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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
石景山区 2023-2024 学年第一学期初三期末试卷
数 学
考生须知
1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题
用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 若 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵ ，
∴设 ， （ ），
∴ ，
故选： ．
2. 如图，在 中， ， ，则 为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设 ，则 ，根据勾股定理求出斜边
，再根据锐角三角函数的意义即可求出 ，准确计算是解题的关键．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
3. 如图，四边形 内接于 ， 是直径，D是 的中点．若 ，则 的大小为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接 ，由 是直径，得到 ，再根据题意得到
，则 ，则 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是直径，
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∴ ，
∵D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
4. 将抛物线 向左平移 个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移，根据平移规律：左加右减，上加下减，即可求解，掌握抛物线的平移
规律是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线 向左平移 个单位长度，
∴平移后抛物线的解析式为 ，
故选： ．
5. 若抛物线 与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】本题考查二次函数与 轴的交点问题．二次函数 与 轴有两个交点，则
；与 轴有一个交点，则 ；与 轴没有交点，则 ．据此
即可求解．
【详解】解：由题意得： ．
解得： ，
故选：D
6. 如图 ，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为 ．中国古老的天文和数学著作
《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，
环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图 ，
从“矩” 的一端 望向树顶端的点 ，使视线通过“矩”的另一端 ，测得 ，
．若“矩”的边 ，边 ，则树高 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明 ，得到 ，代入已知数
据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【详解】解：由题意可得， ， ， ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
7. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在抛物线 上，则下列结论正
确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据所给的函数解析式确定函数的开口方向，对称轴和最小
值，再结合函数图象的特点进行判定即可，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，函数有最小值 ，
∵点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，
∴ ，
故选： ．
8. 如图，在 中， 于点 ，给出下面三个条件：
；
；
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．
添加上述条件中的一个，即可证明 是直角三角形的条件序号是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的判定方法依次判断即可，掌握相似三角形
的判定方法是解题的关键．
【详解】若 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，故添加 可以；
若 ，
∵ ，
∴ ，
则无法证明 是直角三角形，故添加 不一定可以；
若 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ 是直角三角形，故添加 可以；
综上可知，添加 可证明 是直角三角形，
故选： ．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ．若 ，则 的
长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据矩形可得 ，从而有
，再根据性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10. 在平面直角坐标系 中，若点 ， 在反比例函数 的图象上，则 _____
（填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当 ，在每个象限内， 随 的增
大而减小，进行判断即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，在每个象限内， 随 的增大而减小，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
11. 如图，正六边形 内接于 ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正六边形的性质，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到
，得到 为等边三角形，进而得到 ，代入弧长公式即可求解，作出辅助
线，判断出 为等边三角形是解题的关键．
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【详解】解：连接 ，
∵ 是正六边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ 的长 ，
故答案为： ．
12. 如图， ， 分别与 相切于 两点， ， ，则 的半径为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，连接
，证明 ，得到 ，利用三角函数即可求解，由三角形全等得
到 是解题的关键．
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【详解】解：连接 ，
∵ ， 分别与 相切于 两点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 如图，线段 ， 分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离 为 ．若在点 处测
得点 的俯角 为 ，点 的仰角 为 ，则乙建筑物的高 约为_____ （结果精确到 ；
参考数据： ， ）．
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【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，先证明四边形 是矩形，再根据
三角函数解直角三角形即可，解题的关键是借助仰角俯角，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【详解】解：由题意得： ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
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14. 如图，点 ， 在 上， ．若 为 上任一点（不与点 ， 重合），则
的大小为_____．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据 为 上优弧或劣弧时，分情况即可求解，
解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
【详解】如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
15. 如图， 是正方形 内一点，满足 ，连接 ，若 ，则 长的最小值为
_____．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理和圆周角定理，根据题意得到点 的运动轨迹，结合圆的性
质得到 最小时的情形，再利用正方形的性质和勾股定理求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，
勾股定理和圆周角定理的应用．
【详解】如图，
∵ ，
∴点 在以 中点 为圆心， 为直径的圆上，
则 长的最小时，点 三点共线，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，
其部分图象如图所示，下面四个结论中，
；
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；
若点 在此抛物线上，则 ；
若点 在此抛物线上且 ，则 ．
所有正确结论的序号是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口方向判断
；由对称轴可判断 ；由函数的性质判断 ；由抛物线的对称性即可判断 ；解题的关键是掌握二
次函数的性质，利用数形结合方法分析问题．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，故 正确；
∵抛物线 的顶点为 ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵对称轴为直线 ，经过点 ，
∴抛物线经过另一个点
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∵抛物线开口向下，当 时， 随 的增大而减小，
又∵ ，
∴ ，故 正确；
∵抛物线与 轴的交点为 ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴点 关于对称轴的对称点为 ，
∴若点 在此抛物线上且 ，则 或 ，故 错误；
综上， 正确，
故答案为： ．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了特殊角三角函数和实数的混合运算，根据特殊角的三角函数值，二次根式的化简和有
理数的乘方分别计算，然后合并即可得到结果，熟练运用运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
，
．
18. 如图，在四边形 中， 平分 ， ．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质：
（1）先根据角平分线得出 ，进而可得出结论；
（2）根据相似三角形的性质得出 ，代入即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ （负值舍去）．
19. 已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）求此函数图象与 轴交点的坐标；
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（3）在平面直角坐标系 中，画出此函数的图象．
【答案】（1） ， ；
（2） ， ；
（3）画图见解析．
【解析】
【分析】（ ）用配方法把二次函数化为顶点式，从而可得出答案；
（ ）令 转化成一元二次方程，解出方程即可；
（ ）根据画函数图象的步骤，画出图象即可；
本题考查二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，配方法，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【小问1详解】
由 ，
∴顶点坐标为 ；
【小问2详解】
令 ，即 ，
解得： ， ，
∴函数图象与 轴交点的坐标为 ， ；
【小问3详解】
列表：
描点、连线，
如图，
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20. 如图， 是 的直径，弦 于点 ， ， ．求 的半径．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接 ， 设 的半径为 ，由垂径定理可得
，由勾股定理可得方程 ，解方程即可求解，由勾股定理得到方程是解题
的关键．
【详解】解：连接 ， 设 的半径为 ，
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∵ 是 的直径， ，
∴ ，
在 中， ，
由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ 的半径为 ．
21. 已知二次函数 的图象过点 和 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当 时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和
性质．
（1）把点 和 代入二次函数 ，求出 ， ，即可；
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（2）根据二次函数的的性质，可以求出 时，函数值 的取值范围．
【小问1详解】
∵二次函数 的图象过点 和 ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为： ．
【小问2详解】
如下图：
由（1）得，二次函数的解析式为： ，
∴对称轴为： ，
当 时，二次函数有最大值， ；
∴当 时， ；
当 时， ；
∴当 时，函数值 的取值范围为： ．
22. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，求 的长．
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【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理和通过余弦值求边长，过 作 于点 ，证明
四边形 是矩形，根据性质得出 ，由 求出 ，最后通过勾股定理即可求解，
解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线．
【详解】过 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ．
23. 已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）成
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反比例函数关系，即 ，其图象如图所示．
（1）求 的值；
（2）若用电器的电阻 为 ，则电流 为______ ；
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流 不得超过 ，那么用电器的电阻 应控制的范围是
______．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
（ ）根据待定系数法即可求解；
（ ）代入函数求值即可；
（ ）当 时，代入求出 ，再根据图象即可求解．
【小问1详解】
∵图象经过点 ，
∴ ，
解得： ；
【小问2详解】
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由（ ）得： ，
∴ ，
当 时， ，
故答案为： ；
【小问3详解】
当电流 ， ，
解得： ，
根据图象电流 不得超过 ，则 ，
故答案为： ．
24. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，点 在 的
延长线上， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
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（2） ．
【解析】
【分析】（ ）连接 ，由 为 的直径得到 ，又由 ，
，得到 ，进而得到 ，即可求证；
（ ）连接 ，由 ， 得到 ，设 ， ，由
，得到 ，证明 ，即可求解；
本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为 的直径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：连接 ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
设 ， ， 则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 内接于 ，
∴ ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
25. 投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可
以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点 处）到落地的过程中，
其竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点 的竖直高度为 ．记实心球运动路线的最高点为 ，训练
成绩（实心球落地点的水平距离）为 （单位： ）．训练情况如下：
第一次训练 第二次训练 第三次训练
训
练
成
绩
最
高
点
满
足
的
函
数
关
系
式
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
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（2）小石第二次训练的成绩 为______ ；
（3）直接写出训练成绩 ， ， 的大小关系．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法求解即可；
（ ）令 ，求出 的值即可；
（ ）根据函数解析式分别求出三个距离，根据大小即可比较；
此题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质的应用．
【
小问1详解】
由题意得： ，
∵当 时， ，
∴ ，解得： ，
∴第二次训练时满足的函数关系式为 ；
【小问2详解】
当 时， ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
小石第二次训练的成绩为 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
根据表格可知： ，
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由（ ）得： ，
当 时， ，
解得： ， （不符合题意，舍去）
∴ ，
∴ ．
26. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点 ， 在抛物线上，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） ．
【解析】
【分析】（ ）把 代入解析式，则有 ，利用对称轴 即可求解；
（ ）根据 ， 中横坐标与对称轴的距离结合 即可求解；
此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵ 经过点 ，
∴ ，整理得： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
由（ ）得：抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
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∴ 在对称轴的左侧且距离为 ， 在对称轴的右侧且距离为 ，
当 时， ，
∵ ，
∴根据图象可知，点 到对称轴的距离 比 到对称轴距离 大，
∴ ，
解得： ，
∴ 的取值范围为 ．
27. 如图，在 中， ， ． 是边 上一点（不与点B重合且
），将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
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（1）求 的度数；
（2） 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，依题意补全图形．若 ，
用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）图形见解析； ；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质；
（1）取 的中点 ，连接 ，构造 即可解决问题；
（2）过点 作 交 于 点，构造 即可解决问题；
正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
【小问1详解】
如图，取 的中点 ，连接 ，
在 中，
是等边三角形
线段 绕点 逆时针旋转 得到线段
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即 是等边三角形
，
即
【小问2详解】
如图，过点 作 交 于 点，
由（1）可知：
，
是 的中点
，
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28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 和点C给出如下定义：若点C在弦
的垂直平分线上，且点C关于直线 的对称点在 上，则称点C是弦 的“关联点”．
（1）如图，点 ， ．在点 ， ， ， 中，弦 的
“关联点”是______；
（2）若点 是弦 的“关联点”，直接写出 的长；
（3）已知点 ， ．对于线段 上一点S，存在 的弦 ，使得点S是弦 的
“关联点”．记 的长为t，当点S在线段 上运动时，直接写出t的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 或
（3）
【解析】
的
【分析】（1）由点坐标可知弦 垂直平分线为 轴，根据新定义求出各点关于弦 对称的点坐标，
然后根据是否在 上，进行判断作答即可；
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（2）由垂径定理可知，弦 的垂直平分线过圆心 ，则 为弦 的垂直平分线，点 关于
直线 的对称点为 或 ，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可；
（3）由题意知，分 在 内， 在 上和外部，两种情况；①如图 ，当 在 内，
的交点为 ， 关于 对称，连接 ，由题意知， ，则 ， ，
，则 ，由勾股定理得， ，如图 ，作 于 ，
根据 ，求得 ，则 ， ，由勾股定理得，
，确定 的取值范围，进而可得 的取值范围；②如图 ，当 在 上和外
部，同理（3）①，计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴弦 的垂直平分线为 轴，
∴ 关于直线 对称的点坐标为 ，在 上，即 是“关联点”；
关于直线 对称的点坐标为 ，不在 上，即 不是“关联点”；
不在弦 的垂直平分线上，即 不是“关联点”；
关于直线 对称的点坐标为 ，在 上，即 是“关联点”；
故答案为： ， ；
【小问2详解】
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的
解：由垂径定理可知，弦 垂直平分线过圆心 ，
∵点 是弦 的 “关联点”，
∴ 为弦 的垂直平分线，
∴点 关于直线 的对称点为 或 ，
当对称点为 时，直线 为 ，如图1，线段 ，
则 ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ；
当对称点为 时，直线 为 ，如图1，线段 ，
则 ， ，
由勾股定理得， ，
∴ ；
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综上所述， 的长为 或 ；
【小问3详解】
解：由题意知，分 在 内， 在 上和外部，两种情况；
①如图 ，当 在 内， 的交点为 ， 关于 对称，连接 ，
由题意知， ，则 ， ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
如图 ，作 于 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
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由勾股定理得， ，
∴ ，即 ；
②如图 ，当 在 上和外部， 的交点为 ， 关于 对称，连接 ，
同理（3）①可得，由题意知， ， ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，即 ；
综上所述，t的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称
的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键．
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