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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间的垂直关系
一、选择题（共20小题；）
1. 已知 a，b 是两条不同的直线，α 是一个平面，且 b⊂α，那么“a⊥b”是“a⊥α”的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 在长方体 ABCD−A B C D 六个面中，与面 ABCD 垂直的有 ()
1 1 1 1
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3. 已知 α，β 是两个不同的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 ()
A. 若 m∥α，α∩β=n，则 m∥n
B. 若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α
C. 若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n
D. 若 α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则 m⊥β
4. 设有不同的直线 a、b 和不同的平面 α、β、γ，给出下列三个命题：
①若 a∥α,b∥α，则 a∥b；
②若 a∥α,a∥β，则 α∥β；
③若 α⊥γ,β⊥γ，则 α∥β．
其中正确的个数是 ()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5. 若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题中正确命题是 ()
A. 若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α
B. 若 α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则 α∥β
C. 若 m⊥β，m∥α，则 α⊥β
D. 若 α⊥γ，α⊥β，则 β⊥γ
6. 下列命题中不正确的是 ()
A. 如果 平面α⊥平面β，且 直线l∥平面α，则 直线l⊥平面β
B. 如果 平面α⊥平面β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β
C. 如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β
D. 如果 平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么 l⊥γ
7. 如图所示，在斜三棱柱 ABC−A B C 中，∠BAC=90∘，BC ⊥AC，则 C 在底面 ABC
1 1 1 1 1
上的射影 H 必在 ()A. 直线 AB 上 B. 直线 BC 上 C. 直线 AC 上 D. △ABC 内部
8. 若 l，m，n 是互不相同的空间直线，α，β 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ()
A. 若 α∥β，l⊂α，n⊂β，则 l∥n
B. 若 α⊥β，l⊂α，则 l⊥β
C. 若 l⊥n，m⊥n，则 l∥m
D. 若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β
9. 已知 a，b 为异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，直线 l 满足 l⊥a，l⊥b，l⊄α，
l⊄β，则 ()
A. α∥β 且 l∥α B. α⊥β 且 l⊥β
C. α 与 β 相交，且交线平行于 l D. α 与 β 相交，且交线垂直于 l
10. 若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，下些说法正确的是 ()
A. 若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α
B. 若 m⊥β，m∥α，则 α⊥β
C. 若 α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则 α∥β
D. 若 α⊥γ，α⊥β，则 γ⊥β
11. 若 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，下些说法正确的是 ()
A. 若 m⊂β，α⊥β，则 m⊥α
B. 若 m⊥β，m∥α，则 α⊥β
C. 若 α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则 α∥β
D. 若 α⊥γ，α⊥β，则 γ⊥β
12. 对于直线 m,n 和平面 α,β，能得出 α⊥β 的一个条件是 ()
A. m⊥n，m∥α，n∥β B. m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C. m∥n，n⊥β，m⊂α D. m∥n，m⊥α，n⊥β
13. 设 α，β 是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 ()
A. 若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β B. 若 l∥α，α∥β，则 l⊂β
C. 若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β D. 若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β
14. 若 a,b 是空间两条不同的直线，α,β 是空间的两个不同的平面，则 a⊥α 的一个充分不必要
条件是 ()
A. a∥β，α⊥β B. a⊂β，α⊥β C. a⊥b，b∥a D. a⊥β，α∥β15. 若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 α，则“ l⊥m ”是“ l∥α ”的 ()
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 设 l，m，n 表示三条不同的直线，α，β，γ 表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①
若 l⊥α，m⊥l，m⊥β，则 α⊥β；② 若 m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥n，则
m⊥l；③ 若 α⊥β，α⊥γ，则 α∥β 其中真命题的个数为 ()
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
17. 如图所示，空间四边形 PABC 的各边都相等，D，E，F，G 分别是 AB，BC，CA，AP
的中点，下列四个结论中正确的个数为 ()
①DF∥平面PBC； ②AB⊥平面PDC； ③平面PEF⊥平面ABC；
④平面PAE⊥平面PBC．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
18. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为矩形，E，F 分别为 PA，PD 的中点，
在此几何体中，给出下面 4 个结论：
①直线 BE 与直线 CF 异面；
②直线 BE 与直线 AF 异面；
③ 直线EF∥平面PBC；
④ 平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为 ()
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
19. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ()
A. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n
B. 若 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC. 若 m∥α，n∥α，且 m⊂β，n⊂β，则 α∥β
D. 若 m⊥α，n⊥β，且 α⊥β，则 m⊥n
20. 已知 a，b 是两条不同的直线，α 是一个平面，且 b⊂α，那么“ a⊥b ”是“ a⊥α ”
的 ()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题（共5小题；）
21. 已知直线 a 和平面 α，β，利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断
α⊥β 的真命题是 ．
22. 已知 α，β 是两个不同的平面，m，n 是平面 α，β 外的两条不同的直线，给出下列论断：①
m⊥n；② α⊥β；③ n⊥β；④ m⊥α．以其中三个论断作为条件，剩下的一个论断作为结
论，则 ⇒ 成立．
23. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称
为“可换命题”．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；
④平行于同一平面的两直线平行．
其中是“可换命题”的是 （填命题的序号）．
24. 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面，连接 PB 、 PC 、 PD 、 AC 、 BD，则下
列垂直关系中正确的序号是 ．
① 平面PAB⊥平面PBC ② 平面PAB⊥平面PAD ③ 平面PAB⊥平面PCD
25. 如图，在三棱柱 ABC−A B C 中，平面 A A C C⊥平面ABC，AB=BC，若点 E 在
1 1 1 1 1
棱 BB 上，则当点 E 满足 时，有平面
1
A EC⊥平面A A C C．
1 1 1三、解答题（共5小题；）
26. 如图所示几何体中，△ABC 为正三角形，AE 和 CD 垂直于平面 ABC，且 AE=AB=2a，
CD=a，F 为 BE 的中点．求证：
（1）DF∥面ABC；
（2）AF⊥BD．
27. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，PA 垂直于 ⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，
AN⊥PM，N 为垂足．
（1）求证：AN⊥平面PBM．
（2）若 AQ⊥PB，垂足为 Q，求证：PB⊥NQ．
28. 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E 是 PB 的
1
中点，F 是 DC 上的点，且 DF= AB，PH 为 △PAD 中 AD 边上的高．求证：
2（1）PH⊥平面ABCD．
（2）EF⊥平面PAB．
29. 如图，已知在长方体 ABCD−A B C D 中，A A=AB，E，F 分别是 BD 和 AD 的
1 1 1 1 1 1
中点．证明 CD ⊥EF．
1
π
30. 如图，三棱锥 P−ABC 中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC= ，点 D，E 在线段 AC
2
上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EF∥BC．
（1）证明：AB⊥平面PFE；
（2）若四棱锥 P−DFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长．答案
1. B 【解析】由题意知 a⊥b⇒a⊥α，但 a⊥α⇒a⊥b，
故“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件．
2. D
3. C 【解析】对于 A，如图，
m∥α，α∩β=n，此时 m，n 异面，故 A 错误；
对于 B，若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α 或 n⊂α，故 B 错误；
对于 C，若 n⊥β，α⊥β，则 n∥α 或 n⊂α，又 m⊥α，
所以则 m⊥n，故 C 正确；
对于 D，若 α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则 m 可能与 β 相交，也可能与 β 平行，也可能在 β 内，
故 D 错误．
所以正确的选项为 C．
4. A
5. C
【解析】分别如图所示：
故A不正确；
此图显示 α 与 β 相交，故B不正确；因为 m∥α，m⊥β，所以，α 内存在与 β 垂直的直线，故 α⊥β，C正确；
如图显示，β 与 γ 不垂直，故D不正确．
6. A 【解析】根据面面垂直的性质，知A不正确，直线 l 可能平行平面 β，也可能在平面 β 内．
AC⊥AB }
7. A 【解析】 ⇒AC⊥平面ABC ⇒平面ABC⊥平面ABC ．
AC⊥BC 1 1
1
又 平面ABC∩平面ABC =AB，C H⊥平面ABC，所以 H∈AB．
1 1
8. C
9. C
10. B
【解析】若 m⊂β，α⊥β，则 m 与 α 平行、相交或 m⊂α，故A不正确；
若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β，因为 m∥β 根据线面平行的性质，在 β 内至少存在一条直线与 m
平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，
故B正确；
若 α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则 α∥β 或 α 与 β 相交，故C不正确；
若 α⊥γ，α⊥β，则 γ 与 β 相交或平行，故D不正确．
11. B 【解析】若 m⊂β，α⊥β，则 m 与 α 平行、相交或 m⊂α，故A 不正确；
若 m⊥α，m∥β，则 α⊥β，
因为 m∥β 根据线面平行的性质在 β 内至少存在一条直线与 m 平行，根据线面垂直的判定：如果
两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；
若 α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则 α∥β 或 α 与 β 相交，故C不正确；
若 α⊥γ，α⊥β，则 γ 与 β 相交或平行，故D不正确．
{m∥n,
12. C 【解析】提示：C选项，由 可得 m⊥β，又因为 m⊂α，所以 α⊥β．
n⊥β
13. C 【解析】对于A，B，D均可能出现 l∥β，而对于C是正确的．
14. D 【解析】提示：A、B、C中的 a 与 α 的位置关系都不确定．D中，由 a⊥β，α∥β 可以
推得 a⊥α（事实上，这符合线面垂直的推论），反之 a⊥α 时，不能得到 a⊥β，α∥β．15. B
16. C 【解析】由 l，m,，n 表示三条不同的直线，α，β，γ 表示三个不同的平面知：在 ① 中，
若 l⊥α，m⊥l，m⊥β，则平面 α，β 成 90∘ 角，所以 α⊥β，故 ① 正确；在 ② 中，若
m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥l，则由三垂线定理得 m⊥l，故 ② 正确；对于 ③，α⊥β，
α⊥γ，则 γ∥β 错误，如墙角的三个面的关系，故 ③ 错误，真命题的个数为 2，故选C．
17. A 【解析】因为 BC∥DF，DF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以 DF∥平面PBC，故 ① 正确；
因为 PD⊥AB，CD⊥AB，PD∩CD=D，PD,DC⊂平面PCD，
所以 AB⊥平面PDC，故 ② 正确；
因为 PE⊥BC，AE⊥BC，PE∩AE=E，PE,AE⊂平面PAE，
所以 BC⊥平面PAE，
因为 BC⊂平面PBC，
所以 平面PAE⊥平面PBC，故 ④ 正确．只有 ③ 错误．
18. C 【解析】画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线 BE 与直线 CF 异面，不正确，
因为 E，F 是 PA 与 PD 的中点，可知 EF∥AD，
所以 EF∥BC，直线 BE 与直线 CF 是共面直线；
②直线 BE 与直线 AF 异面；满足异面直线的定义，正确．
③ 直线EF∥平面PBC；
由 E，F 是 PA 与 PD 的中点，可知 EF∥AD，
所以 EF∥BC，
因为 EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以判断是正确的．
④因为 △PAB 与底面 ABCD 的关系不是垂直关系，BC 与平面 PAB 的关系不能确定，
所以 平面BCE⊥平面PAD，不正确．
19. D 【解析】由 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ 是三个不同的平面，知：
在A中，若 m∥α，n∥α，则 m 与 n 相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若 α⊥γ，β⊥γ，则 α 与 β 相交或平行，故B错误；
在C中，若 m∥α，n∥α，且 m⊂β，n⊂β，则 α 与 β 相交或平行，故C错误；
在D中，若 m⊥α，n⊥β，且 α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得 m⊥n，故D正确20. B
21. 若 a⊥α，且 a⊂β，则 α⊥β；
或若 a⊥α，且 a∥β，则 α⊥β．
22. ①③④或 ②③④，②或①
23. ①③
【解析】由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①
是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命
题”；由公理 4 可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；
因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．
24. ①②
【解析】易证 BC⊥平面PAB，则 平面PAB⊥平面PBC：又 AD∥BC，故
AD⊥平面PAB，则 平面PAD⊥平面PAB．
25. E 为棱 BB 的中点
1
【解析】如图，分别取 AC，A C 的中点 D，D ．
1 1 1
因为 AB=BC，所以 A B =B C ．所以 BD⊥AC，B D ⊥A C ．根据已知易得 D D∥A A，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
D D=A A，B B∥A A，B B=A A，所以 B B∥D D，B B=D D．所以四边形 BDD B
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
是平行四边形，故 B D ∥BD．因为 平面 A A C C⊥平面ABC，所以 BD⊥平面ACC A ，
1 1 1 1 1 1
B D ⊥平面ACC A ．若 平面A EC⊥平面ACC A ，在平面 A EC 内，过 E 作
1 1 1 1 1 1 1 1
EF⊥A C，F 为垂足，则有 EF⊥平面ACC A ，所以 F 为 A C 与 DD 的交点，故 F
1 1 1 1 1
为 DD 中点，从而 E 为 BB 中点．
1 1
26. （1） 如图，取 AB 中点 G，连接 CG、FG．∵ F 为 EB 中点，
1
∴ FG∥AE 且 FG= AE；
2
1
又 CD∥AE 且 CD= AE；
2
∴CD∥FG 且 CD=FG．
∴ 四边形 FGCD 为平行四边形．
∴DF∥CG，又 DF⊄面ABC，CG⊂面ABC；
∴DF∥面ABC．
（2） ∵ △ABC 为正三角形，G 为 AB 中点；
∴CG⊥AB，
∵AE⊥平面ABC，CG⊂平面ABC；
∴AE⊥CG；
又 AB∩AE=A，AB、AE⊂平面ABE；
∴CG⊥平面ABE．
∵AF⊂平面ABE，
∴CG⊥AF．
又（1）已证 DF∥CG，∴DF⊥AF；
又 AE=AB，F 为 BE 的中点，
∴AF⊥BE；
又 BE∩DF=F，BE、DF⊂平面BDE，
∴AF⊥平面BDE．
∵BD⊂平面BDE，
∴AF⊥BD．
27. （1） 因为 AB 为 ⊙O 的直径，
所以 AM⊥BM．
又 PA⊥平面ABM，
所以 PA⊥BM．
又因为 PA∩AM=A，
所以 BM⊥平面PAM．
又 AN⊂平面PAM，
所以 BM⊥AN．
又 AN⊥PM，且 BM∩PM=M，所以 AN⊥平面PBM．
（2） 由（1）知 AN⊥平面PBM，
又 PB⊂平面PBM，
所以 AN⊥PB．
又因为 AQ⊥PB，AN∩AQ=A，
所以 PB⊥平面ANQ．
又 NQ⊂平面ANQ，
所以 PB⊥NQ．
28. （1） 因为 AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
所以 PH⊥AB．
因为 PH 为 △PAD 中边 AD 上的高，
所以 PH⊥AD．
因为 AB∩AD=A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以 PH⊥平面ABCD．
（2） 如图，取 PA 的中点 M，连接 MD，ME．
因为 E 是 PB 的中点，
1
所以 ME= AB，ME∥AB．
2
1
又因为 DF= AB，DF∥AB，
2
所以 ME=DF，ME∥DF，
所以四边形 MEFD 是平行四边形，
所以 EF∥MD．
因为 PD=AD，
所以 MD⊥PA．
因为 AB⊥平面PAD，
所以 MD⊥AB．
因为 PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以 MD⊥平面PAB，
所以 EF⊥平面PAB．
29. 如图，取 CD 的中点 G，连接 EG，DG．
1因为 E 是 BD 的中点，
1
1
所以 EG∥BC，EG= BC，
2
因为 F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD=BC，
1
所以 DF∥BC，DF= BC，
2
所以 EG∥DF，EG=DF，
所以四边形 EFDG 是平行四边形，
所以 EF∥DG，
所以 ∠DGD （或其补角）是异面直线 CD 与 EF 所成的角．
1 1
又因为 A A=AB，
1
所以四边形 ABB A ，四边形 CDD C 都是正方形，
1 1 1 1
又 G 为 CD 的中点，
1
所以 DG⊥CD ，
1
所以 ∠D GD=90∘，
1
所以异面直线 CD 与 EF 所成的角为 90∘，
1
所以 CD ⊥EF．
1
30. （1） 由 DE=EC，PD=PC 知，E 为等腰 △PDC 中 DC 边的中点，故 PE⊥AC．
又 平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，
所以 PE⊥平面ABC，从而 PE⊥AB．
π
因为 ∠ABC= ，EF∥BC，所以 AB⊥EF．
2
从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE，EF 都垂直，
所以 AB⊥平面PFE．
（2） 设 BC=x，则在 Rt△ABC 中，
AB=√AC2−BC2=√36−x2，
1 1
从而 S = AB⋅BC= x√36−x2 ．
△ABC 2 2
AF AE 2
由 EF∥BC 知， = = ，得 △AFE∽△ABC，
AB AC 3
故
S
△AFE =
(2) 2
=
4
，即 S =
4
S ．
S 3 9 △AFE 9 △ABC
△ABC1 1 1 4 2 1
由 AD= AE，S = S = × S = S = x√36−x2 ，
2 △AFD 2 △AFE 2 9 △ABC 9 △ABC 9
从而四边形 DFBC 的面积为
1 1 7
S =S −S = x√36−x2− x√36−x2= x√36−x2 ．
四边形DFBC △ABC △AFD 2 9 18
由（1）知 PE⊥平面ABC，所以 PE 为四棱锥 P−DFBC 的高．
在 Rt△PEC 中，PE=√PC2−EC2=√42−22=2√3，
1 1 7
所以 V = S ⋅PE= × x√36−x2×2√3=7，
四棱锥P−DFBC 3 四边形DFBC 3 18
所以 x4−36x2+243=0，
解得 x2=9 或 x2=27．
由于 x>0，因此 x=3 或 x=3√3．
所以 BC=3 或 BC=3√3．
