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2023届高考数学三轮冲刺卷：线性回归方程
一、选择题（共20小题；）
1. 线性回归方程 y`=bx+a 表示的直线必经过的一个定点是 ()
A. (0,0) B. (x,0) C. (0,y) D. (x,y)
2. 已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x=3，y=3.5，则由该观测数据算得
的回归直线方程可能是 ()
A. y`=0.4x+2.3 B. y`=2x−2.4
C. y`=−2x+9.5 D. y`=−0.3x+4.4
3. 某商品销售量 y （件）与销售价格 x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 ()
A. y`=−10x+200 B. y`=10x+200
C. y`=−10x−200 D. y`=10x−200
4. 一位母亲记录了自己儿子 3∼9 岁的身高数据，由此建立的身高与年龄的回归模型为
^y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则下列叙述正确的是 ()
A. 身高一定是 145.83cm B. 身高在 145.83cm 以上
C. 身高在 145.83cm 左右 D. 身高在 145.83cm 以下
5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能
耗 y（吨）的几组对应数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y`=0.7x+0.35，那么表中 t 的值为
()
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5
6. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子身高数据如下：
父亲身高x(cm) 174 176 176 176 178
儿子身高y(cm) 175 175 176 177 177
则 y 对 x 的线性回归方程为 ()
1
A. y=x−1 B. y=x+1 C. y=88+ x D. y=176
2
7. 观察两个相关变量得如下数据：
x −1 −2 −3 −4 −5 5 4 3 2
y −0.9 −2 −3.1 −5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
则两个变量间的线性回归方程为 ()
A. y=−1+0.5x B. y=x C. y=0.3+2x D. y=1+x
8. 已知 x 、 y 之间的数据见下表，则 y 与 x 之间的线性回归方程过点 ()
x 1.08 1.12 1.19 1.28
y 2.25 2.40 2.55 2.37
A. (0,0) B. (1.1675,0)C. (0,2.3925) D. (1.1675,2.3925)
9. 已知变量 x，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线 l 的方程为 y`=bx+a，
则下列说
法正确的是 ()
A. a>0,b<0 B. a>0,b>0 C. a<0,b<0 D. a<0,b>0
10. 某企业根据抽样分析的方法得到产量 x（千件）和单位产品成本 y（元/件）的回归方程
y`=80−10x，这个方程可表示 ()
A. 产量 x 每增加 1000 件，单位产品成本平均下降 80 元
B. 产量每增加 1 件，单位产品成本平均下降 1 元
C. 产量每增加 1000 件，单位产品成本平均下降 10 元
D. 产量每增加 80 件，单位产品成本平均下降 10 元
11. 已知回归直线斜率的估计值为 1.23，样本点的中心点为 (4,5)，则回归直线的方程为 ()
A. y`=1.23x+4 B. y`=1.23x+5 C. y`=1.23x+0.08 D. y`=0.08x+1.23
12. 设 (x ,y )，(x ,y )，…，(x ,y ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点
1 1 2 2 n n
通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是 ()
A. 直线 l 过点 (x,y)
B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率
C. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间
D. 当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同
13. 如果在一次实验中，测得 (x,y) 的四组数值分别是 A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，
则 y 与 x 之间的回归直线方程是 ()
A. y`=x+1.9 B. y`=1.04x+1.9 C. y`=0.95x+1.04 D. y`=1.05x−0.9
14. 已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y`=b`x+a`，若某同学根据上表中的前两组数据 (1,0)
和 (2,2) 求得的直线方程为 y=bʹx+aʹ，则以下结论正确的是 ()A. b`>bʹ，a`>aʹ B. y`>bʹ，a`aʹ D. y`0，在 y轴 上的截距是负数，即 a<0．
10. C
11. C
12. A 【解析】由样本中心 (x,y) 落在回归直线上可知A正确；x 和 y 的相关系数表示 x 与 y
之间的线性相关程度，不表示直线 l 的斜率，故B错；x 和 y 的相关系数应在 −1 到 1 之间，故
C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．
13. B
14. C 【解析】根据所给数据求出直线方程 y=bʹx+aʹ 和回归直线方程的系数，并比较大小．
由 (1,0)，(2,2) 求 bʹ，aʹ．
2−0
bʹ= =2，aʹ=0−2×1=−2．
2−1
求 b`，a` 时，
6
∑ x y =0+4+3+12+15+24=58，
i i
i=1
13
x=3.5，y= ，
6
6
∑ x2=1+4+9+16+25+36=91，
i
i=1
13
58−6×3.5×
所以 6 5，
b`= =
91−6×3.52 713 5 13 5 1
a`= − ×3.5= − =− ，
6 7 6 2 3
所以 b`aʹ．
15. D
16+17+18+19 50+34+41+31
【解析】x= =17.5，y= =39．
4 4
将 (x,y) 代入回归方程，得 39=−4×17.5+a`，解得 a`=109，
所以回归方程为 y`=−4x+109．
当 x=20 时，y`=−4×20+109=29．
16. D
4+2+3+5 49+26+39+54
17. B 【解析】x= =3.5（万元），y= =42（万元），所以
4 4
a`＝y−b`x＝42−9.4×3.5＝9.1，所以回归方程为 y`＝9.4x＋9.1，所以当 x＝6（万元）时，
y`＝9.4×6＋9.1＝65.5（万元）．
1 1 1 1
x= ∑ x = ×475=95 y= ∑ y = ×320=64
18. B 【解析】由题意知， 5 i 5 ， 5 i 5 ，
5 5
i=1 i=1
代入线性回归方程 y`=0.4x+a` 中，得 64=0.4×95+a`，解 a`=26；
所以线性回归方程为 y`=0.4x+26，
当 x=105 时，y`=0.4×105+26=68，
即该班某学生的数学成绩为 105 时，估计它的物理成绩为 68．
19. A 【解析】由已知可得 x=2，y=3.75，由于回归直线一定过点 (x,y)，代入检验可知结果为
A．
20. B
160+165+170+175+180 63+66+70+72+74
【解析】x= =170，y= =69．
5 5
因为回归直线过点 (x,y)，所以将点 (170,69) 的坐标代入回归直线方程 y`=0.56x+a`，得
a`=−26.2，故回归直线方程为 y`=0.56x−26.2．将 x=172 代入，得身高为 172cm 的男生体重为
70.12kg．
21. 负，正
22. (s,t)
23. 5.25
24. y`=26.95x+28.7
25. 54.9
10+20+30+40+50 62+68+75+81+89
【解析】因为 x= =30，y= =75，
5 5
所以回归直线一定过样本点的中心 (30,75)，
则由 y`=0.67x+a` 可得 75=30×0.67+a`，求得 a`=54.9．26. （1） 利用模型①，该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值为
y`=−38.3+14.7×21=270.4（亿元）．
利用模型②，该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值为 y`=98.6+17.6×11=292.2（亿
元）．
（2） 利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（1）从折线图可以看出，2000 年至 2019 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y`=−38.3+14.7t 上下，这说明利用 2000 年至 2019 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述
环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010
年至 2019 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变
化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2019 年的数据建立的线性模型 y`=98.6+17.6t 可以较好
地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（2）从计算结果看，相对于 2019 年环境基础设施投资额 276 亿元，由模型①得到的预测值 270.4
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更
可靠．
27. （1）
7 7
（2） y= x+ ．
10 20
（3） 19.65．
28. （1） 若从这 7 天随机抽取两天，有 C2=21 种情况，两天人数均少于 10，有 3 种情况，所以
7
3 6
至少有 1 天参加抽奖人数超过 10 的概率为 1− = ．
21 7
n
∑ x y −nx y
i i
364−7×4×11
（2） x=4，y=11，b`= i=1 = =2，
n 140−7×42
∑ x2−nx2
i
i=1
a`= y−b`x=11−4×2=3，
所以 y`=2x+3，所以估计若该活动持续 10 天，共有 77+19+21+23=140 名顾客参加抽奖．
2+3+4+5 18+27+32+35
29. （1） x= =3.5，y= =28，
4 4
4
∑ x y =2×18+3×27+4×32+5×35=420，
i i
i=1
4
∑ x2=22+32+42+52=54，
i
i=1n
∑ x y −nx y
i i
420−4×3.5×28
b`= i=1 = =5.6．
n 54−4×3.52
∑ x2−n(x) 2
i
i=1
a`= y−b`x=28−5.6×3.5=8.4，
所以回归方程为 y`=5.6x+8.4．
（2） 当 x=10 时，y`=5.6×10+8.4=64.4（万元），
故预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润为 64.4 万元．
30. （1） 散点图如图．
（2） 设 y 与产量 x 的线性回归方程为 y=bx+a．
2+3+5+6 7+8+9+12
x= =4，y= =9，
4 4
n
∑ x y −nx y
i i (x y +x y +x y +x y )−4x y 11
b= i=1 = 1 1 2 2 3 3 4 4 = =1.10．
n x2+x2+x2+x2−4x2 10
∑ x2−nx2 1 2 3 4
i
i=1
a= y−bx=9−1.10×4=4.60，
∴ 回归方程为 y`=1.10x+4.60．
