体中的传播速度v.
答案 c
解析 当入射角达到45°时，恰好到达临界角C
根据sin C＝，解得n＝＝＝
由n＝，解得v＝＝c
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