2.3 直线的方程（一）
模块一：基础知识.........................................................................2
考点一：直线的点斜式方程.......................................................... 2
考点二：直线的斜截式方程.......................................................... 2
考点三：直线的两点式方程.......................................................... 3
考点四：直线的截距式方程.......................................................... 4
考点五：中点坐标公式................................................................ 4
模块二：题型分类.........................................................................4
题型一：直线的点斜式方程.......................................................... 4
题型二：直线的斜截式方程.......................................................... 5
题型三：直线的图像特征............................................................. 6
题型四：直线的位置关系的应用.................................................... 7
题型五：直线的两点式方程.......................................................... 9
题型六：直线的截距式方程.......................................................... 9
题型七：两点式与截距式辨析......................................................10
题型八：中点坐标公式.............................................................. 11
题型九：直线与坐标轴围成图形面积定值问题................................. 12
题型十：直线与坐标轴围成图形面积最值问题................................. 13
模块三：综合巩固....................................................................... 15
2.3 直线的方程（一）
模块一：基础知识
考点一：直线的点斜式方程
1.如图，已知直线l 过点
0
0
(
,
)
P x
y
和斜率k（已知一点+斜率），则这条直线的点斜式方程
0
0
(
)
y
y
k x
x
2.点斜式方程的推导
如图，直线l 经过点
0
0
0
,
P x
y
，且斜率为k ．
设
,
P x y 是直线l 上不同于点
0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，
由斜率公式得
0
0
y
y
k
x
x
，即
0
0
(
)
y
y
k x
x
．
3.【注意】对直线点斜式方程的理解
（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点
0
0
,
x
y
和直线的斜率k ．
（2）当k 任意实数时，方程
0
0
y
y
k x
x
表示恒过定点
0
0
,
x
y
的无数条直线．
4.两种特殊的直线：
倾斜角
图象特征
斜率
直线方程
0°
tan 0
0
，即
0
k
0
0
y
y
，即
0
y
y
90°
tan90无意义，
即k 不存在
0
0
x
x
，即
0
x
x
考点二：直线的斜截式方程
1.直线l 的斜率为k 且在y 轴上的纵截距为b （已知斜率+纵截距），则直线斜截式方程为y
kx
b
2.斜截式方程的推导
如图，如果斜率为k 的直线l 过点
0 0,
P
b ，这时
0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得
0
y
b
k x
，即
y
kx
b ．
2.【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时
要讨论斜率是否存在．
3.斜截式的几种特例
0
b
y
kx 表示过原点的直线
0
k
，
0
b
y
b 表示与x 轴平行的直线
0
k
，
0
b
0
y
表示x 轴
考点三：直线的两点式方程
1.设直线l 经过两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
，则方程
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
叫作直线l 的两点
式方程，简称两点式．
2.两点式方程的推导
如果直线l 经过两点
1
1
1
,
P x y
，
2
2
2
,
P x
y
1
2
(
)
x
x
，则直线l 的斜率
2
1
2
1
y
y
k
x
x
．由直线的点斜式方程
得
2
1
1
1
2
1
(
)
y
y
y
y
x
x
x
x
．当
1
2
y
y
时，方程可以写成
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
．
3.对两点式方程的理解
（1）
2
1
1
1
2
1
(
)
y
y
y
y
x
x
x
x
1
2
(
)
x
x
与
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
1
2
1
2
(
,
)
x
x
y
y
，显然后者表示直线的范围
比前者缩小了，但后者便于记忆和应用，所以采用后者作为公式．
（2）对两点式中的两点，只要是直线上的两个不同的点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关．
（3）把直线的两点式方程化为
1
2
1
2
1
1
y
y
x
x
y
y
x
x
，则该方程表示过平面内任意不同两
点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
的直线．
考点四：直线的截距式方程
1.直线的截距式方程的定义
设直线l 在x 轴的截距为a ，在y 轴的截距为b ，且
0,
0
a
b
，则方程
1
x
y
a
b
叫作直线的截距式方程，
简称截距式．【注意：截距分正负】
2.截距式方程的推导
如图，已知直线l 经过两点
,0
A a
，
0,
B
b ，其中
0,
0
a
b
，有直线的两点式方程得，
0
0
0
y
x
a
b
a
，
即
1
x
y
a
b
．
3.截距的概念
（1）横截距：直线与x 轴交点的横坐标．在直线方程中，令
0
y
，解出x 的值即可．
（2）纵截距：直线与y 轴交点的纵坐标．在直线方程中，令
0
x
，解出y 的值即可．
4.截距式方程应用的注意事项
（1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式方程的逆向应用．
考点五：中点坐标公式
若点
1P ，
2P 的坐标分别为
1
1
,
x y
，
2
2
,
x
y
，且线段
1
2
PP 的中点M 的坐标为
,x y ，则
1
2
1
2
2
2
x
x
x
y
y
y
．
模块二：题型分类
题型一：直线的点斜式方程
1.直线l 经过点
0( 2,3)
P
，且倾斜角
45
，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l ．
2.已知直线l 经过点P，且l 的斜率为k，分别根据下列条件求直线l 的方程：
(1)
(0,3),
2
P
k
；
(2)
(1,0),
3
P
k ．
3.经过点
2 2
P
，且倾斜角为π
4 的直线方程是（
）
A．y
x
B．
2
y
x
C．
4
y
x
D．
2
y
x
4.写出满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)经过点
2,3
A
，斜率为3；
(2)经过点
3,0
B
，倾斜角是π
6 ；
(3)经过点
4, 2
C
，倾斜角是2π
3 ．
5.已知两点
(3,4)
A
、
( 5,6)
B
，则直线AB 的斜截式方程是
．
6.已知
3,4
A
，
1,0
B
，则过AB 的中点且倾斜角为120，直线的点斜式方程是
．
7.直线1l 过点
3
(2,
)
A
，其倾斜角等于直线2
1
:
3
l
y
x
的倾斜角的2 倍，求这条直线1l 的点斜式方程．
8.已知在第一象限的ABC
中，
1,1
5,1
60
45
A
B
A
B
，
，=
，=
，求BC 边所在直线的点斜式方程.
9.求经过点
2, 3
，倾斜角是直线
1
3
y
x
倾斜角的2 倍的直线的点斜式方程．
10.已知在第一象限的ABC
中，
(1,1)
A
，
(5,1)
B
，
60
A
，
60
B
，求直线BC 的点斜式方程.
题型二：直线的斜截式方程
1.倾斜角为45且在y 轴上的截距是2
的直线方程是（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
2
2
y
x
D．
2
2
2
y
x
2.直线
6
1
y
x
在y 轴上的截距b 是（
）
A．
1
b = -
B．
1
b
C．
6
b
D．
6
b
3.倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3 的直线的斜截式方程是
.
4.已知A（4，6），B（﹣3，﹣1），C（4，﹣5）三点.
（1）求经过点A 且与直线BC 平行的直线l 的点斜式方程；
（2）求经过点A 且与直线BC 垂直的直线m 的斜截式方程.
5.已知直线
(1
)
(
R)
l
y
m x
m
m
：
，若直线l 的倾斜角
π π
,
4 3
，求实数m 的取值范围
6.已知直线l 经过点
2,3
P
,且与坐标轴围成的三角形的面积为4 ,求直线l 的斜截式方程.
7.过点
2,3
且与直线2
1
0
x
y
垂直的直线l 的斜截式方程是
.
8.求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为
3
2
的直线的斜截式方程．
9.过点
3,4
P
且与坐标轴围成的三角形面积为1 的直线l 的斜截式方程是
．
题型三：直线的图像特征
1.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax 与y＝x＋a 正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.已知直线1l 的方程是y
ax
b
，2l 的方程是y
bx
a
（
0
ab
，a
b
¹ ），则下列图形中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3.直线
1
y
ax
a
的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
4.（多选）同一坐标系中，直线1 :
l
y
ax
b
与2 :
l
y
bx
a
大致位置正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.直线1l ：y
ax
b
与直线2l ：
0,
y
bx
a ab
a
b
在同一平面直角坐标系内的图象只可能是
（填
写正确的序号）．
6.（多选）直线1l ：y
ax
b
与2l ：y
bx
a
在同一平面直角坐标系内的位置可能是（
）
A．
B．
C．
D．
题型四：直线的位置关系的应用
1.已知直线l1：y＝－3m
8
x＋10－3m
8
和l2：6my＝－x＋4，问m 为何值时，l1与l2平行或垂直？
2.与直线
2
1
y
x
＋垂直，且在y 轴上的截距为4 的直线的斜截式方程为
；它与y 轴的交点为
.
3.（多选）若直线1
2
3
:
5
2,
:
0.2
1,
:
5
1
l
y
x
l
y
x
l
y
x
，则（
）
A．1l
2l
B．1
2
l
l
C．1
3
l
l
D．1l
3l
4.已知过点
2,
A
m
和点
,4
B m
的直线为1l ，2l ：
2
1
y
x
，3l ：
1
1
y
x
n
n
，若1
2
l
l
∥，2
3
l
l
，则m
n
的值为
.
5.已知直线1l 的方程为y＝－2x＋3.
(1)若直线2l 与1l 平行，且过点( 1,3)
，求直线2l 的方程；
(2)若直线2l 与1l 垂直，且l2 与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．
6.直线l 的方程为
3
5
a
y
ax
.
(1)证明：直线l 恒经过第一象限；
(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．
7.已知在平面直角坐标系中的两点
8, 6 ,
2,2
A
B
．
(1)求线段AB 的中垂线的方程；
(2)求以向量AB
为方向向量且过点
2, 3
P
的直线l 的方程．
8.已知ABC
中，点
1,0
A
，点
2,0
B
，点
0, 3
C
．
(1)求边BC 上的高所在直线的方程；
(2)求
BAC
角平分线所在直线的方程．
9.已知两点
1, 2
A
，
2,1
B
.
(1)求线段AB 的垂直平分线；
(2)直线l 过点
0, 1
P
且与线段AB 有交点，求直线l 的倾斜角的取值范围.
题型五：直线的两点式方程
1.经过两点(
)
1,2
-
，
3, 2
的直线方程是
.
2.过点
(5,6)
A
和点
( 1,2)
B
的直线的两点式方程是
．
3.已知直线l 经过两点
,0
A a
，
0,
B
b （如图），其中
0
a
，
0
b
，求直线l 的方程．
4.已知直线l 的两点式方程为
0
( 5)
3
0
3
( 5)
y
x
，则l 的斜率为（
）
A．
3
8
B．3
8
C．
3
2
D．3
2
5.已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程．
6.已知三角形的顶点是
1,3 ,
2, 1 ,
1, 1
A
B
C
，求这个三角形三边所在直线的方程.
7.若三点
0,1
A
，
,0
B a
，
3,2
C
在同一条直线上，则a 的值为
.
8.已知
ABCD
Y
三个顶点的坐标为
0,0
A
，
3,0
B
，
5,3
C
，求它的对角线AC，BD 所在直线的方程.
题型六：直线的截距式方程
1.在平面直角坐标系xOy 中，直线
1
4
8
x
y
在y 轴上的截距为（
）
A．8
B．8
C．
1
8
D．1
8
2.过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为
．
3.直线
3
5
0
x
y
的横截距为（
）
A．1
B．5
C．1
D．3
4.过点
1,2
A
的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（
）
A．
1
0
x
y
B．
1
0
x
y
C．2
0
x
y
或
1
0
x
y
D．2
0
x
y
或
1
0
x
y
5.已知直线l 经过点
1,2
A
，且在x ，y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为
.
6.坐标平面内过点
( 2,1)
A
，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为
.
7.直线l 过点
6,3
P
，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程．
8.过点
1,2
P
，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（
）
A．4 条
B．2 条
C．3 条
D．1 条
9.在△ABC 中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：
(1)顶点C 的坐标；
(2)直线MN 的截距式方程．
题型七：两点式与截距式辨析
1.下列直线方程是两点式方程的是（
）
A．y
kx
b
B．
0
0
2
y
y
k x
x
C．
1
2
x
y
a
b
D．
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
,
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
x
x
2.（多选）下列说法中错误的是（）
A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线
B．
1
2
3
x
y
与
1
2
3
x
y
是直线的截距式方程
C．直线方程的斜截式都可以化为截距式
D．在x 轴、y 轴上的截距分别是2、3
的直线方程为
1
2
3
x
y
3.（多选）下列说法中错误的是（
）
A．不过原点的直线都可以用方程
1
x
y
a
b
表示
B．若直线1
2
l
l
// ，则两直线的斜率相等
C．过两点
1
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
2
(
,
)
P x
y
的直线都可用方程
2
1
2
1
2
1
1
2
(
)
(
)
0
x y
y
y x
x
x y
x y
表示
D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
4.（多选）下列说法不正确的是（
）
A．过任意两点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
的直线方程可以写成
1
1
2
1
2
1
y
y
x
x
y
y
x
x
B．若直线在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1
C．若直线的斜率为1，则直线在x 轴和y 轴上的截距之和为0
D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
5.经过两点
1
1
2
2
,
,
,
x y
x
y
的直线方程都可以表示为（
）
A．
1
2
1
x
x
x
x
＝
1
2
1
y
y
y
y
B．
2
1
2
x
x
x
x ＝
2
1
2
y
y
y
y
C．
1
2
1
1
2
1
y
y
x
x
x
x
y
y
D．
1
1
y
y
x
x
＝
2
1
2
1
y
y
x
x
题型八：中点坐标公式
1.已知点
,2
P a
，
3,
Q
b
，线段PQ 的中点为
2,0 ，则直线PQ 的方程为
.
2.已知
1,0
M
，
3, 4
N
，直线l 经过线段MN 的中点，且垂直于线段MN ，则直线MN 的斜率为
；
直线l 的方程为
.
3.已知直线l 与直线1 : 2
2
0
l
x
y
和2
4
:
0
l
x
y
的交点分别为
,
A B ，若点
2,0
P
是线段AB 的中点，
则直线AB 的方程为
.
4.过点
(2,1)
M
作直线l，若l 分别交x 轴、y 轴的正半轴与点A，B，当M 为AB 中点时，求直线l 的方程．
5.如图，射线OA，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点
1,0
P
作直线AB 分别交OA，OB 于A，B
两点，当AB 的中点C 恰好落在直线
1
2
y
x
上时，则直线AB 的方程是
.
6.过点（3，2）的直线l ，被直线1 : 2
5
9
0
l
x
y
，2 : 2
5
7
0
l
x
y
所截得的线段AB 的中点恰好在直线
4
1
0
x
y
上，则直线l 的方程为
．
题型九：直线与坐标轴围成图形面积定值问题
1.直线l 过点P
4
3，2 ，且与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A，B 两点，O 为坐标原点．
(1)当△AOB 的周长为12 时，求直线l 的方程；
(2)当△AOB 的面积为6 时，求直线l 的方程．
2.纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10 的直线的一般式方程为
．
3.平面直角坐标系中，已知直线l 过点
0,4 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方程
为
．
4.已知直线l 经过点P(4, 1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l 的点斜式方程.
5.求过点
(2,3)
P
且分别满足下列条件的直线方程
（1）在两个坐标轴上的截距相等.
（2）与两个坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12.
6.（1）设直线m 的方程为
1
2
0
(
)
a
x
y
a
a
R
.若直线m 在两坐标轴上的截距相等，求直线m 的方
程；
（2）过直线l ：y
x
上的点
2,2
P
作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的
方程.
7.设k 为实数，若直线l 的方程为
1
2
2
4
0
k
x
y
k
，根据下列条件分别确定k 的值：
(1)直线l 的斜率为2 ；
(2)直线l 与两坐标轴在第二象限围成的三角形面积为12.
8.求分别满足下列条件的直线l 的方程．
（1）经过直线2
2
0
x
y
和直线3
1
0
x
y
的交点且与直线2
3
5
0
x
y
垂直；
（2）与直线4
3
1
0
x
y
平行且与坐标轴围成的三角形面积为3．
9.若过点
3,2
P
的直线l 与坐标轴交于
,
A B 两点，围成三角形AOB 的面积为16，则符合条件的直线的条数
为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型十：直线与坐标轴围成图形面积最值问题
1.直线l 过点
2,3
A
，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（
）
A．9
B．12
C．18
D．24
2.已知直线l 过点
(2,1)
P
，且与x 轴、y 轴的正半轴分别为交于A、B 两点，O 为坐标原点，则OAB
面积的
最小值为
，此时的直线方程为
．
3.过点(1,2) 的直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A、B 两点，O 为坐标原点，当
OAB
的面积最小时，直
线l 的方程为（）
A．2
4
0
x
y
B．
2
5
0
x
y
C．
3
0
x
y
D．2
3
8
0
x
y
4.已知过点
4,1
P
的直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O为坐标原点，当AOB
的面积最
小时，直线l 的方程为
．
5.已知直线l 过点
(2,1)
M
，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A，B 两点，分别求满足下列条件的直线方程：
(1)
2
BM
AM
时，求直线l 的方程．
(2)当AOB
的面积最小时，求直线l 的方程．
6. A 是直线:
3
l y
x
上的第一象限内的一点，
3,2
B
为定点，直线AB 交x 轴正半轴于点C，求使AOC
面
积最小的点A 的坐标.
7.已知点M 为直线1 : 2
0
l
x
y
a
与直线2 :
2
1
0
l
x
y
在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x，
y 轴的正半轴于A，B 两点，O 为坐标原点，则当
AOB
S
取得最小值为14
25 时，a 的值为
.
8.设直线l 的方程为(
1)
2
0(
)
a
x
y
a
a
R
(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
(3)若直线l 交x 轴正半轴于点A，交y 轴负半轴于点B，
AOB
△
的面积为S，求S 的最小值并求此时直线l
的方程.
9.已知一条动直线
:3
1
6
4
0
l
m
x
my
m
，
(1)求证：直线l 恒过定点，并求出定点P 的坐标；
(2)若直线l 与x 、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O为坐标原点，是否存在直线l 同时满足下列条件：
①AOB
的周长为12；②AOP
的面积为4 .若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
10.已知直线l 过点
4,3
P
，与x 轴正半轴交于点A､与y 轴正半轴交于点B.
（1）求OAB
面积最小时直线l 的方程（其中O 为坐标原点）；
（2）求PA PB
的最小值及取得最小值时l 的直线方程.
11.设直线l 的方程为
1
5
2
0
a
x
y
a
a
R
.
(1)求证:不论a 为何值，直线l 必过一定点P ;
(2)若直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点
,0
A
A x
，
0,
B
B
y
，当AOB
面积最小时，求AOB
的
周长;
(3)当直线l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线l 的方程.
模块三：综合巩固
1.过点( 1,2)
且与直线
3
2
3
y
x
垂直的直线方程为（
）
A．
3
2
(
1)
3
y
x
B．
2
3(
1)
y
x
C．
3
2
(
1)
3
y
x
D．
2
3(
1)
y
x
2.直线
4
2
y
x
在x 轴和y 轴上的截距分别为（
）
A．1
2 ，2
B．
1
2
，2
C．1
2 ，2
D．
1
2
，2
3.过点
2, 1
P
，且倾斜角为90的直线方程为（
）
A．
1
y
B．
2
x
C．
2
y
D．= 1
x
4.直线
3
4
3
y
x
的倾斜角是（
）
A．30
B．60
C．120
D．135
5.直线
1
4
2
x
y
的一个方向向量是（
）
A．
1,2
B．(
)
1, 2
-
C．
2,1
D．
2, 1
6.直线l 的方向向量
2,3
a
，且过点
1,1 ，则直线l 的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．3
2
5
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
7.已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(5，2),
2, 4
C
，则AB 边上的高CD 所在的直线方程
为（
）
A．5
14
0
x
y
B．
5
14
0
x
y
C．2
8
0
x
y
D．2
0
x
y
8.直线l 的方向向量
2,3
a
，且过点
1,1 ，则直线l 的方程为（
）
A．2
3
5
0
x
y
B．3
2
5
0
x
y
C．2
3
1
0
x
y
D．3
2
1
0
x
y
9.在x 轴、y 轴上的截距分别是2
、3 的直线方程为（
）
A．
1
2
3
x
y
B．
1
2
3
x
y
C．
1
3
2
y
x
D．
1
2
3
x
y
10.过点
6
(5 )
A ，和点
(
)
1 2
B －，的直线的两点式方程是（
）
A．
5
1
6
2
y
y
x
x
B．
6
5
2
6
1 5
y
x
C．2
6
1 5
6
5
y
x
D．
6
5
2
6
1 5
x
y
11.直线l 经过点
(3,4)
P
，它的倾斜角是直线
3
3
y
x
的倾斜角的2 倍，则直线l 的方程是（
）
A．
4
3
3
y
x
B．
4
3
3
y
x
C．
4
3
3
y
x
D．
4
3
3
y
x
12.已知点
2,1
P
，过点P 向直线1l ：
3
y
x
和2l ：
3
3
y
x
作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN
的长是（
）
A．
3
B．2 3
C．
5
2
D．15
2
13.过点( 1,2)
且与直线
3
2
3
y
x
垂直的直线方程为（
）
A．
3
2
(
1)
3
y
x
B．
2
3(
1)
y
x
C．
3
2
(
1)
3
y
x
D．
2
3(
1)
y
x
14.直线
1
0
y
k x
k
可能是（
）
A．
B．
C．
D．
15.直线l1：y＝ax＋b 与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（
）
A．
B．
C．
D．
16.若直线
:
1
0,
0
x
y
l
a
b
a
b
经过点
1,2 ，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和取最小值时，a
b （
）
A．2
B．
1
2
C．
2
D．
2
2
17.数学家欧拉在1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心
都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知ABC
的顶点分别为
0,2
A
，
1,0
B
，
4,0
C
，则ABC
的欧拉线方程为（
）
A．4
3
6
0
x
y
B．3
4
3
0
x
y
C．4
3
6
0
x
y
D．3
4
3
0
x
y
18.已知直线
1
x
y
a
b
经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是（
）
A．a
b
B．
a
b
C．(
)(
)
0
b
a b
a
D．1
1
a
b
19.已知两点
3,0
A
，
0,4
B
，动点
,
P x y 在线段AB 上运动，则xy 的最大值为（
）
A．12
5
B．144
49
C．3
D．4
20.已知直线1l ：
1
2
2
y
x
，直线2l 是直线1l 绕点
2,1
P
逆时针旋转45得到的直线，则直线2l 的方程是（
）
A．
3
y
x
=
+
B．
1
5
3
3
y
x
C．
3
7
y
x
D．
3
7
y
x
21.（多选）若直线1
2
3
:
5
2,
:
0.2
1,
:
5
1
l
y
x
l
y
x
l
y
x
，则（
）
A．1l
2l
B．1
2
l
l
C．1
3
l
l
D．1l
3l
22.（多选）已知直线l：
3
1
y
x
，则（
）
A．直线l 过点
3, 2
B．直线l 的斜率为
3
C．直线l 的倾斜角为60
D．直线l 在y 轴上的截距为1
23.（多选）直线l 经过点
1,2
A
，在x 轴上的截距的取值范围是
3,3
，则其斜率的可能的值是（
）
A．
B．1
C．
5
1
2
D．e
24.（多选）直线l 过点
2,1
A
，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（
）
A．1
B．1
C．3
D．0
25.（多选）已知直线l：
8
y
x
，则下列结论正确的是（）
A．点
2,6 在直线l 上
B．直线l 的一个方向向量为
1,1
u
C．直线l 在y 轴上的截距为8
D．直线l 的倾斜角为π
4
26.已知直线l 的斜率为1
，且过点(2, 5)
，则直线l 在y 轴上的截距是
.
27.已知直线1l 的倾斜角比直线2l ：
3
4
y
x
的倾斜角小20，则直线1l 的倾斜角为
.
28.已知直线l 经过点
1,1 ，且
4, 1
A
，
2,3
B
两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为
.
29.直线l 过点
0,1
P
，且斜率是倾斜角为π
6 的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为
30.某公园的示意图为如图所示的六边形ABCDEF ，其中AB
AF
，AF
BC
∥
，AB
DE
∥
，BCD
AFE
，
且
3
tan
4
BCD
，
50
CD
EF
米，
80
BC
DE
米．若计划在该公园内建一个有一条边在AB 上的矩
形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为
．
31.如图，在两条互相垂直的道路1l ，2l 的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路1l 的垂直距离为4 米，到
道路2l 的垂直距离为3 米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条
垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米．
32.已知直线l 的方程是
3
1
y
x
.
(1)求直线l 的斜率和倾斜角；
(2)求过点( 3, 1)
且与直线l 平行的直线的方程.
33.写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3 ，在y 轴上的截距是3
；
(2)直线倾斜角是60，在y 轴上的截距是5 ；
(3)直线在x 轴上的截距为4 ，在y 轴上的截距为2
.
34. ABC
的三个顶点分别是
3 0
A , ，
2,1
B
，
2,3
C
.
(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；
(2)求ABC
内BC 边上中线AD 方程.
35.设直线l 的方程是
0
ax by
c
+
+
=
，在下列条件下，分别求实数a 、b 、c的取值范围.
(1)l 与x 轴、y 轴均相交；
(2)l 与x 轴相交，与y 轴不相交.
36.在平面直角坐标系xOy 中，直线1 :
1
0
l
ax
by
，2 :(
2)
0
l
a
x
y
a
.
（1）求直线2l 经过定点的坐标；
（2）当
4
b
且1
2
l
l
// 时，求实数a 的值.
37.讨论直线1l ：
2
0
m x
y
m
和2l ：3
6
0
x
my
m
的位置关系．
38.在ABC
中，边AB 所在的直线斜率为
1
3
AB
k
，其中顶点A 点坐标为
1,1
，顶点C 的坐标为(1,2) .
(1)求AB 边上的高所在的直线方程；
(2)若
,
CA CB 的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程.
39.已知直线l 过点( 1, 3)
且与直线
3
1
0
x
y
的夹角为6
，求直线l 的方程
40.已知ABC
的顶点为
0,4
A
，
2,6
B
，
8,0
C
．
(1)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程；
(2)求AC 边所在直线的一个方向向量和一个法向量；
(3)求过AC 中点，且垂直于AC 方向向量的直线方程．
41.已知直线
:
1
3
2
1
0
l
a
x
a y
a
.
(1)若直线的斜率
1,2
k
，求实数a 的取值范围；
(2)证明：对任意实数a ，直线l 都经过一个确定的点.
42.如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB
的面积为24.点P 为线段AB
上一动点，且
/ /
PQ
OB 交OA于点Q .
（1）求直线AB 斜率的大小；
（2）若
APQ
△
的面积
APQ
S
与四边形OQPB 的面积
OQPB
S
满足：
1
3
APQ
OQPB
S
S
△
时，请你确定P 点在AB 上
的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ
为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明
理由.
