3.12 圆锥曲线二级公式及应用
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：焦点三角形的面积公式.................................................... 2
题型二：圆锥曲线的切线问题....................................................... 5
题型三：圆锥曲线的中点弦问题.................................................... 7
题型四：圆锥曲线中的定值问题...................................................11
题型五：圆锥曲线中的定点问题...................................................16
题型六：圆锥曲线中的定直线问题................................................21
题型七：抛物线的焦点弦长公式...................................................24
题型八：抛物线中的三类直线与圆相切问题.................................... 27
3.12 圆锥曲线二级公式及应用
模块一：题型分类
题型一：焦点三角形的面积公式
【基础公式】
1.椭圆中焦点三角形面积公式
在椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）中，
1F ，
2
F 分别为左､右焦点，P 为椭圆上一点，
1
2
F PF
，
1
2
PF F
的面积记为
1
2
ΔPF F
S
，则：①
1 2
Δ
1
2
1
=
|
||
|= |
|
2
PF F
p
p
S
F F y
c y
；②
1 2
Δ
1
2
1
=
|
|||
|sin
2
PF F
S
PF PF
；③
1 2
2
Δ
=
tan 2
PF F
S
b
，
其中
1
2
=
F PF
.
2.双曲线中焦点三角形面积公式
在双曲线
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）中，
1F ，
2
F 分别为左､右焦点，P 为双曲线上一点，
1
2
F PF
，
1
2
PF F
的面积记为
1
2
ΔPF F
S
，则：①
1 2
Δ
1
2
1
=
|
||
|= |
|
2
PF F
p
p
S
F F y
c y
；②
1 2
Δ
1
2
1
=
|
|||
|sin
2
PF F
S
PF PF
；③
1 2
2
Δ
=
tan 2
PF F
b
S
.
3.注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦
定理，基本不等式等综合应用.
【基础练习】
1. 椭圆C：
2
2
1
49
24
x
y
的焦点为
1F ，
2
F ，点P 在椭圆上，若
1
8
PF
，则
1
2
PF F
△
的面积为（
）
A. 48
B. 40
C. 28
D. 24
2. 设
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
1
12
24
x
y
的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
1
2
1
3
cos
F PF
.则
1
2
PF F
△
的面积为
（
）
A. 6
B. 6 2
C. 8
D. 8 2
3.椭圆
2
2
1
4
x
y
的左右焦点为
1F ､
2
F ，P 为椭圆上的一点，
1
2
3
F PF
，则△
1
2
PF F 的面积为（
）
A. 1
B.
3
C.
3
3
D. 2
4.已知
1F 、
2
F 是椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的两个焦点，P 是椭圆上一点，
1
2
60
F PF
，则
1
2
PF F
△
的面积
是（
）
A. 3
B. 2
C. 4
3
3
D.
3
5.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
，过原点的直线与双曲线交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆
恰好过双曲线的右焦点F，若
ABF
△
的面积为
2
2a ，则双曲线的离心率为（
）
A.
2
B.
3
C. 2
D.
5
6.已知P 是椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
上一动点，
1F ，
2
F 是椭圆的左、右焦点，当
1
2
3
F PF
时，
1
2
4 3
F PF
S
△
；当线段
1
PF 的中点落到y 轴上时，
1
2
4
tan
3
F PF
，则点P 运动过程中，
1
2
1
1
PF
PF
的
取值范围是（
）
A.
1 2
,
2 3
B.
8
2
,
15 3
C.
1
8
,
2 15
D.
1 2
,
2 3
7.双曲线
2
2
1
16
9
x
y
的两个焦点分别是
1
2
,
F F ，点P 是双曲线上一点且满足
1
2
60
F PF
，则
1
2
F PF
△
的
面积为（
）
A. 25 3
B. 16 3
C. 9 3
D. 3 3
8.已知椭圆C ：
2
2
1
25
9
x
y
，
1F ，
2
F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上
的一个动点，下列结论中错误的是（
）
A. 离心率
4
5
e
B.
1
2
F PF
△
的周长为18
C. 直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值
9
25
D. 若
1
2
90
F PF
，则
1
2
F PF
△
的面积为8
9.已知
1F ，
2
F 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的左右焦点，O 为坐标原点，椭圆上存在一点P ，
使得
1
2
2 OP
F F
，设
1
2
F PF
△
的面积为S ，若
2
1
2
S
PF
PF
，则该椭圆的离心率为（
）
A. 1
3
B.
1
2
C.
3
2
D.
5
3
10.已知点
1
2
F F
､
是双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左､右焦点，以线段
1
2
F F 为直径的圆与双曲线在第一象
限的交点为P ，若
2
1
3
PF
PF
，则（
）
A.
1
PF 与双曲线的实轴长相等
B.
1
2
PF F
△
的面积为
2
3
2 a
C. 双曲线的离心率为5
2
D. 直线3
2
0
x
y
是双曲线的一条渐近线
11.已知双曲线
2
2
1
9
16
x
y
的两个焦点为
1F ，
2
F ，P 为双曲线上一点，
2
1
2
PF
F F
，
1
2
PF F
△
的内切圆
的圆心为I ，则PI （
）
A. 2 34
3
B.
34
3
C. 3 34
2
D.
34
2
12.已知双曲线C 的离心率为
1
2
3,
,
F F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，
2
1
3
PF
PF
，若
1
2
PF F
△
的面
积为
2 ，则双曲线C 的实轴长为（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13.已知双曲线
2
2
:
1
2
y
C x
的左，右焦点为
1
2
,
F F ，P 为双曲线右支上的一点，
1
2
30
PF F
，I 是
1
2
PF F
△
的内心，则下列结论错误的是（
）
A.
1
2
PF F
△
是直角三角形
B. 点I 的横坐标为1
C. |
| 2 3
2
PI
D.
1
2
PF F
△
的内切圆的面积为
题型二：圆锥曲线的切线问题
【基础公式】
1.过圆C ：
2
2
2
(
) +(
) =
x
a
y
b
R
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
的切线方程为
2
0
0
(
)(
)+(
)(
)=
x
a x
a
y
b y
b
R
.
2.过椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
上一点
0
0
(
,
)
P x
y
的切线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
.
3.已知点
0
0
(
,
)
M x
y
，抛物线C ：
2=2
(
0)
y
px p
和直线l ：
0
0
(
)
y y
p x
x
.
（1）当点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 上时，直线l 与抛物线C 相切，其中M 为切点，l 为切线.
（2）当点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 外时，直线l 与抛物线C 相交，其中两交点与点M 的连线分别是抛物线
的切线，即直线l 为切点弦所在的直线.
（3）当点
0
0
(
,
)
M x
y
在抛物线C 内时，直线l 与抛物线C 相离.
【基础练习】
1.已知点
,
P x y 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
上任意一点，则点P 到直线l :
5
y
x
的最大距离为（
）
A. 5 2
26
2
B. 5 2
26
2
C. 5 2
26
D. 5 2
26
2.过点
2,2
P
作抛物线
2
2
y
x
的切线l ，切线l 在y 轴上的截距为___．
3.过双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，
且斜率之积为2
5
，则双曲线C 的离心率为（
）
A.
29
5
B.
30
3
C.
35
5
D.
30
5
4.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
，则椭圆在其上一点
0
0
,
A x
y
处的切
线方程为
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
，试运用该性质解决以下问题；椭圆
2
2
1 :
1
2
x
C
y
，点B 为
1
C 在第一象限中的
任意一点，过B 作
1
C 的切线l，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于
,
C D 两点，则OCD
面积的最小值为（
）
A. 1
B.
3
C.
2
D. 2
5.已知过圆锥曲线
2
2
1
x
y
m
n
上一点
,
o
o
P x
y
的切线方程为
0
0
1
x x
y y
m
n
.过椭圆
2
2
1
12
4
x
y
上的点
3, 1
A
作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（
）
A.
3
0
x
y
B.
- 2
0
x
y
C. 2
3
3
0
x
y
D. 3
10
0
x
y
6.过圆
2
2
2
x
y
r
上一定点
,
o
o
P x
y
的圆的切线方程为
2
0
o
x x
y y
r
.此结论可推广到圆锥曲线上.过
椭圆
2
2
1
12
4
x
y
上的点
3, 1
A
作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（
）
A.
2
0
x
y
B.
3
0
x
y
C. 2
3
3
0
x
y
D. 3
10
0
x
y
7.若直线
2
y
kx
与曲线
2
6
x
y
交于不同的两点，那么k 的取值范围是
A. （
15
15
,
3
3
）B. （
15
0, 3
）
C. （
15 ,0
3
）
D. （
15 , 1
3
）
8.过点
1, 1
P
作抛物线
2
:
2
C x
y
的两条切线，切点分别为
,
M N .若Q 为PMN
的重心，则点Q 的
坐标为（
）
A.
1,1
B.
0,0
C.
1
1, 2
D.
2,2
9.倾斜角为135°的直线l 与抛物线
2
8
y
x
相切，分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，过A ，B 两点的最
小圆截抛物线
2
8
y
x
的准线所得的弦长为（
）
A. 4
B. 2
C. 2 2
D.
2
10.设抛物线
2
2
x
py
(
0)
P
，M 为直线
2
y
p
上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，
B ，A ，B ，M 的横坐标分别为
A
X ，
B
X ，
M
X
则（
）
A.
2
A
B
M
X
X
X
B.
2
A
B
M
X
X
X
C.
1
1
2
A
B
M
X
X
X
D. 以上都不对
11.已知抛物线
2
:
2
0
6
C x
py
p
的焦点为F，P 为C 上一点，点
3,0
A
，
1, 2
B
，设
ABP
取
最小值和最大值时对应的点分别为
1P ，
2P ，且
1
2
0
BP BP
，则p （
）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
题型三：圆锥曲线的中点弦问题
【基础公式】
1.在椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
中（特别提醒此题结论适用焦点在x 轴上椭圆）：
（1）如图①所示，若直线
(
0)
y
kx k
与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线l ，l，
有l //l，设其斜率为
0k ，则
2
0
2
=
b
k k
a
.
（2）如图②所示，若直线
(
0)
y
kx k
与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，若直线
PA ，PB 的斜率存在，且分别为
1k ，
2k ，则
2
1
2
2
=
b
k k
a
.
（3）如图③所示，若直线=
+ (
0,
0)
y kx b k
m
与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为弦AB 的中点，设直线PO
的斜率为
0k ，则
2
0
2
=
b
k k
a
.
2.在双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
中，类比上述结论有（特别提醒此题结论）：（1）
2
0
2
= b
k k
a
；（2）
2
1
2
2
b
k k
a
；（3）
2
0
2
= b
k k
a
.
3.在抛物线C ：
2
2
(
0)
y
px p
中类比1（3）的结论有
0
0
=
(
0)
p
k
y
y
.
【基础练习】
1.椭圆
2
2
1
9
2
x
y
中以点
21
M
，为中点的弦所在直线斜率为（
）
A.
4
9
B.
1
2
C.
7
3
D.
7
3
2.已知A，B 在抛物线
2
4
y
x
上，且线段AB 的中点为M(1，1)，则|AB|＝（
）
A. 4
B. 5
C.
15
D. 2 15
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
的右焦点F 与抛物线
2
12
y
x
的焦点重合，过点F 的直线交E 于
A 、B 两点，若AB 的中点坐标为(
)
1, 1
-
，则E 的方程为（
）
A.
2
2
1
45
36
x
y
B.
2
2
1
36
27
x
y
C.
2
2
1
27
18
x
y
D.
2
2
1
18
9
x
y
4.设椭圆的方程为
2
2
1
2
4
x
y
，斜率为k 的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B 两点，M 为线段AB
的中点，下列结论正确的是（
）
A. 直线AB 与OM 垂直；
B. 若直线方程为
2
2
y
x
，则
4
2
3
AB
.
C. 若直线方程为
1
y
x
，则点M 坐标为1 4
3 3
，
D. 若点M 坐标为
1,1 ，则直线方程为2
3
0
x
y
；
5.将
2
2
4
x
y
上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，得到曲线C，若直线l 与曲线C 交于A，B
两点，且AB 中点坐标为M（1，1
2 ），那么直线l 的方程为（
）
A.
2
2
0
x
y
B.
2
0
x
y
C. 2
3
0
x
y
D. 2
2
0
x
y
6.已知m，n，s，t 为正数，
4
m
n
，
=9
m
n
s
t
，其中m，n 是常数，且s
t
的最小值是8
9 ，点
( , )
M m n
是曲线
2
2
+
=1
8
2
x
y
的一条弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（
）
A.
4
6
0
x
y
B. 4
6
0
x
y
C. 4
10
0
x
y
D.
4
10
0
x
y
7.如图，双曲线
2
2
2
2
:
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
，
，AB 是圆
2
2
5
: (
2)
(
1)
2
M
x
y
的一条直径，若双
曲线C 过A ，B 两点，且离心率为
2 ，则直线AB 的方程为（
）
A. 3
7
0
x
y
B. 4
6
0
x
y
C.
5
0
x
y
D. 2
3
0
x
y
8.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
的左、右焦点分别为
1
,0
F
c
，
2
,0
F
c
，过
1F 的直线l 交双曲线C 的渐近
线于A，B 两点，若
2
2
F A
F B
，
1 2
1 2
2
8
5
AF F
BF F
S
S
c
△
△
（
1 2
AF F
S
表示
1
2
AF F
△
的面积），则双曲线C 的
离心率的值为（
）
A.
3
B.
6
2
C.
5
D.
15
3
或
41
5
9.设直线
2
0
y
x
t t
与双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
两条渐近线分别交于点A ，B ，若点
4 ,0
P
t
满足PA
PB
，则该双曲线的渐近线方程是（
）
A.
3
y
x
B.
3
y
x
C.
1
3
y
x
D.
1
9
y
x
10.已知抛物线
1
C ：
2
2
0
y
px p
，其焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 且斜率大于0 的直线l 交抛物
线于A，B 两点，以AB 为直径的圆
2
C 与准线相切于点Q，O 为坐标原点，
5
OQ
，则圆
2
C 的标准方
程为（
）
A.
2
2
3
2
16
x
y
B.
2
2
2
3
16
x
y
C.
2
2
3
2
8
x
y
D.
2
2
2
3
8
x
y
11.椭圆方程为
2
2
2
2
1
(
0)
x
y
a
b
a
b
椭圆内有一点(1,1) ，以这一点为中点的弦所在的直线方程为
2
3
0
x
y
，则椭圆的离心率为______．
12.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
3
3
，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点且线段AB 的中点
为
3,2
M
，则直线l 的斜率为________.
13.过点
(1,1)
M
作斜率为1
2 的直线与双曲线
2
2
2
2
Γ :
1
x
y
a
b
相交于A，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则
双曲线Γ 的离心率为___________.
14.已知双曲线
2
2
1
2
y
x
上存在两点
,
M N 关于直线y
x
b
对称，且MN 的中点在抛物线
2
3
y
x
上，
则实数b 的值为________．
15.已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点为F ，虚轴的上端点为B ，点P ，Q 为C 上两点，
点
2,1
M
为弦PQ 的中点，且
//
PQ BF ，记双曲线的离心率为e ，则
2e ______．
题型四：圆锥曲线中的定值问题
【基础公式】
1．在椭圆中：已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
，定点
0
0
(
,
)
P x
y
（
0
0
0
x y
）在椭圆上，设A ，B 是椭
圆上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为
PA
k
，
PB
k
，且满足
0
PA
PB
k
k
．则直线AB 的斜率
2
0
2
0
=
AB
b x
k
a y
．
2．在双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
中，定点
0
0
(
,
)
P x
y
（
0
0
0
x y
）在双曲线上，设A ，B 是双
曲线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为
PA
k
，
PB
k
，且满足
0
PA
PB
k
k
．则直线AB 的斜率
2
0
2
0
=
AB
b x
k
a y
．
3．在抛物线C ：
2
2
(
0)
y
px p
，定点
0
0
(
,
)
P x
y
（
0
0
0
x y
）在抛物线上，设A ，B 是抛物线上的两
个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为
PA
k
，
PB
k
，且满足
0
PA
PB
k
k
．则直线AB 的斜率
0
=
AB
p
k
y
．
【基础练习】
1.已知点
2, 1
P
是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
上的一点，且椭圆C 的离心率
3
2
e
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）两动点
,
A B 在椭圆C 上，总满足直线PA 与PB 的斜率互为相反数，求证：直线AB 的斜率为定值.
2.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
过点
3
1, 2
A
，且离心率e 为1
2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）E 、F 是椭圆上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率
为定值，并求出这个定值.
3.已知动点M 到直线+2=0
x
的距离比到点
(1,0)
F
的距离大1．
（1）求动点M 所在的曲线C 的方程；
（2）已知点
(1,2)
P
，A B
、是曲线C 上的两个动点，如果直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数，
证明直线AB 的斜率为定值，并求出这个定值；
4.如图，已知
9
( ,3)
4
M
是抛物线
2
:
2
0
C y
px p
上一点，直线AM ，BM 的斜率互为相反数，与抛
物线C 分别交于A ，B 两点，且均在M 点的下方．证明：直线AB 的斜率为定值．
5.已知点P 在抛物线
2
:
4
C y
x
上，过点P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若
直线AB 的斜率为1
，则点P 坐标为（
）
A.
1,2
B. (
)
1, 2
-
C.
2,2 2
D.
2, 2 2
6.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点为
1
2
,
F F ，椭圆的离心率为1
2 ，点
3
3, 2
在椭圆
C 上．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）点T 为椭圆C 上的点，若点T 在第一象限，且
2
TF 与x 轴垂直，过T 作两条斜率互为相反数的直线
分别与椭圆C 交于点M，N，探究直线MN 的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明
理由．
7.已知抛物线
2
:
4
C y
x
，点Q 在x 轴上，直线:(
2)
2
4
0
l
m
x
y
m
与抛物线C 交于M，N 两点，
若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是_____.
8.已知
1,2
A
为抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的
斜率与直线AF 的斜率互为相反数．求直线EF 的斜率．
9.已知点
Q
2,0 ，点P 是圆C：
2
2
(x
2)
y
12
上的任意一点，线段PQ 的垂直平分线与直线CP
交于点M．
1 求点M 的轨迹方程；
2 过点
A
3,0
作直线与点M 的轨迹交于点E，过点
B 0,1 作直线与点M 的轨迹交于点F(E, F 不重合
) ，且直线AE 和直线BF 的斜率互为相反数，直线EF 的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF 的斜率；
若不是定值，请说明理由．
10.已知，椭圆C 过点
3 5
A
,
2 2
，两个焦点为
0,2 ，
0, 2
，,
E F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的
斜率与AF 的斜率互为相反数．
1 求椭圆C 的方程；
2 求证：直线EF 的斜率为定值．
11.在平面直角坐标系xOy 中，设点
0
0
,
M
x
y
是椭圆
2
2
:
1
20
5
x
y
C
上一点，以M 为圆心的一个半径
2
r
的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C 交于点P、Q.
（1）若点M 在第一象限且直线
,
OP OQ 互相垂直，求圆M 的方程；
（2）若直线
,
OP OQ 的斜率都存在，且分别记为
1
2
,
k k .求证：
1
2
k k 为定值；
（3）探究
2
2
OP
OQ
是否为定值，若是，则求出OP
OQ
的最大值；若不是，请说明理由.
12.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
的左右焦点为
1F 、
2
F ，离心率
3
2
e
，过圆
2
2
2
1 :
C
x
y
b
上
一点Q（Q 在y 轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E 于A、B 两点，交圆
2
2
2
2 :
C
x
y
a
于C、D 两点（如
图所示）．当切线AB 与x 轴垂直时，
2
CDF
V
的面积为3
3
．
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）（ⅰ）求ABO
的面积的最大值；
（ⅱ）求证：
2
AC
AF
为定值，并求出这个定值．
13.已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
过点
3,2
A
，且离心率
5
e
（1）求该双曲线的标准方程：
（2）如果B ，C 为双曲线上的动点，直线AB 与直线AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定
值，并求出该定值.
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1
17,0
F
、
2
1
2
17,0
2
F
MF
MF
，
，点M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；
（2）设点T 在直线
1
2
x
上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB
TP TQ
，
求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
题型五：圆锥曲线中的定点问题
【基础公式】
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点．
1.对于椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点( ,0)
a
，
则直线AB
l
过定点
2
2
2
2
(
)
(
,0)
+
a
b a
a
b
．同理，当以AB 为直径的圆过左顶点(
,0)
a
时，直线AB
l
过定点
2
2
2
2
(
)
(
,0)
+
a
b a
a
b
．
2.对于双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点
( ,0)
a
，则直线AB
l
过定点
2
2
2
2
(
+
)
(
,0)
a
b a
a
b
．同理，对于左顶点(
,0)
a
，则定点为
2
2
2
2
(
+
)
(
,0)
a
b a
a
b
．
3.对于抛物线
2
2
(
0)
y
px p
上异于顶点的两动点A ，B ，若
0
OA OB
，则弦AB 所在直线过点
(2 ,0)
p
．同理，抛物线
2
2
(
0)
x
py p
上异于顶点的两动点A ，B ，若
0
OA OB
，则直线AB 过定点
(0,2 )
p ．
【基础练习】
1.已知直线l 与抛物线
2
4
y
x
交于不同的两点A，B，O 为坐标原点，若直线
,
OA OB 的斜率之积为1
，
则直线l 恒过定点（
）
A. (4,0)
B. (0, 4)
C. (0, 4)
D. ( 4,0)
2.已知椭圆C：
2
2
2
2 =1
x
y
a
b
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
3
2
），P4（1，
3
2
）中恰有
三点在椭圆C 上.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 不经过P2点且与C 相交于A，B 两点.若直线P2A 与直线P2B 的斜率的和为–1，证明：l 过
定点.
3. 已知双曲线
2
2
1
2
y
x
，点
1,0
A
，在双曲线上任取两点P 、Q 满足AP
AQ
，则直线PQ 恒过定
点__________；
4.已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（a>b>0）的左､右焦点分别为
1F ，
2
F ，点
3
1, 2
M
满足
1
2
2
MF
MF
a
，
且
1
2
MF F
△
的面积为3
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的上顶点为P，不过点P 的直线l 交C 于A，B 两点，若PA
PB
，证明直线l 恒过定点.
5.已知椭圆
2
2
1
3
2
x
y
E
：
的左右顶点分别为A，B，点P 为椭圆上异于A，B 的任意一点．
（1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率乘积为定值；
（2）设
0
3
Q t
t
，
，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M，N 两点．问：是否存在实数t ，
使得以MN 为直径的圆恒过定点B？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
6.已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线
2
0
x
y
的距离为5 2
4
.点
0
0
0
,
0
N x
y
y
为此抛物线上的一点，
5
2
NF
.直线l 与抛物线交于异于N 的两点A，B，且
2
NA
NB
k
k
.
（1）求抛物线方程和N 点坐标；
（2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标.
7.在PAB
中，已知
2,0
A
、
2,0
B
，直线PA 与PB 的斜率之积为
3
4
，记动点P 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）设Q 为曲线C 上一点，直线AP 与BQ 交点的横坐标为4 ，求证：直线PQ 过定点.
8.已知与圆
2
2
: (
1)
3
C
x
y
相切的直线l，过抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
的焦点F，且直线l 的倾斜
角为2
3
.
（1）求抛物线E 的方程；
（2）直线1l 与抛物线E 交于点A，B 两点，且A，B 关于直线
5 3
y
x
对称，在
1
2
y
x
上是否存在
点N，使得以AB 为直径的圆恰好过点N，若存在，求出点N 的坐标；否则，请说明理由.
9.已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
的右焦点为F，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．
（1）若AM
MB
，且直线l 的斜率为4，求直线OM (点O 为坐标原点)的斜率．
（2）若直线FA ，FB 的斜率互为相反数，且直线l 不与x 轴垂直，探究：直线l 是否过定点?若是，求
出该定点坐标；若不是，请说明理由．
10.过点
(0,2)
D
的任一直线l 与抛物线
2
2
0
C : x
py( p
)
＞
交于两点
,
A B ，且
4
OA OB
．
（1）求p 的值．
（2）已知
,
M N 为抛物线C 上的两点，分别过
,
M N 作抛物线C 的切线1
2
l
l
和
，且1
2
l
l
，求证：直线MN
过定点．
11.在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到直线
4
x
的距离等于点M 到点
(1,0)
D
的距离的2 倍，记动点M
的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的方程；
（2）已知斜率为1
2 的直线l 与曲线C 交于A、B 两个不同点，若直线l 不过点
3
1, 2
P
，设直线PA
PB
、
的斜率分别为
PA
PB
k
k
、
，求
PA
PB
k
k
的值；
（3）设点Q 为曲线C 的上顶点，点E、F 是C 上异于点Q 的任意两点，以EF 为直径的圆恰过Q 点，试判
断直线EF 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
12.已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F .离心率等于
6
3
，点P 在y 轴正半
轴上，
1
2
PF F
△
为直角三角形且面积等于2.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，
直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
题型六：圆锥曲线中的定直线问题
【基础公式】
1．已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点
,
A B
时，在线段AB 上取一点Q ，满足|
|
|
|
=
.
|
|
|
|
AP
AQ
PB
QB
则点Q 必在定直线
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
上；
2．已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
外一点
0
0
(
,
)
P x
y
，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点
,
A B
时，在线段AB 上取一点Q ，满足|
|
|
|
=
.
|
|
|
|
AP
AQ
PB
QB
则点Q 必在定直线
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
上；
3．已知抛物线
2
2
y
px
( >0)
p
，定点
0
0
(
,
)
P x
y
不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于
,
A B 两点，
在直线AB 上取点Q ，满足|
|
|
|
=
.
|
|
|
|
AP
AQ
PB
QB
则点Q 在定直线
0
0
(
)
y y
p x
x
上．
【基础练习】
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
过点
6,1 ，且离心率为
2
2
.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知
3,0
D
，过M 且与y 轴垂直的直
线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程.
2.已知点P 是离心率为
1
2 的椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
b
）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、
y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线
b
y
x
a
于Q ，R 两点，记OMQ
与ONR
的面积
分别为
1S ，
2
S ，且
1
2
3
S
S
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆C 的上、下顶点分别为
1
B ，
2
B ，过点
0,1
D
的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直
线
2
EB ，
1
FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的右焦点
1F 与抛物线
2
4
y
x
的焦点重合，原点到过点
,0 ,
0,
A a
B
b
的直线距离是2 21
7
（1）求椭圆C 的方程
（2）设动直线:l y
kx
m
与椭圆C 有且只有一个公共点P ，过
1F 作
1
PF 的垂线与直线l 交于点Q ，求
证：点Q 在定直线上，并求出定直线的方程
4.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
的离心率为
6
3
，且过点
0,1 ．如图
所示，斜率为
0
k k
且过点
1,0
的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交
椭圆C 于点G ，若F 在射线OE 上，且
2
OG
OE
OF
．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：点F 在定直线上．
5.如图，椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1F ，
2
F 上顶点为A，过点A 与
2
AF 垂直的直
线交x 轴负半轴于点Q，且
1F 恰是
2
QF 的中点，若过A，Q，
2
F 三点的圆与直线:
3
3
0
l x
y
相切．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点
4,0
P
交C 于不同两点G，H，证明：四边形MNHG 的
对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．
6.已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
（
0
a
，
0
b
）实轴端点分别为
1
,0
A
a
，
2
,0
A a
，右焦点为F ，
离心率为2，过
1A 点且斜率1 的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知
1A BF
△
的面积为9
2
．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过F 的直线l与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线
1A M 与直线
2
A N 的交点Q 是否在某条
定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
7.已知椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
C
，点
4,1
P
为椭圆外一点．
（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围；
（2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满足
AP
QB
AQ
PB
，证明：点Q 总在某定直线上．
题型七：抛物线的焦点弦长公式
【基础公式】
不妨设抛物线方程为
2
2
0
y
px p
，如图1，准线
2
p
x
与x 轴相交于点P ，过焦点
,0
2
p
F
的直线l
与抛物线相交于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
两点，O 为原点，为AB 与对称轴正向所成的角，则有如下的焦
点弦长公式：
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
= 1+
-
,
= 1+
-
,
= +
+ ,
= sin
p
AB
k
x x
AB
y y
AB
x
x
p AB
k
．
【基础练习】
1.设F 为抛物线
2
:
6
C
y
x
的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A，B 两点，则AB （
）
A.
30
3
B. 8
C. 12
D. 7 3
2.抛物线
2
4
y
x
的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（
）
A. m＋n＝mn
B. m＋n＝4
C. mn＝4
D. 无法确定
3.过抛物线
2
8
x
y
焦点F 的直线交抛物线于M，N 两点，若MF
FN
uuur
uuur
，
9
MN
，则的值为（
）
A. 1
3
B.
1
2
C. 1
3
或3
D.
1
2 或2
4.已知抛物线C ：
2
4
y
x
的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A，M 是抛物线C 上的点.若MF
x
轴，
则以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为(
)
A. 2
B.
2
C. 1
D.
2
2
5.己知F 为抛物线
2
:
6
C
y
x
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A、B 两点，
直线2l 与C 交于D、E 两点，则|
|
|
|
AB
DE
的最小值为（
）
A. 24
B. 22
C. 20
D. 16
6.已知抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
，过抛物线焦点F 的直线与抛物线C 交于A､B 两点，交抛物线的准线于点
P，若F 为PB.中点，且
2 3
|
|
3
AF
，则|AB|=（
）
A. 2 2
3
B. 4 2
3
C. 4 3
3
D. 8 3
3
7.已知抛物线方程为
2
2
0
y
px p
，O 为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，A，B
的纵坐标之积为－8，且
3
AF
BF
，则OAB
的面积是（
）
A. 4 2
B. 1
4
C. 4 3
3
D. 8 3
3
8.（多选）已知O 为坐标原点，点
(1,1)
A
在抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
上，过点
(0, 1)
B
的直线交C 于P，
Q 两点，则（
）
A. C 的准线为
1
y
B. 直线AB 与C 相切
C.
2
|
OP
OQ
OA
D.
2
|
| |
| |
|
BP
BQ
BA
9.设F 为抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点，点A 在C 上，点
(3,0)
B
，若AF
BF
，则AB （
）
A. 2
B. 2 2 C. 3
D. 3 2
10.设抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F，点
,0
D p
，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直
于x 轴时，
3
MF
．
（1）求C 的方程；
（2）设直线
,
MD ND 与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
,
MN AB 的倾斜角分别为,
．当
取
得最大值时，求直线AB 的方程．
题型八：抛物线中的三类直线与圆相切问题
【基础公式】
不妨设抛物线方程为
2
2
0
y
px p
，如图1，准线
2
p
x
与x 轴相交于点P ，过焦点
,0
2
p
F
的直线l
与抛物线相交于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
两点，O 为原点，为AB 与对称轴正向所成的角，AB 的中点为C ，
又作
1
1
1
,
,
AA
l BB
l CC
l
，垂足分别为
1
1
1
,
,
A B C ，则有如下结论（图2）：
图1
图2
图3
①以AB 为直径的圆M 与准线相切；
②以AF 为直径的圆C 与y 轴相切；
③以BF 为直径的圆D 与y 轴相切；
④分别以
,
,
AB AF BF 为直径的圆之间的关系：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切，又与圆M
相内切．
结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3 有，
①以AB 为直径的圆的圆心在准线上的射影
1
M 与
,
A B 两点的连线互相垂直，即
1
1
M A
M B
；
②以AF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影
1
C 与
,
A F 两点的连线互相垂直，即
1
1
C A
C F
；
③以BF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影
1
D 与
,
B F 两点的连线互相垂直，即
1
1
D B
D F
；
④以
1
1
A B 为直径的圆必过原点，即
1
1
A F
B F
；
⑤
1
M F
AB
．
【基础练习】
1.设抛物线
2
:
2
(
0)
C y
px p
的焦点为F ，点M 在C 上，
5
MF
，若以MF 为直径的圆过点（0,2），
则C 的方程为
A.
2
4
y
x
或
2
8
y
x
B.
2
2
y
x
或
2
8
y
x
C.
2
4
y
x
或
2
16
y
x
D.
2
2
y
x
或
2
16
y
x
2.在平面直角坐标系中，已知点
1,0
F
，直线:
1
l x ，动直线l垂直于l 于点H ，线段HF 的垂直平
分线交l于点P ，设P 的轨迹为C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）以曲线C 上的点
0
0
0
,
(
0)
Q x
y
y
为切点作曲线C 的切线1l ，设1l
分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，
且1l 恰与以定点
4,0
M
为圆心的圆相切. 当圆M 的面积最小时，求
ABF
△
与
AQM
V
面积的比.
3.已知抛物线
2
:
4
C x
y
的准线为l，记l 与y 轴交于点M，过点M 作直线l与C 相切，切点为N，则以
MN 为直径的圆的方程为（
）
A.
2
2
(
1)
4
x
y
或
2
2
(
1)
4
x
y
B.
2
2
(
1)
16
x
y
或
2
2
(
1)
16
x x
y
C.
2
2
(
1)
2
x
y
或
2
2
(
1)
2
x
y
D.
2
2
(
1)
8
x
y
或
2
2
(
1)
8
x
y
4.阿基米德（公元前287 年---212 年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面
贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B 处的切线交于点P，称△PAB 为“阿基米
德三角形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）
△PAB 为直角三角形，且PA
PB
;（3）PF
AB
.若经过抛物线
2
4
y
x
焦点的一条弦为AB，阿基
米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（
）
A. x-2y-1=0
B. 2x+y-2=0
C. x+2y-1=0
D. 2x-y-2=0
5.抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，经过A ，
B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q .
下列说法不正确的是
A.
1
|
|
|
|
2
MN
AB
B. FN
AB
C. Q 是线段MN 的一个三等分点
D.
QFM
QMF
6.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C:y
2=2px(
0
p
)的焦点为F，直线x=3 与抛物线C 交于A，B 两点，｜
AF|=4，圆E 为FAB
的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M，点N 在圆E 上，则OM ON
的取值范围是（
）
A.
63,9
25
B.
3,21
C.
63,21
25
D.
3,27
7.抛物线
2
2
(
0)
y
px p
的焦点为F ，准线为l ，,
A B 是抛物线上的两个动点，且满足
2
= 3
AFB
．设
线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则
MN
AB 的最大值是（
）
A.
3
B.
3
2
C.
3
3
D.
3
4
8.已知抛物线
2
1 :
2
(
0)
C
x
py p
的焦点到准线的距离为1
2 ，点
0
0
,
D x
y
在抛物线
1
C 上，点
,
A B 在圆
2
2
2 :
4
3
0
C
x
y
y
上，直线
,
DA DB 分别与圆
2
C 仅有1 个交点，且与抛物线
1
C 的另一个交点分别
为
,
P Q ，若直线PQ 的倾斜角为120，则
0x （
）
A.
3
3
B.
3
或
3
3
C.
3
3
或
3
D.
3
9.抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点为F，准线为l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足
3
AFB
，设线
段AB 的中点M 在l 上的投影为N，则
MN
AB 的最大值是
A. 1
B.
3
2
C.
3
3
D. 2
10.（多选）抛物线C：
2
2
x
py
的焦点为F，P 为其上一动点，当P 运动到
,1
t
时，
2
PF
，直线l 与
抛物线相交于A，B 两点，点
4,1
M
，下列结论正确的是（
）
A. 抛物线的方程为
2
8
x
y
B. PM
PF
的最小值为6
C. 当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切
D. 若过A，B 的抛物线的两条切线交准线于点T，则A，B 两点的纵坐标之和最小值为2
11.抛物线
2
:
2
(
0)
C x
py p
的焦点为F ，准线为,l A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的
圆F 交l 于
,
B D 两点，
（1）若
90 ,
BFD
ABD
的面积为4 2 ，求p 的值及圆F 的方程
（2）若直线y
kx
b
与抛物线C 交于P，Q 两点，且OP
OQ
，准线l 与y 轴交于点S，点S 关于直线
PQ 的对称点为T，求|
|
FT 的取值范围.
12.已知点
1,0
F
为抛物线
2
2
0
y
px p
的焦点，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
是抛物线上两个不同的动点，
存在动点
0
0
0
,
0
P x
y
x
使得直线PA，PB 分别交抛物线的另一点M，N，且3 PM
MA
，3 PN
NB
.
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：
1
2
0
2
y
y
y
；
（3）当点P 在曲线
2
12
2
1
y
x
x
上运动时，求PAB
面积的取值范围.
