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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间的平行关系
一、选择题（共20小题；）
1. 空间两条互相平行的直线是指 ()
A. 在空间没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面内的两条直线
C. 分别在两个不同的平面内，且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线
2. 过直线 l 外的两点作与 l 平行的平面，则这样的平面 ()
A. 不可能作出 B. 只能作一个
C. 能作出无数个 D. 以上情况都有可能
3. 下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
4. 下列命题中，正确的有 ()
①平行于同一直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两个平面平行．
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
5. 下列 5 个命题中：
①平行于同一直线的两条不同的直线平行；
②平行于同一平面的两条不同的直线平行；
③若直线 l 与平面 α 没有公共点，则 l∥α；
④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；
⑤若 l∥α，则过 l 的任意平面与 α 的交线都平行于 l．
其中真命题的个数是 ()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 已知 m 是平面 α 的一条斜线，直线 l 过平面 α 内一点 A，那么下列选项中能成立的是 ()
A. l⊂α，且 l⊥m B. l⊥α，且 l⊥m
C. l⊥α，且 l∥m D. l⊂α，且 l∥m
7. 下列命题中正确的是 ()
A. 若 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面
B. 若直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与 α 内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行D. 若直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，则 b∥α
8. 对于两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面 α，β，以下结论正确的是 ()
A. 若 m⫋α，n∥β，m，n 是异面直线，则 α，β 相交
B. 若 m⊥α，m⊥β，n∥α，则 n∥β
C. 若 m⫋α，n∥α，m，n 共面于 β，则 m∥n
D. 若 m⊥α，n⊥β，α，β 不平行，则 m，n 为异面直线
9. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ()
A. 若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则 α∥β
B. 若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β
C. 若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
D. 若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β
10. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ()
A. 若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则 α∥β
B. 若 m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β
C. 若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
D. 若 m⊥α，m⊥β，则 α∥β
11. 下列条件能判定平面 α∥β 的是 ()
① α∥γ 且 β∥γ；② m⊥α 且 m⊥β；③ m∥α 且 m∥β；④ α⊥γ 且 β⊥γ．
A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④
12. 关于空间两条直线 a，b 和平面 α，下列命题正确的是 ()
A. 若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B. 若 a∥α，b⊂α，则 a∥b
C. 若 a∥α，b∥α，则 a∥b D. 若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b
13. 设 a,b 是两条直线，α,β 是两个平面，则 a⊥b 的一个充分条件是 ()
A. a⊥α，b∥β，α⊥β B. a⊥α，b⊥β，α∥β
C. a⊂α，b⊥β，α∥β D. a⊂α，b∥β，α⊥β
14. 设 l，m，n 表示三条不同的直线，α，β，γ 表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①
若 l⊥α，m⊥l，m⊥β，则 α⊥β；② 若 m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥n，则
m⊥l；③ 若 α⊥β，α⊥γ，则 α∥β 其中真命题的个数为 ()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
15. 设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是 ()
A. 若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α B. 若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α
C. 若 l∥α，m⊂α，则 l∥m D. 若 l∥α，m∥α，则 l∥m
16. 设 m，n 是平面 α 内的两条不同直线，l ，l 是平面 β 内的两条相交直线，则 α∥β 的一
1 2
个充分而不必要的条件是 ()
A. m∥β 且 l ∥α B. m∥l 且 n∥l
1 1 2C. m∥β 且 n∥β D. m∥β 且 n∥l
2
17. 若 a,b 是空间两条不同的直线，α,β 是空间的两个不同的平面，则 a⊥α 的一个充分不必要
条件是 ()
A. a∥β，α⊥β B. a⊂β，α⊥β C. a⊥b，b∥a D. a⊥β，α∥β
18. 若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 α，则“ l⊥m ”是“ l∥α ”的 ()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
19. 若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题中正确命题是 ()
A. 若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α
B. 若 α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则 α∥β
C. 若 m⊥β，m∥α，则 α⊥β
D. 若 α⊥γ，α⊥β，则 β⊥γ
20. 设平面 α∣∣平面β，A∈α，B∈β，C 是 AB 的中点，当 A，B 分别在 α，β 内运
动时，那么所有的动点 C ()
A. 不共面
B. 当且仅当 A，B 在两条相交直线上移动时才共面
C. 当且仅当 A，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面
D. 不论 A，B 如何移动都共面
二、填空题（共5小题；）
21. 已知平面 α∥平面β，P 是 α，β 外一点，过点 P 的两条直线 AC，BD 分别交 α 于 A，
B，交 β 于 C，D，且 PA=6，AC=9，AB=8，则 CD 的长为 ．
22. 设 α∥β，A,C∈α，B,D∈β，直线 AB 与 CD 交于 S，且 AS=8，BS=9，CD=34，
当 S 在 α，β 之间时，CS= ．
23. 下列命题：
①平面 α 内有无数个点到平面 β 的距离相等，则 α∥β；
②若直线 l 与两平面 α，β 都不垂直，则 α，β 不平行；
③若两个平面 α，β 与平面 γ 均垂直，则 α∥β．
则真命题的个数是 ．
24. 已知 a，b，c 是三条不同的直线，α，β，γ 是三个不重合的平面，现给出以下命题：
① a∥c，b∥c⇒a∥b；
② a∥α，b∥α⇒a∥b；
③ α∥c，β∥c⇒α∥β；
④ α∥γ，γ∥β⇒α∥β．
其中正确的命题是 ．（填序号）25. 如图所示，在直角梯形 ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N 分别是 AD，BE 的中
点，将 △ADE 沿 AE 折起，下列说法正确的是 （填上所有正确的序号）．
①不论 D 折至何位置（不在平面 ABC 内）都有 MN∥平面DEC；
②不论 D 折至何位置都有 MN⊥AE；
③不论 D 折至何位置（不在平面 ABC 内）都有 MN∥AB．
三、解答题（共5小题；）
26. 如 图 ， 在 四 面 体 PABC 中 ， PC⊥AB， PA⊥BC， 点 D,E,F,G 分 别 是 棱
AP,AC,BC,PB 的中点．
（1）求证：DE∥ 平面 BCP；
（2）求证：四边形 DEFG 为矩形；
（3）是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由．
27. 如图所示几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和 CD 垂直于平面 ABC，且 AE=AB=2a，
CD=a，F 为 BE 的中点．求证：
（1）DF∥面ABC；
（2）AF⊥BD．
28. 如图，四棱锥 P−ABCD 中，PD⊥平面ABCD，底面 ABCD 为正方形，BC=PD=2，
E 为 PC 的中点，CB=3CG．（1）求证：PC⊥BC；
（2）AD 边上是否存在一点 M，使得 PA∥平面MEG?若存在，求 AM 的长；若不存在，
请说明理由．
29. 如图所示，斜三棱柱 ABC−A B C 中，点 D，D 分别为 AC，A C 的中点．求证：
1 1 1 1 1 1
（1）AD ∥平面BDC ；
1 1
（2）BD∥平面AB D ．
1 1
30. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，
平面PAD⊥平面ABCD，M 和 N 分别是 AD 和 BC 的中点．
（1）求证：PM⊥MN；
（2）求证：平面PMN⊥平面PBC；
（3）在 PA 上是否存在点 Q，使得平面 QMN∥平面PCD ?若存在求出 Q 点位置，并证
明；若不存在，请说明理由．答案
1. D 【解析】在空间中没有公共点的两条直线可能平行也可能异面；分别在两个平面内，且没有公
共点的两条直线可能平行也可能异面．
2. D
3. C
4. C
5. C
【解析】对于①，根据平行公理，平行于同一直线的两条不同的直线平行，①正确；
对于②，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行、异面或相交；②错误；
对于③，根据线面平行的概念，若直线 l 与平面 α 没有公共点，所以 l∥α，③正确；
对于④，根据面面平行的性质，用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行，④正确；
对于⑤，根据线面平行的性质，若 l∥α，则过 l 的任意平面与 α 的交线都平行于 l，⑤正确．
6. A
7. D 【解析】A中，a 可以在过 b 的平面内；
B中，a 与 α 内的直线可能异面；
C中，两平面可相交；
D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．
8. C
9. D 【解析】A．一组线线平行，不能推出面面平行，故A错；
B．若 m∥n，则不能推出 α∥β，故B错；
C．α 与 β 可能平行，可能相交，故C错；
D．垂直于同一直线的两平面相互平行，正确．
10. D
11. C 【解析】对于①，设 l⊥γ，因为 α∥γ，β∥γ，则 l⊥α，l⊥β，于是 α∥β，故①可得
出 α∥β；
对于②，由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可得 α∥β，故②可得出 α∥β；
对于③，设 α∩β=n，m∥n，m⊄α，m⊄β，则 m∥α，m∥β，显然 α，β 相交，故③不能
判断 α∥β；
对于④，当 α，β，γ 两两垂直时，显然不能得出 α∥β．
12. D 【解析】线面平行的判定定理中的条件要求 a⊄α，故 A错．平行于平面的直线与平面内的
直线的位置关系，可以平行，也可以异面，故B错．平行于同一个平面的两条直线的位置关系，平行、
相交、异面都有可能，故C错．垂直于同一个平面的两条直线的位置关系是平行，故D正确．
13. C 【解析】以正方体为背景考虑，
A中，设平面 ABCD 为 α，平面 A A D D 为 β，若 A A 为 a，BB 为 b，显然 a⊥b 不
1 1 1 1
成立；
B中的条件可以推得 a∥b，所以不成立；
C中，由 b⊥β，α∥β 可得 b⊥α，而 a⊂α，所以可得到 b⊥a；反之，仅由 a⊥b 得不到C
中的条件，所以C为符合结论的选项．
D中，设平面 ABCD 为 α，平面 A A D D 为 β，若 AD 为 a，B C 为 b，则 a⊥b 不成立．
1 1 1 114. C 【解析】由 l，m,，n 表示三条不同的直线，α，β，γ 表示三个不同的平面知：在 ① 中，
若 l⊥α，m⊥l，m⊥β，则平面 α，β 成 90∘ 角，所以 α⊥β，故 ① 正确；在 ② 中，若
m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥l，则由三垂线定理得 m⊥l，故 ② 正确；对于 ③，α⊥β，
α⊥γ，则 γ∥β 错误，如墙角的三个面的关系，故 ③ 错误，真命题的个数为 2，故选C．
15. B
16. B 【解析】因 m⊂α，l ⊂β，若 α∥β，则有 m∥β 且 l ∥α，故 α∥β 的一个必要条
1 1
件是 m∥β 且 l ∥α，排除A．因 m，n⊂α，l ，l ⊂β 且 l 与 l 相交，若 m∥l 且
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n∥l ，因 l 与 l 相交，故 m 与 n 也相交，所以 α∥β；若 α∥β，则直线 m 与直线 l 可能
2 1 2 1
为异面直线，故 α∥β 的一个充分而不必要条件是 m∥l 且 n∥l ．
1 2
17. D 【解析】提示：A、B、C中的 a 与 α 的位置关系都不确定．D中，由 a⊥β，α∥β 可以
推得 a⊥α（事实上，这符合线面垂直的推论），反之 a⊥α 时，不能得到 a⊥β，α∥β．
18. B
19. C 【解析】分别如图所示：
故A不正确；
此图显示 α 与 β 相交，故B不正确；因为 m∥α，m⊥β，所以，α 内存在与 β 垂直的直线，故 α⊥β，C正确；
如图显示，β 与 γ 不垂直，故D不正确．
20. D
【解析】设平面 α 、 β 间的距离为 d，则不论 A 、 B 如何移动，点 C 到 α 、 β 的距离都分
d
别为 ．所以动点 C 都在平面 α 、 β 之间，且与 α 、 β 的距离都相等的一个平面上．
2
21. 20 或 4
【解析】提示：点 P 可能在两个平行平面的之间，也可能在两平面一侧．
22. 16
AS CS 8 CS
【解析】 = ，所以 = ．所以 CS=16．
AB CD 17 34
23. 0
24. ①④
【解析】由线面、面面平行的定义和线面、面面平行的判定定理以及性质定理可得．
25. ①②
【解析】①在直角梯形 ABCD 中，由 BC⊥DC，AE⊥DC，知四边形 ABCE 为矩形．
连接 AC，
因为 N 为 BE 的中点，则 AC 过点 N．
当 D 折至某一位置时，如图所示，连接 MN，因为 M 为 AD 的中点，N 为 AC 的中点，
所以 MN 为 △ADC 的中位线，
所以 MN∥CD，
因为 MN⊄平面DEC，CD⊂平面DEC，
所以 MN∥平面DEC，①正确；
②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，ED∩EC=E，
所以 AE⊥平面DEC，CD⊂平面DEC，
所以 AE⊥CD，
所以 MN⊥AE，②正确；
③ MN 与 AB 异面，假设 MN∥AB，
由 MN∥DC 知，DC∥AB，
又 CE∥AB，得 CE∥DC，这与 CE∩CD=C 相矛盾，
所以假设不成立，③错误．
26. （1） 因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点，所以 DE∥PC．
又因为 DE⊄ 平面 BCP，所以 DE∥ 平面 BCP．
（2） 因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点，所以
DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.
所以四边形 DEFG 为平行四边形．
又因为 PC⊥AB，所以 DE⊥DG，所以四边形 DEFG 为矩形．
（3） 存在点 Q 满足条件，理由如下：
连接 DF,EG，设 Q 为 EG 的中点，
由（2）知，DF∩EG=Q，且1
QD=QE=QF=QG= EG.
2
分别取 PC,AB 的中点 M,N，连接 ME,EN,NG,MG,MN．
与（2）同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线交点为 EG 的中点 Q，
1
QM=QN= EG,
2
所以 Q 为满足条件的点．
27. （1） 如图，取 AB 中点 G，连接 CG、FG．
∵ F 为 EB 中点，
1
∴ FG∥AE 且 FG= AE；
2
1
又 CD∥AE 且 CD= AE；
2
∴CD∥FG 且 CD=FG．
∴ 四边形 FGCD 为平行四边形．
∴DF∥CG，又 DF⊄面ABC，CG⊂面ABC；
∴DF∥面ABC．
（2） ∵ △ABC 为正三角形，G 为 AB 中点；
∴CG⊥AB，
∵AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC；
∴AE⊥CG；
又 AB∩AE=A，AB、AE⊂平面ABE；
∴CG⊥平面ABE．
∵AF⊂平面ABE，
∴CG⊥AF．
又（1）已证 DF∥CG，∴DF⊥AF；
又 AE=AB，F 为 BE 的中点，
∴AF⊥BE；
又 BE∩DF=F，BE、DF⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE．
∵BD⊂平面BDE，
∴AF⊥BD．
28. （1） 因为 PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以 PD⊥BC．
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 BC⊥CD．
又 PD∩CD=D，
所以 BC⊥平面PCD．
因为 PC⊂平面PDC，
所以 PC⊥BC．
（2） 连接 AC，BD 交于点 O，连接 EO，GO，延长 GO 交 AD 于点 M，连接
EM，则 PA∥平面MEG．
证明如下：
因为 E 为 PC 的中点，O 是 AC 的中点，
所以 EO∥PA．
因为 EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，
所以 PA∥平面MEG．
因为 △OCG≌△OAM，
2
所以 AM=CG= ，
3
2
所以 AM 的长为 ．
3
29. （1） 因为 D ，D 分别为 A C ，AC 的中点，四边形 ACC A 为平行四边形，
1 1 1 1 1
所以 C D ∥DA 且 C D =DA，
1 1 1 1
所以四边形 ADC D 为平行四边形，
1 1
所以 AD ∥C D．
1 1
又 AD ⊄平面BDC ，C D⊂平面BDC ，
1 1 1 1
所以 AD ∥平面BDC ．
1 1
（2） 连接 DD ，
1
因为 BB ∥平面ACC A ，BB ⊂平面BB D D，平面 ACC A ∩平面BB D D=DD ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1所以 BB ∥DD ，
1 1
又因为 D ，D 分别为 A C ，AC 的中点，
1 1 1
所以 BB =DD ，
1 1
故四边形 BDD B 为平行四边形，
1 1
所以 BD∥B D ，
1 1
又 BD⊄平面AB D ，B D ⊂平面AB D ，
1 1 1 1 1 1
所以 BD∥平面AB D ．
1 1
30. （1） 因为 △PAD 是正三角形，M 是 AD 的中点，
所以 PM⊥AD．
因为 平面PAD⊥平面ABCD，且 平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以 PM⊥平面ABCD．
因为 MN⊂平面ABCD，
所以 PM⊥MN．
（2） 因为 PM⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以 PM⊥BC．
因为 ABCD 是正方形，M，N 分别是 AD，BC 的中点，
所以 MN⊥BC．
因为 PM∩MN=M，
所以 BC⊥平面PMN．
因为 BC⊂平面PBC，
所以 平面PMN⊥平面PBC．
（3）
存在点 Q 为 PA 的中点，使得平面 QMN∥平面PCD．
证明：因为 M，Q 分别是 AD，PA 的中点，
所以 MQ∥PD．
因为 MQ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
所以 MQ∥平面PCD．
同理可得 MN∥平面PCD．
因为 MQ∩MN=M，
所以 平面QMN∥平面PCD．
