2023届高考数学三轮冲刺卷：线性回归方程
一、选择题（共20小题；）
1. 线性回归方程 y`=bx+a 表示的直线必经过的一个定点是 ()
A. (0,0) B. (x,0) C. (0,y) D. (x,y)
2. 已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 x=3，y=3.5，则由该观测数据算得
的回归直线方程可能是 ()
A. y`=0.4x+2.3 B. y`=2x−2.4
C. y`=−2x+9.5 D. y`=−0.3x+4.4
3. 某商品销售量 y （件）与销售价格 x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 ()
A. y`=−10x+200 B. y`=10x+200
C. y`=−10x−200 D. y`=10x−200
4. 一位母亲记录了自己儿子 3∼9 岁的身高数据，由此建立的身高与年龄的回归模型为
^y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则下列叙述正确的是 ()
A. 身高一定是 145.83cm B. 身高在 145.83cm 以上
C. 身高在 145.83cm 左右 D. 身高在 145.83cm 以下
5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能
耗 y（吨）的几组对应数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 t 4 4.5
根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y`=0.7x+0.35，那么表中 t 的值为
()
A. 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5
6. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子身高数据如下：
父亲身高x(cm) 174 176 176 176 178
儿子身高y(cm) 175 175 176 177 177
则 y 对 x 的线性回归方程为 ()
1
A. y=x−1 B. y=x+1 C. y=88+ x D. y=176
2
7. 观察两个相关变量得如下数据：
x −1 −2 −3 −4 −5 5 4 3 2
y −0.9 −2 −3.1 −5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
则两个变量间的线性回归方程为 ()
A. y=−1+0.5x B. y=x C. y=0.3+2x D. y=1+x
8. 已知 x 、 y 之间的数据见下表，则 y 与 x 之间的线性回归方程过点 ()
x 1.08 1.12 1.19 1.28
y 2.25 2.40 2.55 2.37
A. (0,0) B. (1.1675,0)C. (0,2.3925) D. (1.1675,2.3925)
9. 已知变量 x，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线 l 的方程为 y`=bx+a，
则下列说
法正确的是 ()
A. a>0,b<0 B. a>0,b>0 C. a<0,b<0 D. a<0,b>0
10. 某企业根据抽样分析的方法得到产量 x（千件）和单位产品成本 y（元/件）的回归方程
y`=80−10x，这个方程可表示 ()
A. 产量 x 每增加 1000 件，单位产品成本平均下降 80 元
B. 产量每增加 1 件，单位产品成本平均下降 1 元
C. 产量每增加 1000 件，单位产品成本平均下降 10 元
D. 产量每增加 80 件，单位产品成本平均下降 10 元
11. 已知回归直线斜率的估计值为 1.23，样本点的中心点为 (4,5)，则回归直线的方程为 ()
A. y`=1.23x+4 B. y`=1.23x+5 C. y`=1.23x+0.08 D. y`=0.08x+1.23
12. 设 (x ,y )，(x ,y )，…，(x ,y ) 是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点
1 1 2 2 n n
通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是 ()
A. 直线 l 过点 (x,y)
B. x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率
C. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间
D. 当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同
13. 如果在一次实验中，测得 (x,y) 的四组数值分别是 A(1,3)，B(2,3.8)，C(3,5.2)，D(4,6)，
则 y 与 x 之间的回归直线方程是 ()
A. y`=x+1.9 B. y`=1.04x+1.9 C. y`=0.95x+1.04 D. y`=1.05x−0.9
14. 已知 x 与 y 之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y`=b`x+a`，若某同学根据上表中的前两组数据 (1,0)
和 (2,2) 求得的直线方程为 y=bʹx+aʹ，则以下结论正确的是 ()A. b`>bʹ，a`>aʹ B. y`>bʹ，a`<aʹ C. b`<bʹ，a`>aʹ D. y`<bʹ，a`<aʹ
15. 某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个）的统计资料如表
所示：
x 16 17 18 19
y 50 34 41 31
由表可得回归直线方程 y`=b`x+a` 中的 b`=−4，据此模型预测零售价为 20 元时，每天的销
售量为 ()
A. 26 个 B. 27 个 C. 28 个 D. 29 个
16. 某产品在某零售摊位的零售价 x（单位：元）与每天的销售量 y（单位：个）的统计资料如下
表所示．
x 16 17 18 19
y 50 34 41 31
由表可得回归直线方程 y`=b`x+a` 中的 b`=−4，据此模型预测零售价为 20 元时，每天的销售量
为 ()
A. 26 个 B. 27 个 C. 28 个 D. 29 个
17. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额 y(万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 y`＝b`x+a` 中的 b` 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为
()
A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元
18. 已知某班学生的数学成绩 x（单位：分）与物理成绩 y（单位：分）具有线性相关关系，在一
∑ x =475 ∑ y =320
次考试中，从该班随机抽取 5 名学生的成绩，经计算： i ， i ，设其线性回
5 5
i=1 i=1
归方程为：y`=0.4x+a`．若该班某学生的数学成绩为 105，据此估计其物理成绩为 ()
A. 66 B. 68 C. 70 D. 72
19. 试验测得四组数据为 (1.5,2)，(2.5,4)，(3,3.5)，(4.5,5)，则 y 与 x 之间的回归直线方程为
()
17 2 17 2 17 1 17 1
A. y= x+ B. y=− x+ C. y= x+ D. y=− x−
13 13 13 13 13 13 13 13
20. 从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高x/cm 160 165 170 175 180
体重y/kg 63 66 70 72 74
根据上表可得回归直线方程 y`=0.56x+a`，据此模型预测身高为 172cm 的高三男生的体重为
()
A. 70.09kg B. 70.12kg C. 70.55kg D. 71.05kg
二、填空题（共5小题；）21. 对变量 x，y 有观测数据 (x ,y )(i=1,2,⋯,10)，得散点图 1；对变量 u，v 有观测数据
i i
(u ,v )(i=1,2,⋯,10)，得散点图 2．由这两个散点图可以判断：变量 x 与 y
i i
相关，u 与 v 相关．（填“正”或“负”）
22. 甲、乙两同学各自独立地考察两个变量 X，Y 的线性相关关系时，发现两人对 X 的观察数据
的平均值相等，都是 s，对 Y 的观察数据的平均值也相等，都是 t，各自求出的回归直线分别
是 l ，l ，则直线 l 与 l 必经过同一点 ．
1 2 1 2
23. 下表是某厂 1−4 月份用水量（单位：百吨）的一组数据，
月份x 1 2 3 4
用水量y 4.5 4 3 2.5
由其散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是
y`=−0.7x+a，则 a= ．
24. 某医院用光电比色计检验尿汞，得尿汞含量 (mg/L) 与消化系数如下表：
尿汞含量x 2 4 6 8 10
消化系数y 64 138 205 285 260
若 y 与 x 具有线性相关关系，则回归直线方程是
25. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验．根据收集
到的数据（如下表）：
零件数x/个 10 20 30 40 50
加工时间y/分钟 62 68 75 81 89
由最小二乘法求得回归方程 y`=0.67x+a`，则 a` 的值为 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 如图是某地区 2000 年至 2019 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图．为了预测
该地区 2020 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据
2000 年至 2019 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，⋯，20）建立模型①：
y`=−38.3+14.7t；根据 2010 年至 2019 年的数据（时间变量 t 的值依次为 1，2，⋯，
10）建立模型②：y`=98.6+17.6t．（1）分别利用这两个模型，求该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由．
27. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗
y（吨标准煤）的几组对照数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
n
∑(x −x)(y −y)
i i
（参考数据：b= i=1 ，y=a+bx）．
n
∑(x −x) 2
i
i=1
（1）请画出上表数据的散点图．
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=a+bx．
（3）已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据（2）的线性回归方
程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
28. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次
抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前 7
天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示开业第 x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 5 8 8 10 14 15 17
经过进一步统计分析，发现 y 与 x 具有线性相关关系．
n
∑ x y −nx y
i i 7 7
参考公式：b`= i=1 ，a`= y−b`x，∑ x2=140，∑ x y =364．
n i i i
∑ x2−nx2 i=1 i=1
i
i=1
（1）若从这 7 天随机抽取两天，求至少有 1 天参加抽奖人数超过 10 的概率；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y`=b`x+a`，并估
计若该活动持续 10 天，共有多少名顾客参加抽奖．29. 某公司近年来科研费用支出 x 万元与公司所获得利润 y 万元之间有如下的统计数据：
x 2 3 4 5
y 18 27 32 35
参考公式：用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程为： y`=b`x+a`，其中：
n
∑ x y −nx y
i i
b`= i=1 ，a`= y−b`x，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．
n
∑ x2−n(x) 2
i
i=1
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y`=b`x+a`；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的
利润．
30. 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量x千件 2 3 5 6
成本y万元 7 8 9 12
（1）画出散点图．
（2）求成本 y 与产量 x 之间的线性回归方程．（结果保留两位小数）答案
1. D
2. A
3. A
4. C 【解析】用回归模型 ^y=7.19x+73.93，只能作预测，其结果不是一个确定值．
5. A
【解析】回归直线经过点 (x,y)．
174+176+176+176+178
6. C 【解析】计算得，x= =176，
5
175+175+176+177+177
y= =176，根据回归直线经过样本中心 (x,y) 检验知，C符合．
5
7. B 【解析】y 对 x 的线性回归方程为 y=a+bx，其中 a= y−b⋅x．
根据已知数据可求出 x，y，结合选项可知选B．
8. D 【解析】因为 a= y−b⋅x，
所以 y=bx+a=bx+(y−b⋅x)=b(x−x)+ y，
所以 y 与 x 之间的线性回归方程过点 (x,y)．
9. D 【解析】由题图知，回归直线的斜率是正数，即 b>0，在 y轴 上的截距是负数，即 a<0．
10. C
11. C
12. A 【解析】由样本中心 (x,y) 落在回归直线上可知A正确；x 和 y 的相关系数表示 x 与 y
之间的线性相关程度，不表示直线 l 的斜率，故B错；x 和 y 的相关系数应在 −1 到 1 之间，故
C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．
13. B
14. C 【解析】根据所给数据求出直线方程 y=bʹx+aʹ 和回归直线方程的系数，并比较大小．
由 (1,0)，(2,2) 求 bʹ，aʹ．
2−0
bʹ= =2，aʹ=0−2×1=−2．
2−1
求 b`，a` 时，
6
∑ x y =0+4+3+12+15+24=58，
i i
i=1
13
x=3.5，y= ，
6
6
∑ x2=1+4+9+16+25+36=91，
i
i=1
13
58−6×3.5×
所以 6 5，
b`= =
91−6×3.52 713 5 13 5 1
a`= − ×3.5= − =− ，
6 7 6 2 3
所以 b`<bʹ，a`>aʹ．
15. D
16+17+18+19 50+34+41+31
【解析】x= =17.5，y= =39．
4 4
将 (x,y) 代入回归方程，得 39=−4×17.5+a`，解得 a`=109，
所以回归方程为 y`=−4x+109．
当 x=20 时，y`=−4×20+109=29．
16. D
4+2+3+5 49+26+39+54
17. B 【解析】x= =3.5（万元），y= =42（万元），所以
4 4
a`＝y−b`x＝42−9.4×3.5＝9.1，所以回归方程为 y`＝9.4x＋9.1，所以当 x＝6（万元）时，
y`＝9.4×6＋9.1＝65.5（万元）．
1 1 1 1
x= ∑ x = ×475=95 y= ∑ y = ×320=64
18. B 【解析】由题意知， 5 i 5 ， 5 i 5 ，
5 5
i=1 i=1
代入线性回归方程 y`=0.4x+a` 中，得 64=0.4×95+a`，解 a`=26；
所以线性回归方程为 y`=0.4x+26，
当 x=105 时，y`=0.4×105+26=68，
即该班某学生的数学成绩为 105 时，估计它的物理成绩为 68．
19. A 【解析】由已知可得 x=2，y=3.75，由于回归直线一定过点 (x,y)，代入检验可知结果为
A．
20. B
160+165+170+175+180 63+66+70+72+74
【解析】x= =170，y= =69．
5 5
因为回归直线过点 (x,y)，所以将点 (170,69) 的坐标代入回归直线方程 y`=0.56x+a`，得
a`=−26.2，故回归直线方程为 y`=0.56x−26.2．将 x=172 代入，得身高为 172cm 的男生体重为
70.12kg．
21. 负，正
22. (s,t)
23. 5.25
24. y`=26.95x+28.7
25. 54.9
10+20+30+40+50 62+68+75+81+89
【解析】因为 x= =30，y= =75，
5 5
所以回归直线一定过样本点的中心 (30,75)，
则由 y`=0.67x+a` 可得 75=30×0.67+a`，求得 a`=54.9．26. （1） 利用模型①，该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值为
y`=−38.3+14.7×21=270.4（亿元）．
利用模型②，该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值为 y`=98.6+17.6×11=292.2（亿
元）．
（2） 利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（1）从折线图可以看出，2000 年至 2019 年的数据对应的点没有随机散布在直线
y`=−38.3+14.7t 上下，这说明利用 2000 年至 2019 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述
环境基础设施投资额的变化趋势．2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010
年至 2019 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变
化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2019 年的数据建立的线性模型 y`=98.6+17.6t 可以较好
地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（2）从计算结果看，相对于 2019 年环境基础设施投资额 276 亿元，由模型①得到的预测值 270.4
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更
可靠．
27. （1）
7 7
（2） y= x+ ．
10 20
（3） 19.65．
28. （1） 若从这 7 天随机抽取两天，有 C2=21 种情况，两天人数均少于 10，有 3 种情况，所以
7
3 6
至少有 1 天参加抽奖人数超过 10 的概率为 1− = ．
21 7
n
∑ x y −nx y
i i
364−7×4×11
（2） x=4，y=11，b`= i=1 = =2，
n 140−7×42
∑ x2−nx2
i
i=1
a`= y−b`x=11−4×2=3，
所以 y`=2x+3，所以估计若该活动持续 10 天，共有 77+19+21+23=140 名顾客参加抽奖．
2+3+4+5 18+27+32+35
29. （1） x= =3.5，y= =28，
4 4
4
∑ x y =2×18+3×27+4×32+5×35=420，
i i
i=1
4
∑ x2=22+32+42+52=54，
i
i=1n
∑ x y −nx y
i i
420−4×3.5×28
b`= i=1 = =5.6．
n 54−4×3.52
∑ x2−n(x) 2
i
i=1
a`= y−b`x=28−5.6×3.5=8.4，
所以回归方程为 y`=5.6x+8.4．
（2） 当 x=10 时，y`=5.6×10+8.4=64.4（万元），
故预测该公司科研费用支出为 10 万元时公司所获得的利润为 64.4 万元．
30. （1） 散点图如图．
（2） 设 y 与产量 x 的线性回归方程为 y=bx+a．
2+3+5+6 7+8+9+12
x= =4，y= =9，
4 4
n
∑ x y −nx y
i i (x y +x y +x y +x y )−4x y 11
b= i=1 = 1 1 2 2 3 3 4 4 = =1.10．
n x2+x2+x2+x2−4x2 10
∑ x2−nx2 1 2 3 4
i
i=1
a= y−bx=9−1.10×4=4.60，
∴ 回归方程为 y`=1.10x+4.60．
