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大题13 振动、波动与几何光学
2025 年高考对“振动、波动和几何光学”的考查将延续“重基础、强综合、拓创新”
的命题导向，突出物理观念的系统性与实际问题的模型转化能力。备考需以“振动-波动-
光学”逻辑链为核心，强化图像分析与数学工具应用，同时关注量子科技与精密光学前沿，
做到“以波为媒，以光为眼”。建议多关注：如引力波探测的波动原理简化、光刻机中的
精密光学系统；
三角函数描述简谐运动、几何相似三角形解光路问题、波动方程的图像解析；量子通
信中的光子波动特性简化模型；超声波测距与光学折射结合的水质检测分析； 超表面光
学（如超材料透镜的成像原理）；
题型1 波的图像与振动图像的综合应用
例1.(2023 广东茂名二模)一列简谐横波沿着x 的正方向传播，t＝0 时刻波源从坐
标原点处开始振动。如图甲所示是波在t＝0.6 s 时的部分波动图像，如图乙所示是这列波上x＝1.4 m 处
的质点的振动图像(t＝0.7 s 开始振动)，求：
1
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(1)波的振动周期以及波源的振动方程；
(2)t＝1.5 s 时间内，x＝0.6 m 处的质点的路程。
答案 (1)0.4 s y＝－30sin 5πt(cm) (2)360 cm
解析 (1)x＝1.4 m 处的质点t＝0.7 s 开始振动，可知波速为v＝＝2 m/s，由图甲可得λ＝0.6 m，
解得λ＝0.8 m，波的振动周期为T＝＝0.4 s，由图乙可知波源起振方向向下，振幅为30 cm，所以波
源振动方程为
y＝－30sint(cm)＝－30sin 5πt(cm)。
例2.（2024 河南开封模拟）一列沿x 轴正方向传播的简谐横波在t＝0 时刻的部分
波形图如图甲所示，P 是平衡位置在x＝1.2 m 处的质点，Q 是平衡位置在x＝4 m 处的质点，质点Q 的
振动图像如图乙所示。求：
（1）该波的波速v；
（2）从t＝0 时刻起到质点P 第三次位于波峰位置所用的时间。
答案（1）4 m/s （2）5.8 s
解析（1）根据题图甲可知此波的波长λ＝8 m
根据题图乙可知此波的周期T＝2 s
该波的波速为v＝λ
T ＝8
2 m/s＝4 m/s。
（2）波沿x 轴正方向传播，t＝0 时刻质点P 左侧最近的波峰的平衡位置为x1＝－6 m
从t＝0 时刻起到质点P 第一次位于波峰位置所用的时间为t1＝xP－x1
v
质点P 第三次位于波峰位置时对应的时刻为t＝t1＋2T
解得t＝5.8 s。
2
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1.（2024 广西柳州二模）如图甲所示，太空舱内的弹簧振子沿y 轴自由振动，沿x 轴
方向有一轻质长绳与弹簧振子相连。弹簧振子振动后，长绳某时刻（记为t＝0 时刻）形成的波形如图
乙中实线所示，虚线为t＝0.3 s 时刻长绳的波形。P 点为x＝1.5 m 处的质点。已知弹簧振子周期T 的
大小满足T＜0.3 s＜2T，求：
（1）长绳波的波速大小；
（2）质点P 的振动方程。
答案（1）25 m/s （2）y＝0.2cos 25
3 πt（m）
解析（1）由题意知，波传播的时间间隔
T＜Δt＝0.3 s＜2T
设波沿x 轴正向传播的距离为Δx，则有
λ＜Δx＜2λ
由波的图像得λ＝6 m
结合波的图像可得Δx＝7.5 m
故由v＝Δ x
Δt
解得长绳波的波速v＝25 m/s。
（2）由T＝λ
v ＝6
25 s
得圆频率ω＝2π
T ＝25
3 π rad/s
振动图像与波的图像综合问题的分析方法
3
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设质点P 的振动方程为y＝Acos ωt
由图乙得振幅A＝0.2 m
代入数据得y＝0.2cos 25
3 πt（m）。
题型二 波传播的周期性和多解性问题
例3. 如图为一列简谐横波的波形图，实线是某时刻的波形图，虚线是经过1 s 后
的波形图，已知波的周期T>0.5 s。
(1)若波沿x 轴负方向传播，求该列波1 s 传播的距离；
(2)若波沿x 轴正方向传播，求波速。
答案 (1)3 m 或7 m (2)1 m/s 或5 m/s
解析 (1)若波沿x 轴负方向传播，由图可知λ＝4 m
周期关系为nT＋T＝Δt
而T>0.5 s，所以n 只能取n＝0 或n＝1
所以当n＝0 时，Δt1＝T
波传播的距离Δx1＝λ＝3 m
当n＝1 时，Δt2＝T
波传播的距离Δx2＝λ＝7 m。
(2)若波沿x 轴正方向传播，周期关系则有
nT＋T＝Δt
结合T>0.5 s，有T1＝4 s 或T2＝ s
根据v＝
当T1＝4 s 时，波速为v1＝1 m/s
当T2＝ s 时，波速为v2＝5 m/s。
例4.(2023 广东潮州市教学质检)一列横波在x 轴上传播，a、b 是x 轴上相距sab＝
6 m 的两质点，t＝0 时，b 点正好到达最高点，且b 点到x 轴的距离为4 cm，而此时a 点恰好经过平衡
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位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。
(1)求经过时间1 s，a 质点运动的路程；
(2)若a、b 在x 轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。
答案 (1)4 m (2)若波由a 传向b， m/s(n＝1，2，3，…)；若波由b 传向a， m/s(n＝1，2，3，…)
解析 (1)由题意知A＝0.04 m，T＝＝0.04 s
a 点一个周期运动的路程为s0＝4A＝0.16 m
1 s 内的周期数为N＝＝25
1 s 内运动的路程s＝Ns0＝4 m。
(2)若波由a 传向b，有sab＝(n＋)λ
波速为v＝λf＝ m/s(n＝1，2，3…)
若波由b 传向a，有sab＝(n＋)λ
波速为v＝λf＝ m/s(n＝1，2，3…)。
2．一列沿x 轴传播的简谐横波，在t＝0.2 s 时刻的波形如图12 实线所示，在t1＝
0.4 s 时刻的波形如图虚线所示。在t 到t1时间内，x＝2 m 处的P 质点运动的路程为s，且0.2 m＜s＜
0.4 m。试求：
(1)波的传播的方向和传播速度的大小；
(2)P 质点第二次出现波谷的时刻。
答案 (1)沿x 轴负方向传播，v＝10 m/s
(2)0.525 s
解析 (1)由题图可知，波长λ＝3 m，振幅A＝0.1 m
由t＝0.2 s 时刻到t1＝0.4 s 时刻的时间内，
0．2 m<s<0.4 m 知2A<s<4A
故T<Δt<T
Δt 时间内波传播的距离为Δx
则λ<Δx<λ，即 m<Δx<3 m
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根据图像可知，若沿x 轴正方向传播，则
Δx1＝(nλ＋1) m(n＝0、1、2、3、…)，n 无解
若沿x 轴负方向传播，则
Δx2＝(nλ＋2) m(n＝0、1、2、3、…)，n＝0 符合
由上述可知，这列波一定沿x 轴负方向传播且
Δx2＝2 m
又Δt＝t1－t＝0.2 s，由Δx＝v·Δt
得v＝10 m/s。
(2)根据实线图像可知，P 质点第二次出现波谷时，波向负方向传播了Δx＝3.25 m
由Δx＝v·Δt，得Δt＝0.325 s
故P 质点第二次出现波谷的时刻为0.525 s。
题型三 光的折射和全反射
例5.(2023 广东重点中学联考)如图所示为一个玻璃砖的截面图，AB 是半圆的
直径，O 是圆心，也是AB 与ED 的交点，ABGF 是直角梯形，ED⊥BC，∠F＝∠G＝90°，∠ABC＝30°，
半圆的半径为R，AF＝2R.有一束细光束从半圆面的E 点处入射，入射角是θ＝60°，已知该玻璃砖的
折射率n＝，光在真空中的速度为c.
(1) 光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角是多少？
(2) 光从入射到第一次射出玻璃砖，在玻璃砖中传播的时间是多少？
答案 (1) 30° (2)
解析 (1) 作出光线经过玻璃砖的折射和反射光路图如图所示
6
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设折射角为θ1，已知θ＝60°，n＝，根据折射定律
n＝
得sin θ1＝，θ1＝30°
由几何关系可得出射光线与法线的夹角θ2＝60°
光线第一次从玻璃砖射出时与玻璃砖的夹角θ3＝30°
(2) 由几何关系可得
CD＝＝R
CF＝AF－AC＝R
则EC＝R，CH＝R
光从入射到第一次出射，在玻璃砖中传播的路程
s＝EC＋CH＝R
光在玻璃砖中传播的速度v＝＝c
光从入射到第一次出射，在玻璃砖中传播的时间
t＝＝
例6.(2024 山东德州模拟)某物理学习兴趣小组成员小张找到了一个LED 灯和一段
光导纤维进行研究。查阅资料发现，LED 灯是一块用环氧树脂密封的发光半导体材料。光导纤维由内芯
和外套两层组成，光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射。
(1)有一LED 灯结构如图甲所示，发光区域为直径3 mm(M、N 之间)的圆盘(厚度不计)，发光面上覆盖折
射率n＝1.6 的半球形环氧树脂，发光圆盘的圆心与球心重合。要使发光区域发出的所有光线在球面上
都不发生全反射，求环氧树脂半径R 满足的条件；
(2)一段长直光导纤维由内芯和外套组成，其剖面如图乙所示，其中内芯的折射率n1＝2，外套的折射
率n2＝√3。已知光从折射率为n1的介质射入折射率为n2的介质时，入射角θ1与折射角θ2间满足关系
n1sin θ1＝n2sin θ2。试通过计算说明从该光导纤维一端入射的光信号是否会通过外套“泄漏”出去。
答案(1)R＞2.4 mm (2)不会
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解析(1)如图(a)所示﹐从半圆弧上任取一点P，从M、N 两端发出的光入射角最大，取N 点发出的光线，
连接OP、NP，则入射角为θ，在△ONP 中R
sin α ＝r
sinθ ，即sin θ＝r
R sin α，当α＝90°时θ 取最
大值，由题意知sin θ＜sin C＝1
n，解得R＞nr＝1
2nd＝2.4 mm。
(2)作出光路图如图(b)所示
由n1sin θ1＝n2sin θ2
得n1sin C＝n2sin 90°
解得C＝60°
由折射定律得n＝sinθ
sin α
由几何关系得α＋β＝90°，θ 越大，α 越大，β 越小，
由上述分析和θmax＝90°可得αmax＝30°，βmin＝60°
所以光线在内芯和外套的界面上的入射角β≥60°
说明光信号不会通过外套“泄漏”出去。
地面的位置与大灯间的水平距离s＝92.8cm
tanθ
＝320 cm。
3.如图甲所示，某汽车大灯距水平地面的高度为92.8 cm；图乙为该大灯结构的简化
图，由左侧旋转抛物面和右侧半径为R 的半球透镜组成，对称轴以下装有挡光片，光源位于抛物面的
焦点F 处，已知点光源发出的光经旋转抛物面反射后，均垂直半球透镜的竖直直径MN 进入透镜(只考虑
求解光的折射和全反射问题的思路
(1)根据题意画出正确的光路图，特别注意全反射的临界光线。
(2)利用几何关系确定光路中的边、角关系。
(3)利用折射定律等公式求解。
(4)注意折射现象中光路的可逆性。
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纸面内的光)，光在半球透镜中的折射率n＝4
3 ，已知透镜直径远小于大灯离地面的高度，忽略在半球
透镜内表面反射后的光，求：(已知sin 48°＝0.75，sin 37°＝0.6，tan 16°＝0.29)
(1)所有垂直MN 进入的光在透镜球面上透光部分的长度；
(2)若某束光从A 点射入半球透镜，MA＝1
5MN，这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离。
答案(1) 4
15πR (2)320 cm
解析(1)光路图如图1 所示
设此光线恰好发生全反射，此时透镜内的临界角为C，由全反射临界条件得sin C＝1
n＝0.75，即C＝
48°，此角对应的弧长为l＝48° π
180° R＝4
15πR。
(2)若某束光从A 点射入半球透镜，光路图如图2 所示
根据题意MA＝1
5MN，则OA＝R－MA＝3
5R，则sin α＝
3
5 R
R
＝3
5
由折射率可知n＝sin β
sin α ，解得sin β＝4
5 ，即β＝53°
由几何关系可知θ＝16°
这束光照射到这束光照射到地面的位置与大灯间的水平距离s＝92.8cm
tanθ
＝320 cm。
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1．(2023 广东新高考模拟)如图，直角三棱镜ABC 由某种透明物质制成，AC 外表面镀有水银。一束与BC 边
平行的光线从AB 边的D 点射入棱镜。已知AB＝2 m，AD＝0.5 m，∠B＝30°，棱镜对该光的折射率n
＝。求光线第一次到达BC 面时在BC 面发生折射的入射角及入射点与C 点的距离。
答案 60° m
解析 如图所示，由几何关系可知光线在AB 边的入射角为i1＝60°
由折射定律可得n＝
解得r＝30°
所以△ADF 为等边三角形，则F 为AC 边的中点，可知θ＋60°＝90°
又θ＋i2＝90°
可得光线在BC 边的入射角i2＝60°
EF 与AB 平行，则E 为BC 的中点，故入射点E 与C 点的距离为EC＝＝ m。
2．（2024 山东潍坊三模）水晶球是用天然水晶加工而成的一种透明的球形物品。如图甲所示的是一个质
量分布均匀的透明水晶球，半径为a，过球心的截面如图乙所示，PQ 为直径，一单色细光束从P 点射入
球内，折射光线与PQ 夹角为37 ℃，出射光线与PQ 平行。已知光在真空中的传播速度为c，sin 37°
＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）“水晶球”的折射率；
（2）光束在P 点的入射角；
（3）光在“水晶球”中的传播速度；
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（4）光在“水晶球”中的传播时间。
答案（1）1.6 （2）74° （3）5
8c （4）64 a
25c
解析（1）根据题意作出光路图如图，由几何关系可知，光线射出时的折射角r 为2θ，“水晶球的”
折射率n＝sin2θ
sinθ ＝2cos θ＝1.6。
（2）根据光路的可逆性可知β＝r＝2θ＝74°。
（3）光在“水晶球”中的传播速度为v＝c
n＝5
8c。
（4）光在“水晶球”中传播的距离l＝2acos θ，时间t＝l
v ＝nl
c ＝4 aco s
2θ
c
，代入数据有t＝64 a
25c
。
3．（2024 河北邯郸模拟）如图甲所示的是某物理兴趣小组收集的一个“足球”玻璃球，他们利用激光对
该球的光学性质进行研究。某次实验过程中他们将激光水平向右照射且过球心所在的竖直截面，其正
视图如乙所示，AB 是沿水平方向的直径。当光束从C 点射入时，从右侧射出点为B，已知点C 到AB 的
竖直距离h＝√3
2 R，玻璃球的半径为R，且球内的“足球”是不透光体，不考虑反射光的情况下。已知
光在真空中的速度为3×108 m/s，结果可用根号表示。求：
（1）激光在玻璃球中的传播速度大小；
（2）B 点的出射光相对C 点入射光方向偏折角。
答案（1）√3×108 m/s （2）60°
解析（1）光从C 点到B 点的光路图如图所示
光在C 点折射，由折射定律可知n＝sini
sin r
激光在玻璃球中的传播速度为v＝c
n
由几何关系可得i＝θ＝2r＝60°
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解得v＝√3×108 m/s。
（2）光在B 点折射，由折射定律可知n＝sin β
sin r
可得β＝60°
故B 点的出射光相对C 点入射光方向偏折角为60°。
4．（2024 四川凉山三模）如图甲所示，“隐身装置”可以将儿童的身体部分隐去，却对后面的成人没有
形成遮挡；简化模型的俯视图如图乙所示，A、B 为两个厚度均为a 的直角透明介质，虚线为透明介质
的对称轴，儿童站在介质之间的虚线框位置处，成人位置的光线与对称轴平行。已知介质折射率n＝
√2，光在真空中的传播速度为c。求：
（1）完成光线1、2 进入观察者范围的光路图，解释成人没被遮挡的原因；
（2）光线1 进入介质A 中的折射角大小和通过介质A 的时间。
答案（1）见解析 （2）r＝30°，2√6a
3c
解析（1）光线1、2 进入观察者范围的光路图如图所示
根据折射定律可得√2＝sin 45°
sin r
则光线在介质中的折射角为r＝30°
可得1、2 光线最后射出介质A 的折射角为45°，可得光线1、2 平行射出介质A、B，显然成人不可能
被“隐身装置”遮挡。
（2）结合（1）问，可得光线1 进入介质A 中的折射角大小为r＝30°
通过介质A 的路程为s＝
a
cos30° ＝2√3
3
a
光在该介质中的传播速度为v＝c
n＝c
√2
则光线1 通过介质A 的时间为
t＝s
v ＝2√6a
3c
。
5．（2024 陕西西安模拟预测）平静的湖面上漂浮着浮子A 和浮子B，两个浮子距离不超过3m。一条大鱼
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在两浮子连线的延长线上某位置（如图甲所示）翻起频率稳定的波浪。当水波刚传播到A 浮子时波形
图如图乙所示，从该时刻开始计时，A、B 浮子的振动图像如图丙所示，求：
(1)该水波传播的速度大小，及图乙所示时刻P 点的运动方向；
(2)A、B 两浮子间可能的距离。
答案(1)1.25m/s，图乙所示时刻P 点沿y 轴负方向运动(2)0.25m，1.25m，2.25m
解析（1）根据图乙、图丙可知，该波波长
，周期
，故波速
同侧法可知，图乙所示时刻P 点沿y 轴负方向运动；
（2）图丙可知，浮子A 开始浮动时，浮子B 已在波峰，故波从浮子B 传到浮子A 的时间，满足
（n=0，1，2，3...）
当
时，波从浮子B 传到浮子A 的时间
则AB 距离
当
时，波从浮子B 传到浮子A 的时间
则AB 距离
当
时，波从浮子B 传到浮子A 的时间
则AB 距离
6．（2025 福建福州二模）如图甲所示，a、b 为沿x 轴传播的一列简谐横波上的两质点，相距为s=1m。
a、b 的振动图像分别如图乙、丙所示。
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(1)若波在介质中传播的速度为v=4m/s，求波长；
(2)若波沿x 轴负方向传播，且波长大于0.7m，求可能的波速值。
答案(1)
(2)
或5m/s
解析（1）由振动图像可知，波的振动周期
波长
（2）若波沿着
轴负方向传播，则
间距离
由于
，
可以取0，1，对应波长
或
则波速为
或
7．（2025 全国模拟预测）在平面直角坐标系中
轴上有一振源，产生的简谐波沿
轴传播，
、
是
轴
上的两个质点，从质点
第一次达到波峰开始计时，
、
两质点的振动图像分别如图甲、乙所示，
已知
、
平衡位置间距离为
且
在
的右侧，
的横坐标为
，该简谐波的波长
大于
时波源位于平衡位置，波源起振方向竖直向上。
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(1)求该简谐波的波速；
(2)若波源在质点
的左侧，求
内，平衡位置在
处的质点
通过的路程。
答案(1)
或
(2)
或
解析（1）由振动图像可知，该简谐波的周期为
；由于
、
两质点间的距离小于波长。
①当波源在
的左侧时，
时刻
、
间的波动图像如图1 所示
可知该情况下波的波长为
波速为
②当波源在
的右侧时，
时刻
、
间的波动图像如图2 所示
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可知此情况该波的波长为
波速为
③当波源在
、
之间时，
时刻
、
间的波动图像如图3 所示
可知此情况该波的波长为
波速为
（2）当波源在
的左侧时，
时刻该波恰传播到
处，则该波从
传播到
点所用时间为
可知
时刻到
时刻质点
振动了
，经过的路程为
当波源在
、
之间时，
时刻波恰传播到
处则该波从
传播到
所用时间为
可知
时刻到
时刻质点
振动了
，经过的路程为
8．（2024 湖南模拟预测）图中实线为一列简谐横波在某一时刻的波形曲线，经过0.1s 后，其波形曲线如
图中虚线所示。
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(1)若波向左传播，求它在0.1s 内传播的最小距离；
(2)若波向右传播，求它的周期；
(3)若波速是3.5m/s，求波的传播方向。
答案(1)0.05m 或5cm(2)
（s）（n=0，1，2，3…）(3)向右传播
解析（1）由题图可知
=20cm
若波向左传播，传播距离最小值
=5cm=0.05m
（2）若波向右传播，传播距离
所用时间
解得
（s）（n=0，1，2，3…）
（3）若波速是3.5m/s，波在0.1s 内传播的距离
=0.35m
若波向右传播，传播距离满足
此时n=1，所以波向右传播。
9．（2024 河南郑州模拟预测）一列简谐横波沿直线由质点C 向质点D 传播，从某时刻开始计时，质点
C、D 的振动图像如图1、2 所示，已知C、D 两质点平衡位置间的距离为8m，该波波长大于4m。求：
（1）质点C 的振动方程；
（2）该波的波速。
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答案（1）
；（2）
或
解析（1）由题意可知，质点C 振动方程表达式为
由于质点C 的振幅为
因质点C 振动的周期为
故其圆频率为
由题图甲可知，当
时
当
时，
故有
，
可得
故质点C 的振动方程为
（2）由题中甲、乙两图可知，在
时刻，质点C 偏离平衡位置的位移为5cm，质点D 在平衡位置，
18
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有
整理并代入数据可得
当
时
波速为
当
时
波速为
当
时
故
时不再符合题意。所以该波的波速为
或
。
1． (2022 广东卷)一个水平放置的圆柱形罐体内装了一半的透明液体，液体上方是空气，其截面
如图所示．一激光器从罐体底部P 点沿着罐体的内壁向上移动，它所发出的光束始终指向圆心O 点．当
光束与竖直方向成45°角时，恰好观察不到从液体表面射向空气的折射光束．已知光在空气中的传播
速度为c，求液体的折射率n 和激光在液体中的传播速度v.
答案 c
解析 当入射角达到45°时，恰好到达临界角C
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根据sin C＝，解得n＝＝＝
由n＝，解得v＝＝c
2．(2022 河北卷)如图，一个半径为R 的玻璃球，O 点为球心。球面内侧单色点光源S 发出的一束光在A 点
射出，出射光线AB 与球直径SC 平行，θ＝ 30°。光在真空中的传播速度为c。求：
(1)玻璃的折射率；
(2)从S 发出的光线经多次全反射回到S 点的最短时间。
答案 (1) (2)
解析 (1)根据题意将光路图补充完整，如图所示
根据几何关系可知
i1＝ θ＝ 30°，i2＝ 60°
根据折射定律有nsin i1＝ sin i2
解得n＝。
(2)设全反射的临界角为C，则
sin C＝＝
光在玻璃球内的传播速度为v＝
根据几何关系可知当θ＝ 45°时，即光路为圆的内接正方形，从S 发出的光线经多次全反射回到S 点
的时间最短，则正方形的边长为x＝R
则最短时间为t＝＝。
3．(2023 山东卷)一种反射式光纤位移传感器可以实现微小位移测量，其部分原理简化如图所示。两光纤
可等效为圆柱状玻璃丝M、N，相距为d，直径均为2a，折射率为n(n＜)。M、N 下端横截面平齐且与被
测物体表面平行。激光在M 内多次全反射后从下端面射向被测物体，经被测物体表面镜面反射至N 下端
面，N 下端面被照亮的面积与玻璃丝下端面到被测物体距离有关。
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(1)从M 下端面出射的光与竖直方向的最大偏角为θ，求θ 的正弦值；
(2)被测物体自上而下微小移动，使N 下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮，求玻璃丝下端
面到被测物体距离b 的相应范围(只考虑在被测物体表面反射一次的光线)。
答案 (1)
(2)≤b≤
解析 (1)由题意可知当激光在两侧刚好发生全反射时从M 下端面出射光与竖直方向夹角最大，设光在
M 下端与竖直方向的最大偏角为α，此时
sin C＝＝cos α
可得sin α＝
又因为n＝
所以sin θ＝nsin α＝。
(2)根据题意要使N 下端面从刚能接收反射激光到恰好全部被照亮，光路图如图所示
则玻璃丝下端面到被测物体距离b 的相应范围应该为b1＜b＜b2
当距离最近时有tan θ＝
当距离最远时有tan θ＝
根据(1)可知tan θ＝
联立可得b1＝，b2＝
所以满足条件的范围为
≤b≤。
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